广东省湛江市第二十一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷(含解析)

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广东省湛江市第二十一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷(含解析)

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2024-2025学年第二学期期中考·高一
数学
考试时间:120分钟,满分:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足,则( )
A. B. C. D.
2.已知直线a在平面α外,则(  )
A.a//α B.直线a与平面α至少有一个公共点
C.a∩α=A D.直线a与平面α至多有一个公共点
3.是平面内不共线两向量,已知,,,若A、B、D三点共线,则的值为( )
A.3 B. C. D.2
4.知为 的三个内角 的对边,向量 .若 ,且 ,则角的大小分别为( )
A. B. C. D.
5.已知向量,满足,,且向量在向量上的投影向量为,则( )
A. B.6 C. D.3
6.如图所示,三棱柱ABC-A′B′C′中,若E,F分别为AC,AB的中点,平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF-A′C′B′的体积),V2的两部分,那么V1︰V2=(  )
A.6︰5   B.7︰5
C.8︰3   D.4︰3
7. 如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东方向,距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北方向的C处,且已知A,C之间的距离为10海里,则该货船的速度大小为( )
A. 海里/小时 B. 海里/小时
C. 海里/小时 D. 海里/小时
8.如图所示,在棱长为1的正方体中,设分别是线段、上的动点,若平面,则线段长的最小值为( )
A. 1 B. C. 2 D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是( )
A.在中,若,,则
B.若,,则
C.已知向量,,与的夹角为钝角,则实数的取值范围是
D.已知,,为的内角,,的对边,则“”的充要条件是“”
10.已知复数是的共轭复数,则下列说法正确的是( )
A.的虚部为i B.
C.在复平面内对应的点位于第二象限 D.为方程的一个根
11.如图,正方体的棱长为分别是的中点,点是底面内一动点,则下列结论正确的为( )
A.不存在点,使得//平面
B.过三点的平面截正方体所得截面面积是
C.三棱锥的体积不为定值
D.三棱锥的外接球表面积为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知的面积为,,,则 .
13.三棱锥中,平面,则该三棱锥的外接球表面积等于 .
14.正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着紧密联系,在如图所示的五角星中,以为顶点的多边形为正五边形,且,设,则 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知向量满足.
(1)若,求向量与的夹角;
(2)若.求的值.
16.(15分)如图,的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,.过点作交线段于点,且.
(1)求;
(2)求的面积.
17.(15分)已知直三棱柱(如图所示),底面是边长为2的正三角形,,为的中点.
(1)证明:平面;
(2)求三棱锥的体积.
18.(17分)已知的内角的对边为,且
(1)求;
(2)若的面积为
(ⅰ)已知为的中点,且,求底边上中线的长;
(ⅱ)求内角的角平分线长的最大值.
19.(17分)如图,在四棱锥中,四边形是正方形,,E为侧棱PD上的点,且.
(1)证明:;
(2)在侧棱PC上是否存在一点F,使得平面?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
2024-2025学年第二学期期中考·高一
数学答案
1.【答案】B
【详解】因为,
所以,
所以,
故选:B.
2.【答案】D
【解答】解:空间中直线与平面的位置关系有两种,即直线在平面外和直线在平面内,
而直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交,
可知,若直线a在平面α外,则直线a与平面α至多有一个公共点,
故选:D.
3.【答案】A
【详解】由,,得,
由,,三点共线,得,又,不共线,
则,所以.
故选:A
4.【答案】C
【详解】由可得,即,所以角,
因为,,所以可得
5.【答案】A
【详解】根据公式可知向量在向量上的投影向量为
所以,得.
故选:A
6.【答案】B
[解析] 设三棱柱的高为h,底面面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.因为E,F分别为AC,AB的中点,所以S△AEF=S,所以V1=h=Sh,V2=V-V1=Sh.所以V1︰V2=7︰5.
7.【答案】D
【详解】因,则,由题意得,
即,
在中,,,
由余弦定理得:
即,解得,
设船速为x,则,即,
所以货船的速度大小为海里小时.
8.【答案】B
【解析】过点分别作交于点,交于点,连接,
要想平面,
则四边形为平行四边形,故,
设,则,故,
由勾股定理得,
其中,
当且仅当时,等号成立,故.
9.【答案】ACD
【详解】对于A,,故A正确;
对于B,因为向量有方向,所以不能像实数一样比较大小,故B错误;
对于C,由即
解得,故C正确;
对于D,由正弦定理,可知,故D正确.
故选:ACD.
10.【答案】CD
【详解】,对应点为在第二象限,C对;
又,虚部为,A错,
,B错;
,故为方程的一个根,D对.
故选:CD
11.【答案】BD
【详解】
对于A,当为中点时,由中位线可得,
因为平面,平面,所以平面.故A错误;
对于B,由中位线可得,在正方体中,易证,所以,
又因为,所以截面为等腰梯形,,故B正确;
对于C,,为定值,故C不正确;
对于D,三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球,半径,
所以表面积,故D正确.
故选:BD.
12.【答案】2
【详解】由题设,则,
又,
所以,则,
综上,.
故答案为:2
13.【答案】
【详解】如图:

将三棱锥补成长方体,则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的.
设长方体外接球半径为,则:,
所以,所以外接球的表面积为,
故答案为:.
14.【答案】
【详解】由题意:,
则,
因为,同样,
所以,
则.
故答案为:
15.【答案】(1);(2).
【详解】(1)由,
得,...................................................2分
,................................................. 4分
因此,..........................5分
而,.................................................................6分
则,所以向量与的夹角为................................7分
由,得,.......................................9分
则,解得,...................................11分
所以...........................13分
16.【答案】(1);(2)
【详解】(1)依题意,,
由正弦定理得,..........................................2分
整理得,...................................................4分
所以为钝角,且....................................................6分
(2)由于,,,
所以,则,..........................................8分
所以,由余弦定理得,..........................................11分
即,..........................................13分
所以...........................................15分
17
【详解】(1)

连接交与O,连接,....................................2分
因为为的中点,则, .................................4分
因为平面,平面,
所以平面..................................6分
由(1)可得,平面,所以 ..................9分
.............12分
............14分
所以三棱锥的体积为 .............15分
18.【答案】(1);(2)(ⅰ);(ⅱ)
【详解】(1)由正弦定理得,即,.........................................1分
故,...................................................2分
因为,所以,...................................................3分
所以....................................................4分
(2)(ⅰ)由(1)知,因为的面积为,
所以,解得,..................................................5分
且,解得,.......................................................6分
由于,
所以
,.............................................9分
所以,即..............................................................10分
(ⅱ)因为为角的角平分线,所以,
由于,
得到,......................................12分
由于,所以,
由二倍角公式得,则,解得,............................................................... ...........14分
又,所以,
由于,当且仅当时,等号取得到,
故,故......................................17分
19【详解】(1)设交于点O,连接,..........................1分
正方形中,则,,.........................3分
又,则,................5分
又平面,因此平面,...........7分
因为平面,所以..........8分
(2)侧棱上存在一点F,满足条件,...............................9分
证明如下:如图,正方形中,,
在线段取一点G,使得,由,得,...........................11分
连接,则,而平面,平面,
则平面,.........................13分
由平面,,平面,
得平面平面,.........................15分
而平面平面,平面平面,
于是,,
所以=....................17分

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