资源简介 2024-2025学年第二学期期中考·高一数学考试时间:120分钟,满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足,则( )A. B. C. D.2.已知直线a在平面α外,则( )A.a//α B.直线a与平面α至少有一个公共点C.a∩α=A D.直线a与平面α至多有一个公共点3.是平面内不共线两向量,已知,,,若A、B、D三点共线,则的值为( )A.3 B. C. D.24.知为 的三个内角 的对边,向量 .若 ,且 ,则角的大小分别为( )A. B. C. D.5.已知向量,满足,,且向量在向量上的投影向量为,则( )A. B.6 C. D.36.如图所示,三棱柱ABC-A′B′C′中,若E,F分别为AC,AB的中点,平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF-A′C′B′的体积),V2的两部分,那么V1︰V2=( )A.6︰5 B.7︰5C.8︰3 D.4︰37. 如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东方向,距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北方向的C处,且已知A,C之间的距离为10海里,则该货船的速度大小为( )A. 海里/小时 B. 海里/小时C. 海里/小时 D. 海里/小时8.如图所示,在棱长为1的正方体中,设分别是线段、上的动点,若平面,则线段长的最小值为( )A. 1 B. C. 2 D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是( )A.在中,若,,则B.若,,则C.已知向量,,与的夹角为钝角,则实数的取值范围是D.已知,,为的内角,,的对边,则“”的充要条件是“”10.已知复数是的共轭复数,则下列说法正确的是( )A.的虚部为i B.C.在复平面内对应的点位于第二象限 D.为方程的一个根11.如图,正方体的棱长为分别是的中点,点是底面内一动点,则下列结论正确的为( )A.不存在点,使得//平面B.过三点的平面截正方体所得截面面积是C.三棱锥的体积不为定值D.三棱锥的外接球表面积为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知的面积为,,,则 .13.三棱锥中,平面,则该三棱锥的外接球表面积等于 .14.正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着紧密联系,在如图所示的五角星中,以为顶点的多边形为正五边形,且,设,则 .四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知向量满足.(1)若,求向量与的夹角;(2)若.求的值.16.(15分)如图,的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,.过点作交线段于点,且.(1)求;(2)求的面积.17.(15分)已知直三棱柱(如图所示),底面是边长为2的正三角形,,为的中点. (1)证明:平面;(2)求三棱锥的体积.18.(17分)已知的内角的对边为,且(1)求;(2)若的面积为(ⅰ)已知为的中点,且,求底边上中线的长;(ⅱ)求内角的角平分线长的最大值.19.(17分)如图,在四棱锥中,四边形是正方形,,E为侧棱PD上的点,且.(1)证明:;(2)在侧棱PC上是否存在一点F,使得平面?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.2024-2025学年第二学期期中考·高一数学答案1.【答案】B【详解】因为,所以,所以,故选:B.2.【答案】D【解答】解:空间中直线与平面的位置关系有两种,即直线在平面外和直线在平面内,而直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交,可知,若直线a在平面α外,则直线a与平面α至多有一个公共点,故选:D.3.【答案】A【详解】由,,得,由,,三点共线,得,又,不共线,则,所以.故选:A4.【答案】C【详解】由可得,即,所以角,因为,,所以可得5.【答案】A【详解】根据公式可知向量在向量上的投影向量为所以,得.故选:A6.【答案】B[解析] 设三棱柱的高为h,底面面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.因为E,F分别为AC,AB的中点,所以S△AEF=S,所以V1=h=Sh,V2=V-V1=Sh.所以V1︰V2=7︰5.7.【答案】D【详解】因,则,由题意得,即,在中,,,由余弦定理得:即,解得,设船速为x,则,即,所以货船的速度大小为海里小时.8.【答案】B【解析】过点分别作交于点,交于点,连接,要想平面,则四边形为平行四边形,故,设,则,故,由勾股定理得,其中,当且仅当时,等号成立,故.9.【答案】ACD【详解】对于A,,故A正确;对于B,因为向量有方向,所以不能像实数一样比较大小,故B错误;对于C,由即解得,故C正确;对于D,由正弦定理,可知,故D正确.故选:ACD.10.【答案】CD【详解】,对应点为在第二象限,C对;又,虚部为,A错,,B错;,故为方程的一个根,D对.故选:CD11.【答案】BD【详解】对于A,当为中点时,由中位线可得,因为平面,平面,所以平面.故A错误;对于B,由中位线可得,在正方体中,易证,所以,又因为,所以截面为等腰梯形,,故B正确;对于C,,为定值,故C不正确;对于D,三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球,半径,所以表面积,故D正确.故选:BD.12.【答案】2【详解】由题设,则,又,所以,则,综上,.故答案为:213.【答案】【详解】如图: 将三棱锥补成长方体,则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的.设长方体外接球半径为,则:,所以,所以外接球的表面积为,故答案为:.14.【答案】【详解】由题意:,则,因为,同样,所以,则.故答案为:15.【答案】(1);(2).【详解】(1)由,得,...................................................2分,................................................. 4分因此,..........................5分而,.................................................................6分则,所以向量与的夹角为................................7分由,得,.......................................9分则,解得,...................................11分所以...........................13分16.【答案】(1);(2)【详解】(1)依题意,,由正弦定理得,..........................................2分整理得,...................................................4分所以为钝角,且....................................................6分(2)由于,,,所以,则,..........................................8分所以,由余弦定理得,..........................................11分即,..........................................13分所以...........................................15分17【详解】(1) 连接交与O,连接,....................................2分因为为的中点,则, .................................4分因为平面,平面,所以平面..................................6分由(1)可得,平面,所以 ..................9分.............12分............14分所以三棱锥的体积为 .............15分18.【答案】(1);(2)(ⅰ);(ⅱ)【详解】(1)由正弦定理得,即,.........................................1分故,...................................................2分因为,所以,...................................................3分所以....................................................4分(2)(ⅰ)由(1)知,因为的面积为,所以,解得,..................................................5分且,解得,.......................................................6分由于,所以,.............................................9分所以,即..............................................................10分(ⅱ)因为为角的角平分线,所以,由于,得到,......................................12分由于,所以,由二倍角公式得,则,解得,............................................................... ...........14分又,所以,由于,当且仅当时,等号取得到,故,故......................................17分19【详解】(1)设交于点O,连接,..........................1分正方形中,则,,.........................3分又,则,................5分又平面,因此平面,...........7分因为平面,所以..........8分(2)侧棱上存在一点F,满足条件,...............................9分证明如下:如图,正方形中,,在线段取一点G,使得,由,得,...........................11分连接,则,而平面,平面,则平面,.........................13分由平面,,平面,得平面平面,.........................15分而平面平面,平面平面,于是,,所以=....................17分 展开更多...... 收起↑ 资源预览