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四川省成都市温江区东辰外国语学校2024-2025学年九年级中考二诊模拟卷
1．（2024·温江模拟）在，，0，四个数中，最大的数是（　　）
A． B． C． D．0
2．（2024·温江模拟） 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式.目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次.将数据3000亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·温江模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024·温江模拟）一次空气污染指数抽查中，收集到9天的数据如下：60，70，70，56，81，91，92，91，75．该组数据的中位数是（　　）
A．70 B．81 C．91 D．75
5．（2024·温江模拟）如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·温江模拟） 一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024·温江模拟）中国古代数学名著《孙子算经》中有一个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何．译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，其余车正好坐满；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人？多少辆车？若设共有y辆车，则下列符合题意的方程是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024·温江模拟）如图，抛物线，与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：
①； ②；
③； ④对于任意实数．
其中正确的结论有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024·温江模拟）把多项式分解因式的结果是　 　．
10．（2024·温江模拟）已知点、都在反比例函数的图像上，且，则m的取值范围为　 　．
11．（2024·温江模拟）点关于x轴的对称点B的坐标是　 　．
12．（2024·温江模拟）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为　 　．
13．（2024·温江模拟）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边于点E．若，，，则的长为　 　．
14．（2024·温江模拟）（1）计算：．
（2）解不等式组：
15．（2024·温江模拟）我市各学校积极响应上级“停课不停教、修课不停学”的要求，开展了空中在线教学.其校就“网络直播课”的满意度进行了随机在线问卷调在，调在结果分为四类： A.非常满意；B.很满意；C.一般；D.不满意，将收集到的信息进行了统计，绘制成如下不完整的统计表和统计图(如图所示).请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有__ _人； ； ；
（2）补全条形统计图；
频数分布统计表
类别 频数 频率
（3）若该校共有学生人，请你根据上述调查结果，估计该校对“网络直播课”满意度为类和类的学生共有多少人；
（4）为改进教学，学校决定从选填结果是类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名同学参与网络座谈会，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率．
16．（2024·温江模拟）超速行驶被称为“马路第一杀手”．为了让驾驶员自觉遵守交通规则，公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，如图所示．已知检测点设在距离公路20m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为．已知，．
（1）求B，C之间的距离（结果保留根号）．
（2）如果此地限速为，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，）
17．（2024·温江模拟）如图，在中，，以为直径作圆O，分别交于点D，交的延长线于点E，过点D作于点H，连接交线段于点F．
（1）求证：是圆O的切线；
（2）若，求圆O的半径．
18．（2024·温江模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积；
（3）点P为反比例函数图象上一点，连接，若，求点P的坐标．
19．（2024·温江模拟）已知非零实数a，b满足，则　 　．
20．（2024·温江模拟）如图是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这个立体图形中小正方体共有　 　个；
21．（2024·温江模拟）若方程的两根是的两条直角边的长，则这个三角形的斜边的长是　 　．
22．（2024·温江模拟）如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为　 　．
23．（2024·温江模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数(为常数，且)在第一象限的图象交于点E，F，过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C，若(为大于l的常数)，记△CEF的面积为，△OEF的面积为，则=　 　 (用含的代数式表示)
24．（2024·温江模拟）某学校欲购买A，B两种型号拖把．其中A型拖把的单价比B型拖把的单价少9元，且用3120元购买A型拖把的数量与用4200元购买B型拖把的数量相等．
（1）求A、B型拖把的单价分别是多少元？
（2）若购买两种拖把共200个，且购买A型拖把的数量不超过B型拖把数量的，如何购买，才能使购买总费用最低？最低是多少元？
25．（2024·温江模拟）如图，的顶点，，直角顶点C在y轴的正半轴上，抛物线经过A、B、C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发以2个单位的速度沿AB向点B运动，动点Q从点C出发以个单位的速度沿向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，连接、，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积；
（3）如图2，过原点的直线与抛物线交于点E、F（点E在点F的左侧），点，若设直线的解析式为，直线的解析式为，试探究：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
26．（2024·温江模拟）正方形边长为3，点E是上一点，连结交于点F．
（1）如图1，若，求的值；
（2）如图1，，若，求m的值．
（3）如图2，点G为上一点，且满足，设，试探究y与x的函数关系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵
∴最大的数为，
故答案为：C.
【分析】根据有理数的大小比较，正数大于0，负数小于0，两个负数比较绝对值大的反而小，即可求解．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 3000亿=3×1011，
故答案为：D.
【分析】 科学记数法是指把一个数表示成a×10的n次幂的形式(1≤a<10，n 为整数。) 根据科学记数法的定义计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A：，计算错误；
B：，计算错误；
C：，计算正确；
D：，计算错误；
故答案为：C.
【分析】利用积的乘方，合并同类项，完全平方公式和平方差公式计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据重新排序为：56、60、70、70、75、81、91、91、92，
则其中位数为75，
故答案为：D．
【分析】
根据中位数的定义“把一组数据从小到大（从大到小）排列，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数”解题即可．
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点，
A、，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项正确，符合题意；
C、，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
D、，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．
6．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设袋中白色小球的个数为x，由题意得，
解得x=4，
经经验x=4是原方程的根，且符合题意，
∴估计袋中白球的个数是 4个.
故答案为：D.
【分析】设袋中白色小球的个数为x，根据概率公式 ，由袋中白色小球的个数比上袋中小球的总个数等于从袋子中随机摸一球是白球的概率，列出方程，求解即可.
7．【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设共有y辆车，
根据人题意，得．
故答案为：C．
【分析】设有y辆车，根据人数相等，即可得出关于y的一元一次方程，此题得解．
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解： ∵对称轴为，
∴，即，
∴；
故①错误，
由图象可知当时，，
∴，
故②正确；
∵抛物线，与轴交于点，其对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∴当时，，
故选项③正确；
∵抛物线抛物线开口向上，其对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值，
∴对于任意实数．
∴对于任意实数n，
故选项④正确，
综上所述正确的有：②③④．
故选：C．
【分析】观察图象二次函数的对称轴可得到a、b的关系式，可对①作出判断；利用x=-2时y＜0，可对②作出判断；利用二次函数的对称性，可知当x=1时y=0，可对③作出判断；利用二次函数的最值，可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式＝，
故答案为：．
【分析】先提取公因式x，再利用完全平方公式因式分解即可。
10．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：点，都在反比例函数的图象上，且，
∴
∴；
故答案为：．
【分析】利用反比例函数的性质可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
11．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于x轴的对称点B的坐标为．
故答案为：．
【分析】关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数；据此可求解.
12．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】利用全等三角形的对应边相等可得，由CF=EF-CE即可求解．
13．【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接，
由作图可知：垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
故答案为：7．
【分析】连接，利用作图可知垂直平分，可推出，利用等边对等角结合三角形的内角和定理求出，进而得到，然后利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可．
14．【答案】解：（1）原式；
（2）
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先算乘方和开方运算，同时代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，然后再进行计算即可.
（2）先求出每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集.
15．【答案】（1）300，120，0.2；
（2）补全图形如下：
（3）(人)．
答：估计该校学生中类和类共有人．
（4）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
共有种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时被抽中的结果有种．
P甲乙
答：甲、乙两位同学同时被抽中的概率为
【知识点】频数（率）分布表；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）由人，
所以接受问卷调查的学生共有人．
人．
故答案为：．
【分析】（1）由C组人数与所占的百分比求总人数，再求出m、n的值.
（2）根据的数值补全图形即可；
（3）用该校的总人数ד网络直播课”满意度为类和类的学生所占的百分比，列式计算即可.
（4）此事件是抽取不放回，先列表法再求出所以等可能的结果数及甲、乙两位同学同时被抽中的情况数，然后利用概率公式进行计算即可.
16．【答案】（1）解：过点A作作于点D，
∴∠ADB=90°，
∵检测点设在距离公路20m的A处，
∴
在中，
在中，
，
答：B，C之间的距离为
（2）解：这辆汽车超速，理由如下：
这辆汽车超速
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1） 过点A作作于点D，利用已知条件可得到AD的长，同时可证得BD=AD，可得到BD的长；在Rt△ACD中，利用解直角三角形求出CD的长，然后求出BC的长即可.
（2）利用已知求出汽车的速度，然后比较大小即可作出判断.
（1）作，则
在中，
在中，
，
答：B，C之间的距离为．
（2）这辆汽车超速，理由如下：
这辆汽车超速．
17．【答案】（1）证明：连接，
∵以为直径作圆O，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是圆O的切线
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设的半径为，则：，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
解得：或（舍去）；
故的半径为
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，利用圆周角定理可证得∠ADC=90°，利用等腰三角形的性质可证得BD=CD，可推出OD是△ABC的中位线，可推出OD∥AC，结合已知条件可推出OD⊥DH，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）利用已知可证得DF=OD，利用等腰三角形的性质可推出∠E=∠B=∠C，利用等角对等边可证得DE=CD=BD，即可推出BF=BD；设圆O的半径为r，分别表示出AB、BF、AF；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证△AEF∽△DBF，利用相似三角形的对应边成比例可求出r的值.
（1）证明：连接，
∵以为直径作圆O，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是圆O的切线；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设的半径为，则：，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
解得：或（舍去）；
故的半径为．
18．【答案】（1）解：将代入，得，
把点代入一次函数得：，
，
（2）解：设点M坐标为，则点N坐标为，
过点B作于点H，
，
，
由（1）可知，
，
解得：，（舍），
（3）解：取中点C，过点C作交x轴于点D
连接，则与反比例函数图象交点即为点P
过点B作轴于点H
，
∵，，且点C为的中点
∴，，
直线的函数表达式为
联立，解得或（舍）
点P坐标为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用点A的坐标先求出一次函数的解析式，由此可得点B坐标，然后将点B的坐标代入反比例函数解析式求出k的值，即可求解.
（2）设点M坐标为，可表示出点N的坐标，过点B作于点H，可知MH=NH，由此可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，然后求出△BMN的面积.
（3）取中点C，过点C作交x轴于点D，连接，则与反比例函数图象交点即为点P，易证DA=DB；过点B作轴于点H，利用点的坐标求出AB、AH、AC的长；利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质可求出AD的长，可得到点D的坐标，由此可求出直线BD的函数解析式，然后求出点P的坐标.
19．【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：．
【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将除法转化为乘法运算，约分化简；再根据已知条件式得到，据此代值计算即可．
20．【答案】9
【知识点】由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】综合主视图，俯视图，左视图，底层有2+2+1=5个正方体，第二层有2个正方体，第三层有2个正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是5+2+2=9个．
故答案为：9．
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图和左视图可得第二、三层正方体的个数，相加即可．
21．【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理
【解析】【解答】设两直角边为a，b，
∵方程2x2 6x+3=0的两根恰好是直角三角形的两条直角边的长，
∴a+b=3，ab=1，
∴斜边长====.
故答案为：.
【分析】设两直角边为a，b，利用一元二次方程根与系数的关系解可得到a+b和ab的值，然后勾股定理即可解出斜边的长．
22．【答案】
【知识点】菱形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：在边长为4的菱形中，，
∴，，，
将沿射线的方向平移得到，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴的最小值的最小值，
∵点在过点且平行于的定直线上，
∴作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，
则的长度即为的最小值，令交于，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】利用菱形的性质得到，，可求出∠BAC的度数，由平移的性质得到，，可推出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得，于是得到的最小值为的最小值，根据平移的性质得到点D'在过点D且平行于AC的定直线上，作点C关于定直线的对称点E，连接交定直线于D'，则的长度即为的最小值，求得，得到，据此可求出的最小值.
23．【答案】
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：过点F作FD⊥BO于点D，EW⊥AO于点W，
∵，∴，
设E点坐标为：（x，my），则F点坐标为：（mx，y），
∴△CEF的面积为：S1=（mx-x）（my-y）=（m-1）2xy，
∵△OEF的面积为：S2=S矩形CNOM-S1-S△MEO-S△FON，
=MC CN-（m-1）2xy-ME MO-FN NO，
=mx my-（m-1）2xy-x my-y mx，
=m2xy-（m-1）2xy-mxy，
=（m2-1）xy，
=（m+1）（m-1）xy，
∴ =．
故答案为：.
【分析】过点F作FD⊥BO于点D，EW⊥AO于点W，利用已知可得到，设E点坐标为：（x，my），则F点坐标为：（mx，y），分别表示出S1，S2，然后求出的值.
24．【答案】（1）解：设B型拖把每个x元，则A型拖把每个元，根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴．
答：A型拖把每个价格为26元，B型拖把每个价格为35元
（2）设购买a个A型拖把，则购买个B型拖把，总费用w元，由得
根据题意得：，
∵，
∴当时，，
∴．
答：购买50个A型拖把、150个B型拖把时总费用最低，最低是6550元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B型拖把每个x元，则A型拖把每个元，利用用3120元购买A型拖把的数量与用4200元购买B型拖把的数量相等，建立方程即可；
（2）设购买a个A型拖把，则购买个B型拖把，总费用w元，再利用总费用等于购进两种拖把的费用之和建立函数关系式，再利用函数的性质可得答案．
（1）解：设B型拖把每个x元，则A型拖把每个元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴．
答：A型拖把每个价格为26元，B型拖把每个价格为35元．
（2）设购买a个A型拖把，则购买个B型拖把，总费用w元，
由得
根据题意得：，
∵，
∴当时，，
∴．
答：购买50个A型拖把、150个B型拖把时总费用最低，最低是6550元．
25．【答案】（1）解：如图，连接，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
点C在y轴的正半轴上，
，即，
抛物线经过A、B、C三点
设抛物线的解析式，
将代入，解得，
，即
（2）解：如图
、，
，
设运动时间为，
由题意可知，，，
，，
如图，过点Q作轴于点G，
，
，
，
，
，
点P从点A运动到点B需要，点Q从点C运动到点B需要，
，
当时，面积最大，此时，
（3）解：设过原点的直线的解析式为，点E、F坐标为，，
联立化简得：，
，，
点代入直线，解得：，
点代入直线，解得：，
将，代入，解得：，
将，，代入，解得：，
即为定值，定值为3
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；相似三角形的判定-AA；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）连接AC，易证∠ACO=∠BCO，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△AOC∽△COB，利用相似三角形的性质可求出OC2的值，即可得到OC的长和点C的坐标；然后利用点A、B、C的坐标可求出抛物线的解析式.
（2） 过点Q作轴于点G，利用点B、C的坐标可求出BC的长，设运动时间为，可表示出AP，CQ、BP、BQ的长；再证明，利用相似三角形的性质可表示出QG的长，然后可得到△CPQ的面积与t的函数解析式，结合t的取值范围，可得到面积最大值及t的值.
（3）设过原点的直线的解析式为，点E、F坐标为，，联立直线和抛物线解析式，得到，根据二元一次方程根和系数的关系，得到，，再跟别将点E和点F代入直线和直线中，求得、，再进行代入求值，可求出m+n的值.
（1）解：如图，连接，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
点C在y轴的正半轴上，
，即，
抛物线经过A、B、C三点
设抛物线的解析式，
将代入，解得，
，即；
（2）解：、，
，
设运动时间为，
由题意可知，，，
，，
如图，过点Q作轴于点G，
，
，
，
，
，
点P从点A运动到点B需要，点Q从点C运动到点B需要，
，
当时，面积最大，此时，；
（3）解：设过原点的直线的解析式为，点E、F坐标为，，
联立化简得：，
，，
点代入直线，解得：，
点代入直线，解得：，
将，代入，解得：，
将，，代入，解得：，
即为定值，定值为3．
26．【答案】（1）解：由题意得：
∴
∴
即：
解得：
（2）解：∵，∴
∴
由（1）可得：
∴
∴
∵，
∴
解得：
（3）解：由（1）得：即：
解得：
∵，
∴
∴
即：
∴
整理得：
∵
∴，
又
∴
故：
【知识点】正方形的性质；正方形中的十字架模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定证，利用相似三角形的对应边成比例可证得，结合求出CF的长.
（2）由可得，进一步可推出，利用已知三角形的面积可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
（3）由（1）可表示出CF的长，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质，可得到y关于x的关系式.
1 / 1四川省成都市温江区东辰外国语学校2024-2025学年九年级中考二诊模拟卷
1．（2024·温江模拟）在，，0，四个数中，最大的数是（　　）
A． B． C． D．0
【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵
∴最大的数为，
故答案为：C.
【分析】根据有理数的大小比较，正数大于0，负数小于0，两个负数比较绝对值大的反而小，即可求解．
2．（2024·温江模拟） 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式.目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次.将数据3000亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 3000亿=3×1011，
故答案为：D.
【分析】 科学记数法是指把一个数表示成a×10的n次幂的形式(1≤a<10，n 为整数。) 根据科学记数法的定义计算求解即可。
3．（2024·温江模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A：，计算错误；
B：，计算错误；
C：，计算正确；
D：，计算错误；
故答案为：C.
【分析】利用积的乘方，合并同类项，完全平方公式和平方差公式计算求解即可。
4．（2024·温江模拟）一次空气污染指数抽查中，收集到9天的数据如下：60，70，70，56，81，91，92，91，75．该组数据的中位数是（　　）
A．70 B．81 C．91 D．75
【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据重新排序为：56、60、70、70、75、81、91、91、92，
则其中位数为75，
故答案为：D．
【分析】
根据中位数的定义“把一组数据从小到大（从大到小）排列，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数”解题即可．
5．（2024·温江模拟）如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点，
A、，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项正确，符合题意；
C、，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
D、，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．
6．（2024·温江模拟） 一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设袋中白色小球的个数为x，由题意得，
解得x=4，
经经验x=4是原方程的根，且符合题意，
∴估计袋中白球的个数是 4个.
故答案为：D.
【分析】设袋中白色小球的个数为x，根据概率公式 ，由袋中白色小球的个数比上袋中小球的总个数等于从袋子中随机摸一球是白球的概率，列出方程，求解即可.
7．（2024·温江模拟）中国古代数学名著《孙子算经》中有一个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何．译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，其余车正好坐满；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人？多少辆车？若设共有y辆车，则下列符合题意的方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设共有y辆车，
根据人题意，得．
故答案为：C．
【分析】设有y辆车，根据人数相等，即可得出关于y的一元一次方程，此题得解．
8．（2024·温江模拟）如图，抛物线，与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：
①； ②；
③； ④对于任意实数．
其中正确的结论有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解： ∵对称轴为，
∴，即，
∴；
故①错误，
由图象可知当时，，
∴，
故②正确；
∵抛物线，与轴交于点，其对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∴当时，，
故选项③正确；
∵抛物线抛物线开口向上，其对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值，
∴对于任意实数．
∴对于任意实数n，
故选项④正确，
综上所述正确的有：②③④．
故选：C．
【分析】观察图象二次函数的对称轴可得到a、b的关系式，可对①作出判断；利用x=-2时y＜0，可对②作出判断；利用二次函数的对称性，可知当x=1时y=0，可对③作出判断；利用二次函数的最值，可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
9．（2024·温江模拟）把多项式分解因式的结果是　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式＝，
故答案为：．
【分析】先提取公因式x，再利用完全平方公式因式分解即可。
10．（2024·温江模拟）已知点、都在反比例函数的图像上，且，则m的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：点，都在反比例函数的图象上，且，
∴
∴；
故答案为：．
【分析】利用反比例函数的性质可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
11．（2024·温江模拟）点关于x轴的对称点B的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于x轴的对称点B的坐标为．
故答案为：．
【分析】关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数；据此可求解.
12．（2024·温江模拟）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为　 　．
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】利用全等三角形的对应边相等可得，由CF=EF-CE即可求解．
13．（2024·温江模拟）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边于点E．若，，，则的长为　 　．
【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接，
由作图可知：垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
故答案为：7．
【分析】连接，利用作图可知垂直平分，可推出，利用等边对等角结合三角形的内角和定理求出，进而得到，然后利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可．
14．（2024·温江模拟）（1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】解：（1）原式；
（2）
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先算乘方和开方运算，同时代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，然后再进行计算即可.
（2）先求出每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集.
15．（2024·温江模拟）我市各学校积极响应上级“停课不停教、修课不停学”的要求，开展了空中在线教学.其校就“网络直播课”的满意度进行了随机在线问卷调在，调在结果分为四类： A.非常满意；B.很满意；C.一般；D.不满意，将收集到的信息进行了统计，绘制成如下不完整的统计表和统计图(如图所示).请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有__ _人； ； ；
（2）补全条形统计图；
频数分布统计表
类别 频数 频率
（3）若该校共有学生人，请你根据上述调查结果，估计该校对“网络直播课”满意度为类和类的学生共有多少人；
（4）为改进教学，学校决定从选填结果是类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名同学参与网络座谈会，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率．
【答案】（1）300，120，0.2；
（2）补全图形如下：
（3）(人)．
答：估计该校学生中类和类共有人．
（4）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
共有种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时被抽中的结果有种．
P甲乙
答：甲、乙两位同学同时被抽中的概率为
【知识点】频数（率）分布表；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）由人，
所以接受问卷调查的学生共有人．
人．
故答案为：．
【分析】（1）由C组人数与所占的百分比求总人数，再求出m、n的值.
（2）根据的数值补全图形即可；
（3）用该校的总人数ד网络直播课”满意度为类和类的学生所占的百分比，列式计算即可.
（4）此事件是抽取不放回，先列表法再求出所以等可能的结果数及甲、乙两位同学同时被抽中的情况数，然后利用概率公式进行计算即可.
16．（2024·温江模拟）超速行驶被称为“马路第一杀手”．为了让驾驶员自觉遵守交通规则，公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，如图所示．已知检测点设在距离公路20m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为．已知，．
（1）求B，C之间的距离（结果保留根号）．
（2）如果此地限速为，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，）
【答案】（1）解：过点A作作于点D，
∴∠ADB=90°，
∵检测点设在距离公路20m的A处，
∴
在中，
在中，
，
答：B，C之间的距离为
（2）解：这辆汽车超速，理由如下：
这辆汽车超速
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1） 过点A作作于点D，利用已知条件可得到AD的长，同时可证得BD=AD，可得到BD的长；在Rt△ACD中，利用解直角三角形求出CD的长，然后求出BC的长即可.
（2）利用已知求出汽车的速度，然后比较大小即可作出判断.
（1）作，则
在中，
在中，
，
答：B，C之间的距离为．
（2）这辆汽车超速，理由如下：
这辆汽车超速．
17．（2024·温江模拟）如图，在中，，以为直径作圆O，分别交于点D，交的延长线于点E，过点D作于点H，连接交线段于点F．
（1）求证：是圆O的切线；
（2）若，求圆O的半径．
【答案】（1）证明：连接，
∵以为直径作圆O，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是圆O的切线
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设的半径为，则：，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
解得：或（舍去）；
故的半径为
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，利用圆周角定理可证得∠ADC=90°，利用等腰三角形的性质可证得BD=CD，可推出OD是△ABC的中位线，可推出OD∥AC，结合已知条件可推出OD⊥DH，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）利用已知可证得DF=OD，利用等腰三角形的性质可推出∠E=∠B=∠C，利用等角对等边可证得DE=CD=BD，即可推出BF=BD；设圆O的半径为r，分别表示出AB、BF、AF；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证△AEF∽△DBF，利用相似三角形的对应边成比例可求出r的值.
（1）证明：连接，
∵以为直径作圆O，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是圆O的切线；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设的半径为，则：，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
解得：或（舍去）；
故的半径为．
18．（2024·温江模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积；
（3）点P为反比例函数图象上一点，连接，若，求点P的坐标．
【答案】（1）解：将代入，得，
把点代入一次函数得：，
，
（2）解：设点M坐标为，则点N坐标为，
过点B作于点H，
，
，
由（1）可知，
，
解得：，（舍），
（3）解：取中点C，过点C作交x轴于点D
连接，则与反比例函数图象交点即为点P
过点B作轴于点H
，
∵，，且点C为的中点
∴，，
直线的函数表达式为
联立，解得或（舍）
点P坐标为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用点A的坐标先求出一次函数的解析式，由此可得点B坐标，然后将点B的坐标代入反比例函数解析式求出k的值，即可求解.
（2）设点M坐标为，可表示出点N的坐标，过点B作于点H，可知MH=NH，由此可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，然后求出△BMN的面积.
（3）取中点C，过点C作交x轴于点D，连接，则与反比例函数图象交点即为点P，易证DA=DB；过点B作轴于点H，利用点的坐标求出AB、AH、AC的长；利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质可求出AD的长，可得到点D的坐标，由此可求出直线BD的函数解析式，然后求出点P的坐标.
19．（2024·温江模拟）已知非零实数a，b满足，则　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：．
【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将除法转化为乘法运算，约分化简；再根据已知条件式得到，据此代值计算即可．
20．（2024·温江模拟）如图是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这个立体图形中小正方体共有　 　个；
【答案】9
【知识点】由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】综合主视图，俯视图，左视图，底层有2+2+1=5个正方体，第二层有2个正方体，第三层有2个正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是5+2+2=9个．
故答案为：9．
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图和左视图可得第二、三层正方体的个数，相加即可．
21．（2024·温江模拟）若方程的两根是的两条直角边的长，则这个三角形的斜边的长是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理
【解析】【解答】设两直角边为a，b，
∵方程2x2 6x+3=0的两根恰好是直角三角形的两条直角边的长，
∴a+b=3，ab=1，
∴斜边长====.
故答案为：.
【分析】设两直角边为a，b，利用一元二次方程根与系数的关系解可得到a+b和ab的值，然后勾股定理即可解出斜边的长．
22．（2024·温江模拟）如图，在边长为4的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：在边长为4的菱形中，，
∴，，，
将沿射线的方向平移得到，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴的最小值的最小值，
∵点在过点且平行于的定直线上，
∴作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，
则的长度即为的最小值，令交于，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】利用菱形的性质得到，，可求出∠BAC的度数，由平移的性质得到，，可推出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得，于是得到的最小值为的最小值，根据平移的性质得到点D'在过点D且平行于AC的定直线上，作点C关于定直线的对称点E，连接交定直线于D'，则的长度即为的最小值，求得，得到，据此可求出的最小值.
23．（2024·温江模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数(为常数，且)在第一象限的图象交于点E，F，过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C，若(为大于l的常数)，记△CEF的面积为，△OEF的面积为，则=　 　 (用含的代数式表示)
【答案】
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：过点F作FD⊥BO于点D，EW⊥AO于点W，
∵，∴，
设E点坐标为：（x，my），则F点坐标为：（mx，y），
∴△CEF的面积为：S1=（mx-x）（my-y）=（m-1）2xy，
∵△OEF的面积为：S2=S矩形CNOM-S1-S△MEO-S△FON，
=MC CN-（m-1）2xy-ME MO-FN NO，
=mx my-（m-1）2xy-x my-y mx，
=m2xy-（m-1）2xy-mxy，
=（m2-1）xy，
=（m+1）（m-1）xy，
∴ =．
故答案为：.
【分析】过点F作FD⊥BO于点D，EW⊥AO于点W，利用已知可得到，设E点坐标为：（x，my），则F点坐标为：（mx，y），分别表示出S1，S2，然后求出的值.
24．（2024·温江模拟）某学校欲购买A，B两种型号拖把．其中A型拖把的单价比B型拖把的单价少9元，且用3120元购买A型拖把的数量与用4200元购买B型拖把的数量相等．
（1）求A、B型拖把的单价分别是多少元？
（2）若购买两种拖把共200个，且购买A型拖把的数量不超过B型拖把数量的，如何购买，才能使购买总费用最低？最低是多少元？
【答案】（1）解：设B型拖把每个x元，则A型拖把每个元，根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴．
答：A型拖把每个价格为26元，B型拖把每个价格为35元
（2）设购买a个A型拖把，则购买个B型拖把，总费用w元，由得
根据题意得：，
∵，
∴当时，，
∴．
答：购买50个A型拖把、150个B型拖把时总费用最低，最低是6550元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B型拖把每个x元，则A型拖把每个元，利用用3120元购买A型拖把的数量与用4200元购买B型拖把的数量相等，建立方程即可；
（2）设购买a个A型拖把，则购买个B型拖把，总费用w元，再利用总费用等于购进两种拖把的费用之和建立函数关系式，再利用函数的性质可得答案．
（1）解：设B型拖把每个x元，则A型拖把每个元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴．
答：A型拖把每个价格为26元，B型拖把每个价格为35元．
（2）设购买a个A型拖把，则购买个B型拖把，总费用w元，
由得
根据题意得：，
∵，
∴当时，，
∴．
答：购买50个A型拖把、150个B型拖把时总费用最低，最低是6550元．
25．（2024·温江模拟）如图，的顶点，，直角顶点C在y轴的正半轴上，抛物线经过A、B、C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发以2个单位的速度沿AB向点B运动，动点Q从点C出发以个单位的速度沿向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，连接、，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积；
（3）如图2，过原点的直线与抛物线交于点E、F（点E在点F的左侧），点，若设直线的解析式为，直线的解析式为，试探究：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：如图，连接，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
点C在y轴的正半轴上，
，即，
抛物线经过A、B、C三点
设抛物线的解析式，
将代入，解得，
，即
（2）解：如图
、，
，
设运动时间为，
由题意可知，，，
，，
如图，过点Q作轴于点G，
，
，
，
，
，
点P从点A运动到点B需要，点Q从点C运动到点B需要，
，
当时，面积最大，此时，
（3）解：设过原点的直线的解析式为，点E、F坐标为，，
联立化简得：，
，，
点代入直线，解得：，
点代入直线，解得：，
将，代入，解得：，
将，，代入，解得：，
即为定值，定值为3
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；相似三角形的判定-AA；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）连接AC，易证∠ACO=∠BCO，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△AOC∽△COB，利用相似三角形的性质可求出OC2的值，即可得到OC的长和点C的坐标；然后利用点A、B、C的坐标可求出抛物线的解析式.
（2） 过点Q作轴于点G，利用点B、C的坐标可求出BC的长，设运动时间为，可表示出AP，CQ、BP、BQ的长；再证明，利用相似三角形的性质可表示出QG的长，然后可得到△CPQ的面积与t的函数解析式，结合t的取值范围，可得到面积最大值及t的值.
（3）设过原点的直线的解析式为，点E、F坐标为，，联立直线和抛物线解析式，得到，根据二元一次方程根和系数的关系，得到，，再跟别将点E和点F代入直线和直线中，求得、，再进行代入求值，可求出m+n的值.
（1）解：如图，连接，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
点C在y轴的正半轴上，
，即，
抛物线经过A、B、C三点
设抛物线的解析式，
将代入，解得，
，即；
（2）解：、，
，
设运动时间为，
由题意可知，，，
，，
如图，过点Q作轴于点G，
，
，
，
，
，
点P从点A运动到点B需要，点Q从点C运动到点B需要，
，
当时，面积最大，此时，；
（3）解：设过原点的直线的解析式为，点E、F坐标为，，
联立化简得：，
，，
点代入直线，解得：，
点代入直线，解得：，
将，代入，解得：，
将，，代入，解得：，
即为定值，定值为3．
26．（2024·温江模拟）正方形边长为3，点E是上一点，连结交于点F．
（1）如图1，若，求的值；
（2）如图1，，若，求m的值．
（3）如图2，点G为上一点，且满足，设，试探究y与x的函数关系．
【答案】（1）解：由题意得：
∴
∴
即：
解得：
（2）解：∵，∴
∴
由（1）可得：
∴
∴
∵，
∴
解得：
（3）解：由（1）得：即：
解得：
∵，
∴
∴
即：
∴
整理得：
∵
∴，
又
∴
故：
【知识点】正方形的性质；正方形中的十字架模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定证，利用相似三角形的对应边成比例可证得，结合求出CF的长.
（2）由可得，进一步可推出，利用已知三角形的面积可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
（3）由（1）可表示出CF的长，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质，可得到y关于x的关系式.
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