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第三章　一元函数的导数及其应用
第一节　导数的概念及运算
1.了解导数的概念,掌握基本初等函数的导数.通过函数图象,理解导数的几何意义.
2.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(形如f(ax+b))的导数.
教材再回首
1.函数的平均变化率
一般地,若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则
(1)称Δx=　　　　为自变量的改变量;
(2)称Δy=　　　　(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量;
(3)称=为函数y=f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率,其中“以x1,x2为端点的闭区间”,在x1x2时指的是[x2,x1].
2.导数的概念
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率=　　　　　　　　　　　为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y',即f'(x0)==　　　　　　　　　　.
(2)导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的　　　,相应的切线方程为　　　　　　　　　　　　　.
3.基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f'(x)=　　
f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)=　　
f(x)=sin x f'(x)=　　
f(x)=cos x f'(x)=　　
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=　　
f(x)=ex f'(x)=　　
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=　　
f(x)=ln x f'(x)=　　
4.导数的四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'=　　　　　　　;
(2)[f(x)g(x)]'=　　　　　　　　;
(3)'=(g(x)≠0);(特殊化)当f(x)=1,g(x)≠0时,=,'=-.
(4)[cf(x)]'=　　　(c为常数).
5.复合函数的导数
对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=　　　　　,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的　　　.
解题结论拓展
(1)f'(x)是一个函数,f'(x0)是函数f'(x)在x0处的函数值(常数)不一定为0,(f(x0))'是函数值f(x0)的导数且(f(x0))'=0.
(2)若函数连续且可导,则奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.
(3)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x).
典题细发掘
1.(苏教选必修①P203T2改编)[多选]下列函数求导运算正确的是 (　　)
A.若y=,则y'=-B.若y=4x,则y'=4x
C.若y=,则y'= D.若y=xex,则y'=(x+1)ex
2.(人A选必修②P70T4改编)若车轮旋转的角度θ(单位:rad)与时间t(单位:s)之间的关系为θ(t)=t2,则车轮转动开始后第4秒的瞬时角速度为 (　　)
A.13π rad/s B. rad/s
C.52π rad/s D.26π rad/s
3.(人A选必修②P81T6改编)已知函数f(x)满足f(x)=f'cos x-sin x,则f'=　　　　.
4.(人A选必修②P78T3改编)曲线y=f(x)=x2+在点(1,4)处的切线方程为　　　　　　.
题点一　导数的运算
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]　(多选)下列结论正确的是 (　　)
A.若y=sin ,则y'=cos B.若f(x)=3x2-f'(1)x,则f'(1)=3
C.若y=-+x,则y'=-+1 D.若y=tan x2,则y'=
|思维建模|　常用求导技巧
(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;
(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;
(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导;
(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;
(5)三角形式:先利用公式化简函数,再求导;
(6)复合函数:确定复合关系,由外向内,层层求导.
[即时训练]
1.已知函数f(x)=-x2+ln x,则的值为 (　　)
A.e B.-2
C.- D.0
2.[多选]下列求导运算正确的是 (　　)
A.'= B.'=1+
C.(log23)'=0 D.(x2ex)'=(2x-x2)ex
题点二　导数的几何意义
考法(一)　求切线方程
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]
(1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　)
A. B.
C. D.
(2)(2022·新课标Ⅱ卷)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为　 　　　　,　 　　　　.
[考教衔接]
[例2]第(2)题源自人B选必修③P91T6:求满足下列条件的直线l的方程.
(1)过原点且与曲线y=ln x相切;(2)斜率为e且与曲线y=ex相切.
启示:从条件上看,两题均是求曲线y=ln x过坐标原点的切线方程,只不过高考题又结合了分段函数及函数的性质求解,体现了高考源于教材、高于教材的命题理念.
|思维建模|　求切线方程的关键点
(1)处理与切线有关的问题,关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程:
①切点处的导数是切线的斜率;
②切点在切线上;
③切点在曲线上.
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.
考法(二)　求切点坐标
[例3]　已知直线y=ex-2是曲线y=ln x的切线,则切点坐标为 (　　)
A. B.(e,1)
C. D.(0,1)
|思维建模|
求切点坐标的思路
　　已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.
考法(三)　求参数的值或范围
[例4]　(2022·新课标Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　　　.
快审准解:设出切点横坐标x0,利用导数的几何意义求得切线方程,根据切线经过原点得到关于x0的方程,根据此方程应有两个不同的实数根,求得a的取值范围.
|思维建模|
由导数的几何意义求参数范围的方法
(1)利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.
(2)注意曲线上点的横坐标的取值范围.
[即时训练]
3.曲线C:y=x3在点P处的切线的斜率等于3,则点P的坐标为 (　　)
A.(1,1)或(-1,1) B.(-1,-1)或(1,-1)
C.(-1,-1)或(1,1) D.(-1,1)或(1,-1)
4.(人A选必修②P82T11改编)函数f(x)=x+aln x在点(1,1)处的切线与直线y=2x平行,则a= (　　)
A.1 B.2
C.-1 D.-2
5.(2025·贵阳模拟)过点P(1,-3)作曲线y=2x3-3x的切线,切线的方程为　　　　.
题点三　公切线问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例5]　(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　　　　.
[考教衔接]
[例5]源自人教B版选择性必修③P91T3:已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a,如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,则a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线 写出此公切线的方程.
启示:高考题与教材题均考查由公切线问题求参数,二者的区别在于是否明确切点.平时学通教材,高考信手拈来.
|思维建模|　求解公切线问题的策略
　　确定两曲线的公切线问题,切点是切线的核心.解决这类问题的关键是设出切点的坐标,用好相切的特征,即若两个函数的图象有相同的切线,则需根据函数与切线在切点处的函数值相等以及两函数在切点处的导函数的函数值也相等,构建方程(组)加以求解.
[即时训练]
6.若直线l是曲线y=ex-1与y=ex-1的公切线,则直线l的方程为 (　　)
A.y=x-1 B.y=x
C.y=x+1 D.y=ex
7.已知直线y=ax+b(a∈R,b>0)是曲线f(x)=ex与曲线g(x)=ln x+2的公切线,则a+b= (　　)
A.2 B.
C.e D.
第一节　导数的概念及运算
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.(1)x2-x1　(2)y2-y1
2.(1)　　
(2)斜率　y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
3.0　αxα-1　cos x　-sin x　axln a　ex　　
4.(1)f'(x)±g'(x)　(2)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)　(4)cf'(x)
5.y'u·u'x　乘积
[典题细发掘]
1.AD
2.选A　由题意可得θ'(t)=t,所以车轮转动开始后第4秒的瞬时角速度为θ'(4)=13π rad/s,故选A.
3.解析:f'(x)=-f'sin x-cos x,令x=,得f'=-f'-,解得f'=1-.
答案:1-
4.解析:易知f'(x)=2x-,则f'(1)=-1,故f(x)在点(1,4)处的切线方程为y-4=-(x-1),即x+y-5=0.
答案:x+y-5=0
课堂·题点精研
题点一
[例1]　选BC　对于A,y=sin =,则y'='=0,故A错误;
对于B,由f(x)=3x2-f'(1)x求导,得f'(x)=6x-f'(1),当x=1时,f'(1)=6-f'(1),解得f'(1)=3,故B正确;
对于C,由y=-+x求导,得y'=-+1,故C正确;
对于D,由y=tan x2=求导,得y'='==,故D错误.
(易错提醒:在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导,不能混淆)
[即时训练]
1.选D　因为f'(x)=-x+,所以f'(1)=-1+1=0,
所以=0.故选D.
2.选ABC　'==,A正确.'=x'-'=1+,B正确.log23为常数,C正确.(x2ex)'=(x2)'·ex+x2(ex)'=2xex+x2ex=(2x+x2)ex,D错误.
易错提醒:利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.
题点二
[例2]　(1)A　(2)y=x　y=-x
(1)f'(x)=,则f'(0)=3,即曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),即3x-y+1=0,切线与两坐标轴的交点分别为(0,1),,所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×=,故选A.
(2)法一:化为分段函数,分段求y=ln|x|
当x>0时,y=ln x,设切点为(x0,ln x0),由y'=,得y'=,所以切线方程为y-ln x0=(x-x0).又切线过坐标原点,所以-ln x0=(-x0),解得x0=e,所以切线方程为y-1=(x-e),即y=x;
当x<0时,y=ln(-x),设切点为(x1,ln(-x1)),由y'=,得y'=,所以切线方程为y-ln(-x1)=(x-x1).又切线过坐标原点,所以-ln(-x1)=(-x1),解得x1=-e,所以切线方程为y-1=(x+e),即y=-x.
法二:根据函数的对称性,数形结合
当x>0时,y=ln x,设切点为(x0,ln x0),由y'=,得y'=,所以切线方程为y-ln x0=(x-x0),又切线过坐标原点,所以-ln x0=(-x0),解得x0=e,所以切线方程为y-1=(x-e),即y=x;
因为y=ln|x|是偶函数,图象如图所示,
所以当x<0时的切线,只需找到y=x关于y轴的对称直线y=-x即可.
[例3]　选A　设切点坐标为(t,ln t),因为(ln x)'=,所以在点(t,ln t)处切线的斜率为,所以曲线y=ln x在点(t,ln t)处的切线方程为y-ln t=(x-t),即y-ln t=x-1,所以解得t=,所以切点为.
[例4]　解析:∵y=(x+a)ex,∴y'=(x+1+a)ex,设切点为(x0,y0),则y0=(x0+a),切线斜率k=(x0+1+a),切线方程为y-(x0+a)=(x0+1+a)(x-x0).∵切线过原点,∴-(x0+a)=(x0+1+a)(-x0),整理得+ax0-a=0.∵切线有两条,∴Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,∴a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
答案:(-∞,-4)∪(0,+∞)
[即时训练]
3.选C　设点P(x0,),∵y'=3x2,∴y'=3.
∵在点P处的切线的斜率等于3,∴3=3,解得x0=±1,
∴点P的坐标为(-1,-1)或(1,1).
4.选A　f'(x)=1+,则f'(1)=1+a,因为函数f(x)在点(1,1)处的切线与直线y=2x平行,所以f'(1)=1+a=2,解得a=1,故选A.
5.解析:设切点为(a,2a3-3a),因为y=f(x)=2x3-3x,则f'(x)=6x2-3,所以切线的斜率k=f'(a)=6a2-3,故切线方程为y-(2a3-3a)=(6a2-3)(x-a).因为切线过点P(1,-3),所以-3-(2a3-3a)=(6a2-3)(1-a),解得a=0或a=,则切点坐标为(0,0)或,故切线方程为3x+y=0或21x-2y-27=0.
答案:3x+y=0或21x-2y-27=0
题点三
[例5]　解析:由y=ex+x,得y'=ex+1,y'|x=0=e0+1=2,
故曲线y=ex+x在(0,1)处的切线方程为y=2x+1.
由y=ln(x+1)+a,得y'=,
设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0,ln(x0+1)+a),
由两曲线有公切线得y'==2,解得x0=-,则切点为,切线方程为y=2+a+ln=2x+1+a-ln 2,根据两切线重合,所以a-ln 2=0,解得a=ln 2.
答案:ln 2
[即时训练]
6.选B　由y=ex-1,得y'=ex-1,由y=ex-1,得y'=ex.设直线l与曲线y=ex-1切于点(x1,),与曲线y=ex-1切于点(x2,-1),则= ①,又= ②,
由方程①②解得x1=1,x2=0,所以直线l过点(1,1),斜率为1,即l的方程为y=x.
7.快审准解:设(t,et)是f(x)图象上的切点,利用导数的几何意义求出曲线g(x)=ln x+2上的切点,继而求出t的值,结合切线方程,即可求得答案.
选A　由题意知直线y=ax+b(a∈R,b>0)是曲线f(x)=ex与曲线g(x)=ln x+2的公切线,设(t,et)是f(x)图象上的切点,f'(x)=ex,所以f(x)在点(t,et)处的切线方程为y-et=et(x-t),即y=etx+(1-t)et　①,令g'(x)==et,解得x=e-t,g(e-t)=ln e-t+2=2-t,
即直线y=ax+b(a∈R,b>0)与曲线g(x)=ln x+2的切点为(e-t,2-t),所以=et,即1-t=(1-t)et,解得t=0或t=1.当t=1时,①为y=ex,b=0,不符合题意,舍去,所以t=0,此时①可化为y=x+1,所以a+b=1+1=2.(共73张PPT)
第三章
一元函数的导数及其应用
第一节
导数的概念及运算
明确目标
1.了解导数的概念，掌握基本初等函数的导数.通过函数图象，理解导数的几何意义.
2.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax+b))的导数.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.函数的平均变化率
一般地，若函数y=f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1=f(x1)，y2=f(x2)，则
(1)称Δx=_______为自变量的改变量；
(2)称Δy=_______ (或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量；
(3)称=为函数y=f(x)在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率，其中“以x1，x2为端点的闭区间”，在x1x2时指的是[x2，x1] .
x2-x1
y2-y1
2.导数的概念
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率=____________________为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f'(x0)或y'，即f'(x0)=
=___________________.
(2)导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的_____，相应的切线方程为_________________.
3.基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f'(x)=____
f(x)=xα(α∈R，且α≠0) f'(x)=_____
f(x)=sin x f'(x)=_____
f(x)=cos x f'(x)=_____
f(x)=ax(a>0，且a≠1) f'(x)=_____
f(x)=ex f'(x)=___
f(x)=logax(a>0，且a≠1) f'(x)=____
f(x)=ln x f'(x)=____
0
αxα-1
cos x
-sin x
axln a
ex
4.导数的四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'=___________；
(2)[f(x)g(x)]'=__________________；
(3)'=(g(x)≠0)；
(特殊化)当f(x)=1，g(x)≠0时，='=-.
(4)[cf(x)]'=_____ (c为常数).
f'(x)±g'(x)
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
cf'(x)
5.复合函数的导数
对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为y'x=_______，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的______.
y'u·u'x
乘积
解题结论拓展
(1)f'(x)是一个函数，f'(x0)是函数f'(x)在x0处的函数值(常数)不一定为0，(f(x0))'是函数值f(x0)的导数且(f(x0))'=0.
(2)若函数连续且可导，则奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.
(3)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x).
典题细发掘
1.(苏教选必修①P203T2改编)[多选]下列函数求导运算正确的是 (　　)
A.若y=，则y'=-
B.若y=4x，则y'=4x
C.若y=，则y'=
D.若y=xex，则y'=(x+1)ex
√
√
2.(人A选必修②P70T4改编)若车轮旋转的角度θ(单位:rad)与时间t(单位:s)之间的关系为θ(t)=t2，则车轮转动开始后第4秒的瞬时角速度为(　　)
A.13π rad/s B. rad/s
C.52π rad/s D.26π rad/s
解析:由题意可得θ'(t)=t，所以车轮转动开始后第4秒的瞬时角速度为θ'(4)=13π rad/s，故选A.
√
3.(人A选必修②P81T6改编)已知函数f(x)满足f(x)=f'cos x-sin x，则f'=_______.
解析:f'(x)=-f'sin x-cos x，令x=，得f'=-f'-，解得f'=1-.
1-
4.(人A选必修②P78T3改编)曲线y=f(x)=x2+在点(1，4)处的切线方程为___________.
解析:易知f'(x)=2x-，则f'(1)=-1，故f(x)在点(1，4)处的切线方程为y-4=-(x-1)，即x+y-5=0.
x+y-5=0
课堂·题点精研
02
[例1]　(多选)下列结论正确的是 (　　)
A.若y=sin ，则y'=cos
B.若f(x)=3x2-f'(1)x，则f'(1)=3
C.若y=-+x，则y'=-+1
D.若y=tan x2，则y'=
√
题点一　导数的运算
√
解析:对于A，y=sin =，则y'='=0，故A错误；
对于B，由f(x)=3x2-f'(1)x求导，
得f'(x)=6x-f'(1)，当x=1时，
f'(1)=6-f'(1)，解得f'(1)=3，故B正确；
对于C，由y=-+x求导，
得y'=-+1，故C正确；
对于D，由y=tan x2=求导，
得y'='==，故D错误.
(易错提醒:在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆)
常用求导技巧
(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式，再求导；
(2)分式形式:观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
(3)对数形式:先化为和、差的形式，再求导；
(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式，再求导；
(5)三角形式:先利用公式化简函数，再求导；
(6)复合函数:确定复合关系，由外向内，层层求导.
思维建模
1.已知函数f(x)=-x2+ln x，则的值为(　　)
A.e B.-2
C.- D.0
解析:因为f'(x)=-x+，所以f'(1)=-1+1=0，
所以=0.故选D.
即时训练
√
2.[多选]下列求导运算正确的是 (　　)
A.'= 　　
B.'=1+
C.(log23)'=0 　　
D.(x2ex)'=(2x-x2)ex
√
√
√
解析:'==，A正确.
'=x'-'=1+，B正确.log23为常数，C正确.
(x2ex)'=(x2)'·ex+x2(ex)'=2xex+x2ex=(2x+x2)ex，D错误.
利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.
易错提醒
考法(一)　求切线方程
[例2]
(1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)=，则曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A. B. C. D.
√
题点二　导数的几何意义
解析:f'(x)=，则f'(0)=3，即曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线方程为y-1=3(x-0)，即3x-y+1=0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×=，故选A.
(2)(2022·新课标Ⅱ卷)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为______，_______.
　解析:法一:化为分段函数，分段求y=ln|x|
当x>0时，y=ln x，设切点为(x0，ln x0)，由y'=，得y'=，所以切线方程为y-ln x0=(x-x0).又切线过坐标原点，所以-ln x0= (-x0)，解得x0=e，所以切线方程为y-1=(x-e)，即y=x；
y=x
y=-x
当x<0时，y=ln(-x)，设切点为(x1，ln(-x1))，由y'=，得y'=，所以切线方程为y-ln(-x1)=(x-x1).又切线过坐标原点，所以-ln(-x1)=
(-x1)，解得x1=-e，所以切线方程为y-1=(x+e)，即y=-x.
法二:根据函数的对称性，数形结合
当x>0时，y=ln x，设切点为(x0，ln x0)，由y'=，得y'=，所以切线方程为y-ln x0=(x-x0)，又切线过坐标原点，所以-ln x0=
(-x0)，解得x0=e，所以切线方程为y-1=(x-e)，即y=x；
因为y=ln|x|是偶函数，图象如图所示，
所以当x<0时的切线，
只需找到y=x关于y轴的对称直线y=-x即可.
|考|教|衔|接|
[例2]第(2)题源自人B选必修③P91T6:求满足下列条件的直线l的方程.
(1)过原点且与曲线y=ln x相切；
(2)斜率为e且与曲线y=ex相切.
启示:从条件上看，两题均是求曲线y=ln x过坐标原点的切线方程，只不过高考题又结合了分段函数及函数的性质求解，体现了高考源于教材、高于教材的命题理念.
求切线方程的关键点
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程:
①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上；
③切点在曲线上.
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.
思维建模
考法(二)　求切点坐标
[例3]　已知直线y=ex-2是曲线y=ln x的切线，则切点坐标为(　　)
A. B.(e，1)
C. D.(0，1)
√
解析:设切点坐标为(t，ln t)，因为(ln x)'=，所以在点(t，ln t)处切线的斜率为，所以曲线y=ln x在点(t，ln t)处的切线方程为y-ln t
=(x-t)，即y-ln t=x-1，所以解得t=，所以切点为.
求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.
思维建模
考法(三)　求参数的值或范围
[例4]　(2022·新课标Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是___________________.
快审准解:设出切点横坐标x0，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于x0的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围.
(-∞，-4)∪(0，+∞)
解析:∵y=(x+a)ex，∴y'=(x+1+a)ex，设切点为(x0，y0)，则y0=(x0
+a)，切线斜率k=(x0+1+a)，切线方程为y-(x0+a)=(x0+1+a)(x-x0).∵切线过原点，∴-(x0+a)=(x0+1+a)(-x0)，整理得+ax0-a=0.
∵切线有两条，∴Δ=a2+4a>0，解得a<-4或a>0，∴a的取值范围是(-∞，
-4)∪(0，+∞).
由导数的几何意义求参数范围的方法
(1)利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围.
(2)注意曲线上点的横坐标的取值范围.
思维建模
3.曲线C:y=x3在点P处的切线的斜率等于3，则点P的坐标为 (　　)
A.(1，1)或(-1，1)
B.(-1，-1)或(1，-1)
C.(-1，-1)或(1，1)
D.(-1，1)或(1，-1)
即时训练
√
解析:设点P(x0，)，
∵y'=3x2，∴ =3.
∵在点P处的切线的斜率等于3，
∴3=3，解得x0=±1，
∴点P的坐标为(-1，-1)或(1，1).
4.(人A选必修②P82T11改编)函数f(x)=x+aln x在点(1，1)处的切线与直线y=2x平行，则a= (　　)
A.1 B.2
C.-1 D.-2
解析:f'(x)=1+，则f'(1)=1+a，因为函数f(x)在点(1，1)处的切线与直线y=2x平行，所以f'(1)=1+a=2，解得a=1，故选A.
√
5.(2025·贵阳模拟)过点P(1，-3)作曲线y=2x3-3x的切线，切线的方程为______________________.
解析:设切点为(a，2a3-3a)，因为y=f(x)=2x3-3x，则f'(x)=6x2-3，所以切线的斜率k=f'(a)=6a2-3，故切线方程为y-(2a3-3a)=(6a2-3)(x-a).因为切线过点P(1，-3)，所以-3-(2a3-3a)=(6a2-3)(1-a)，解得a=0或a=，则切点坐标为(0，0)或，故切线方程为3x+y=0或21x-2y-27=0.
3x+y=0或21x-2y-27=0
[例5]　(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=_______.
解析:由y=ex+x，得y'=ex+1，y'|x=0=e0+1=2，
故曲线y=ex+x在(0，1)处的切线方程为y=2x+1.
由y=ln(x+1)+a，得y'=，
设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0，ln(x0+1)+a)，
题点三　公切线问题
ln 2
由两曲线有公切线得y'==2，解得x0=-，则切点为，切线方程为y=2+a+ln=2x+1+a-ln 2，
根据两切线重合，所以a-ln 2=0，解得a=ln 2.
|考|教|衔|接|
[例5]源自人教B版选择性必修③P91T3:已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，则a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线 写出此公切线的方程.
启示:高考题与教材题均考查由公切线问题求参数，二者的区别在于是否明确切点.平时学通教材，高考信手拈来.
求解公切线问题的策略
确定两曲线的公切线问题，切点是切线的核心.解决这类问题的关键是设出切点的坐标，用好相切的特征，即若两个函数的图象有相同的切线，则需根据函数与切线在切点处的函数值相等以及两函数在切点处的导函数的函数值也相等，构建方程(组)加以求解.
思维建模
6.若直线l是曲线y=ex-1与y=ex-1的公切线，则直线l的方程为 (　　)
A.y=x-1 B.y=x
C.y=x+1 D.y=ex
解析:由y=ex-1，得y'=ex-1，由y=ex-1，得y'=ex.设直线l与曲线y=ex-1切于点(x1，)，与曲线y=ex-1切于点(x2，-1)，则= ①，又= ②，由方程①②解得x1=1，x2=0，所以直线l过点(1，1)，斜率为1，即l的方程为y=x.
即时训练
√
7.已知直线y=ax+b(a∈R，b>0)是曲线f(x)=ex与曲线g(x)=ln x+2的公切线，则a+b= (　　)
A.2 B.
C.e D.
快审准解:设(t，et)是f(x)图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线g(x)=ln x+2上的切点，继而求出t的值，结合切线方程，即可求得答案.
√
解析:由题意知直线y=ax+b(a∈R，b>0)是曲线f(x)=ex与曲线g(x)=ln x+2的公切线，设(t，et)是f(x)图象上的切点，f'(x)=ex，所以f(x)在点(t，et)处的切线方程为y-et=et(x-t)，即y=etx+(1-t)et　①，令g'(x)=
=et，解得x=e-t，g(e-t)=ln e-t+2=2-t，
即直线y=ax+b(a∈R，b>0)与曲线g(x)=ln x+2的切点为(e-t，2-t)，所以=et，即1-t=(1-t)et，解得t=0或t=1.当t=1时，①为y=ex，b=0，不符合题意，舍去，所以t=0，此时①可化为y=x+1，所以a+b=1+1=2.
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课时跟踪检测
03
一、单选题
1.设f(x)为R上的可导函数，且f'(1)=1，则=(　　)
A.2 B.-2
C.1 D.-1
解析:因为f'(1)==1，所以=-2.故选B.
√
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2.(2025·厦门一模)已知直线l与曲线y=x3-x在原点处相切，则l的倾斜角为 (　　)
A. B.
C. D.
解析:由y'=3x2-1，则y'|x=0=-1，即直线l的斜率为-1，根据倾斜角与斜率关系及其范围知，l的倾斜角为.
√
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3.已知函数f(x)=ex+2f'(0)x+1，则f'(2)的值为 (　　)
A.-1 B.-2
C.e2-1 D.e2-2
解析:由f(x)=ex+2f'(0)x+1，得f'(x)=ex+2f'(0)，则f'(0)=e0+2f'(0)，解得f'(0)=-1，即f'(x)=ex-2，故f'(2)=e2-2.
√
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13
4.(2024·宜宾三模)若曲线y=ex+a的一条切线方程是y=x-1，则a= (　　)
A.-2 B.1
C.-1 D.e
解析:由y=ex+a，得y'=ex，设切点坐标为(t，et+a)，由et=1，得t=0，∴切点坐标为(0，1+a)，代入y=x-1，得1+a=-1，即a=-2.
√
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13
5.已知函数f(x)=ln x+x，过原点作曲线y=f(x)的切线l，则切点P的坐标为 (　　)
A.(1，1) B.(e，e+1)
C. D.(e2，e2+2)
√
1
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2
3
4
13
解析:由题意可知，f'(x)=+1，设切点为P(x0，ln x0+x0)，则切线方程为y=(x-x0)+ln x0+x0，因为切线过原点，所以0=(-x0)+
ln x0+x0=ln x0-1，解得x0=e，则P(e，e+1).
6.(2024·西安三模)已知函数f(x)=则f(x)在点(5，f(5))处的切线方程为(　　)
A.4x-y-28=0 B.4x+y-12=0
C.x-4y-12=0 D.x+4y-22=0
√
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13
解析:当x∈(0，2]时，f'(x)=2x-3，
当x∈(4，6]时，f(x)=2f(x-2)=4f(x-4)，
则f'(x)=4f'(x-4)，所以f(5)=4f(1)=-8，
f'(5)=4f'(1)=-4.
则所求的切线方程为y-(-8)=-4(x-5)，即4x+y-12=0.
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13
7.(2025·西安模拟)函数f(x)=x-aln x在区间(1，6)的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围是 (　　)
A.(1，6) B.(1，3)
C.(3，4) D.(4，6)
√
1
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13
解析:设切点横坐标为x0，所作切线斜率为k，
则k=f'(x0)=1-，当a≤0时，k=1->0，
故不存在k1k2=-1；当a>0时，满足
所以31
5
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4
13
8.已知定义在区间(0，+∞)上的函数f(x)=-2x2+m，g(x)=-3ln x
-x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为 (　　)
A.2 B.5
C.1 D.0
√
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解析:根据题意，设曲线y=f(x)与y=g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0，由f(x)=-2x2+m，可得f'(x)=-4x，则切线的斜率为f'(a)=-4a.由g(x)=-3ln x-x，可得g'(x)=--1，则切线的斜率为g'(a)=--1.因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以-4a=--1，解得a=1或a=-(舍去).又由g(1)=-1，即公共点的坐标为(1，-1)，将点(1，
-1)代入f(x)=-2x2+m，可得m=1.
1
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13
9.直线y=kx+b与函数y=ex-1和y=ex-2的图象都相切，则b= (　　)
A.2 B.ln 2
C.1+ln 2 D.-2ln 2
√
1
5
6
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2
3
4
13
解析:设两个切点分别为P1(x1，)，P2(x2，-2)，(ex-1)'=ex-1，(ex-2)'=ex.曲线y=ex-1在点P1处的切线方程为y-=(x-x1)，整理得y=x+(1-x1)，曲线y=ex-2在点P2处的切线方程为y-(-2)=(x-x2)，整理得y=x+(1-x2)-2.因为直线y=kx+b是两函数图象的公切线，
所以
由①可得x1-1=x2，代入②得-x2=(1-x2)-2，整理得=2，所以x2=ln 2，代入②得b=(1-ln 2)eln 2-2=-2ln 2.
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二、多选题
10.下列函数的求导运算正确的是(　　)
A.'=
B.(x3-2x+1)'=3x2-2xln 2
C.'=-
D.'=2sin
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√
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解析:对于A，'==，A错误；对于B，
(x3-2x+1)'=3x2-2xln 2，B正确；对于C，
'='=-，C正确；对于D，
'=2sin·cos·2=2sin，
D正确.
13
11.已知函数f(x)的部分图象如图所示，f'(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是 (　　)
A.f'(3)<0
B.f'(-1)>0
C.f(-1)-f'(-1)>0
D.f(3)-3f'(3)<0
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√
13
√
√
解析:由f(x)的图象在点B处的切线斜率小于0，即f'(3)<0，故A正确；f'(-1)表示f(x)的图象在点A处的切线斜率，故f'(-1)<0，故B错误；由题图可知f(-1)>0，f'(-1)<0，故f(-1)-f'(-1)>0，故C正确；直线OB的斜率小于f(x)的图象在点B处的切线斜率，即1
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12.已知曲线y=f(x)在原点处的切线与曲线y=xf(x)在(2，8)处的切线重合，则 (　　)
A.f(2)=4
B.f'(2)=3
C.f'(0)=4
D.曲线y=f(x)在(2，a)处的切线方程为y=a
1
5
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√
13
√
√
解析:令g(x)=xf(x)，则g'(x)=f(x)+xf'(x)，依题意g(2)=2f(2)=8，解得f(2)=4，故A正确；
依题意可得曲线y=f(x)在原点处的切线过点(2，8)，所以f'(0)==4，故C正确；
又g'(2)=f(2)+2f'(2)=f'(0)=4，所以f'(2)=0，则曲线y=f(x)在(2，a)处的切线方程为y=a，故B错误，D正确.
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三、填空题
13.设函数f(x)=，若f'(1)=，则a=_____.
解析:由于f'(x)=，
故f'(1)==，解得a=1.
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14.曲线f(x)=3ln x-x2f'(1)在点(1，m)处的切线方程为_________.
解析:由f(x)=3ln x-x2f'(1)，求导得f'(x)=-2xf'(1)，则f'(1)=3-2f'(1)，解得f'(1)=1，于是f(x)=3ln x-x2，m=f(1)=-1，所以所求切线方程为y+1=x-1，即x-y-2=0.
13
x-y-2=0
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15.若曲线f(x)=mx2+ln 2x存在垂直于y轴的切线，则实数m的取值范围是_____________.
快审准解:求导后，将问题转换为函数方程有解问题，参变分离即可得解.
13
(-∞，0)
1
5
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2
3
4
解析:f'(x)=2mx+=2mx+(x>0)，
由题意曲线f(x)=mx2+ln 2x存在垂直于y轴的切线，
所以2mx+=0在(0，+∞)上有解，即m=-在(0，+∞)上有解，
而y=-在(0，+∞)上的值域为(-∞，0)，
则实数m的取值范围是(-∞，0) .
13课时跟踪检测(二十)　导数的概念及运算
一、单选题
1.设f(x)为R上的可导函数,且f'(1)=1,则= (　　)
A.2 B.-2
C.1 D.-1
2.(2025·厦门一模)已知直线l与曲线y=x3-x在原点处相切,则l的倾斜角为 (　　)
A. B.
C. D.
3.已知函数f(x)=ex+2f'(0)x+1,则f'(2)的值为 (　　)
A.-1 B.-2
C.e2-1 D.e2-2
4.(2024·宜宾三模)若曲线y=ex+a的一条切线方程是y=x-1,则a= (　　)
A.-2 B.1
C.-1 D.e
5.已知函数f(x)=ln x+x,过原点作曲线y=f(x)的切线l,则切点P的坐标为 (　　)
A.(1,1) B.(e,e+1)
C. D.(e2,e2+2)
6.(2024·西安三模)已知函数f(x)=则f(x)在点(5,f(5))处的切线方程为 (　　)
A.4x-y-28=0 B.4x+y-12=0
C.x-4y-12=0 D.x+4y-22=0
7.(2025·西安模拟)函数f(x)=x-aln x在区间(1,6)的图象上存在两条相互垂直的切线,则a的取值范围是 (　　)
A.(1,6) B.(1,3)
C.(3,4) D.(4,6)
8.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)=-2x2+m,g(x)=-3ln x-x,若以上两函数的图象有公共点,且在公共点处切线相同,则m的值为 (　　)
A.2 B.5
C.1 D.0
9.直线y=kx+b与函数y=ex-1和y=ex-2的图象都相切,则b= (　　)
A.2 B.ln 2
C.1+ln 2 D.-2ln 2
二、多选题
10.下列函数的求导运算正确的是 (　　)
A.'= B.(x3-2x+1)'=3x2-2xln 2
C.'=- D.'=2sin
11.已知函数f(x)的部分图象如图所示,f'(x)是f(x)的导函数,则下列结论正确的是 (　　)
A.f'(3)<0
B.f'(-1)>0
C.f(-1)-f'(-1)>0
D.f(3)-3f'(3)<0
12.已知曲线y=f(x)在原点处的切线与曲线y=xf(x)在(2,8)处的切线重合,则 (　　)
A.f(2)=4 B.f'(2)=3
C.f'(0)=4 D.曲线y=f(x)在(2,a)处的切线方程为y=a
三、填空题
13.设函数f(x)=,若f'(1)=,则a=　　　　.
14.曲线f(x)=3ln x-x2f'(1)在点(1,m)处的切线方程为　　　　.
15.若曲线f(x)=mx2+ln 2x存在垂直于y轴的切线,则实数m的取值范围是　　　　.
课时跟踪检测(二十)
1.选B　因为f'(1)==1,
所以=-2.故选B.
2.选C　由y'=3x2-1,则y'|x=0=-1,即直线l的斜率为-1,根据倾斜角与斜率关系及其范围知,l的倾斜角为.
3.选D　由f(x)=ex+2f'(0)x+1,得f'(x)=ex+2f'(0),
则f'(0)=e0+2f'(0),解得f'(0)=-1,即f'(x)=ex-2,故f'(2)=e2-2.
4.选A　由y=ex+a,得y'=ex,设切点坐标为(t,et+a),由et=1,得t=0,∴切点坐标为(0,1+a),代入y=x-1,得1+a=-1,即a=-2.
5.选B　由题意可知,f'(x)=+1,设切点为P(x0,ln x0+x0),则切线方程为y=(x-x0)+ln x0+x0,因为切线过原点,所以0=(-x0)+ln x0+x0=ln x0-1,
解得x0=e,则P(e,e+1).
6.选B　当x∈(0,2]时,f'(x)=2x-3,
当x∈(4,6]时,f(x)=2f(x-2)=4f(x-4),则f'(x)=4f'(x-4),所以f(5)=4f(1)=-8,f'(5)=4f'(1)=-4.则所求的切线方程为y-(-8)=-4(x-5),即4x+y-12=0.
7.选C　设切点横坐标为x0,所作切线斜率为k,则k=f'(x0)=1-,当a≤0时,k=1->0,故不存在k1k2=-1;当a>0时,满足所以38.选C　根据题意,设曲线y=f(x)与y=g(x)的公共点为(a,b),其中a>0,由f(x)=-2x2+m,可得f'(x)=-4x,则切线的斜率为f'(a)=-4a.由g(x)=-3ln x-x,可得g'(x)=--1,则切线的斜率为g'(a)=--1.因为两函数的图象有公共点,且在公共点处切线相同,所以-4a=--1,解得a=1或a=-(舍去).又由g(1)=-1,即公共点的坐标为(1,-1),将点(1,-1)代入f(x)=-2x2+m,可得m=1.
9.选D　设两个切点分别为P1(x1,),P2(x2,-2),(ex-1)'=ex-1,(ex-2)'=ex.曲线y=ex-1在点P1处的切线方程为y-=(x-x1),整理得y=x+(1-x1)·,曲线y=ex-2在点P2处的切线方程为y-(-2)=(x-x2),整理得y=x+(1-x2)-2.因为直线y=kx+b是两函数图象的公切线,
所以
由①可得x1-1=x2,代入②得-x2=(1-x2)-2,整理得=2,所以x2=ln 2,代入②得b=(1-ln 2)eln 2-2=-2ln 2.
10.选BCD　对于A,'==,A错误;对于B,(x3-2x+1)'=3x2-2xln 2,B正确;对于C,'='=-,C正确;对于D,'=2sin·cos·2=2sin,D正确.
11.选ACD　由f(x)的图象在点B处的切线斜率小于0,即f'(3)<0,故A正确;f'(-1)表示f(x)的图象在点A处的切线斜率,故f'(-1)<0,故B错误;由题图可知f(-1)>0,f'(-1)<0,故f(-1)-f'(-1)>0,故C正确;直线OB的斜率小于f(x)的图象在点B处的切线斜率,即12.选ACD　令g(x)=xf(x),则g'(x)=f(x)+xf'(x),依题意g(2)=2f(2)=8,解得f(2)=4,故A正确;
依题意可得曲线y=f(x)在原点处的切线过点(2,8),
所以f'(0)==4,故C正确;
又g'(2)=f(2)+2f'(2)=f'(0)=4,所以f'(2)=0,则曲线y=f(x)在(2,a)处的切线方程为y=a,故B错误,D正确.
13.解析:由于f'(x)=,故f'(1)==,解得a=1.
答案:1
14.解析:由f(x)=3ln x-x2f'(1),求导得f'(x)=-2xf'(1),则f'(1)=3-2f'(1),解得f'(1)=1,于是f(x)=3ln x-x2,m=f(1)=-1,所以所求切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0.
答案:x-y-2=0
15.快审准解:求导后,将问题转换为函数方程有解问题,参变分离即可得解.
解析:f'(x)=2mx+=2mx+(x>0),
由题意曲线f(x)=mx2+ln 2x存在垂直于y轴的切线,所以2mx+=0在(0,+∞)上有解,即m=-在(0,+∞)上有解,而y=-在(0,+∞)上的值域为(-∞,0),则实数m的取值范围是(-∞,0).
答案:(-∞,0)

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