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2024-2025 学年辽宁省沈阳市重点高中联合体高二下学期期中检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等比数列 中，若 1 = 2， 5 = 32，则 3 =( )
A. 17 B. ±8 C. 8 D. 8
2 2.甲、乙两人进行象棋比赛时，每一局甲赢的概率是3，且无平局，比赛采用 5 局 3 胜制，各局比赛的结果
相互独立，则甲以“3: 1”获胜的概率是( )
A. 8 8 3281 B. 27 C. 81 D.
4
9
3.已知某班级的数学兴趣小组中，有男生 5 人，女生 3 人，现从这个小组中随机抽出 2 名学生参加同一个
数学竞赛，在其中一人是男生的条件下，另一人也是男生的概率是( )
A. 2 5 2 47 B. 14 C. 5 D. 7
4.某人工智能公司从某年起 7 年的利润情况如下表所示， 关于 的回归直线方程是 = 0.5 + ，预测该人
工智能公司第 8 年的利润是多少亿元( )
第 年 1 2 3 4 5 6 7
利润 /亿元2.93.33.64.44.85.25.9
A. 6.2 B. 6.3 C. 6.4 D. 6.5
5.设事件 = 1,2 ，事件 = 1,3 ，已知事件 与事件 相互独立，则样本空间Ω可能是下列哪个选项( )
A. 1,2,3 B. 1,2,3,4 C. 1,2,3,4,5 D. 1,2,3,4,5,6
6.袋中有大小、形状完全相同的 8 个白球、4 个黑球，现从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球，若每
次抽取后都不放回，设取到白球的个数是 ，且 = 2 + 1，则 的数学期望 ( ) =( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
7 3 +6 .设 ， 分别是等差数列 ， 的前 项和，若 +2 14 = +5，则 =( )13
A. 5 B. 272 10 C.
29
10 D. 3
8.甲、乙两名大学生同时于 2025 年 5 月初向银行贷款 5000 元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行
还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分 12 次还清所有的欠款，从 2025 年 6 月初
开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为 0.4%，则 2025 年 10 月初甲比乙将多还多少元(精确到个位，
参考数据：1.00411 ≈ 1.045，1.00412 ≈ 1.049，1.00413 ≈ 1.053)( )
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A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中错误的是( )
A.若数列 满足 + +1 = ( )，其中 ( )是关于 的一次函数，则数列 一定是等差数列
B.若数列 的前 项和 = 3 2 +1 6，则数列 一定是等比数列
C.若数列 是等差数列， 为数列 的前项和，则数列 4， 8 4， 16 8一定是等差数列
D.若数列 是等比数列， 为数列 的前 项和，则数列 2， 4 2， 6 4一定是等比数列
10 .设 是等差数列 的前 项和，若 713 > 0， < 1，则下列结论正确的是( )8
A. 7 < 8 B. = 7 时， 最大
C.使 > 0 的 的最大值为 13 D.

数列 中的最小项为第 8 项
11.某次数学考试的最后一道多选题共有 4 个选项，正确答案为 2 项或 3 项，满分 6 分，评分标准是，全
部选对得 6 分，部分选对得部分分(若正确答案为 2 项，仅选对 1 项得 3 分；若正确答案为 3 项，仅选对 1
项得 2 分，仅选对 2 项得 4 分)，有错选或不选则得 0 分．已知最后这道多选题正确答案是 3 项的概率是 2
项的 2 倍．学生甲、乙、丙三名同学对这道题完全没有思路，只能靠猜，已知甲同学猜一个选项与猜两个
1
选项的概率各为2，乙同学决定猜一个选项，丙同学决定猜两个选项，设甲、乙、丙三名同学的得分分别为
、 、 ，其得分的期望分别为 ( )、 ( )、 ( )，则下列说法正确的有( )
A.事件“ + + = 6”与事件“ = = ”是互斥的
B.甲同学不得 0 1分的概率 ( ≠ 0) > 2
C. ( ) < ( ) < ( )
D. 99在三名同学的得分和 + + = 4 的条件下，他们中有且仅有一人得 0 分的概率是211
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若随机变量 服从正态分布 1, 2 ，且 ( ≥ 2) = 0.15，则 (0 < < 2) = ．
13 5 33.已知随机变量 的分布列如下表所示，其中 是常数，则 ( 2 < < 2 ) = ．
1 2 3 …50

2 6 12 …2550
14.已知数列 26 4中， = ， = 4 ≥ 2, ∈ 2 1 15 ，数列 满足：

= 2 ∈ ，则 1
2025 = ；若 、 、 ∈ 分别是数列 的最大项与最小项，则 = ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设数列 满足 1 = 4， +1 = + 2 + 2， ∈ ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
电视台对某时段收看综艺节目和新闻节目的观众进行抽样调查，随机抽取了 100 名电视观众，相关的数据
如下表所示(单位：人)．
收看综艺节目收看新闻节目
20 40 岁 45 10
40 岁及以上30 15
(1)从表中数据分析，是否有 95%的把握认为在这一时段观众选择收看综艺节目还是新闻节目与年龄有关．
(2)现从所抽取的 40 岁及以上的电视观众中利用分层抽样的方法抽取 9 人，再从这 9 人中随机选取 3 人做
访谈，求选取的 3 人中至少有 2 人在这一时段收看综艺节目的概率．
(3)将频率视为概率，从我市所有在这一时段收看综艺节目和新闻节目的观众中随机抽取 20 人，记其中收
看新闻节目的观众数为 ，求随机变量 的数学期望和方差．
2 = ( )
2
参考公式： ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
临界值表：

= 0.1 0.05 0.01 0.0050.001
≥
2.7063.8116.6357.87910.828
17.(本小题 15 分)
设 1 是数列 的前 项和，若 1 = 2，3 + 2 +1 + 1 = 0， ∈
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 = log1 ， 是数列 的前 项和，若对任意的 ∈ ， ≤ 1
9 +2
3 +2 ≤ 恒成立，其中 、 2
是实数，求 的最小值．
18.(本小题 17 分)
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设数列 1 2 满足 1 = 2， 1 = 3 + 2 1 ≥ 2, ∈ ；正项数列 满足 1 = 3， +1 = 2 +1 +
3 ∈ ．
(1) 1证明：数列 + 1 是等比数列；
(2)求数列 、 的通项公式；
(3) 3 1设 是数列 +1 的前 项和，证明：16 ≤ < 4．
19.(本小题 17 分)
甲、乙两名象棋大师与同一款象棋软件进行对决，规则如下：由抽签确定第 1 局与软件对决的人选，第 1
局与软件对决的人是甲、乙的概率各为 0.5，若前一局大师取胜，则下一局换另一位大师与软件对决；若前
一局大师未取胜，则此人继续与软件对决．无论之前对决结果如何，甲每局取胜的概率均为 0.4，乙每局取
胜的概率均为 ，已知第 2 局与软件对决的大师是乙的概率是 0.6．
(1)求乙每局取胜的概率 ；
(2)求第 次与软件对决的大师是甲的概率 ；
(3)现甲、乙进行比赛，规定每局比赛胜者得 1 分，负者得 0 分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两
分为止，多得两分的一方赢得比赛．若每局比赛中，可视甲取胜的概率为(2)中 充分大时，1 的极限值．
①若比赛最多进行 5 局，求比赛结束时比赛局数 的分布列；
②若比赛不限局数，求甲赢得比赛的概率．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.7
13. 725/0.28
14.40332 ；8
= 2 1 1 + 2
15.【详解】(1)由题意，当 ≥ 2 时， 1 2 = 2
2 + 2 ,

12 1 = 2 + 2
2 1 2 1
相加得 1 = 1 2 + 2 2 = 2
+ 2 4
所以 = 2 + 2
= 1 时， 1 = 4 符合上式，所以 = 2 + 2
2 1 2 ( + 1)
(2) = 2 + 22 + + 2 + 2(1 + 2 + + ) = 1 2 + 2 2 = 2
+1 + 2 + 2
16. (1) 2 = 100×(45×15 30×10)
2 100
【详解】 75×25×55×45 = 33 ≈ 3.030 < 3.841
所以没有 95％的把握认为在这一时段观众选择收看综艺节目还是新闻节目与年龄有关．
(2)由题意，抽取的这 9 人中有 6 人在这一时段收看综艺节目，有 3 人收看新闻节目
记事件 =“选取的 3 人中至少有 2 人在这一时段收看综艺节目”，
2 1 3
则 ( ) = C6C3+C6 65
C3
=
9 84
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(3) 20, 1 ( ) = 20 × 1由题意，随机变量 4 ，所以 4 = 5，
( ) = 20 × 14 ×
3 = 154 4．
17. 3 + 2 【详解】(1)当 ≥ 2 时， +1 + 1 = 03 1 + 2 + 1 = 0，两式相减可得：
3 + 2 +1 2 = 0
1
+1 = 2 ．
3 1 1 + 2 +1 + 1 = 0 中令 = 1，得 2 = 4，注意到 2 = 2 1
1 1符合上式，所以数列 是以 2为首项， 2为公比得等比数列．
1
所以 =
1
2 ×
1 1
2 = 2
(2) = log1 =
2
1 1 1 2 1 3 1
= 1 2 + 2 2 + 3 2 + + 2
2 3 +1
12 = 1
1 1
2 + 2 2 + + ( 1)
1
2 +
1
2 ，相减得
1 11 1
3 1 1 +1 4 2 1 1 1 1
2 = 2 2 + 1 = 3+ 2 + 3 21 2
2 3 +2 1 9 +2 1
所以 = 9 + 9 2 ，则 1 3 +2 = 1 2
1 1 1
从而 ≤ 1 2 ≤ 恒成立．即 ≥ 1 2 , ≤ 1 max 2 min
1 + 1

1 , = 2 1
令 ( ) = 1 2 =
2
, ∈ N ,
1 12 , = 2
则当 为奇数时， ( )随着 增大而减小，当 为偶数时， ( )随着 增大而增大，
1
又注意到 1 12 < 1 < 1+ 2 ，则 ( )max = (1) =
3
2 , ( )
3
min = (2) = 4
所以 ≤ 3 , ≥ 34 2，从而 ≥
3 3
2 4 =
3
4
18. 1 1【详解】(1)证明：由 1 = 3 + 2 1 得 = 3· + 2 1
1 1
进而 + 1 = 3 + 1 1
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1
又 + 1 = 31
1
所以数列 + 1 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列
(2)由(1) 1得 + 1 = 3 3
1 = 3

= 1所以 3 1
由 2 +1 = 2 +1 + 3 得 +1 3 +1 + = 0，
因为 > 0，所以 +1 = 3
又 1 = 3，所以数列 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列．
所以 = 3
3 1 1 1
(3) +1 = = 3 1 3 +1 1 2 3 1 3 +1 1
1 1 1 1 1
所以 = 2 2 8+ 8 26 + +
1
3 1
1 1 1
3 +1 1 = 4 2 3 +1 1
1 1
因为2 3 +1 1 > 0，所以 < 4
= 1 1 3易知 4 2 3 +1 1 是关于 的增函数，所以 ≥ 1 = 16
3 1
综上16 ≤ < 4
19.【详解】(1)设事件 =“第 2 局与软件对决的大师是乙”，
则 ( ) = 0.5 × 0.4 + 0.5(1 ) = 0.6，解得 = 0.2；
(2)由题意 = 1 × 0.6 + 1 1 × 0.2，
1 2 1
整理得 3 = 5 1 3 ，
1 = 1 1 1 2又 1 3 6，所以 1 3 是以6为首项，5为公比的等比数列，
1 = 1 2
1 1 2 1 1
从而 3 6 5 ，所以 = 6 5 + 3；
(3)由(2) 1 2 1可知，当 充分大时， 的极限值为3，所以甲每局获胜的概率为3，则乙每局获胜的概率为3；
① 的取值范围是 2,4,5 ，
2 2
( = 2) = 2 1 53 + 3 = 9，
2 2
( = 4) = C1 2 1 2 1 202 3 3 3 + 3 = 81，
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2
( = 5) = C1 2 1 162 3 3 = 81，
所以 的分布列为

2 4 5
5 20 16
9 81 81
2 2 2 1 1 2
②事件 =“甲赢得比赛”，则 ( ) = 3 × 1+ C
1
2 3 3 ( ) + 3 × 0，
解得 ( ) = 4 45，即甲赢得比赛的概率是5．
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