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浙江省宁波市慈溪市中部区域2024-2025学年下学期期中八年级数学试题
1．（2025八下·慈溪期中） 下列式子是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】判断最简二次根式的条件是被开方数不含能开方的因数(即不含平方因数)，且分母中不含根号.
2．（2025八下·慈溪期中） 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使代数式在实数范围内有意义，必须满足被开方数x-2是非负数，
即x-2≥0，解得x≥2，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数必须为非负数，即可求解.
3．（2025八下·慈溪期中） 方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据，，，，，可用如下算式计算方差：，上述算式中的“3”是这组数据的（　　）
A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：对于一组数据x1，x2，x3，...，xn可用如下算式计算方差：
，
其中“3”是这组数据的平均数，
故答案为：B.
【分析】根据方差的定义，方差是每个数据与平均数的差的平方的平均数.
4．（2025八下·慈溪期中）已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝－3，则实数k的值为（　　）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：因为x＝-3是原方程的根，所以将x＝-3代入原方程，即（-3）2+3k 6＝0成立，解得k＝-1.
故答案为：B.
【分析】将x＝-3代入方程中即可求出k值.
5．（2025八下·慈溪期中） 在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=160°，则∠A的度数为（　　）
A．130° B．50° C．100° D．65°
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ANCD是平行四边形
∴∠B=∠D， AD//BC，
∵∠B+∠D=160°，
∴∠B=∠D=80°，
∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠A=100°，
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的对角相等，邻角互补求解.
6．（2025八下·慈溪期中）数学组老师在统计数学文化节志愿者参与情况时得到本次志愿者年龄情况统计如表：
年龄（岁） 13岁 14岁 15岁 16岁
人数（人） 7 18 x 10-x
那么对于不同x的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（　　）
A．平均数、方差 B．中位数、方差
C．平均数、中位数 D．众数、中位数
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10-x=10，
则总人数为：7+18+10=35，
故该组数据的众数为14岁，中位数为14岁：
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故答案为：D.
【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第18个数据，可得答案.
7．（2025八下·慈溪期中）若关于的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k>-1 B．k≥-1 C．k>-1且k≠0 D．k≥-1且k≠0
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：，解得且，
的取值范围是且，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程有实数根，判别式，结合一元二次方程的定义即可得解.
8．（2025八下·慈溪期中）如图，用长为21m的栅栏围成一个面积为26m2的矩形花圃ABCD，为方便进出，在边AB上留有一个宽1m的小门EF，设AD的长为xm，根据题意可得方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵栅栏的总长度为21m，AD的长为xm，
∴CD的长为m.
根据题意得：.
故答案为：B.
【分析】根据栅栏的总长度及AD的长，可得出CD的长为m，结合矩形花圃ABCD的面积为26m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
9．（2025八下·慈溪期中）如图，平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，，
∴，
又平分，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质可知AB=CD=6，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等及角平分线的定义可推出∠DFC=∠FCD，由等角对等边得DF=CD=6，同理AE=AB=6，然后根据线段和差计算即可.
10．（2025八下·慈溪期中）如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE.下列结论：①AE=CE；②S平行四边形ABCD=AB×AC；③S△ABC=2S△ACE；④OE=BC，成立的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，
∵，
∴，
∴AE=CE，故①正确；
∵∠EAC=∠ACE=30°，
∴∠BAC=90°，
∴S ABCD=AB·AC，故②正确；
∵BE=EC，
∴E为BC中点，
∴S△ABE=S△ACE，
∴S△ABC=2S△ACE，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=CO，
∵AE=CE，
∴EO⊥AC，
∵∠ACE=30°，
∴
∵，
∴，故④正确；
故正确的个数为4个，
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=AB=BE，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可.
11．（2025八下·慈溪期中）一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形的边数为　 　．
【答案】十二
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n-2）×180=1800，
解得：n=12．
∴这个多边形是十二边形．
故答案为：十二．
【分析】利用多边形的内角和公式求解即可。
12．（2025八下·慈溪期中） 若实数m，n满足等式|m-2l+ =0，则=　 　.
【答案】2
【知识点】二次根式有意义的条件；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得，m-2=0，n-4=0，
解得m=2，n=4，
∴.
故答案为：2.
【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解.
13．（2025八下·慈溪期中）某校规定：学生数学总评成绩由参与数学活动、作业、考试三部分构成，各部分在总评中所占比例为，小明本学期三部分成绩分别是85分，90分，80分，则小明的数学总评成绩为　 　分．
【答案】84
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得小明的数学总评成绩为：（分）
故答案为：84分
【分析】根据加权平均数的计算方法结合题意进行计算即可求解。
14．（2025八下·慈溪期中） 对于实数m，n，先定义一种运算“”如下：，若，则实数x的值为　 　.
【答案】3
【知识点】解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：当x≥-2时，x2+x-2=10，
解得：x1=3，x2=-4(不合题意，舍去)；
当x<-2时，(-2)2+x-2=10，
解得：x=8(不合题意，舍去)；
∴x=3.
故答案为：3.
【分析】根据定义，分x≥-2和x<-2两种情况进行解方程，得出x的值.
15．（2025八下·慈溪期中）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形OABC，A（6，0），C（1，3），直线y=kx-1与BC，OA分别交于M，N，且将□ABCO的面积分成相等的两部分，则k的值是　 　.
【答案】
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵直线y=kx-1将 ABCD的面积分成相等的两部分，
∴CM=AN.
当y=0时，kx-1=0，
解得：
∴点N的坐标为，
∴；
当y=3时，kx-1=3，
解得：，
∴点M的坐标为，
∴.
∵ON+CM=ON+AN =6，
∴，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴k的值是，
故答案为：.
【分析】利用直线与平行四边形的交点将面积平分的性质，结合一次函数图象上点的坐标特征，求解直线斜率k的值.
16．（2025八下·慈溪期中）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（-3，2），点C（0，2），点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t=　 　时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形。
【答案】1或3或13
【知识点】平行四边形的判定；分类讨论
【解析】【解答】解：∵A(4，0)，B(-3，2)，C(0，2)，
∴OA=4，BC=3，BC//x轴，
∵PC//AQ，
∴当PC=AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，
若时，BP=2t，PC=3-2t，AQ=t，此时3-2t=t，解得t=1；
若时，BP=2t，PC=2t-3，AQ=t，此时2t-3=t，解得t=3；
若时，BP=2t，PC=2t-3，
OQ=3(t-4)，AQ=4-3(t-4)，此时
2t-3=4-3(t-4)，解得(舍去)；
若时，BP=2t，PC=2t-3，OQ=3(t-4)，AQ=3(t-4)-4，此时2t-3=3(t-4)-4，解得t=13；
综上所述，当t为1或3或13秒时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形.
故答案为：1或3或13.
【分析】利用A、B、C的坐标可得到OA=4，BC=3，BC//x轴，根据平行四边形的判定，当PC=AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，讨论：若时，3-2t=t；若时，2t-3=t；若时，2t-3=4-3(t-4)；若时，2t-3=3(t-4)-4，然后分别解方程可确定满足条件的t的值.
17．（2025八下·慈溪期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=2+3
=5
（2）解：原式=
=3+2-1
=4
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
18．（2025八下·慈溪期中）、解方程：
（1）x2+x =4x；
（2）2x2-3x-1 = 0.
【答案】（1）解：x2-3x =0
x(x-3)=0
x=0或x-3=0
x1=0，x2=3
（2）解：a=2，b=-3，c=-1
求根公式 x1，2=
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)通过移项整理为标准形式，再用因式分解法求解；
(2)通过移项整理为标准形式，再用公式法求解.
19．（2025八下·慈溪期中）如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，点A、B均为格点，请在所给的方格纸中画出符合要求的格点四边形。
（1）在图1中画出一个□ABCD，使边BC长为（点C、D都在格点上）.
（2）在图2中画出一个□ABEF，使□ABEF的面积为8（点E、F都在格点上）.
【答案】（1）解：如图1中，四边形ABCD即为所求(答案不唯)；
（2）解：如图2中，四边形ABEF即为所求(答案不唯一)；
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】(1)利用勾股定理确定BC的长度为即可；
(2)根据平行四边形的性质画出AD和CD即可求解.
20．（2025八下·慈溪期中）某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数.在初赛中，甲、乙两组（每组10人）
学生成绩如下（单位：分）
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10.
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10.
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 6 2.6
乙组 7
（1）以上成绩统计分析表中　 　，　 　，　 　，　 　；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小明可能是　 　组的学生；
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选　 　组.
【答案】（1）6；7；7；2
（2）甲
（3）乙
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
21．（2025八下·慈溪期中）如图，在□ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE=CF.
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连结BD交AC于点O，若BD=10，AE+CF=EF，求EG的长.
【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠GAE=∠HCF．
∵点 G，H 分别是 AB ，CD 的中点，AB= CD，
∴AG=CH．
∵AE=CF，
∴△AGE≌△CHF ( SAS)，
∴GE= HF， ∠AEG= ∠CFH，
∴∠GEF =∠HFE，
∴GE∥HF．
又∵GE=HF，
∴四边形 EGFH 是平行四边形
（2）解：连结 BD 交 AC 于点 O，如图．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB=0D．BD= 10，
∴ OB=OD=5．
∵AE= CF ，OA=OC，
∴ OE=OF．
∵AE+CF= EF，
∴2AE= EF=20E，
∴AE=OE．
又∵点 G 是 AB 的中点，
∴EG 是△ABO的中位线，
∴EG= OB=2.5，
∴EG 的长为 2.5
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用平行四边的性质及平行线的性质，可证得∠GAE=∠HCF，再利用线段中点定义可证得AG=CH，利用SAS证明△AGE≌△CHF，利用全等三角形的性质可推出GE=HF，∠AEG=∠CFH，可得到∠GEF=∠HFE，利用平行线的判定可证得GE//HF，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论；
(2)连接BD交AC于点O，利用平行四边形的性质，可知OA=OC，OB=OD，再证明OE=OF，由此可推出AE=OE；再证明EG是△ABO的中位线，由此可求EG的长.
22．（2025八下·慈溪期中）在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕.当每个小蛋糕的售价定为6元时，平均每小时的销售数量为30.细心的小亮发现，售价每提高1元，平均每小时的销售数量就会减少2，但售价不能超过10元.
（1）若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为8.64元，且每次涨价的百分率均相同，求涨价的百分率是多少.
（2）若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价为多少元.
（3）要使平均每小时的销售总额最大，小蛋糕的售价应定为多少元 并求出最大销售额.
【答案】（1）解：设涨价的百分率是x，
∴
∴（舍）
∴涨价的百分率是20%.
（2）解：设小蛋糕的售价提高m元，则销售量减少2m个，
∴
∴
∴小蛋糕售价为9或12，
又∵售价不能超过10元，
∴小蛋糕售价为9元.
（3）解：设小蛋糕售价为n元，
∴平均每小时的销售额为：
∵售价不能超过10元，
∴当n=10时，平均每小时的销售额最大，最大销售额为220元，
∴小蛋糕的售价应定为10元时，平均每小时的销售额最大，最大销售额为220元.
【知识点】配方法的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程，解此方程即可求解；
（2）设小蛋糕的售价提高m元，则销售量减少2m个，根据销售额等于售价乘以销售量列出方程，求解并检验即可得出答案；
（3）设小蛋糕售价为n元，根据销售额等于售价乘以销售量列出式子，结合题意利用配方法即可求出其最大值.
23．（2025八下·慈溪期中）【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值. 他是这样分析与解答的：
，
∴a-2=-
∴（a-2）2=3，即a2-4a+4=3
∴a2-4a=-1
∴2a2-8a+1=2（a2-4a）+1=2×（-1）+1=-1.
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：　 　.
（2）计算：　 　.
（3）若，求的值.
【答案】（1）
（2）9
（3）解：∵
∴a-2=
∴（a-2）2=5，即a2-4a+4=5
∴a2-4a=1
∴3a2-12a-1=3（a2-4a）-1=3×1-1=2
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：(1)，
故答案为：.
(2)原式
=10-1
=9.
故答案为：9.
【分析】(1)分母有理化即可；
(2)先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
(3)先分母有理化求出，再求出，两边平方后求出a2-4a=1，再求出代数式的值即可.
24．（2025八下·慈溪期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”，通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式b2－4ac一定为完全平方数，现规定F（a，b，c）＝为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”x2-3x-4=0，的两根均为整数，其“快乐数F（1，-3，-4）=，若有另一个“快乐方程px2+qx+r=0（p≠0）的“快乐数"F（p，q，r）， 且满足r·F（a，b，c） =c·F（p，q，r），则称F（a，b，c）与F（p，q，r）互为“开心数”.
（1）“快乐方程”x2-2x-3=0的“快乐数”为　 　.
（2）若关于x的一元二次方程x2-（2m-1）x+m2-2m-3=0（m为整数，且1<6）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于x的一元二次方程x2-mx+m+1=0与x2-（n+2）x+2n=0（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值.
【答案】（1）-4
（2）解：方程
∴
∵1＜m＜6
∴17＜4m+13＜37
又方程是“快乐方程”，
∴4m+13 是完全平方数，
∴4m+13=25或36
∴m=3，m=（舍去）
∴方程为可化为：x2-5x=0
∴F（1，-5，0）=
故其“快乐数”数是
（3）解：∵x2-mx+1=0为“快乐方程”，
∴是完全平方数，
设 ，a 为整数，
则（m-2+a）（m-2-a）=8
∴或或或或
或或或
解得m=5或-1或 （舍）或 (舍)，
∴方程为：x2-5x+6=0或x2+x=0；
∵ x2-（n+2）x+2n=0为“快乐方程”，
∴是完全平方数
当m=5时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴
解得：n=3或（舍），
当m=-1时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴
解得：n=0，
综上，n 的值为 0 或 3
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：(1)方程：x2-2x-3=0的快乐数；
故答案为：-4.
【分析】(1)按照快乐数公式即可求解；
(2)按照快乐数公式即可求解；
(3)由x2-mx+m+1=0，求出m的值，再由x2-(n+2)x+2n=0，求出，分m=5，m=-1两种情况分别求出n的值.
1 / 1浙江省宁波市慈溪市中部区域2024-2025学年下学期期中八年级数学试题
1．（2025八下·慈溪期中） 下列式子是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·慈溪期中） 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·慈溪期中） 方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据，，，，，可用如下算式计算方差：，上述算式中的“3”是这组数据的（　　）
A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数
4．（2025八下·慈溪期中）已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝－3，则实数k的值为（　　）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
5．（2025八下·慈溪期中） 在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=160°，则∠A的度数为（　　）
A．130° B．50° C．100° D．65°
6．（2025八下·慈溪期中）数学组老师在统计数学文化节志愿者参与情况时得到本次志愿者年龄情况统计如表：
年龄（岁） 13岁 14岁 15岁 16岁
人数（人） 7 18 x 10-x
那么对于不同x的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（　　）
A．平均数、方差 B．中位数、方差
C．平均数、中位数 D．众数、中位数
7．（2025八下·慈溪期中）若关于的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k>-1 B．k≥-1 C．k>-1且k≠0 D．k≥-1且k≠0
8．（2025八下·慈溪期中）如图，用长为21m的栅栏围成一个面积为26m2的矩形花圃ABCD，为方便进出，在边AB上留有一个宽1m的小门EF，设AD的长为xm，根据题意可得方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025八下·慈溪期中）如图，平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025八下·慈溪期中）如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE.下列结论：①AE=CE；②S平行四边形ABCD=AB×AC；③S△ABC=2S△ACE；④OE=BC，成立的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2025八下·慈溪期中）一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形的边数为　 　．
12．（2025八下·慈溪期中） 若实数m，n满足等式|m-2l+ =0，则=　 　.
13．（2025八下·慈溪期中）某校规定：学生数学总评成绩由参与数学活动、作业、考试三部分构成，各部分在总评中所占比例为，小明本学期三部分成绩分别是85分，90分，80分，则小明的数学总评成绩为　 　分．
14．（2025八下·慈溪期中） 对于实数m，n，先定义一种运算“”如下：，若，则实数x的值为　 　.
15．（2025八下·慈溪期中）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形OABC，A（6，0），C（1，3），直线y=kx-1与BC，OA分别交于M，N，且将□ABCO的面积分成相等的两部分，则k的值是　 　.
16．（2025八下·慈溪期中）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（-3，2），点C（0，2），点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t=　 　时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形。
17．（2025八下·慈溪期中）计算：
（1）
（2）
18．（2025八下·慈溪期中）、解方程：
（1）x2+x =4x；
（2）2x2-3x-1 = 0.
19．（2025八下·慈溪期中）如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，点A、B均为格点，请在所给的方格纸中画出符合要求的格点四边形。
（1）在图1中画出一个□ABCD，使边BC长为（点C、D都在格点上）.
（2）在图2中画出一个□ABEF，使□ABEF的面积为8（点E、F都在格点上）.
20．（2025八下·慈溪期中）某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数.在初赛中，甲、乙两组（每组10人）
学生成绩如下（单位：分）
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10.
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10.
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 6 2.6
乙组 7
（1）以上成绩统计分析表中　 　，　 　，　 　，　 　；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小明可能是　 　组的学生；
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选　 　组.
21．（2025八下·慈溪期中）如图，在□ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE=CF.
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连结BD交AC于点O，若BD=10，AE+CF=EF，求EG的长.
22．（2025八下·慈溪期中）在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕.当每个小蛋糕的售价定为6元时，平均每小时的销售数量为30.细心的小亮发现，售价每提高1元，平均每小时的销售数量就会减少2，但售价不能超过10元.
（1）若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为8.64元，且每次涨价的百分率均相同，求涨价的百分率是多少.
（2）若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价为多少元.
（3）要使平均每小时的销售总额最大，小蛋糕的售价应定为多少元 并求出最大销售额.
23．（2025八下·慈溪期中）【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值. 他是这样分析与解答的：
，
∴a-2=-
∴（a-2）2=3，即a2-4a+4=3
∴a2-4a=-1
∴2a2-8a+1=2（a2-4a）+1=2×（-1）+1=-1.
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：　 　.
（2）计算：　 　.
（3）若，求的值.
24．（2025八下·慈溪期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”，通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式b2－4ac一定为完全平方数，现规定F（a，b，c）＝为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”x2-3x-4=0，的两根均为整数，其“快乐数F（1，-3，-4）=，若有另一个“快乐方程px2+qx+r=0（p≠0）的“快乐数"F（p，q，r）， 且满足r·F（a，b，c） =c·F（p，q，r），则称F（a，b，c）与F（p，q，r）互为“开心数”.
（1）“快乐方程”x2-2x-3=0的“快乐数”为　 　.
（2）若关于x的一元二次方程x2-（2m-1）x+m2-2m-3=0（m为整数，且1<6）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于x的一元二次方程x2-mx+m+1=0与x2-（n+2）x+2n=0（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】判断最简二次根式的条件是被开方数不含能开方的因数(即不含平方因数)，且分母中不含根号.
2．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使代数式在实数范围内有意义，必须满足被开方数x-2是非负数，
即x-2≥0，解得x≥2，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数必须为非负数，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：对于一组数据x1，x2，x3，...，xn可用如下算式计算方差：
，
其中“3”是这组数据的平均数，
故答案为：B.
【分析】根据方差的定义，方差是每个数据与平均数的差的平方的平均数.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：因为x＝-3是原方程的根，所以将x＝-3代入原方程，即（-3）2+3k 6＝0成立，解得k＝-1.
故答案为：B.
【分析】将x＝-3代入方程中即可求出k值.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ANCD是平行四边形
∴∠B=∠D， AD//BC，
∵∠B+∠D=160°，
∴∠B=∠D=80°，
∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠A=100°，
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的对角相等，邻角互补求解.
6．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10-x=10，
则总人数为：7+18+10=35，
故该组数据的众数为14岁，中位数为14岁：
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故答案为：D.
【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第18个数据，可得答案.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：，解得且，
的取值范围是且，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程有实数根，判别式，结合一元二次方程的定义即可得解.
8．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵栅栏的总长度为21m，AD的长为xm，
∴CD的长为m.
根据题意得：.
故答案为：B.
【分析】根据栅栏的总长度及AD的长，可得出CD的长为m，结合矩形花圃ABCD的面积为26m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，，
∴，
又平分，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质可知AB=CD=6，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等及角平分线的定义可推出∠DFC=∠FCD，由等角对等边得DF=CD=6，同理AE=AB=6，然后根据线段和差计算即可.
10．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，
∵，
∴，
∴AE=CE，故①正确；
∵∠EAC=∠ACE=30°，
∴∠BAC=90°，
∴S ABCD=AB·AC，故②正确；
∵BE=EC，
∴E为BC中点，
∴S△ABE=S△ACE，
∴S△ABC=2S△ACE，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=CO，
∵AE=CE，
∴EO⊥AC，
∵∠ACE=30°，
∴
∵，
∴，故④正确；
故正确的个数为4个，
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=AB=BE，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可.
11．【答案】十二
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n-2）×180=1800，
解得：n=12．
∴这个多边形是十二边形．
故答案为：十二．
【分析】利用多边形的内角和公式求解即可。
12．【答案】2
【知识点】二次根式有意义的条件；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得，m-2=0，n-4=0，
解得m=2，n=4，
∴.
故答案为：2.
【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解.
13．【答案】84
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得小明的数学总评成绩为：（分）
故答案为：84分
【分析】根据加权平均数的计算方法结合题意进行计算即可求解。
14．【答案】3
【知识点】解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：当x≥-2时，x2+x-2=10，
解得：x1=3，x2=-4(不合题意，舍去)；
当x<-2时，(-2)2+x-2=10，
解得：x=8(不合题意，舍去)；
∴x=3.
故答案为：3.
【分析】根据定义，分x≥-2和x<-2两种情况进行解方程，得出x的值.
15．【答案】
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵直线y=kx-1将 ABCD的面积分成相等的两部分，
∴CM=AN.
当y=0时，kx-1=0，
解得：
∴点N的坐标为，
∴；
当y=3时，kx-1=3，
解得：，
∴点M的坐标为，
∴.
∵ON+CM=ON+AN =6，
∴，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴k的值是，
故答案为：.
【分析】利用直线与平行四边形的交点将面积平分的性质，结合一次函数图象上点的坐标特征，求解直线斜率k的值.
16．【答案】1或3或13
【知识点】平行四边形的判定；分类讨论
【解析】【解答】解：∵A(4，0)，B(-3，2)，C(0，2)，
∴OA=4，BC=3，BC//x轴，
∵PC//AQ，
∴当PC=AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，
若时，BP=2t，PC=3-2t，AQ=t，此时3-2t=t，解得t=1；
若时，BP=2t，PC=2t-3，AQ=t，此时2t-3=t，解得t=3；
若时，BP=2t，PC=2t-3，
OQ=3(t-4)，AQ=4-3(t-4)，此时
2t-3=4-3(t-4)，解得(舍去)；
若时，BP=2t，PC=2t-3，OQ=3(t-4)，AQ=3(t-4)-4，此时2t-3=3(t-4)-4，解得t=13；
综上所述，当t为1或3或13秒时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形.
故答案为：1或3或13.
【分析】利用A、B、C的坐标可得到OA=4，BC=3，BC//x轴，根据平行四边形的判定，当PC=AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，讨论：若时，3-2t=t；若时，2t-3=t；若时，2t-3=4-3(t-4)；若时，2t-3=3(t-4)-4，然后分别解方程可确定满足条件的t的值.
17．【答案】（1）解：原式=2+3
=5
（2）解：原式=
=3+2-1
=4
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
18．【答案】（1）解：x2-3x =0
x(x-3)=0
x=0或x-3=0
x1=0，x2=3
（2）解：a=2，b=-3，c=-1
求根公式 x1，2=
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)通过移项整理为标准形式，再用因式分解法求解；
(2)通过移项整理为标准形式，再用公式法求解.
19．【答案】（1）解：如图1中，四边形ABCD即为所求(答案不唯)；
（2）解：如图2中，四边形ABEF即为所求(答案不唯一)；
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】(1)利用勾股定理确定BC的长度为即可；
(2)根据平行四边形的性质画出AD和CD即可求解.
20．【答案】（1）6；7；7；2
（2）甲
（3）乙
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
21．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠GAE=∠HCF．
∵点 G，H 分别是 AB ，CD 的中点，AB= CD，
∴AG=CH．
∵AE=CF，
∴△AGE≌△CHF ( SAS)，
∴GE= HF， ∠AEG= ∠CFH，
∴∠GEF =∠HFE，
∴GE∥HF．
又∵GE=HF，
∴四边形 EGFH 是平行四边形
（2）解：连结 BD 交 AC 于点 O，如图．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB=0D．BD= 10，
∴ OB=OD=5．
∵AE= CF ，OA=OC，
∴ OE=OF．
∵AE+CF= EF，
∴2AE= EF=20E，
∴AE=OE．
又∵点 G 是 AB 的中点，
∴EG 是△ABO的中位线，
∴EG= OB=2.5，
∴EG 的长为 2.5
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用平行四边的性质及平行线的性质，可证得∠GAE=∠HCF，再利用线段中点定义可证得AG=CH，利用SAS证明△AGE≌△CHF，利用全等三角形的性质可推出GE=HF，∠AEG=∠CFH，可得到∠GEF=∠HFE，利用平行线的判定可证得GE//HF，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论；
(2)连接BD交AC于点O，利用平行四边形的性质，可知OA=OC，OB=OD，再证明OE=OF，由此可推出AE=OE；再证明EG是△ABO的中位线，由此可求EG的长.
22．【答案】（1）解：设涨价的百分率是x，
∴
∴（舍）
∴涨价的百分率是20%.
（2）解：设小蛋糕的售价提高m元，则销售量减少2m个，
∴
∴
∴小蛋糕售价为9或12，
又∵售价不能超过10元，
∴小蛋糕售价为9元.
（3）解：设小蛋糕售价为n元，
∴平均每小时的销售额为：
∵售价不能超过10元，
∴当n=10时，平均每小时的销售额最大，最大销售额为220元，
∴小蛋糕的售价应定为10元时，平均每小时的销售额最大，最大销售额为220元.
【知识点】配方法的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程，解此方程即可求解；
（2）设小蛋糕的售价提高m元，则销售量减少2m个，根据销售额等于售价乘以销售量列出方程，求解并检验即可得出答案；
（3）设小蛋糕售价为n元，根据销售额等于售价乘以销售量列出式子，结合题意利用配方法即可求出其最大值.
23．【答案】（1）
（2）9
（3）解：∵
∴a-2=
∴（a-2）2=5，即a2-4a+4=5
∴a2-4a=1
∴3a2-12a-1=3（a2-4a）-1=3×1-1=2
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：(1)，
故答案为：.
(2)原式
=10-1
=9.
故答案为：9.
【分析】(1)分母有理化即可；
(2)先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
(3)先分母有理化求出，再求出，两边平方后求出a2-4a=1，再求出代数式的值即可.
24．【答案】（1）-4
（2）解：方程
∴
∵1＜m＜6
∴17＜4m+13＜37
又方程是“快乐方程”，
∴4m+13 是完全平方数，
∴4m+13=25或36
∴m=3，m=（舍去）
∴方程为可化为：x2-5x=0
∴F（1，-5，0）=
故其“快乐数”数是
（3）解：∵x2-mx+1=0为“快乐方程”，
∴是完全平方数，
设 ，a 为整数，
则（m-2+a）（m-2-a）=8
∴或或或或
或或或
解得m=5或-1或 （舍）或 (舍)，
∴方程为：x2-5x+6=0或x2+x=0；
∵ x2-（n+2）x+2n=0为“快乐方程”，
∴是完全平方数
当m=5时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴
解得：n=3或（舍），
当m=-1时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴
解得：n=0，
综上，n 的值为 0 或 3
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：(1)方程：x2-2x-3=0的快乐数；
故答案为：-4.
【分析】(1)按照快乐数公式即可求解；
(2)按照快乐数公式即可求解；
(3)由x2-mx+m+1=0，求出m的值，再由x2-(n+2)x+2n=0，求出，分m=5，m=-1两种情况分别求出n的值.
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