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浙江省宁波市余姚市子陵中学教育集团2024-2025学年九年级下学期数学3月月考试卷
1．（2025九下·余姚月考）tan60°的值等于
A．1 B．
C． D．2
【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】根据tan60°=
即可得出答案．
故选C.
2．（2025九下·余姚月考）二次函数的最小值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y=x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-4，
∵a=1＞0，
∴y有最小值，且y最小=-4.
故答案为：C.
【分析】由题意，先将二次函数的解析式配成顶点式，根据二次函数的性质“当a＞0时，抛物线的开口向上，函数y有最小值”即可求解.
3．（2025九下·余姚月考）下列说法正确的是（　　）
A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨
B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上
C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式
D．一组数据的众数一定只有一个
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；概率的意义；众数
【解析】【解答】解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项不符合题意；
B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是 ，故本选项不符合题意；
C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项符合题意；
D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．
4．（2025九下·余姚月考）在平面直角坐标系 中，⊙O的半径为2，点A（1， ）与⊙O的位置关系是（　　）
A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（1， ），
∴由勾股定理可得：OA= ，
又∵⊙O的半径为2，
∴点A在⊙O上．
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出OA的长，再判断点和圆的位置关系即可。
5．（2025九下·余姚月考）下列各组中的四条线段成比例的是(　　)
A．a=2，b=3，c=4，d=1 B．a=2， b=， c=，d=
C．a=4，b=6，c=5，d=10 D．a=，b=3，c=2，d=
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而2×=×2，所以四条线段成比例，故本选项符合题意；
C、4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
D、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而×3≠2×，所以四条线段不成比例，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】四条线段满足最小的和最大的相乘等于另外两条相乘时，这四条线段成比例，据此逐一判断得出答案.
6．（2025九下·余姚月考）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；
C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；
D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
故答案为：B.
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图.
7．（2025九下·余姚月考）如图，是的直径，是的切线，若，则的大小为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∵∠BAC=35°，
∴∠ACB=90°-35°=55°.
故答案为：C.
【分析】根据圆的切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得∠ABC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余可求解.
8．（2025九下·余姚月考）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：∵，，
∴俯视图的长为 ，宽为，
∴．
故答案为：C.
【分析】先分别利用提取公因式法将表示主视图及左视图的面积多项式分解因式，结合长方形面积计算公式及“主视图反应的长方体的长与高，左视图反应的是长方体的宽与高，俯视图反应的是长方体得长与宽”得出俯视图的长与宽，进而再根据长方形面积计算公式列式计算即可.
9．（2025九下·余姚月考）已知抛物线，将该抛物线平移，若平移后的图像与轴交于，两点，下列说法正确的是(　　)
A．若向左平移，则 B．若向右平移，则
C．若向上平移，则 D．若向下平移，则
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A、∵抛物线y=-(x-a)(x-b)与x轴的交点坐标为（a，0），（b，0），
∴两交点的距离为b-a，对称轴为直线x=，
∵平移后的图象与x轴交于点（m，0），（n，0）两点，
∴平移后的抛物线与x轴的两交点的距离为n-m，对称轴为x=，
∴b-a=n-m，
∴此选项不符合题意；
B、由A可知，此选项不符合题意；
C、∵抛物线上下平移时，抛物线的对称轴不变，
∴=，
即a+b=n+m，
∴此选项不符合题意；
D、由C可知，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线与x轴相交，令y=0可得关于x的一元二次方程，解之可得抛物线与x轴的两个交点坐标，根据两交点间的距离公式可得两交点的距离，根据对称轴x=q求得抛物线的对称轴，同理可得平移后的抛物线与x轴的两个交点两个交点的距离和对称轴，然后根据抛物线上下平移时，抛物线的对称轴不变依次对各选项判断即可求解.
10．（2025九下·余姚月考）如图，在中，点在上，点在上，是的中点，是的中点，，，且与所夹得锐角为60°，则的面积为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段的中点；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接EF、CF，如图，
∵F是BD的中点，G是CE的中点，
∴S△AFG=S△AFC-S△AGC-S△CFG
=S△ABC-S△AEC-S△CFE
=（S△ABC-S△AEC-S△CFE）
=S凹四边形BCFE
=S四边形BCDE，
∵S四边形BCDE=×BD×CEsin60°=×6×5×=，
∴S△AFG=×=.
故答案为：D.
【分析】连接EF、CF，由图形的构成和线段中点的性质可得S△AFG=S△AFC-S△AGC-S△CFG=（S△ABC-S△AEC-S△CFE）=S四边形BCDE，求出四边形BCDE的面积即可求解.
11．（2025九下·余姚月考）二次函数的图像开口方向是　 　填“向上”或“向下”．
【答案】向上
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意得，a=1＞0，
∴抛物线的开口向上.
故答案为：向上.
【分析】根据二次函数的图象与系数之间的关系“当a＞0时，抛物线的开口向上”可求解.
12．（2025九下·余姚月考）某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道．若琪琪第一个抽签，她从号中随机抽取一签，则抽到8号赛道的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意知 ，抽到8号赛道的概率是，
故答案为：．
【分析】琪琪从1~8号签中随机抽取一签，共有8种等可能的结果数，其中抽到8号签的可能性只有1种，从而根据概率公式计算可得答案.
13．（2025九下·余姚月考）如图，已知四边形是圆的内接四边形，，则　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=80°，
∴∠BAD=∠BOD=40°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠BCD=180°-40°=140°.
故答案为：140°.
【分析】根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半”可求得∠BAD的度数，然后由圆内接四边形的对角互补可求解.
14．（2025九下·余姚月考）如果两个相似三角形的面积之比是，其中小三角形一个内角的角平分线的长为，那么大三角形对应角的角平分线的长为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设大三角形对应角的角平分线的长为xcm，
∵ 两个相似三角形的面积之比是，其中小三角形一个内角的角平分线的长为 3cm，
∴9：16=3：x，
解得：x=4.
故答案为：4.
【分析】设大三角形对应角的角平分线的长为xcm，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得关于x的方程，解方程即可求解.
15．（2025九下·余姚月考）已知抛物线是常数且，经过点，点，在抛物线上，且，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，把点A的坐标代入二次函数的解析式得：
9a-6a+c=0，
∴c=-3a，
∵c＞0，
∴a＜0，
∴抛物线的开口向下，对称轴为x==1，点M（t+2，y）和N（t+3，y）在抛物线上，
且y1＞y2，
∴y1-y2=a(t+2)2-2a(t+2)+c-[a(t+3)2-2a(t+3)+c]=a(-2t-3)＞0，
∵a＜0，
∴-2t-3＜0，
解得：t＞.
故答案为：t＞.
【分析】由题意，把点A的坐标代入二次函数的解析式可将c用含a的代数式表示出来，于是可判断a的符号，由对称轴x=k可求出抛物线的对称轴，结合y1＞y2和M、N的坐标可得关于t的不等式，解不等式即可求解.
16．（2025九下·余姚月考）如图，在中，，点在边上，且满足，连结作的平分线分别交于点，点若，则　 　，　 　．
【答案】2；
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长DC至点G，使CG=CD，连接AG，延长BE交AG于点H，如图，
∵BF是∠BAC的平分线，
∴，
∵AF=2DF，
∴=2；
设BD=a，则AB=2a，
∵CG=CD，AC⊥BC，
∴AC为DG的垂直平分线，
∴AD=AG，
∴∠DAC=∠GAC，
∵∠ABC=2∠CAD，
∵∠CBE+∠CEB=90°，∠CEB=∠HEA，
∴∠HEA+∠GAC=90°，
∴∠AHB=∠GHB=90°，
在△GHB和△AHB中
∴△GHB≌△AHB（ASA），
∴BG=AB=2a，
∴GD=GB-DB=a，
∴CD=CG=GD=a，
∴BC=BD+CD=a，
∵BF是∠BAC的平分线，
∴.
故答案为：2；.
【分析】延长DC至点G，使CG=CD，连接AG，延长BE交AG于点H，根据角平分线的性质可得比例式，结合题意可求解；设BD=a，则AB=2a，由题意易得AC为DG的垂直平分线，结合已知用角边角可证△GHB≌△AHB，由全等三角形的对应边相等可得BG=AB，由线段的和差将BC用含a的代数式表示出来，然后由角平分线的性质得比例式可求解.
17．（2025九下·余姚月考）计算：
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由特殊角的三角函数值可得sin30°=，由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-2=4，然后根据有理数的混合运算法则计算即可求解.
18．（2025九下·余姚月考）解方程组：
【答案】解：
得，
解得，
把代入得，
解得
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】观察方程组可知，未知数y的系数成倍数关系，于是由②+①×3可得关于x的方程，解方程求出x的值，把x的值代入方程①可得关于y的方程，解方程求出y的值，最后写出结论即可求解.
19．（2025九下·余姚月考）某市教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图．
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）教育局抽取的初中生有　 　人，扇形统计图中的值是　 　．
（2）已知平均每天完成作业时长在“”分的名初中生中有名男生和名女生，若从这名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是　 　．
（3）若该市共有初中生名，则平均每天完成作业时长在“”分的初中生约有多少人？
【答案】（1）300；30
（2）
（3）解：∵样本中平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生占比，
该市共有初中生名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）∵A组的频数为45，百分比为15%，
∴教育局抽取的初中生有：45÷15%=300
m%=1-45%-7%-3%-15%=30%，
∴m=30；
故答案为：300；30.
（2）∵所有可能抽到的结果数为9，抽到男生的结果数为5，且每一名学生被抽到的可能性相同，
∴P（抽到男生）=，
故答案为：；
【分析】（1）根据教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查即可得出答案；
（2）根据概率公式求解；
（3）根据样本中70≤t＜80的人数占抽样人数的30%估计全市人数即可．
20．（2025九下·余姚月考）如图，在某信号塔的正前方有一斜坡，坡角，斜坡的顶端与塔底的距离米，小明在斜坡上的点处测得塔顶的仰角米，且点在同一平面内．
（1）填空：　 　度，　 　度；
（2）求信号塔的高度结果保留根号．
【答案】（1）150；30
（2）解：如图，延长交于点，则，过点作，垂足为．
则，
在中，
，
在中，
，
答：信号塔的高度为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：（1）∵BC∥DK，
∴∠CDK+∠BCD=180°，
∵∠CDK=30°，
∴∠BCD=180°-30°=150°，
∵NE∥KD，
∴∠CDK=∠CEN=30°，
∵∠AEN=60°，
∴∠AEC=∠AEN-∠CEN=60°-30°=30°.
故答案为：150；30.
【分析】（1）由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可求得∠BCD的度数；由“两直线平行，同位角相等”可得∠CEN的度数，然后由角的和差可求解；
（2）在Rt△CGE中，用勾股定理求得EG的值，由线段的和差EF=EG+GF=EG+BC求得EF的值；在Rt△AEF中，根据锐角三角函数tan∠AEF=求得AF的值，然后根据线段的和差AB=AF-BF=AF-CG可求解.
21．（2025九下·余姚月考）已知：如图，在中，是边上一点．
求作：在边上作一点，使得．
以下是小成和小亦两位同学的作法：
小成：如图，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，作直线交于点．
小亦：如图，先作的平分线，然后．
（1）请判断小成作法是否正确，并给出理由．
（2）补全小亦的尺规作图过程保留作图痕迹，并证明．
【答案】（1）解：小成作法正确．
理由：由作图可知，，
四边形是平行四边形，
．
（2）解：如下图，直线即为所求．
理由：由作图可知平分，，
，，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据作法并结合平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形BCDF是平行四边形，再根据平行四边形的对边平行可求解；
（2）由作图可得∠DNC=∠BCM，然后根据“内错角相等，两直线平行”可求解.
22．（2025九下·余姚月考）如图，在平行四边形中，，，，以为直径作．
（1）求圆心到的距离用含的代数式表示；
（2）当取何值时，与相切？
【答案】（1）解：作于点．
因为，则，，
所以，
即圆心到的距离为；
（2）解：当，即时，与相切．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）作AH⊥CD于点H，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得DH=，在Rt△ADH中，用勾股定理可求解；
（2）根据圆的切线的判定得AH=R并结合（1）的结论可得关于m的方程，解方程即可求解.
23．（2025九下·余姚月考）已知二次函数的图像经过点，点设该函数图象的对称轴为直线．
（1）若，求的值．
（2）若求的取值范围．
（3）若，在范围内，该函数有最大值，求的值．
【答案】（1）解：若时，二次函数的图像经过点，
则，
解得：，
∴二次函数为，，
对称轴为，
即；
（2）解：已知二次函数的图像经过点，点．
，，
，
，
，
，
．
（3）解：，
若，在范围内，该函数有最大值，
若，在范围内，函数有最大值，
即，当时，，
，，不含题意舍去，
，
当时，，
若时，在范围内，函数有最大值，
即，当时，，解得，不合题意舍去，
综上所述：若，在范围内，该函数有最大值，的值为．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由题意，把点A的坐标代入二次函数的解析式可得关于b的方程，解方程即可求得b的值，然后根据对称轴x=j计算即可求解；
（2）由题意，分别把点A、B的坐标代入二次函数的解析式可得关于m、n、b的方程，整理可将mn的积用含b的代数式表示出来，配成顶点式并结合mn＜0可得关于b的不等式组，解之即可求解；
（3）由题意，将二次函数的解析式配成顶点式，分两种情况：①若0＜t≤4，在0≤x≤4范围内，函数有最大值16，结合二次函数的性质可求解；②若t＞4时，在0≤x≤4范围内，函数有最大值16，结合二次函数的性质可求解.
24．（2025九下·余姚月考）如图，是锐角三角形的外接圆，且满足．是的中点，连接并延长交于点，与的延长线交于点，连接并延长交于点，连接．
（1）若，，求的长．
（2）若与相切，为切点．
求证：；
若，直接写出和的值．
【答案】（1）【答案】解：连接，如图，
是的中点，是锐角三角形的外接圆，
，，
，
，
，
．
在中，
，
，
；
（2）解：证明：为圆的直径，
，
，
，
，
由知：，
，
．
，
；
解：连接，过点作于点，如图，
设则
由知：，，
，
，
，
与相切，为圆的半径，
，
，
，
，
．
，
，
，
，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
由知：，
，
．
，，
，
设则，，
解得
，
由知：，
，
，
．
【知识点】圆的综合题；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接OB，在Rt△ODC中，根据锐角三角函数sin∠DOC=k可求解；
（2）①由圆周角定理“直径所对的圆周角是直角”可得∠GAC=90°， 根据直角三角形两锐角互余并结合已知可得∠B+∠ACG=90°；结合（1）的结论可得∠BFD=∠GCA，∠BDF=∠GAC=90°， 然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似可求解；
②连接OB，过点C作CH⊥AB于点H，设BD=CD=a，根据锐角三角函数tan∠B=，tan∠B=k可得CH=3BH，设BH=b，在Rt△BCH中，用勾股定理可得关于a、b的方程，解之可将b用含a的代数式表示出来，然后可将AH=CH、BH用含a的代数式表示出来，由线段的和差AB=AH+BH用含a的代数式表示出来，在Rt△BFD中，用勾股定理将BF用含a的代数式表示出来，由线段的和差AF=BF-AB用含a的代数式表示出来，结合①的结论，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△FAE∽△COE，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合等腰直角三角形的性质可得AC=CH用含a的代数式表示出来，设OE=x，AE=y，结合比例式可得关于x、y的方程组，解方程组可将x、y用含a的代数式表示出来，由①中的相似三角形可得比例式k可求解.
1 / 1浙江省宁波市余姚市子陵中学教育集团2024-2025学年九年级下学期数学3月月考试卷
1．（2025九下·余姚月考）tan60°的值等于
A．1 B．
C． D．2
2．（2025九下·余姚月考）二次函数的最小值是(　　)
A． B． C． D．
3．（2025九下·余姚月考）下列说法正确的是（　　）
A．明天的降水概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨
B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上
C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式
D．一组数据的众数一定只有一个
4．（2025九下·余姚月考）在平面直角坐标系 中，⊙O的半径为2，点A（1， ）与⊙O的位置关系是（　　）
A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定
5．（2025九下·余姚月考）下列各组中的四条线段成比例的是(　　)
A．a=2，b=3，c=4，d=1 B．a=2， b=， c=，d=
C．a=4，b=6，c=5，d=10 D．a=，b=3，c=2，d=
6．（2025九下·余姚月考）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025九下·余姚月考）如图，是的直径，是的切线，若，则的大小为(　　)
A． B． C． D．
8．（2025九下·余姚月考）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九下·余姚月考）已知抛物线，将该抛物线平移，若平移后的图像与轴交于，两点，下列说法正确的是(　　)
A．若向左平移，则 B．若向右平移，则
C．若向上平移，则 D．若向下平移，则
10．（2025九下·余姚月考）如图，在中，点在上，点在上，是的中点，是的中点，，，且与所夹得锐角为60°，则的面积为(　　)
A． B． C． D．
11．（2025九下·余姚月考）二次函数的图像开口方向是　 　填“向上”或“向下”．
12．（2025九下·余姚月考）某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道．若琪琪第一个抽签，她从号中随机抽取一签，则抽到8号赛道的概率是　 　．
13．（2025九下·余姚月考）如图，已知四边形是圆的内接四边形，，则　 　．
14．（2025九下·余姚月考）如果两个相似三角形的面积之比是，其中小三角形一个内角的角平分线的长为，那么大三角形对应角的角平分线的长为　 　．
15．（2025九下·余姚月考）已知抛物线是常数且，经过点，点，在抛物线上，且，则的取值范围为　 　．
16．（2025九下·余姚月考）如图，在中，，点在边上，且满足，连结作的平分线分别交于点，点若，则　 　，　 　．
17．（2025九下·余姚月考）计算：
18．（2025九下·余姚月考）解方程组：
19．（2025九下·余姚月考）某市教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图．
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）教育局抽取的初中生有　 　人，扇形统计图中的值是　 　．
（2）已知平均每天完成作业时长在“”分的名初中生中有名男生和名女生，若从这名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是　 　．
（3）若该市共有初中生名，则平均每天完成作业时长在“”分的初中生约有多少人？
20．（2025九下·余姚月考）如图，在某信号塔的正前方有一斜坡，坡角，斜坡的顶端与塔底的距离米，小明在斜坡上的点处测得塔顶的仰角米，且点在同一平面内．
（1）填空：　 　度，　 　度；
（2）求信号塔的高度结果保留根号．
21．（2025九下·余姚月考）已知：如图，在中，是边上一点．
求作：在边上作一点，使得．
以下是小成和小亦两位同学的作法：
小成：如图，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，作直线交于点．
小亦：如图，先作的平分线，然后．
（1）请判断小成作法是否正确，并给出理由．
（2）补全小亦的尺规作图过程保留作图痕迹，并证明．
22．（2025九下·余姚月考）如图，在平行四边形中，，，，以为直径作．
（1）求圆心到的距离用含的代数式表示；
（2）当取何值时，与相切？
23．（2025九下·余姚月考）已知二次函数的图像经过点，点设该函数图象的对称轴为直线．
（1）若，求的值．
（2）若求的取值范围．
（3）若，在范围内，该函数有最大值，求的值．
24．（2025九下·余姚月考）如图，是锐角三角形的外接圆，且满足．是的中点，连接并延长交于点，与的延长线交于点，连接并延长交于点，连接．
（1）若，，求的长．
（2）若与相切，为切点．
求证：；
若，直接写出和的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】根据tan60°=
即可得出答案．
故选C.
2．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y=x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-4，
∵a=1＞0，
∴y有最小值，且y最小=-4.
故答案为：C.
【分析】由题意，先将二次函数的解析式配成顶点式，根据二次函数的性质“当a＞0时，抛物线的开口向上，函数y有最小值”即可求解.
3．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；概率的意义；众数
【解析】【解答】解：A、明天的降水概率为80%，则明天下雨可能性较大，故本选项不符合题意；
B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是 ，故本选项不符合题意；
C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项符合题意；
D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．
4．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（1， ），
∴由勾股定理可得：OA= ，
又∵⊙O的半径为2，
∴点A在⊙O上．
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出OA的长，再判断点和圆的位置关系即可。
5．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而2×=×2，所以四条线段成比例，故本选项符合题意；
C、4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
D、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而×3≠2×，所以四条线段不成比例，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】四条线段满足最小的和最大的相乘等于另外两条相乘时，这四条线段成比例，据此逐一判断得出答案.
6．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；
C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；
D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
故答案为：B.
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图.
7．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∵∠BAC=35°，
∴∠ACB=90°-35°=55°.
故答案为：C.
【分析】根据圆的切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得∠ABC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余可求解.
8．【答案】C
【知识点】已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：∵，，
∴俯视图的长为 ，宽为，
∴．
故答案为：C.
【分析】先分别利用提取公因式法将表示主视图及左视图的面积多项式分解因式，结合长方形面积计算公式及“主视图反应的长方体的长与高，左视图反应的是长方体的宽与高，俯视图反应的是长方体得长与宽”得出俯视图的长与宽，进而再根据长方形面积计算公式列式计算即可.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：A、∵抛物线y=-(x-a)(x-b)与x轴的交点坐标为（a，0），（b，0），
∴两交点的距离为b-a，对称轴为直线x=，
∵平移后的图象与x轴交于点（m，0），（n，0）两点，
∴平移后的抛物线与x轴的两交点的距离为n-m，对称轴为x=，
∴b-a=n-m，
∴此选项不符合题意；
B、由A可知，此选项不符合题意；
C、∵抛物线上下平移时，抛物线的对称轴不变，
∴=，
即a+b=n+m，
∴此选项不符合题意；
D、由C可知，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线与x轴相交，令y=0可得关于x的一元二次方程，解之可得抛物线与x轴的两个交点坐标，根据两交点间的距离公式可得两交点的距离，根据对称轴x=q求得抛物线的对称轴，同理可得平移后的抛物线与x轴的两个交点两个交点的距离和对称轴，然后根据抛物线上下平移时，抛物线的对称轴不变依次对各选项判断即可求解.
10．【答案】D
【知识点】线段的中点；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接EF、CF，如图，
∵F是BD的中点，G是CE的中点，
∴S△AFG=S△AFC-S△AGC-S△CFG
=S△ABC-S△AEC-S△CFE
=（S△ABC-S△AEC-S△CFE）
=S凹四边形BCFE
=S四边形BCDE，
∵S四边形BCDE=×BD×CEsin60°=×6×5×=，
∴S△AFG=×=.
故答案为：D.
【分析】连接EF、CF，由图形的构成和线段中点的性质可得S△AFG=S△AFC-S△AGC-S△CFG=（S△ABC-S△AEC-S△CFE）=S四边形BCDE，求出四边形BCDE的面积即可求解.
11．【答案】向上
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意得，a=1＞0，
∴抛物线的开口向上.
故答案为：向上.
【分析】根据二次函数的图象与系数之间的关系“当a＞0时，抛物线的开口向上”可求解.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意知 ，抽到8号赛道的概率是，
故答案为：．
【分析】琪琪从1~8号签中随机抽取一签，共有8种等可能的结果数，其中抽到8号签的可能性只有1种，从而根据概率公式计算可得答案.
13．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=80°，
∴∠BAD=∠BOD=40°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠BCD=180°-40°=140°.
故答案为：140°.
【分析】根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半”可求得∠BAD的度数，然后由圆内接四边形的对角互补可求解.
14．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设大三角形对应角的角平分线的长为xcm，
∵ 两个相似三角形的面积之比是，其中小三角形一个内角的角平分线的长为 3cm，
∴9：16=3：x，
解得：x=4.
故答案为：4.
【分析】设大三角形对应角的角平分线的长为xcm，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得关于x的方程，解方程即可求解.
15．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意，把点A的坐标代入二次函数的解析式得：
9a-6a+c=0，
∴c=-3a，
∵c＞0，
∴a＜0，
∴抛物线的开口向下，对称轴为x==1，点M（t+2，y）和N（t+3，y）在抛物线上，
且y1＞y2，
∴y1-y2=a(t+2)2-2a(t+2)+c-[a(t+3)2-2a(t+3)+c]=a(-2t-3)＞0，
∵a＜0，
∴-2t-3＜0，
解得：t＞.
故答案为：t＞.
【分析】由题意，把点A的坐标代入二次函数的解析式可将c用含a的代数式表示出来，于是可判断a的符号，由对称轴x=k可求出抛物线的对称轴，结合y1＞y2和M、N的坐标可得关于t的不等式，解不等式即可求解.
16．【答案】2；
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长DC至点G，使CG=CD，连接AG，延长BE交AG于点H，如图，
∵BF是∠BAC的平分线，
∴，
∵AF=2DF，
∴=2；
设BD=a，则AB=2a，
∵CG=CD，AC⊥BC，
∴AC为DG的垂直平分线，
∴AD=AG，
∴∠DAC=∠GAC，
∵∠ABC=2∠CAD，
∵∠CBE+∠CEB=90°，∠CEB=∠HEA，
∴∠HEA+∠GAC=90°，
∴∠AHB=∠GHB=90°，
在△GHB和△AHB中
∴△GHB≌△AHB（ASA），
∴BG=AB=2a，
∴GD=GB-DB=a，
∴CD=CG=GD=a，
∴BC=BD+CD=a，
∵BF是∠BAC的平分线，
∴.
故答案为：2；.
【分析】延长DC至点G，使CG=CD，连接AG，延长BE交AG于点H，根据角平分线的性质可得比例式，结合题意可求解；设BD=a，则AB=2a，由题意易得AC为DG的垂直平分线，结合已知用角边角可证△GHB≌△AHB，由全等三角形的对应边相等可得BG=AB，由线段的和差将BC用含a的代数式表示出来，然后由角平分线的性质得比例式可求解.
17．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由特殊角的三角函数值可得sin30°=，由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-2=4，然后根据有理数的混合运算法则计算即可求解.
18．【答案】解：
得，
解得，
把代入得，
解得
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】观察方程组可知，未知数y的系数成倍数关系，于是由②+①×3可得关于x的方程，解方程求出x的值，把x的值代入方程①可得关于y的方程，解方程求出y的值，最后写出结论即可求解.
19．【答案】（1）300；30
（2）
（3）解：∵样本中平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生占比，
该市共有初中生名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）∵A组的频数为45，百分比为15%，
∴教育局抽取的初中生有：45÷15%=300
m%=1-45%-7%-3%-15%=30%，
∴m=30；
故答案为：300；30.
（2）∵所有可能抽到的结果数为9，抽到男生的结果数为5，且每一名学生被抽到的可能性相同，
∴P（抽到男生）=，
故答案为：；
【分析】（1）根据教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查即可得出答案；
（2）根据概率公式求解；
（3）根据样本中70≤t＜80的人数占抽样人数的30%估计全市人数即可．
20．【答案】（1）150；30
（2）解：如图，延长交于点，则，过点作，垂足为．
则，
在中，
，
在中，
，
答：信号塔的高度为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：（1）∵BC∥DK，
∴∠CDK+∠BCD=180°，
∵∠CDK=30°，
∴∠BCD=180°-30°=150°，
∵NE∥KD，
∴∠CDK=∠CEN=30°，
∵∠AEN=60°，
∴∠AEC=∠AEN-∠CEN=60°-30°=30°.
故答案为：150；30.
【分析】（1）由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可求得∠BCD的度数；由“两直线平行，同位角相等”可得∠CEN的度数，然后由角的和差可求解；
（2）在Rt△CGE中，用勾股定理求得EG的值，由线段的和差EF=EG+GF=EG+BC求得EF的值；在Rt△AEF中，根据锐角三角函数tan∠AEF=求得AF的值，然后根据线段的和差AB=AF-BF=AF-CG可求解.
21．【答案】（1）解：小成作法正确．
理由：由作图可知，，
四边形是平行四边形，
．
（2）解：如下图，直线即为所求．
理由：由作图可知平分，，
，，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据作法并结合平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形BCDF是平行四边形，再根据平行四边形的对边平行可求解；
（2）由作图可得∠DNC=∠BCM，然后根据“内错角相等，两直线平行”可求解.
22．【答案】（1）解：作于点．
因为，则，，
所以，
即圆心到的距离为；
（2）解：当，即时，与相切．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）作AH⊥CD于点H，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得DH=，在Rt△ADH中，用勾股定理可求解；
（2）根据圆的切线的判定得AH=R并结合（1）的结论可得关于m的方程，解方程即可求解.
23．【答案】（1）解：若时，二次函数的图像经过点，
则，
解得：，
∴二次函数为，，
对称轴为，
即；
（2）解：已知二次函数的图像经过点，点．
，，
，
，
，
，
．
（3）解：，
若，在范围内，该函数有最大值，
若，在范围内，函数有最大值，
即，当时，，
，，不含题意舍去，
，
当时，，
若时，在范围内，函数有最大值，
即，当时，，解得，不合题意舍去，
综上所述：若，在范围内，该函数有最大值，的值为．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由题意，把点A的坐标代入二次函数的解析式可得关于b的方程，解方程即可求得b的值，然后根据对称轴x=j计算即可求解；
（2）由题意，分别把点A、B的坐标代入二次函数的解析式可得关于m、n、b的方程，整理可将mn的积用含b的代数式表示出来，配成顶点式并结合mn＜0可得关于b的不等式组，解之即可求解；
（3）由题意，将二次函数的解析式配成顶点式，分两种情况：①若0＜t≤4，在0≤x≤4范围内，函数有最大值16，结合二次函数的性质可求解；②若t＞4时，在0≤x≤4范围内，函数有最大值16，结合二次函数的性质可求解.
24．【答案】（1）【答案】解：连接，如图，
是的中点，是锐角三角形的外接圆，
，，
，
，
，
．
在中，
，
，
；
（2）解：证明：为圆的直径，
，
，
，
，
由知：，
，
．
，
；
解：连接，过点作于点，如图，
设则
由知：，，
，
，
，
与相切，为圆的半径，
，
，
，
，
．
，
，
，
，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
由知：，
，
．
，，
，
设则，，
解得
，
由知：，
，
，
．
【知识点】圆的综合题；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接OB，在Rt△ODC中，根据锐角三角函数sin∠DOC=k可求解；
（2）①由圆周角定理“直径所对的圆周角是直角”可得∠GAC=90°， 根据直角三角形两锐角互余并结合已知可得∠B+∠ACG=90°；结合（1）的结论可得∠BFD=∠GCA，∠BDF=∠GAC=90°， 然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似可求解；
②连接OB，过点C作CH⊥AB于点H，设BD=CD=a，根据锐角三角函数tan∠B=，tan∠B=k可得CH=3BH，设BH=b，在Rt△BCH中，用勾股定理可得关于a、b的方程，解之可将b用含a的代数式表示出来，然后可将AH=CH、BH用含a的代数式表示出来，由线段的和差AB=AH+BH用含a的代数式表示出来，在Rt△BFD中，用勾股定理将BF用含a的代数式表示出来，由线段的和差AF=BF-AB用含a的代数式表示出来，结合①的结论，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△FAE∽△COE，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合等腰直角三角形的性质可得AC=CH用含a的代数式表示出来，设OE=x，AE=y，结合比例式可得关于x、y的方程组，解方程组可将x、y用含a的代数式表示出来，由①中的相似三角形可得比例式k可求解.
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