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2024-2025学年第二学期期中考·高一
数学
考试时间：120分钟，满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知直线a在平面α外，则（　　）
A．a//α B．直线a与平面α至少有一个公共点
C．a∩α＝A D．直线a与平面α至多有一个公共点
3．是平面内不共线两向量，已知，，，若A、B、D三点共线，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．2
4.知为 的三个内角 的对边，向量 ．若 ，且 ，则角的大小分别为（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A． B．6 C． D．3
6．如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么V1︰V2＝( 　)
A．6︰5　　 B．7︰5
C．8︰3　　 D．4︰3
7. 如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东方向，距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北方向的C处，且已知A，C之间的距离为10海里，则该货船的速度大小为（ ）
A. 海里/小时 B. 海里/小时
C. 海里/小时 D. 海里/小时
8．如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为( )
A. 1 B. C. 2 D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．在中，若，，则
B．若，，则
C．已知向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是
D．已知，，为的内角，，的对边，则“”的充要条件是“”
10．已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为i B．
C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．为方程的一个根
11．如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．不存在点，使得//平面
B．过三点的平面截正方体所得截面面积是
C．三棱锥的体积不为定值
D．三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知的面积为，，，则 .
13．三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于 .
14．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知向量满足．
(1)若，求向量与的夹角；
(2)若．求的值．
16．（15分）如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．过点作交线段于点，且．
(1)求；
(2)求的面积．
17．（15分）已知直三棱柱（如图所示），底面是边长为2的正三角形，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
18．（17分）已知的内角的对边为，且
(1)求;
(2)若的面积为
(ⅰ)已知为的中点，且，求底边上中线的长;
(ⅱ)求内角的角平分线长的最大值.
19．（17分）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且.
(1)证明：；
(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
2024-2025学年第二学期期中考·高一
数学答案
1．【答案】B
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：B.
2.【答案】D
【解答】解：空间中直线与平面的位置关系有两种，即直线在平面外和直线在平面内，
而直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交，
可知，若直线a在平面α外，则直线a与平面α至多有一个公共点，
故选：D．
3.【答案】A
【详解】由，，得，
由，，三点共线，得，又，不共线，
则，所以.
故选：A
4.【答案】C
【详解】由可得，即，所以角，
因为，，所以可得
5.【答案】A
【详解】根据公式可知向量在向量上的投影向量为
所以，得.
故选：A
6.【答案】B
[解析]　设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E，F分别为AC，AB的中点，所以S△AEF＝S，所以V1＝h＝Sh，V2＝V－V1＝Sh.所以V1︰V2＝7︰5．
7.【答案】D
【详解】因，则，由题意得，
即，
在中，，，
由余弦定理得：
即，解得，
设船速为x，则，即，
所以货船的速度大小为海里小时.
8.【答案】B
【解析】过点分别作交于点，交于点，连接，
要想平面，
则四边形为平行四边形，故，
设，则，故，
由勾股定理得，
其中，
当且仅当时，等号成立，故.
9．【答案】ACD
【详解】对于A，，故A正确;
对于B，因为向量有方向，所以不能像实数一样比较大小，故B错误；
对于C，由即
解得，故C正确；
对于D，由正弦定理，可知，故D正确．
故选：ACD.
10．【答案】CD
【详解】，对应点为在第二象限，C对；
又，虚部为，A错，
，B错；
，故为方程的一个根，D对.
故选：CD
11．【答案】BD
【详解】
对于A，当为中点时，由中位线可得，
因为平面，平面，所以平面.故A错误；
对于B，由中位线可得，在正方体中，易证，所以，
又因为，所以截面为等腰梯形，，故B正确；
对于C，，为定值，故C不正确；
对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径，
所以表面积，故D正确.
故选：BD.
12．【答案】2
【详解】由题设，则，
又，
所以，则，
综上，.
故答案为：2
13．【答案】
【详解】如图：

将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的.
设长方体外接球半径为，则：，
所以，所以外接球的表面积为，
故答案为：.
14．【答案】
【详解】由题意：，
则，
因为，同样,
所以，
则．
故答案为：
15．【答案】(1)；(2).
【详解】（1）由，
得，...................................................2分
，................................................. 4分
因此，..........................5分
而，.................................................................6分
则，所以向量与的夹角为................................7分
由，得，.......................................9分
则，解得，...................................11分
所以...........................13分
16．【答案】(1);(2)
【详解】（1）依题意，，
由正弦定理得，..........................................2分
整理得，...................................................4分
所以为钝角，且....................................................6分
（2）由于，，，
所以，则，..........................................8分
所以，由余弦定理得，..........................................11分
即，..........................................13分
所以...........................................15分
17
【详解】（1）

连接交与O，连接，....................................2分
因为为的中点，则, .................................4分
因为平面，平面，
所以平面..................................6分
由（1）可得，平面，所以 ..................9分
.............12分
............14分
所以三棱锥的体积为 ．............15分
18．【答案】(1);(2)(ⅰ)；(ⅱ)
【详解】（1）由正弦定理得，即，.........................................1分
故，...................................................2分
因为，所以，...................................................3分
所以....................................................4分
（2）(ⅰ)由（1）知，因为的面积为，
所以，解得，..................................................5分
且，解得，.......................................................6分
由于，
所以
，.............................................9分
所以，即..............................................................10分
(ⅱ)因为为角的角平分线，所以，
由于，
得到，......................................12分
由于，所以，
由二倍角公式得，则，解得，............................................................... ...........14分
又，所以，
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故......................................17分
19【详解】（1）设交于点O，连接，..........................1分
正方形中，则，，.........................3分
又，则，................5分
又平面，因此平面，...........7分
因为平面，所以..........8分
（2）侧棱上存在一点F，满足条件，...............................9分
证明如下：如图，正方形中，，
在线段取一点G，使得，由，得，...........................11分
连接，则，而平面，平面，
则平面，.........................13分
由平面，，平面，
得平面平面，.........................15分
而平面平面，平面平面，
于是，，
所以＝....................17分

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