资源简介

2024-2025 学年湖北省沙市中学高一下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 4 5.已知 ， 均为锐角，sin = 5，sin = 13，则 sin =( )
A. 16 B. 4 C. 33 D. 6365 13 65 65
2 .已知复数 1 = 2 6 , 2 = 2 + 4 ，若 = 2 ，则 =( )1
A. 24 B.
2
2 C. 2 D. 2
3.在长方体 1 1 1 1中，若 = = 2， 1 = 4，则异面直线 1 ， 1所成角的余弦值为( )
A. 3 4 3 15 B. 5 C. 2 D. 2
4.如图，点 ， ， ， ， 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线 //平面
的是( )
A. B. C. D.
5.已知 ， 是平面 外的两条直线，在 // 的前提下， // 是 // 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.设 ， 是两个非零向量，且( 3 ) ⊥ (7 + 5 )，( + 4 ) ⊥ (7 + 2 )，则 与 的夹角是( )
A. 6 B.

3 C.
2
3 D.
5
6
第 1页，共 9页
7.在等边三角形 中， 、 、 分别在边 、 、 上，且 = 3， = 2，∠ = 90°.则三角形
面积的最大值是( )
A. 7 33 B. 2 3 C. 7 3 D. 6 3
8.已知函数 = 3sin + > 0,0 < < ， 3 = 0，对任意 ∈ 恒有 ≤ 3 ，且在区

间 15 , 5 上有且只有一个 1使 1 = 3，则 的最大值为
A. 574 B.
111
4 C.
105
4 D.
117
4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中，真命题是( )
A.若 , 是两条直线， , 是两个平面，且 , ，则 , 是异面直线．
B.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
C.若直线 , 相交， 是平面且 // ，则直线 不在平面 内.
D.若 是平面，直线 1 ，直线 2// ，则 1// 2．
10.点 在 所在平面内，下列说法正确的是( )
A.若 + + = 0，则 为 的重心
B.若 > 0，则 为锐角三角形
C.若 = 13
+ 2 ，则 3 =
2
3
D.若 为边长为 2 的正三角形，点 在线段 上运动，则 ( + ) = 3
11.如图，已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2，点 为 的中点，点 为正方形 1 1内(包含边界)
的动点，则下列说法正确的是( )
A. 1, 1, , 四点共面
B. 4几何体 1 1 的体积为3
C.存在唯一的点 ，使 //平面 1
D.直线 与 2所成角的余弦值的取值范围是 3 , 1
第 2页，共 9页
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若向量 = ( 1,2)， = (3,4)，则 在 上的投影向量的坐标为 ．
13.△ 中若 3( cos + cos )cos = sin ， = 4，则△ 的面积的取值范围为 ．
14.已知函数 = sin 2 + cos 2 + (0 < < )是定义在 上的奇函数，将函数 = 图象上所

有点的横坐标伸长到原来的 3 倍得到 = 的图象，若方程 = 在 ∈ 4 , 时有两个不相等的实
数根，则 的取值范围是_____．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在矩形 和四分之一的⊙ 拼接的平面图形中， = 1， = = 3，将该图形绕 所在直线
旋转一周形成的面所围成的旋转体记为 ．
(1)求 的体积；
(2)求 的表面积．
16.(本小题 15 分)
如图所示，在四棱锥 中，底面 1为梯形， // ， = 2 ，面 ∩面 = ， 是
的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)若 是线段 上一动点，则线段 上是否存在点 ，使 //平面 ？说明理由．
第 3页，共 9页
17.(本小题 15 分)
如图，一个半径为 2 米的筒车按逆时针方向每 分钟转 1 圈，筒车轴心 距水面的高度为 1 米.设筒车上某个
盛水桶 到水面的距离为 (单位：米)(在水面下则 为负数)，若以盛水桶 刚浮出水面时开始计算时间，则
与时间 (单位：分钟)之间的关系式为 = sin( + ) + ( > 0, > 0, 2 < <

2 ).
(1)求 与时间 (单位：分钟)之间的关系式;
(2) 11 2 某时刻 0(单位：分钟)时，盛水桶 在过 点竖直直线的左侧，到水面的距离为 5米，再经过 3分钟后，
求盛水桶 到水面的距离．
18.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 2 = ( + )．
(1)若 = 3，求 的值;
(2)若△ 是锐角三角形，求 3sin + 2cos2 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知 为坐标原点，对于函数 = sin + cos ，称向量 = , 为函数 的伴随向量，同时称函
数 为向量 的伴随函数．
(1) 设函数 = sin + + sin ，试求 的伴随向量 3
；
(2)记向量 = 1, 3 6 的伴随函数为 ，求当 = 5且 ∈ 3 , 6 时，sin 的值；
(3)当向量 = 2 , 2 2 2 时，伴随函数为 ，函数 = 2 ，求 在区间 , + 4 上最大值与最小
值之差的取值范围．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3 45 , 5
13.(0,4 3]
14. 62 , 2
15.解：(1)依题意得，旋转体的上方是一个半球体，下方是一个圆柱，如图所示．
∵ = 1， = = 3，
∴ 柱 =
2 = × 32 × 1 = 9 ，
1半球 = 2 ×
4
3
3 = 23 × 3
3 = 18 ，
∴ = 柱 + 半球 = 9 + 18 = 27 ，
所以 的体积为 27 ；
(2) ∵ = 1， = = 3，
∴ 2圆柱侧 + 圆柱底 = 2 + = 2 × 3 × 1 + × 3
2 = 15 ，
半球面 =
1 × 4 2 = 12 2 × 4 × 3
2 = 18 ，
第 5页，共 9页
∴ = 圆柱侧 + 圆柱底 + 半球面 = 15 + 18 = 33 ．
所以 的表面积为 33 ．
16.证明：(1)在四棱锥 中，取 中点 ，连 、 ．
∵ = 12 , // ．
又 ∵ = 12 , // ，
∴ = , // ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ // ，
又 ∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ；
(2)解：取 中点 ，连接 ， ．
∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ // ．
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ．
又由(1)可得 //平面 ， ∩ = ， 、 平面 ，
∴平面 //平面 ．
∵ 是 上的动点， 平面 ，
∴ //平面 ，
∴当 为中点时， //平面 ．
17. (1) 2 解： 由题意，得函数的周期为 = = ，可得 = 2．
由题意半径为 2 米，筒车轴心 距水面的高度为 1 米，可得 = 2， = 1，
第 6页，共 9页
可得 = 2 (2 + ) + 1．
依题意，可知当 = 0 时， = 0，即 0 = 2 + 1 = 1，可得 2，
由 2 < <

2，可得 = 6．
∴ = 2 (2 6 ) + 1；
(2)由题意得， = 2sin(2 0

6 ) + 1 =
11 3
5，得 sin(2 0 6 ) = 5，

由题意知 cos(2 0 6 ) < 0，所以 cos(2

0 6 ) =
4
5
所以 sin[2( + 2 0 3 )

6 ] = sin[(2
) + 4 ] = 3 × ( 1 ) + ( 4 ) × ( 3 ) = 4 3 30 6 3 5 2 5 2 10
4 3 3 4 3+ 2
∴ 2 × 10 + 1 = 5
2 4 3+2
所以再经过 3分钟后，盛水桶 到水面的距离为 5 米
18.解：(1) 在△ 中， = 3，由余弦定理可得
2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 ，
又 2 = 2 + ，故 2 = ，即 2 = 2 ，
又 > 0，故 = 2 ，得 = 2;
(2)在△ 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos ，
又 2 = 2 + ，所以 2 + 2 2 cos = 2 + ，即 2 2 cos = ，
又 > 0，故 2 cos = ，

结合正弦定理sin = sin ，可得 sin 2sin cos = sin ，
所以 sin[ ( + )] 2sin cos = sin ，
即 sin( + ) 2sin cos = sin ，sin cos + cos sin 2sin cos = sin
所以 sin cos cos sin = sin ，即 sin( ) = sin ，
因为 ， ， ∈ (0, )，所以 ∈ ( , )，所以 = 或 + = ，
即 = 2 或 = (舍)．
所以 3sin + 2cos2 = 3sin2 + cos2 + 1 = 2sin(2 + 6 ) + 1．
0 < = 3 < 2 ,
因为△ 是锐角三角形，所以 0 < = 2 < , 2 得6 < <

4，
0 < < 2 ,
第 7页，共 9页

所以2 < 2 +
2
6 < 3，故 sin(2 + 6 ) ∈ (
3
2 , 1)，2sin(2 +

6 ) + 1 ∈ ( 3 + 1,3)，
所以 3sin + 2cos2 的取值范围是( 3 + 1,3)．
19. (1) ( ) = 1解： 因为 2 sin +
3
2 cos + sin =
3
2 sin +
3
2 cos ，
( ) = ( 3故函数 的伴随向量 2 ,
3
2 )；
(2)向量 = (1, 3)的相伴函数为 ( ) = sin + 3cos ，
由 ( ) = sin + 3cos = 2sin( + 3 ) =
6
5，得 sin( +
3
3 ) = 5，

由于 ∈ ( 3 , 6 )，
+ ∈ (0, 所以 3 2 )，
4
则 cos( + 3 ) = 5，
故 sin = sin[( + ) 3 3 ] =
1 3
2 sin( + 3 ) 2 cos( +
) = 3 4 33 10 ；
(3) ( )的函数解析式 ( ) = sin( + 4 )，
所以 ( ) = sin(2 + 4 )，

区间[ , + 4 ]的长度为4，函数 ( ) = sin(2 + 4 )的周期为 ，
若 ( ) 的对称轴在区间[ , + 4 ]内，
不妨设对称轴 = [ , + 8在 4 ]内，最大值为 1，
( + 当 4 ) = ( )

即 ( 4 ) = (0) =
2
2 时，
2 2 2
函数 ( )在区间[ , + 4 ]上的最大值与最小值之差取得最小值为 1 2 = 2 ;
2 2
其它的对称轴在[ , + 4 ]内时最大值与最小值之均大于 2 ;
当 = 8或 =

8时，最大值与最小值之差取得最大值 1，
5 3
若 的对称轴不在区间 , + 4 内，不妨设 8 ≤ < + 4 ≤ 8 即 8 ≤ ≤ 8 ，
第 8页，共 9页
则 在区间 , + 4 内单调，在两端点处取得最大值与最小值，则最大值与最小值之差为：

+ 4 = sin 2 + 2 + 4 sin 2 + 4
= cos 2 + 4 sin 2 +

4 = 2sin 2 +
4 4 = 2sin2 ∈ 1, 2 ，
2 2
综上，故函数 在区间 , + 4 上的最大值与最小值之差的取值范围为 2 , 2 ．
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑