湖北省沙市中学2024-2025学年高一(下)5月月考数学试卷(图片版,含答案)

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湖北省沙市中学2024-2025学年高一(下)5月月考数学试卷(图片版,含答案)

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2024-2025 学年湖北省沙市中学高一下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1 4 5.已知 , 均为锐角,sin = 5,sin = 13,则 sin =( )
A. 16 B. 4 C. 33 D. 6365 13 65 65
2 .已知复数 1 = 2 6 , 2 = 2 + 4 ,若 = 2 ,则 =( )1
A. 24 B.
2
2 C. 2 D. 2
3.在长方体 1 1 1 1中,若 = = 2, 1 = 4,则异面直线 1 , 1所成角的余弦值为( )
A. 3 4 3 15 B. 5 C. 2 D. 2
4.如图,点 , , , , 为正方体的顶点或所在棱的中点,则下列各图中,不满足直线 //平面
的是( )
A. B. C. D.
5.已知 , 是平面 外的两条直线,在 // 的前提下, // 是 // 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.设 , 是两个非零向量,且( 3 ) ⊥ (7 + 5 ),( + 4 ) ⊥ (7 + 2 ),则 与 的夹角是( )
A. 6 B.

3 C.
2
3 D.
5
6
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7.在等边三角形 中, 、 、 分别在边 、 、 上,且 = 3, = 2,∠ = 90°.则三角形
面积的最大值是( )
A. 7 33 B. 2 3 C. 7 3 D. 6 3
8.已知函数 = 3sin + > 0,0 < < , 3 = 0,对任意 ∈ 恒有 ≤ 3 ,且在区

间 15 , 5 上有且只有一个 1使 1 = 3,则 的最大值为
A. 574 B.
111
4 C.
105
4 D.
117
4
二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中,真命题是( )
A.若 , 是两条直线, , 是两个平面,且 , ,则 , 是异面直线.
B.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
C.若直线 , 相交, 是平面且 // ,则直线 不在平面 内.
D.若 是平面,直线 1 ,直线 2// ,则 1// 2.
10.点 在 所在平面内,下列说法正确的是( )
A.若 + + = 0,则 为 的重心
B.若 > 0,则 为锐角三角形
C.若 = 13
+ 2 ,则 3 =
2
3
D.若 为边长为 2 的正三角形,点 在线段 上运动,则 ( + ) = 3
11.如图,已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2,点 为 的中点,点 为正方形 1 1内(包含边界)
的动点,则下列说法正确的是( )
A. 1, 1, , 四点共面
B. 4几何体 1 1 的体积为3
C.存在唯一的点 ,使 //平面 1
D.直线 与 2所成角的余弦值的取值范围是 3 , 1
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三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.若向量 = ( 1,2), = (3,4),则 在 上的投影向量的坐标为 .
13.△ 中若 3( cos + cos )cos = sin , = 4,则△ 的面积的取值范围为 .
14.已知函数 = sin 2 + cos 2 + (0 < < )是定义在 上的奇函数,将函数 = 图象上所

有点的横坐标伸长到原来的 3 倍得到 = 的图象,若方程 = 在 ∈ 4 , 时有两个不相等的实
数根,则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图,在矩形 和四分之一的⊙ 拼接的平面图形中, = 1, = = 3,将该图形绕 所在直线
旋转一周形成的面所围成的旋转体记为 .
(1)求 的体积;
(2)求 的表面积.
16.(本小题 15 分)
如图所示,在四棱锥 中,底面 1为梯形, // , = 2 ,面 ∩面 = , 是
的中点.
(1)求证: //平面 ;
(2)若 是线段 上一动点,则线段 上是否存在点 ,使 //平面 ?说明理由.
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17.(本小题 15 分)
如图,一个半径为 2 米的筒车按逆时针方向每 分钟转 1 圈,筒车轴心 距水面的高度为 1 米.设筒车上某个
盛水桶 到水面的距离为 (单位:米)(在水面下则 为负数),若以盛水桶 刚浮出水面时开始计算时间,则
与时间 (单位:分钟)之间的关系式为 = sin( + ) + ( > 0, > 0, 2 < <

2 ).
(1)求 与时间 (单位:分钟)之间的关系式;
(2) 11 2 某时刻 0(单位:分钟)时,盛水桶 在过 点竖直直线的左侧,到水面的距离为 5米,再经过 3分钟后,
求盛水桶 到水面的距离.
18.(本小题 17 分)
在△ 中,角 , , 所对的边分别为 , , ,已知 2 = ( + ).
(1)若 = 3,求 的值;
(2)若△ 是锐角三角形,求 3sin + 2cos2 的取值范围.
19.(本小题 17 分)
已知 为坐标原点,对于函数 = sin + cos ,称向量 = , 为函数 的伴随向量,同时称函
数 为向量 的伴随函数.
(1) 设函数 = sin + + sin ,试求 的伴随向量 3

(2)记向量 = 1, 3 6 的伴随函数为 ,求当 = 5且 ∈ 3 , 6 时,sin 的值;
(3)当向量 = 2 , 2 2 2 时,伴随函数为 ,函数 = 2 ,求 在区间 , + 4 上最大值与最小
值之差的取值范围.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3 45 , 5
13.(0,4 3]
14. 62 , 2
15.解:(1)依题意得,旋转体的上方是一个半球体,下方是一个圆柱,如图所示.
∵ = 1, = = 3,
∴ 柱 =
2 = × 32 × 1 = 9 ,
1半球 = 2 ×
4
3
3 = 23 × 3
3 = 18 ,
∴ = 柱 + 半球 = 9 + 18 = 27 ,
所以 的体积为 27 ;
(2) ∵ = 1, = = 3,
∴ 2圆柱侧 + 圆柱底 = 2 + = 2 × 3 × 1 + × 3
2 = 15 ,
半球面 =
1 × 4 2 = 12 2 × 4 × 3
2 = 18 ,
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∴ = 圆柱侧 + 圆柱底 + 半球面 = 15 + 18 = 33 .
所以 的表面积为 33 .
16.证明:(1)在四棱锥 中,取 中点 ,连 、 .
∵ = 12 , // .
又 ∵ = 12 , // ,
∴ = , // ,
∴四边形 为平行四边形,
∴ // ,
又 ∵ 平面 , 平面 ,
∴ //平面 ;
(2)解:取 中点 ,连接 , .
∵ , 分别为 , 的中点,
∴ // .
∵ 平面 , 平面 ,
∴ //平面 .
又由(1)可得 //平面 , ∩ = , 、 平面 ,
∴平面 //平面 .
∵ 是 上的动点, 平面 ,
∴ //平面 ,
∴当 为中点时, //平面 .
17. (1) 2 解: 由题意,得函数的周期为 = = ,可得 = 2.
由题意半径为 2 米,筒车轴心 距水面的高度为 1 米,可得 = 2, = 1,
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可得 = 2 (2 + ) + 1.
依题意,可知当 = 0 时, = 0,即 0 = 2 + 1 = 1,可得 2,
由 2 < <

2,可得 = 6.
∴ = 2 (2 6 ) + 1;
(2)由题意得, = 2sin(2 0

6 ) + 1 =
11 3
5,得 sin(2 0 6 ) = 5,

由题意知 cos(2 0 6 ) < 0,所以 cos(2

0 6 ) =
4
5
所以 sin[2( + 2 0 3 )

6 ] = sin[(2
) + 4 ] = 3 × ( 1 ) + ( 4 ) × ( 3 ) = 4 3 30 6 3 5 2 5 2 10
4 3 3 4 3+ 2
∴ 2 × 10 + 1 = 5
2 4 3+2
所以再经过 3分钟后,盛水桶 到水面的距离为 5 米
18.解:(1) 在△ 中, = 3,由余弦定理可得
2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 ,
又 2 = 2 + ,故 2 = ,即 2 = 2 ,
又 > 0,故 = 2 ,得 = 2;
(2)在△ 中,由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos ,
又 2 = 2 + ,所以 2 + 2 2 cos = 2 + ,即 2 2 cos = ,
又 > 0,故 2 cos = ,

结合正弦定理sin = sin ,可得 sin 2sin cos = sin ,
所以 sin[ ( + )] 2sin cos = sin ,
即 sin( + ) 2sin cos = sin ,sin cos + cos sin 2sin cos = sin
所以 sin cos cos sin = sin ,即 sin( ) = sin ,
因为 , , ∈ (0, ),所以 ∈ ( , ),所以 = 或 + = ,
即 = 2 或 = (舍).
所以 3sin + 2cos2 = 3sin2 + cos2 + 1 = 2sin(2 + 6 ) + 1.
0 < = 3 < 2 ,
因为△ 是锐角三角形,所以 0 < = 2 < , 2 得6 < <

4,
0 < < 2 ,
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所以2 < 2 +
2
6 < 3,故 sin(2 + 6 ) ∈ (
3
2 , 1),2sin(2 +

6 ) + 1 ∈ ( 3 + 1,3),
所以 3sin + 2cos2 的取值范围是( 3 + 1,3).
19. (1) ( ) = 1解: 因为 2 sin +
3
2 cos + sin =
3
2 sin +
3
2 cos ,
( ) = ( 3故函数 的伴随向量 2 ,
3
2 );
(2)向量 = (1, 3)的相伴函数为 ( ) = sin + 3cos ,
由 ( ) = sin + 3cos = 2sin( + 3 ) =
6
5,得 sin( +
3
3 ) = 5,

由于 ∈ ( 3 , 6 ),
+ ∈ (0, 所以 3 2 ),
4
则 cos( + 3 ) = 5,
故 sin = sin[( + ) 3 3 ] =
1 3
2 sin( + 3 ) 2 cos( +
) = 3 4 33 10 ;
(3) ( )的函数解析式 ( ) = sin( + 4 ),
所以 ( ) = sin(2 + 4 ),

区间[ , + 4 ]的长度为4,函数 ( ) = sin(2 + 4 )的周期为 ,
若 ( ) 的对称轴在区间[ , + 4 ]内,
不妨设对称轴 = [ , + 8在 4 ]内,最大值为 1,
( + 当 4 ) = ( )

即 ( 4 ) = (0) =
2
2 时,
2 2 2
函数 ( )在区间[ , + 4 ]上的最大值与最小值之差取得最小值为 1 2 = 2 ;
2 2
其它的对称轴在[ , + 4 ]内时最大值与最小值之均大于 2 ;
当 = 8或 =

8时,最大值与最小值之差取得最大值 1,
5 3
若 的对称轴不在区间 , + 4 内,不妨设 8 ≤ < + 4 ≤ 8 即 8 ≤ ≤ 8 ,
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则 在区间 , + 4 内单调,在两端点处取得最大值与最小值,则最大值与最小值之差为:

+ 4 = sin 2 + 2 + 4 sin 2 + 4
= cos 2 + 4 sin 2 +

4 = 2sin 2 +
4 4 = 2sin2 ∈ 1, 2 ,
2 2
综上,故函数 在区间 , + 4 上的最大值与最小值之差的取值范围为 2 , 2 .
第 9页,共 9页

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