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浙江省温州市文成县2025年九年级学生学科素养检测数学试卷（二模）
1．（2025·文成二模）下表记录了某城市一天四个时刻的气温．
10时 12时 14时 16时
在这一天以上四个时刻中，该城市最低气温在（　　）
A．10时 B．12时 C．14时 D．16时
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵|-2|=2，|-1|=1，而 2＞1，
∴-2＜-1＜0＜3，
∴在这一天以上四个时刻中，该城市最低气温为10时的-2℃.
故答案为：A.
【分析】根据“正数大于零，0大于负数，两个负数，绝对值大的比较小”比较出当天4个时刻气温的大小即可.
2．（2025·文成二模）4个相同正方体搭成的几何体如图所示，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：4个相同正方体搭成的几何体如图所示，其主视图为
故答案为：B.
【分析】主视图就是从前向后看得到的正投影，该正方体组合的主视图共有两层，底层共有三个小正方形，第二层左边有一个小正方形，据此可得答案.
3．（2025·文成二模）文成县珊溪水库的建设解决了温州淡水资源紧缺和缓解电力供应紧张的局面．水库的库容量约为1824000000立方米，其中1824000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1824000000用科学记数法表示为：1.824×109.
故答案为：D.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此求解即可.
4．（2025·文成二模）某地区对若干名青少年进行最喜爱的运动项目问卷调查，并绘制成如图所示统计图，已知选择游泳的有120人，那么选择篮球的有（　　）
A．60人 B．120人 C．180人 D．240人
【答案】C
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：本次调查的总人数为：120÷20％=600（人），
选择篮球的人数为：600×30％=180（人）.
故答案为：C.
【分析】根据扇形统计图提供的信息，用选择游泳的人数除以其所占的百分比可求出本次调查的总人数，用本次调查的总人数乘以选择篮球的人数所占的百分比即可求出选择篮球的人数.
5．（2025·文成二模）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项原计算正确，符合题意；
B、，故此选项原计算错误，不符合题意；
C、 x与x2不是同类项，不能合并，故此选项原计算错误，不符合题意；
D、，故此选项原计算错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断C选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
6．（2025·文成二模）如图，AB是的直径，为圆上一点，连结AC，OC．已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵弧BC=弧BC，
∴∠A=∠BOC=50°，
∵OA=OC，
∴∠C=∠A=50°.
故答案为：C.
【分析】由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠A=50°，再根据等边对等角可得∠C=∠A=50°.
7．（2025·文成二模）不等式组的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由①得x＞-1，
由②得x＞1，
∴该不等式组的解集为x＞1.
故答案为：B.
【分析】根据解不等式的步骤分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同大取大”得出不等式组的解集即可.
8．（2025·文成二模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（，和中间一个小正方形EFGH组成，连结BH，若，则BH的长为（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形，
∴AB=CD=5，EH=GF=1，
∵Rt△ABE≌Rt△AHD，
∴∠AEB=∠AHD=90°，BE=AH，
设BE=AH=x，则AE=x+1，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2+BE2=AB2，即(x+1)2+x2=52，
解得x=3，
∴BE=3，
在Rt△BEH中，BH=.
故答案为：D.
【分析】由正方形的四边相等得AB=CD=5，EH=GF=1，由全等三角形的对应边相等得BE=AH，设BE=AH=x，则AE=x+1，在Rt△ABE中，由勾股定理建立方程，求解得出x的值，从而得出BE的长，最后在Rt△BEH中，利用勾股定理算出BH的长即可.
9．（2025·文成二模）反比例函数的图象上有两点．下列正确的选项是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：在反比例函数中，∵-1＜0，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限，y随x的增大而增大， 当x<0时，y>0，当x>0时，y<0，
A、当t>0时，t+2>2，x1＜x2＜0，故原选项正确，符合题意；
B、当-2C、当-2D、当t<-2时，t+2<0，0故答案为：A.
【分析】反比例函数中，当k＜0时，反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限，y随x的增大而增大， 当x<0时，y>0，当x>0时，y<0；当k＞0时，反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限，y随x的增大而减小， 当x<0时，y＜0，当x>0时，y＞0，据此结合各个选项给出的t的取值范围，判断出t-2的范围，进而根据函数的增减性，逐一判断即可.
10．（2025·文成二模）如图，在矩形ABCD中，是AD上的两个点，且，记BE长为x，BF长为，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，
∴∠BGE=∠BHF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∴四边形ABGE与四边形ABHF都是矩形，
∴AB=EG=FH=1，
∴AE=，BH=，
∵∠ABE=∠CBF，∠A=∠BHF=90°，
∴△ABE∽△HBF，
∴，即
∴(y2-1)(x2-1)=1，
整理得x2y2=x2+y2，
∴，
∴的值不变.
故答案为：D.
【分析】过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，由矩形及垂直的性质得∠A=∠ABC=∠BGE=∠BHF=90°，由“有三个内角为直角的四边形是矩形”得出四边形ABGE与四边形ABHF都是矩形，由矩形的对边相等得AB=EG=FH=1，然后根据勾股定理分别表示出AE及BH，进而利用“有两组角对应相等的两个三角形相似”得△ABE∽△HBF，由相似三角形对应边成比例建立方程并整理可得结论.
11．（2025·文成二模）因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】a2－5a＝a（a－5），故答案为a（a－5）.
【分析】根据因式分解的概念可得到答案.
12．（2025·文成二模）若，则　 　．
【答案】-1
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以2(x+3)约去分母，得x+3=2，
解得x=-1，
当x=-1时，2(x+3)≠0，
∴原方程的解为x=-1.
故答案为：-1.
【分析】方程两边同时乘以各个分母的最简公分母2(x+3)，约去分母，举哀那个分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
13．（2025·文成二模）有3张卡片，上面分别写着0，1，2，从中随机抽取2张，数字之积为0的概率是　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：从3张分别写着 0，1，2，的卡片中随机的抽取两张，共有0、1，0、2，1、2，三种，其中乘积为0的有0、1与0、2两种，∴ 从中随机抽取2张，数字之积为0的概率是.
故答案为：.
【分析】利用列举法列举出从3张分别写着 0，1，2，的卡片中随机的抽取两张的所有情况，再根据有理数乘法法则“任何数与0相乘都等于0”找出其中乘积为0的情况数，从而根据概率公式计算可得答案.
14．（2025·文成二模）如图，AB是半圆的直径，为AB延长线上一点，CD与半圆相切于点，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
∵CD与半圆相切于点D，
∴∠ODC=90°，
又∵∠C=40°，
∴∠COD=90°-∠C=50°，
∴∠DAC=∠COD=25°.
故答案为：25°.
【分析】连接OD，由圆的切线垂直经过切点的半径得∠ODC=90°，由直角三角形的两锐角互余得∠COD=90°-∠C=50°，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得出∠DAC的度数.
15．（2025·文成二模）如图，在中，分别是AB，AC边上的中点，于点，过点作交BC于点，连结GF，则GF的长为　 　．
【答案】4
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接ED交GF于点O，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
又∵点E、F分别是AB、AC的中点，
∴DF=AC=2.5，DE=AB=3，EF=BC=2.5，EF∥GD，
又∵EG∥DF，
∴四边形DFEG是平行四边形，
又∵DF=EF=2.5，
∴平行四边形DFEG是菱形，
∴ED⊥DF，GF=2OF，EO=ED=1.5，
∴OF=，
∴GF=2OF=4.
故答案为：4.
【分析】连接ED交GF于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得DF=AC=2.5，DE=AB=3，由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半得EF=BC=2.5，EF∥GD，由“两组对边分别平行得四边形是平行四边形”得四边形DFEG是平行四边形，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得平行四边形DFEG是菱形，由菱形对角线互相垂直平分得ED⊥DF，EO=ED=1.5，GF=2OF，进而利用勾股定理算出OF即可得出答案.
16．（2025·文成二模）如图，在中，是BC边上的中线，将沿AD翻折至，点落在点处，连结CE，BE．记四边形ADEC面积为的面积为，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的综合；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，延长AD交BE于点F，
∵AC∶BC=3∶4，
∴设AC=3x，BC=4x，
在Rt△ABC中，AB=，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD=2x，
在Rt△ACD中，AD=；
由翻折得AE=AB=5x，DE=BD=CD=2x，
∴AD是BE的垂直平分线，∠DBE=∠DEB，∠DEC=∠DCE，
∵∠DBE+∠DEB+∠DEC+∠DCE=2(∠BED+∠DEC)=180°，
∴∠BEC=∠BED+∠CED=90°，
∴△BCE是直角三角形，
设DF=y，则AF=AD+DF=，
由勾股定理得AF2=AE2-EF2，EF2=DE2-DF2，
∴AF2=AE2-DE2+DF2，即，
解得，即DF=，
∵∠AFB=∠CEB=90°，
∴DF∥CE，
∴△BDF∽△BCE，
∴，即，
∴
∴，
∵S△ABC=，S△BCE=，
∵点D是BC的中点，
∴S△ACD=S△ABD=，S△CED=，
∴S1=S△ACD+S△CDE=，S2=S△ABD=3x2，
∴.
故答案为：.
【分析】延长AD交BE于F，设AC=3x，BC=4x，由勾股定理得AB=5x，AD=；由翻折得AE=AB=5x，DE=BD=CD=2x，根据“到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线”得AD是BE的垂直平分线，由等边对等角及三角形的内角定理可推出△BCE是直角三角形，设DF=y，则AF=AD+DF=，由勾股定理可得AF2=AE2-DE2+DF2，据此建立方程求出，即DF=，由同位角相等两直线平行，得DF∥CE，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△BDF∽△BCE，由相似三角形对应边成比例建立方程可得，根据勾股定理表示出BE，然后根据三角形面积计算公式分别计算出△ABC、△BCE的面积，由等底同高三角形面积相等得出△ACD、△ABD、△CED的面积，进而根据S1=S△ACD+S△CDE算出S1，最后再求出两个面积之比即可.
17．（2025·文成二模）计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】首先根据“”、“”及绝对值的代数意义分别计算，再计算有理数的加减法即可得出答案.
18．（2025·文成二模）解方程组：
【答案】解：
②，得，③
①+③，得．
将代入①，得
原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由于②方程乘以2后未知数y的系数与①方程互为相反数，故利用加减消元法求解较为简单；用方程②×2+①消去y求出x的值，再将x的值代入①方程求出y的值，从而即可求出方程组的解.
19．（2025·文成二模）如图，在中，为CD的中点，连结．
（1）求BC的长．
（2）求的值．
【答案】（1）解：
∴∠ADB=∠ADC=90°，
，
．
在Rt中，．
．
（2）解：为CD的中点，
．
在Rt中，，
．
【知识点】勾股定理；求正弦值；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）在Rt△ACD中，由∠ACB的正切函数可求出CD，在Rt△ABD中，利用勾股定理算出BD，最后根据BC=BD+CD可算出BC的长；
（2）由中点定义得DE=2，在Rt△ADE中，利用勾股定理可算出AE的长，进而再根据正弦函数定义求解即可.
20．（2025·文成二模）九年级（1）（2）两个班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．已知比赛中，所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连．两个班的得分信息如下表：
九（1）班成绩统计表
得分 0 5 10 15 20
人数 2 4 a b c
九（2）班成绩统计表
平均分 中位数 众数 满分率
14.25 10 10 45%
（1）分数10，15，20中，每人得分不可能是 ▲ 分．
（2）已知九（1）班成绩的中位数是15分，求和的值．
（3）在（2）的情况下，你认为哪个班级成绩更优秀？请从平均分、中位数、众数和满分率四个方面作出评价．
【答案】（1）15
（2）解：由（1）得，
因为中位数是15分，
所以，
所以；
（3）解：∵九（1）班的平均分为分，
中位数为15分，众数为20分，满分率为，
九（2）班的平均分为14.25分，中位数为10分，众数为10分，满分率为，
∴九（1）班的中位数、众数和满分率都高于九（2）班，且平均数两个班相差不大，所以我认为九（1）班的成绩更优秀．
【知识点】推理与论证；平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）∵共有4条线，
可能全部连错，得0分，
可能1条线对，3条线错，得5分，
可能2条线对，2条线错，得10分，
可能3条线对，则第4条也对，得20分，
∴每人得分不可能是15分；
故答案为：15；
【分析】（1）根据竞赛规则“所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连”可得解答的时候不可能出现连错一条线的可能，如果出错至少会错两题；
（2）由（1）可得得15分的人数为0 ，即b=0，然后根据“将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数”建立方程，求解即可；
（3）根据平均数计算方法计算出九（1）班的平均分，进而再根据满分率的计算方法求出九（1）班的满分率，进而比较两个班的平均数、 中位数、众数和满分率 ，并结合平均数、中位数、众数和满分率 的定义即可判断得出答案.
21．（2025·文成二模）小李和小王一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中，已知BE平分，用直尺和圆规在AB上找一点，使得DF平分．
小李：条件“BE平分”多余，如图2，以点为圆心，AD长为半径作圆弧交AB于点，连结DF，则DF平分．
小王：利用条件“BE平分”，不用圆规也能找到点，使DF平分．
（1）请给出小李作法中DF平分的证明．
（2）仅用无刻度直尺在图3中作出DF平分．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【答案】（1）证明：在中，AB//CD
∴∠CDF=∠AFD
即DF平分
（2）解：如图，DF就是∠ADC的角平分线.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，DQ=BQ，点Q是平行四边形ABCD的对称中心，
∴QE=FQ，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴∠EDF=∠EBF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠ABC，
∴∠EDF=∠ADC，
∴DF是∠ADC的角平分线.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；角平分线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行得AB∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠CDF=∠AFD，由等边对等角得∠ADF=∠AFD，由等量代换得∠CDF=∠ADF，从而根据角平分线的定义可得结论；
（2）连接AC、BD，相交于点Q，则点Q就是平行四边形ABCD的对称中心，连接EQ并延长交AB于点F，再连接DF，DF就是∠ADC的角平分线；由平行四边形的对角线互相平分得DQ=BQ，由平行四边形的对称性可得EQ=FQ，由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得四边形DEBF是平行四边形，由平行四边形的对角相等得∠ADC=∠ABC，∠EDF=∠EBF，由角平分线的定义得∠FBE=∠ABC，故∠EDF=∠ADC，从而根据角平分的定义可得结论.
22．（2025·文成二模）小文和小成两人从同一地点出发跑步前往某风景区游览，小文全程匀速跑，5分钟后小成才开始出发，第一次与小文相遇时，原地休息片刻，第二段速度比第一段速度提高30米／分钟，结果小成比小文提前4分钟到达．小文和小成的行程相关信息如表所示；离出发地的距离（米）与小文、小成跑步时间（分）的函数关系如图所示．
时间 里程分段 行程里程（米）
小文 9：00－10：00 不分段 5400
小成 9：05－9：56 第一段（休息前） 1800
休息
第二段（休息后） 3600
（1）分别求出小文匀速和小成第一段的跑步速度．
（2）求小成中间休息的时间．
（3）在分钟时两人第二次相遇，求的值．
【答案】（1）解：小文匀速速度：（米／分）
小成第一段时间：（分钟）
小成第一段速度：（米／分）
（2）解：小成第二段速度：（米／分），
小成第二段时间：（分钟）
小成休息时间：（分钟）
（3）解：小成休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等，
此时小成在跑第二段，所跑时间为（分钟）
，
解得．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由图象可得小文跑步5400米，用时60分钟，根据速度=路程÷时间求出小文匀速的跑步速度；根据时间=路程÷速度求出小文跑1800米时所用时间，进而根据小成晚出发5分钟可得小成跑第一段所用时间，最后再根据速度=路程÷时间求出小成第一段的跑步速度；
（2）由“小文 第二段速度比第一段速度提高30米／分钟 ”求出小成第二段的速度，根据时间=路程÷速度求出小文跑第二段所用时间，根据根据小成所用的总时间等于跑第一段所用时间+中间休息时间+跑第二段所用时间求出小成中间休息的时间；
（3）根据两人相遇时所跑路程相等列关于a的方程并求解即可.
23．（2025·文成二模）已知抛物线（为常数且）．
（1）抛物线的对称轴为 ▲ ．
（2）求抛物线与轴的交点坐标．
（3）若抛物线过点，当时，函数的最大值与最小值的差为9，求的取值范围．
【答案】（1）x=-1
（2）解：
令，得
抛物线与轴交点为和
（3）解：将代入，得，解得，
即：抛物线的解析式为：，
当时，取最小值为-4．
①当时，又，
当时，取最小值为；
当时，取最大值为．
又因为函数的最大值与最小值的差为9，
．
．
．
②当时，若，即，
．
当时，取最小值为；
当时，取最大值为，此时，符合题意．
③若，即，
当时，取最小值为；
当时，取最大值为
又因为函数的最大值与最小值的差为9，
．
或，不合题意．
综上所述，的取值范围是．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：（1）抛物线y=ax2+2ax-3a=a(x2+2x+1)-4a=a(x+1)2-4a，
∴抛物线的对称轴直线为x=-1；
故答案为：x=-1；
【分析】（1）把抛物线的解析式利用配方法配成顶点式，即可求出对称轴直线；
（2）首先将抛物线的解析式式利用提取公因式法与十字相乘法分解因式变形为交点式，然后令解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，即可求出抛物线与x轴的交点坐标；
（3）将点A(0，-3)代入y=ax2+2ax-3a可算出a=1，从而得到抛物线的解析式为y=(x+1)2-4，由于抛物线中二次项系数大于零，抛物线开口向上，故当x=-1时，函数的值最小为y=-4，抛物线上的点离对称轴直线距离越远，其对应的函数值越大；然后分类讨论：①当t≤-1时，②当t＞-1时，若t+1＜-1-（-4），即-1＜t≤2，③T+1＞-1-（-4），即t＞2，三种情况分别根据函数的增减性，判断出函数的最大最小值，结合函数的最大值与最小值的差为9列出方程，求解即可得出答案.
24．（2025·文成二模）如图，在圆内接四边形ABCD中，AC，BD是对角线，，在CD的延长线上取一点，使得，在AC的延长线上取一点，连结EF，使得．
（1）若AC是圆的直径，，求．
（2）求证：①．
②．
【答案】（1）解：是圆的直径
（2）证明：①
又
②证法一：在弧ADC上取一点，使，
则弧弧BC，
又
证法二：延长AB，DC交于点，
∵，
∴，
∴
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBG=180°，
又∵∠G=∠G，
又
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得∠ABC=90°，由同弧所对的圆周角相等及已知可推出∠CAB=∠BDC=∠CFE=30°，进而根据直角三角形的量锐角互余可求出∠ACB的度数；
（2）①由同弧所对的圆周角相等及已知可推出∠CAB=∠BDC=∠CFE=30°，进而根据内错角相等两直线平行得AB∥EF；
②证法一：在弧ADC上取一点P，使AP=BC，则AP=CE，由同圆中等弦所对的弧相等及等弧所对的圆周角相等得∠ADP=∠BDC，则∠CFE=∠BDC=∠ADP，由圆内接四边形的对角互补、领补角及同角的补角相等得∠APD=∠ECF，由AAS判断出△ECF≌△APD，由全等三角形的对应边相等得EF=AD；证法二：延长AB，DC交于点G，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AGC∽△FEC，由相似三角形对应边成比例得；由圆内接四边形的对角互补、领补角及同角的补角相等得∠ADG=∠CBG，结合公共角∠G，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AGD∽△CGB，由相似三角形对应边成比例得，从而结合已知，由等量代换可得结论.
1 / 1浙江省温州市文成县2025年九年级学生学科素养检测数学试卷（二模）
1．（2025·文成二模）下表记录了某城市一天四个时刻的气温．
10时 12时 14时 16时
在这一天以上四个时刻中，该城市最低气温在（　　）
A．10时 B．12时 C．14时 D．16时
2．（2025·文成二模）4个相同正方体搭成的几何体如图所示，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·文成二模）文成县珊溪水库的建设解决了温州淡水资源紧缺和缓解电力供应紧张的局面．水库的库容量约为1824000000立方米，其中1824000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·文成二模）某地区对若干名青少年进行最喜爱的运动项目问卷调查，并绘制成如图所示统计图，已知选择游泳的有120人，那么选择篮球的有（　　）
A．60人 B．120人 C．180人 D．240人
5．（2025·文成二模）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·文成二模）如图，AB是的直径，为圆上一点，连结AC，OC．已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·文成二模）不等式组的解集为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·文成二模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（，和中间一个小正方形EFGH组成，连结BH，若，则BH的长为（　　）
A． B． C．3 D．
9．（2025·文成二模）反比例函数的图象上有两点．下列正确的选项是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．（2025·文成二模）如图，在矩形ABCD中，是AD上的两个点，且，记BE长为x，BF长为，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·文成二模）因式分解： 　 　.
12．（2025·文成二模）若，则　 　．
13．（2025·文成二模）有3张卡片，上面分别写着0，1，2，从中随机抽取2张，数字之积为0的概率是　 　．
14．（2025·文成二模）如图，AB是半圆的直径，为AB延长线上一点，CD与半圆相切于点，若，则的度数为　 　．
15．（2025·文成二模）如图，在中，分别是AB，AC边上的中点，于点，过点作交BC于点，连结GF，则GF的长为　 　．
16．（2025·文成二模）如图，在中，是BC边上的中线，将沿AD翻折至，点落在点处，连结CE，BE．记四边形ADEC面积为的面积为，则的值是　 　．
17．（2025·文成二模）计算：
18．（2025·文成二模）解方程组：
19．（2025·文成二模）如图，在中，为CD的中点，连结．
（1）求BC的长．
（2）求的值．
20．（2025·文成二模）九年级（1）（2）两个班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．已知比赛中，所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连．两个班的得分信息如下表：
九（1）班成绩统计表
得分 0 5 10 15 20
人数 2 4 a b c
九（2）班成绩统计表
平均分 中位数 众数 满分率
14.25 10 10 45%
（1）分数10，15，20中，每人得分不可能是 ▲ 分．
（2）已知九（1）班成绩的中位数是15分，求和的值．
（3）在（2）的情况下，你认为哪个班级成绩更优秀？请从平均分、中位数、众数和满分率四个方面作出评价．
21．（2025·文成二模）小李和小王一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中，已知BE平分，用直尺和圆规在AB上找一点，使得DF平分．
小李：条件“BE平分”多余，如图2，以点为圆心，AD长为半径作圆弧交AB于点，连结DF，则DF平分．
小王：利用条件“BE平分”，不用圆规也能找到点，使DF平分．
（1）请给出小李作法中DF平分的证明．
（2）仅用无刻度直尺在图3中作出DF平分．（保留作图痕迹，不要求写作法）
22．（2025·文成二模）小文和小成两人从同一地点出发跑步前往某风景区游览，小文全程匀速跑，5分钟后小成才开始出发，第一次与小文相遇时，原地休息片刻，第二段速度比第一段速度提高30米／分钟，结果小成比小文提前4分钟到达．小文和小成的行程相关信息如表所示；离出发地的距离（米）与小文、小成跑步时间（分）的函数关系如图所示．
时间 里程分段 行程里程（米）
小文 9：00－10：00 不分段 5400
小成 9：05－9：56 第一段（休息前） 1800
休息
第二段（休息后） 3600
（1）分别求出小文匀速和小成第一段的跑步速度．
（2）求小成中间休息的时间．
（3）在分钟时两人第二次相遇，求的值．
23．（2025·文成二模）已知抛物线（为常数且）．
（1）抛物线的对称轴为 ▲ ．
（2）求抛物线与轴的交点坐标．
（3）若抛物线过点，当时，函数的最大值与最小值的差为9，求的取值范围．
24．（2025·文成二模）如图，在圆内接四边形ABCD中，AC，BD是对角线，，在CD的延长线上取一点，使得，在AC的延长线上取一点，连结EF，使得．
（1）若AC是圆的直径，，求．
（2）求证：①．
②．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵|-2|=2，|-1|=1，而 2＞1，
∴-2＜-1＜0＜3，
∴在这一天以上四个时刻中，该城市最低气温为10时的-2℃.
故答案为：A.
【分析】根据“正数大于零，0大于负数，两个负数，绝对值大的比较小”比较出当天4个时刻气温的大小即可.
2．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：4个相同正方体搭成的几何体如图所示，其主视图为
故答案为：B.
【分析】主视图就是从前向后看得到的正投影，该正方体组合的主视图共有两层，底层共有三个小正方形，第二层左边有一个小正方形，据此可得答案.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1824000000用科学记数法表示为：1.824×109.
故答案为：D.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此求解即可.
4．【答案】C
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：本次调查的总人数为：120÷20％=600（人），
选择篮球的人数为：600×30％=180（人）.
故答案为：C.
【分析】根据扇形统计图提供的信息，用选择游泳的人数除以其所占的百分比可求出本次调查的总人数，用本次调查的总人数乘以选择篮球的人数所占的百分比即可求出选择篮球的人数.
5．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项原计算正确，符合题意；
B、，故此选项原计算错误，不符合题意；
C、 x与x2不是同类项，不能合并，故此选项原计算错误，不符合题意；
D、，故此选项原计算错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断C选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵弧BC=弧BC，
∴∠A=∠BOC=50°，
∵OA=OC，
∴∠C=∠A=50°.
故答案为：C.
【分析】由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠A=50°，再根据等边对等角可得∠C=∠A=50°.
7．【答案】B
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由①得x＞-1，
由②得x＞1，
∴该不等式组的解集为x＞1.
故答案为：B.
【分析】根据解不等式的步骤分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同大取大”得出不等式组的解集即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形，
∴AB=CD=5，EH=GF=1，
∵Rt△ABE≌Rt△AHD，
∴∠AEB=∠AHD=90°，BE=AH，
设BE=AH=x，则AE=x+1，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2+BE2=AB2，即(x+1)2+x2=52，
解得x=3，
∴BE=3，
在Rt△BEH中，BH=.
故答案为：D.
【分析】由正方形的四边相等得AB=CD=5，EH=GF=1，由全等三角形的对应边相等得BE=AH，设BE=AH=x，则AE=x+1，在Rt△ABE中，由勾股定理建立方程，求解得出x的值，从而得出BE的长，最后在Rt△BEH中，利用勾股定理算出BH的长即可.
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：在反比例函数中，∵-1＜0，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限，y随x的增大而增大， 当x<0时，y>0，当x>0时，y<0，
A、当t>0时，t+2>2，x1＜x2＜0，故原选项正确，符合题意；
B、当-2C、当-2D、当t<-2时，t+2<0，0故答案为：A.
【分析】反比例函数中，当k＜0时，反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限，y随x的增大而增大， 当x<0时，y>0，当x>0时，y<0；当k＞0时，反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限，y随x的增大而减小， 当x<0时，y＜0，当x>0时，y＞0，据此结合各个选项给出的t的取值范围，判断出t-2的范围，进而根据函数的增减性，逐一判断即可.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，
∴∠BGE=∠BHF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∴四边形ABGE与四边形ABHF都是矩形，
∴AB=EG=FH=1，
∴AE=，BH=，
∵∠ABE=∠CBF，∠A=∠BHF=90°，
∴△ABE∽△HBF，
∴，即
∴(y2-1)(x2-1)=1，
整理得x2y2=x2+y2，
∴，
∴的值不变.
故答案为：D.
【分析】过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，由矩形及垂直的性质得∠A=∠ABC=∠BGE=∠BHF=90°，由“有三个内角为直角的四边形是矩形”得出四边形ABGE与四边形ABHF都是矩形，由矩形的对边相等得AB=EG=FH=1，然后根据勾股定理分别表示出AE及BH，进而利用“有两组角对应相等的两个三角形相似”得△ABE∽△HBF，由相似三角形对应边成比例建立方程并整理可得结论.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】a2－5a＝a（a－5），故答案为a（a－5）.
【分析】根据因式分解的概念可得到答案.
12．【答案】-1
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以2(x+3)约去分母，得x+3=2，
解得x=-1，
当x=-1时，2(x+3)≠0，
∴原方程的解为x=-1.
故答案为：-1.
【分析】方程两边同时乘以各个分母的最简公分母2(x+3)，约去分母，举哀那个分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
13．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：从3张分别写着 0，1，2，的卡片中随机的抽取两张，共有0、1，0、2，1、2，三种，其中乘积为0的有0、1与0、2两种，∴ 从中随机抽取2张，数字之积为0的概率是.
故答案为：.
【分析】利用列举法列举出从3张分别写着 0，1，2，的卡片中随机的抽取两张的所有情况，再根据有理数乘法法则“任何数与0相乘都等于0”找出其中乘积为0的情况数，从而根据概率公式计算可得答案.
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
∵CD与半圆相切于点D，
∴∠ODC=90°，
又∵∠C=40°，
∴∠COD=90°-∠C=50°，
∴∠DAC=∠COD=25°.
故答案为：25°.
【分析】连接OD，由圆的切线垂直经过切点的半径得∠ODC=90°，由直角三角形的两锐角互余得∠COD=90°-∠C=50°，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得出∠DAC的度数.
15．【答案】4
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接ED交GF于点O，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
又∵点E、F分别是AB、AC的中点，
∴DF=AC=2.5，DE=AB=3，EF=BC=2.5，EF∥GD，
又∵EG∥DF，
∴四边形DFEG是平行四边形，
又∵DF=EF=2.5，
∴平行四边形DFEG是菱形，
∴ED⊥DF，GF=2OF，EO=ED=1.5，
∴OF=，
∴GF=2OF=4.
故答案为：4.
【分析】连接ED交GF于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得DF=AC=2.5，DE=AB=3，由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半得EF=BC=2.5，EF∥GD，由“两组对边分别平行得四边形是平行四边形”得四边形DFEG是平行四边形，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得平行四边形DFEG是菱形，由菱形对角线互相垂直平分得ED⊥DF，EO=ED=1.5，GF=2OF，进而利用勾股定理算出OF即可得出答案.
16．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的综合；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，延长AD交BE于点F，
∵AC∶BC=3∶4，
∴设AC=3x，BC=4x，
在Rt△ABC中，AB=，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD=2x，
在Rt△ACD中，AD=；
由翻折得AE=AB=5x，DE=BD=CD=2x，
∴AD是BE的垂直平分线，∠DBE=∠DEB，∠DEC=∠DCE，
∵∠DBE+∠DEB+∠DEC+∠DCE=2(∠BED+∠DEC)=180°，
∴∠BEC=∠BED+∠CED=90°，
∴△BCE是直角三角形，
设DF=y，则AF=AD+DF=，
由勾股定理得AF2=AE2-EF2，EF2=DE2-DF2，
∴AF2=AE2-DE2+DF2，即，
解得，即DF=，
∵∠AFB=∠CEB=90°，
∴DF∥CE，
∴△BDF∽△BCE，
∴，即，
∴
∴，
∵S△ABC=，S△BCE=，
∵点D是BC的中点，
∴S△ACD=S△ABD=，S△CED=，
∴S1=S△ACD+S△CDE=，S2=S△ABD=3x2，
∴.
故答案为：.
【分析】延长AD交BE于F，设AC=3x，BC=4x，由勾股定理得AB=5x，AD=；由翻折得AE=AB=5x，DE=BD=CD=2x，根据“到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线”得AD是BE的垂直平分线，由等边对等角及三角形的内角定理可推出△BCE是直角三角形，设DF=y，则AF=AD+DF=，由勾股定理可得AF2=AE2-DE2+DF2，据此建立方程求出，即DF=，由同位角相等两直线平行，得DF∥CE，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△BDF∽△BCE，由相似三角形对应边成比例建立方程可得，根据勾股定理表示出BE，然后根据三角形面积计算公式分别计算出△ABC、△BCE的面积，由等底同高三角形面积相等得出△ACD、△ABD、△CED的面积，进而根据S1=S△ACD+S△CDE算出S1，最后再求出两个面积之比即可.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】首先根据“”、“”及绝对值的代数意义分别计算，再计算有理数的加减法即可得出答案.
18．【答案】解：
②，得，③
①+③，得．
将代入①，得
原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由于②方程乘以2后未知数y的系数与①方程互为相反数，故利用加减消元法求解较为简单；用方程②×2+①消去y求出x的值，再将x的值代入①方程求出y的值，从而即可求出方程组的解.
19．【答案】（1）解：
∴∠ADB=∠ADC=90°，
，
．
在Rt中，．
．
（2）解：为CD的中点，
．
在Rt中，，
．
【知识点】勾股定理；求正弦值；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）在Rt△ACD中，由∠ACB的正切函数可求出CD，在Rt△ABD中，利用勾股定理算出BD，最后根据BC=BD+CD可算出BC的长；
（2）由中点定义得DE=2，在Rt△ADE中，利用勾股定理可算出AE的长，进而再根据正弦函数定义求解即可.
20．【答案】（1）15
（2）解：由（1）得，
因为中位数是15分，
所以，
所以；
（3）解：∵九（1）班的平均分为分，
中位数为15分，众数为20分，满分率为，
九（2）班的平均分为14.25分，中位数为10分，众数为10分，满分率为，
∴九（1）班的中位数、众数和满分率都高于九（2）班，且平均数两个班相差不大，所以我认为九（1）班的成绩更优秀．
【知识点】推理与论证；平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）∵共有4条线，
可能全部连错，得0分，
可能1条线对，3条线错，得5分，
可能2条线对，2条线错，得10分，
可能3条线对，则第4条也对，得20分，
∴每人得分不可能是15分；
故答案为：15；
【分析】（1）根据竞赛规则“所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连”可得解答的时候不可能出现连错一条线的可能，如果出错至少会错两题；
（2）由（1）可得得15分的人数为0 ，即b=0，然后根据“将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数”建立方程，求解即可；
（3）根据平均数计算方法计算出九（1）班的平均分，进而再根据满分率的计算方法求出九（1）班的满分率，进而比较两个班的平均数、 中位数、众数和满分率 ，并结合平均数、中位数、众数和满分率 的定义即可判断得出答案.
21．【答案】（1）证明：在中，AB//CD
∴∠CDF=∠AFD
即DF平分
（2）解：如图，DF就是∠ADC的角平分线.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，DQ=BQ，点Q是平行四边形ABCD的对称中心，
∴QE=FQ，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴∠EDF=∠EBF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠ABC，
∴∠EDF=∠ADC，
∴DF是∠ADC的角平分线.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；角平分线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行得AB∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠CDF=∠AFD，由等边对等角得∠ADF=∠AFD，由等量代换得∠CDF=∠ADF，从而根据角平分线的定义可得结论；
（2）连接AC、BD，相交于点Q，则点Q就是平行四边形ABCD的对称中心，连接EQ并延长交AB于点F，再连接DF，DF就是∠ADC的角平分线；由平行四边形的对角线互相平分得DQ=BQ，由平行四边形的对称性可得EQ=FQ，由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得四边形DEBF是平行四边形，由平行四边形的对角相等得∠ADC=∠ABC，∠EDF=∠EBF，由角平分线的定义得∠FBE=∠ABC，故∠EDF=∠ADC，从而根据角平分的定义可得结论.
22．【答案】（1）解：小文匀速速度：（米／分）
小成第一段时间：（分钟）
小成第一段速度：（米／分）
（2）解：小成第二段速度：（米／分），
小成第二段时间：（分钟）
小成休息时间：（分钟）
（3）解：小成休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等，
此时小成在跑第二段，所跑时间为（分钟）
，
解得．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由图象可得小文跑步5400米，用时60分钟，根据速度=路程÷时间求出小文匀速的跑步速度；根据时间=路程÷速度求出小文跑1800米时所用时间，进而根据小成晚出发5分钟可得小成跑第一段所用时间，最后再根据速度=路程÷时间求出小成第一段的跑步速度；
（2）由“小文 第二段速度比第一段速度提高30米／分钟 ”求出小成第二段的速度，根据时间=路程÷速度求出小文跑第二段所用时间，根据根据小成所用的总时间等于跑第一段所用时间+中间休息时间+跑第二段所用时间求出小成中间休息的时间；
（3）根据两人相遇时所跑路程相等列关于a的方程并求解即可.
23．【答案】（1）x=-1
（2）解：
令，得
抛物线与轴交点为和
（3）解：将代入，得，解得，
即：抛物线的解析式为：，
当时，取最小值为-4．
①当时，又，
当时，取最小值为；
当时，取最大值为．
又因为函数的最大值与最小值的差为9，
．
．
．
②当时，若，即，
．
当时，取最小值为；
当时，取最大值为，此时，符合题意．
③若，即，
当时，取最小值为；
当时，取最大值为
又因为函数的最大值与最小值的差为9，
．
或，不合题意．
综上所述，的取值范围是．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：（1）抛物线y=ax2+2ax-3a=a(x2+2x+1)-4a=a(x+1)2-4a，
∴抛物线的对称轴直线为x=-1；
故答案为：x=-1；
【分析】（1）把抛物线的解析式利用配方法配成顶点式，即可求出对称轴直线；
（2）首先将抛物线的解析式式利用提取公因式法与十字相乘法分解因式变形为交点式，然后令解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，即可求出抛物线与x轴的交点坐标；
（3）将点A(0，-3)代入y=ax2+2ax-3a可算出a=1，从而得到抛物线的解析式为y=(x+1)2-4，由于抛物线中二次项系数大于零，抛物线开口向上，故当x=-1时，函数的值最小为y=-4，抛物线上的点离对称轴直线距离越远，其对应的函数值越大；然后分类讨论：①当t≤-1时，②当t＞-1时，若t+1＜-1-（-4），即-1＜t≤2，③T+1＞-1-（-4），即t＞2，三种情况分别根据函数的增减性，判断出函数的最大最小值，结合函数的最大值与最小值的差为9列出方程，求解即可得出答案.
24．【答案】（1）解：是圆的直径
（2）证明：①
又
②证法一：在弧ADC上取一点，使，
则弧弧BC，
又
证法二：延长AB，DC交于点，
∵，
∴，
∴
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBG=180°，
又∵∠G=∠G，
又
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得∠ABC=90°，由同弧所对的圆周角相等及已知可推出∠CAB=∠BDC=∠CFE=30°，进而根据直角三角形的量锐角互余可求出∠ACB的度数；
（2）①由同弧所对的圆周角相等及已知可推出∠CAB=∠BDC=∠CFE=30°，进而根据内错角相等两直线平行得AB∥EF；
②证法一：在弧ADC上取一点P，使AP=BC，则AP=CE，由同圆中等弦所对的弧相等及等弧所对的圆周角相等得∠ADP=∠BDC，则∠CFE=∠BDC=∠ADP，由圆内接四边形的对角互补、领补角及同角的补角相等得∠APD=∠ECF，由AAS判断出△ECF≌△APD，由全等三角形的对应边相等得EF=AD；证法二：延长AB，DC交于点G，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AGC∽△FEC，由相似三角形对应边成比例得；由圆内接四边形的对角互补、领补角及同角的补角相等得∠ADG=∠CBG，结合公共角∠G，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AGD∽△CGB，由相似三角形对应边成比例得，从而结合已知，由等量代换可得结论.
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