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第二节 导数与函数的单调性
1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
3.会利用函数的单调性判断大小,求参数的取值范围等简单应用.
教材再回首
1.函数单调性与导数的关系
设函数f(x)在(a,b)内可导,f'(x)是f(x)的导函数,则
f'(x)>0 f(x)在(a,b)内　　　　
f'(x)<0 f(x)在(a,b)内　　　　
f'(x)=0 f(x)在(a,b)内为常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步,确定函数f(x)的　　　　　;
第2步,求出导数f'(x)的　　　　;
第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
3.充分、必要条件与导数及函数单调性的关系
(1)f'(x)>0(或f'(x)<0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件.
(2)f'(x)≥0(或f'(x)≤0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件.
(3)若f'(x)在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,则f'(x)≥0(或f'(x)≤0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(或递减)的充要条件.
[微点提醒]
(1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,则当x∈(a,b)时,f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)内单调递减,则当x∈(a,b)时,f'(x)≤0恒成立.
(2)若函数f(x)在(a,b)内存在单调递增区间,则当x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)内存在单调递减区间,则当x∈(a,b)时,f'(x)<0有解.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f'(x)<0,则函数f(x)在定义域上单调递减. (　　)
(2)函数f(x)在某区间内单调递增,则一定有f'(x)>0. (　　)
(3)函数在某个区间上变化越快,函数在这个区间上的导数的绝对值越大. (　　)
(4)函数y=x3+x的单调递增区间为(-∞,+∞). (　　)
2.(人A选必修②P86例2改编)[多选]如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下列判断正确的是 (　　)
A.在区间(-2,1)内f(x)单调递增
B.在区间(2,3)内f(x)单调递减
C.在区间(4,5)内f(x)单调递增
D.在区间(3,5)内f(x)单调递减
3.(人A选必修②P86例1改编)函数f(x)=cos x-x在(0,π)内 (　　)
A.先增后减 B.先减后增
C.单调递增 D.单调递减
4.(人A选必修②P97T2(4)改编)函数f(x)=x3+x2-x的单调递增区间为　　　　　　　　 　.
题点一　函数的单调性
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　求不含参函数的单调区间
[例1]　若函数f(x)=2ln x+x+,求 f(x)的单调区间.
|思维建模|　
求函数的单调区间的步骤
(1)确定函数y=f(x)的定义域;
(2)求导数f'(x);
(3)解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
(4)解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间;
(5)不能漏掉求函数的定义域;函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开.
考法(二)　讨论含参函数的单调性
[例2]　已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x,讨论f(x)的单调性.
|思维建模|　
判断含参函数单调性的策略
　　研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论主要是讨论参数的不同取值求出单调性,主要讨论点:
(1)最高次项系数是否为0;
(2)导函数是否有零点;
(3)导函数两零点的大小关系;
(4)导函数零点与定义域的关系(即导函数零点与定义域端点的关系)等.
[即时训练]
1.函数f(x)=ln x-x的单调递增区间为 (　　)
A.(-∞,1) B.(0,1)
C.(1,+∞) D.(-1,1)
2.讨论函数f(x)=x3-x2+ax+1的单调性.
题点二　函数单调性的应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　比较大小或解不等式
[例3]
(1)设a=,b=,c=,则 (　　)
A.c>b>a B.b>c>a
C.b>a>c D.c>a>b
(2)已知函数f(x)=x3+2x-sin x,若f(2a2)+f(a-1)≤0,则实数a的取值范围为 (　　)
A.∪[1,+∞) 　　B.
C.(-∞,-1]∪ 　　D.
|思维建模|
(1)利用单调性比较大小或解不等式,关键是根据题意构造辅助函数,利用构造函数的单调性比较大小或解不等式.
(2)求解与抽象函数有关的不等式,要充分挖掘条件关系,恰当构造函数;题目中存在f(x)与f'(x)的不等关系时,常构造含f(x)与另一函数的积(商)的函数,与题设形成解题链条,利用导数研究新函数的单调性,从而求解不等式.
考法(二)　求参数的取值范围
[例4]　已知函数f(x)=x2+2aln x-2x(a∈R).
(1)若函数f(x)在区间(1,2)内单调递增,则a的取值范围为　　　　;
(2)若函数f(x)在区间(1,2)内存在单调递减区间,则a的取值范围为　　　　;
(3)若函数f(x)在区间(1,2)内不具有单调性,则a的取值范围为　　　.
|思维建模|
(1)由可导函数f(x)在区间D上单调递增(减)求参数的取值范围问题,可转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)对任意x∈D恒成立问题,再参变分离,转化为求最值问题,要注意“=”是否取到.
(2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题.
(3)已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子区间,从而可求出参数的取值范围.
[即时训练]
3.已知函数f(x)=cos x+ex,且a=f(2),b=f,c=f(ln 2),则a,b,c的大小关系是 (　　)
A.aC.c4.已知函数f(x)=ex-e-x-2x+2,则不等式f(2x+4)≥2的解集是 (　　)
A.{x|x>-2} B.{x|x≥-2}
C.{x|x<-2} D.{x|x≤-2}
5.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为 (　　)
A.e2 B.e
C.e-1 D.e-2
第二节　导数与函数的单调性
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.单调递增　单调递减　2.定义域　零点
[典题细发掘]
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.BC
3.选D　∵当x∈(0,π)时,f'(x)=-sin x-1<0,
∴f(x)在(0,π)内单调递减.
4.解析:令f'(x)=3x2+2x-1>0,解得x>或x<-1,所以f(x)=x3+x2-x的单调递增区间为(-∞,-1)和.
答案:(-∞,-1),
课堂·题点精研
题点一
[例1]　解:由函数f(x)=2ln x+x+,可得其定义域为(0,+∞),且f'(x)=+1-==,x>0,令f'(x)=0,可得x=1,
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)在(0,1)内单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增.综上,f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).
[例2]　解:由题意得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax+(2a+1)=.
当a≥0时,2ax+1>0,x+1>0,
∴f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a<0时,令f'(x)=0,解得x=-,
∴当x∈时,f'(x)>0;
当x∈时,f'(x)<0.
∴f(x)在内单调递增,在上单调递减.综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在内单调递增,在上单调递减.
特别提醒:解计算大题时,分类讨论后的综述千万不能漏写,否则容易丢失1分的步骤分.
[即时训练]
1.选B　易知f(x)的定义域是(0,+∞),
(易错提醒:求单调区间忽视定义域)
且f'(x)=-1=,令f'(x)>0,得02.解:由题意知f(x)的定义域为R,f'(x)=3x2-2x+a,
令f'(x)=0,Δ=(-2)2-4×3×a=4(1-3a).
①当a≥时,f'(x)≥0,f(x)在R上单调递增;
②当a<时,令f'(x)=0,即3x2-2x+a=0,
解得x1=,x2=,
令f'(x)>0,得xx2;令f'(x)<0,得x1当a<时,f(x)在,上单调递增,在内单调递减.
题点二
[例3]　(1)C　(2)D
(1)构造函数f(x)=(x>0),可得f'(x)=,当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.a===f(4),b==f(e),c==f(3e2),由e<4<3e2,故f(e)>f(4)>f(3e2),即b>a>c.
(2)函数f(x)=x3+2x-sin x的定义域为R,f(-x)=(-x)3+2(-x)-sin(-x)=-f(x),故函数f(x)是奇函数.又f'(x)=3x2+2-cos x>0恒成立,所以函数f(x)在R上单调递增,f(2a2)+f(a-1)≤0 f(2a2)≤-f(a-1),即f(2a2)≤f(-a+1),于是2a2≤-a+1,即2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤,所以实数a的取值范围为.故选D.
[例4]　解析:(1)∵f(x)=x2+2aln x-2x,则f'(x)=x+-2,若函数f(x)在区间(1,2)内单调递增,等价于对 x∈(1,2),f'(x)=x+-2≥0恒成立,可得x2-2x≥-2a对 x∈(1,2)恒成立,构造g(x)=x2-2x,可知g(x)开口向上,对称轴x=1,∴g(x)>g(1)=-1,故-1≥-2a,解得a≥,
则a的取值范围为.
(2)由(1)可得f'(x)=x+-2,若函数f(x)在区间(1,2)内存在单调递减区间,等价于 x∈(1,2),
使得f'(x)=x+-2<0成立,
可得 x∈(1,2),使得x2-2x<-2a成立,构造φ(x)=x2-2x,可知φ(x)开口向上,对称轴x=1,∴φ(x)>φ(1)=-1,故-1<-2a,解得a<,则a的取值范围为.
(3)由(1)可得f'(x)=x+-2,若函数f(x)在区间(1,2)内不具有单调性,等价于 x∈(1,2),使得f'(x)=x+-2=0,
可得 x∈(1,2),使得x2-2x=-2a成立,构造h(x)=x2-2x,可知h(x)开口向上,对称轴x=1,∴h(x)>h(1)=-1,h(x)答案:(1)　(2)　(3)
[即时训练]
3.选D　f'(x)=-sin x+ex,当x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.因为2>ln 2>ln=,所以f4.选B　由f'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0,当且仅当ex=e-x,即x=0时,等号成立,所以f(x)单调递增,而且f(0)=2,由f(2x+4)≥2,得2x+4≥0,解得x≥-2.
5.快审准解:根据f'(x)=aex-≥0在(1,2)上恒成立,再根据分离参数求最值即可.
选C　依题意,f'(x)=aex-≥0在(1,2)恒成立,显然a>0,所以xex≥,设g(x)=xex,x∈(1,2),则g'(x)=(x+1)ex>0.所以g(x)在(1,2)单调递增,g(x)>g(1)=e,所以≤e,即a≥=e-1,故选C.(共59张PPT)
第二节
导数与函数的单调性
明确目标
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.函数单调性与导数的关系
设函数f(x)在(a，b)内可导，f'(x)是f(x)的导函数，则
f'(x)>0 f(x)在(a，b)内__________
f'(x)<0 f(x)在(a，b)内__________
f'(x)=0 f(x)在(a，b)内为常数函数
单调递增
单调递减
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数f(x)的__________；
第2步，求出导数f'(x)的_______；
第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
定义域
零点
3.充分、必要条件与导数及函数单调性的关系
(1)f'(x)>0(或f'(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件.
(2)f'(x)≥0(或f'(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件.
(3)若f'(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，则f'(x)≥0(或f'(x)≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件.
[微点提醒]
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，则当x∈(a，b)时，f'(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)内单调递减，则当x∈(a，b)时，f'(x)≤
0恒成立.
(2)若函数f(x)在(a，b)内存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)内存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)<0有解.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f'(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减.(　　)
(2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f'(x)>0.(　　)
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大.(　　)
(4)函数y=x3+x的单调递增区间为(-∞，+∞).(　　)
×
×
√
√
2.(人A选必修②P86例2改编)[多选]如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象，则下列判断正确的是 (　　)
A.在区间(-2，1)内f(x)单调递增
B.在区间(2，3)内f(x)单调递减
C.在区间(4，5)内f(x)单调递增
D.在区间(3，5)内f(x)单调递减
√
√
3.(人A选必修②P86例1改编)函数f(x)=cos x-x在(0，π)内 (　　)
A.先增后减 B.先减后增
C.单调递增 D.单调递减
解析:∵当x∈(0，π)时，f'(x)=-sin x-1<0，∴f(x)在(0，π)内单调递减.
√
4.(人A选必修②P97T2(4)改编)函数f(x)=x3+x2-x的单调递增区间为　　　　　　　　 　.
解析:令f'(x)=3x2+2x-1>0，解得x>或x<-1，所以f(x)=x3+x2-x的单调递增区间为(-∞，-1)和.
(-∞，-1)，
课堂·题点精研
02
考法(一)　求不含参函数的单调区间
[例1]　若函数f(x)=2ln x+x+，求 f(x)的单调区间.
解:由函数f(x)=2ln x+x+，可得其定义域为(0，+∞)，且f'(x)=+1-==，x>0，令f'(x)=0，可得x=1，
当x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)在(0，1)内单调递减；当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)在(1，+∞)上单调递增.综上，f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞).
题点一　函数的单调性
求函数的单调区间的步骤
(1)确定函数y=f(x)的定义域；
(2)求导数 f'(x)；
(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间；
(5)不能漏掉求函数的定义域；函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
思维建模
考法(二)　讨论含参函数的单调性
[例2]　已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x，讨论f(x)的单调性.
解:由题意得f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=+2ax+(2a+1)=.
当a≥0时，2ax+1>0，x+1>0，
∴f'(x)>0在(0，+∞)上恒成立，
∴f(x)在(0，+∞)上单调递增；
当a<0时，令f'(x)=0，解得x=-，∴当x∈时，f'(x)>0；
当x∈时，f'(x)<0.∴f(x)在内单调递增，
在上单调递减.综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在内单调递增，在上单调递减.
解计算大题时，分类讨论后的综述千万不能漏写，否则容易丢失1分的步骤分.
特别提醒
判断含参函数单调性的策略
研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论主要是讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点:
(1)最高次项系数是否为0；
(2)导函数是否有零点；
(3)导函数两零点的大小关系；
(4)导函数零点与定义域的关系(即导函数零点与定义域端点的关系)等.
思维建模
1.函数f(x)=ln x-x的单调递增区间为 (　　)
A.(-∞，1) B.(0，1)
C.(1，+∞) D.(-1，1)
解析:易知f(x)的定义域是(0，+∞)，
(易错提醒:求单调区间忽视定义域)
且f'(x)=-1=，令f'(x)>0，得0故f(x)的单调递增区间为(0，1).
即时训练
√
2.讨论函数f(x)=x3-x2+ax+1的单调性.
解:由题意知f(x)的定义域为R，f'(x)=3x2-2x+a，
令f'(x)=0，Δ=(-2)2-4×3×a=4(1-3a).
①当a≥时，f'(x)≥0，f(x)在R上单调递增；
②当a<时，令f'(x)=0，即3x2-2x+a=0，
解得x1=，x2=，
令f'(x)>0，得xx2；令f'(x)<0，得x1当a<时，f(x)在，上单调递增，在内单调递减.
考法(一)　比较大小或解不等式
[例3]
(1)设a=，b=，c=，则(　　)
A.c>b>a B.b>c>a
C.b>a>c D.c>a>b
√
题点二　函数单调性的应用
解析:构造函数f(x)=(x>0)，可得f'(x)=，当x∈(e，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减.a===f(4)，b==f(e)，c==f(3e2)，由e<4<3e2，故f(e)>f(4)>f(3e2)，即b>a>c.
(2)已知函数f(x)=x3+2x-sin x，若f(2a2)+f(a-1)≤0，则实数a的取值范围为 (　　)
A.∪[1，+∞) B.
C.(-∞，-1]∪ D.
√
解析:函数f(x)=x3+2x-sin x的定义域为R，f(-x)=(-x)3+2(-x)-sin(-x)
=-f(x)，故函数f(x)是奇函数.又f'(x)=3x2+2-cos x>0恒成立，所以函数f(x)在R上单调递增，f(2a2)+f(a-1)≤0 f(2a2)≤-f(a-1)，即f(2a2)≤f(-a
+1)，于是2a2≤-a+1，即2a2+a-1≤0，解得-1≤a≤，所以实数a的取值范围为.故选D.
(1)利用单调性比较大小或解不等式，关键是根据题意构造辅助函数，利用构造函数的单调性比较大小或解不等式.
(2)求解与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.
思维建模
考法(二)　求参数的取值范围
[例4]　已知函数f(x)=x2+2aln x-2x(a∈R).
(1)若函数f(x)在区间(1，2)内单调递增，则a的取值范围为___________；
解析:∵f(x)=x2+2aln x-2x，则f'(x)=x+-2，
若函数f(x)在区间(1，2)内单调递增，
等价于对 x∈(1，2)，f'(x)=x+-2≥0恒成立，
可得x2-2x≥-2a对 x∈(1，2)恒成立，
构造g(x)=x2-2x，可知g(x)开口向上，对称轴x=1，
∴g(x)>g(1)=-1，故-1≥-2a，解得a≥，
则a的取值范围为.
(2)若函数f(x)在区间(1，2)内存在单调递减区间，则a的取值范围为
　　　　；
解析:由(1)可得f'(x)=x+-2，若函数f(x)在区间(1，2)内存在单调递减区间，等价于 x∈(1，2)，使得f'(x)=x+-2<0成立，
可得 x∈(1，2)，使得x2-2x<-2a成立，构造φ(x)=x2-2x，可知φ(x)开口向上，对称轴x=1，∴φ(x)>φ(1)=-1，故-1<-2a，解得a<，则a的取值范围为.
(3)若函数f(x)在区间(1，2)内不具有单调性，则a的取值范围为
_______.
解析:由(1)可得f'(x)=x+-2，若函数f(x)在区间(1，2)内不具有单调性，等价于 x∈(1，2)，使得f'(x)=x+-2=0，
可得 x∈(1，2)，使得x2-2x=-2a成立，构造h(x)=x2-2x，可知h(x)开口向上，对称轴x=1，∴h(x)>h(1)=-1，h(x)(1)由可导函数f(x)在区间D上单调递增(减)求参数的取值范围问题，可转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)对任意x∈D恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“=”是否取到.
(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题.
(3)已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子区间，从而可求出参数的取值范围.
思维建模
3.已知函数f(x)=cos x+ex，且a=f(2)，b=f，c=f(ln 2)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.aC.c解析:f'(x)=-sin x+ex，当x>0时，f'(x)>0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增.因为2>ln 2>ln=，所以f即时训练
√
4.已知函数f(x)=ex-e-x-2x+2，则不等式f(2x+4)≥2的解集是 (　　)
A.{x|x>-2} B.{x|x≥-2}
C.{x|x<-2} D.{x|x≤-2}
解析:由f'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0，当且仅当ex=e-x，即x=0时，等号成立，所以f(x)单调递增，而且f(0)=2，由f(2x+4)≥2，得2x+4≥0，解得x≥-2.
√
5.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1，2)单调递增，则a的最小值为 (　　)
A.e2 B.e
C.e-1 D.e-2
快审准解:根据f'(x)=aex-≥0在(1，2)上恒成立，再根据分离参数求最值即可.
√
解析:依题意，f'(x)=aex-≥0在(1，2)恒成立，显然a>0，所以xex≥，设g(x)=xex，x∈(1，2)，则g'(x)=(x+1)ex>0.所以g(x)在(1，2)单调递增，g(x)>g(1)=e，所以≤e，即a≥=e-1，故选C.
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课时跟踪检测
03
一、单选题
1.(2025·武汉模拟)函数f(x)=2x-sin x在(-∞，+∞)上是(　　)
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.不确定
√
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解析:∵f(x)=2x-sin x，
∴f'(x)=2-cos x>0在(-∞，+∞)上恒成立，
∴f(x)在(-∞，+∞)上是增函数.
2.函数f(x)=ln x-ax(a>0)的单调递增区间为 (　　)
A. B.
C. D.(-∞，a)
解析:函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=-a，令f'(x)=-a>0，得0√
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3.设函数f(x)在定义域内可导，
y=f(x)的图象如图所示，则其导函
数y=f'(x)的图象可能是 (　　)
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解析:由f(x)的图象可知，f(x)在(-∞，0)上单调递减，故x∈(-∞，0)时，f'(x)<0，故排除A、C；当x∈(0，+∞)时，函数f(x)的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以f'(x)的值是先正，再负，最后是正，因此排除B.故选D.
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习得方略:①由原函数图象识别导函数图象的依据:若f(x)单调递增，则f'(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f'(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f'(x)=0.
②由导函数图象识别原函数图象的依据:根据f'(x)>0，则f(x)单调递增，f'(x)<0，则f(x)单调递减.
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4.若函数f(x)=-x2+4x+bln x在(0，+∞)上是减函数，则实数b的取值范围是 (　　)
A.[-1，+∞) B.(-∞，-1]
C.(-∞，-2] D.[-2，+∞)
解析:∵函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，∴f'(x)≤0在(0，+∞)上恒成立，∴f'(x)=-2x+4+≤0，即b≤2x2-4x在(0，+∞)上恒成立，∵2x2-4x=2(x-1)2-2≥-2，∴b≤-2.
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5.已知函数f(x)=3x-4x-1，则不等式f(x)>0的解集是 (　　)
A.(0，2)
B.(-∞，0)∪(2，+∞)
C.(-1，0)
D.(-∞，-1)∪(0，+∞)
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解析:函数f(x)=3x-4x-1的定义域为R，求导得f'(x)=3xln 3-4.
当xlog3时，f'(x)>0，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增.又f(0)=f(2)=0，且0∈，2∈，由不等式f(x)>0，得x<0或x>2，所以不等式f(x)>0的解集是(-∞，0)∪(2，+∞).
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6.已知函数F(x)=在R上具有单调性，则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞，-1) B.(-∞，-1]
C.[-4，-1) D.[-4，-1]
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解析:设f(x)=-x3+ax2-a-4，则f(x)在[0，+∞)上单调递减，
因为f'(x)=-x2+2ax，由f'(x)≤0在[0，+∞)上恒成立，得
若x=0，则0≤0，所以a∈R；若x>0，则-x2+2ax≤0 2a≤x，所以a≤0.设g(x)=ax-sin x，则g(x)在(-∞，0)上单调递减.
由g'(x)=a-cos x≤0在(-∞，0)上恒成立，所以a≤cos x，x∈(-∞，0)，所以a≤-1.且-a-4≤0 a≥-4.综上可知，-4≤a≤-1.
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7.在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于a的方程aea-2=e4和关于b的方程b(ln b-2)=e3λ-1(a，b∈N*)可化为同构方程，则ab的值为 (　　)
A.e8 B.e C.ln 6 D.1
快审准解:根据对数的运算性质，结合同构方程的定义可得λ=3，构造函数f(x)=ln x+x，x>0，由单调性可得a=ln b-2即可求解.
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解析:对aea-2=e4的两边同时取自然对数，得ln a+a=6　①.
对b(ln b-2)=e3λ-1的两边同时取自然对数，得ln b+ln(ln b-2)=3λ-1，即ln b-2+ln(ln b-2)=3λ-3　②.因为方程①②为同构方程，所以3λ-3=6，解得λ=3.设f(x)=ln x+x，x>0，则f'(x)=+1>0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以方程f(x)=6的解只有一个，所以a=ln b-2，
所以ab=b(ln b-2)=e3×3-1=e8.故选A.
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二、多选题
8.(2025·晋城一模)若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则(　　)
A.函数f(x)=x2-2x在[1，+∞)上纯粹递增
B.函数f(x)=x3-2x在[1，2]上纯粹递增
C.函数f(x)=sin x-2x在[0，1]上纯粹递减
D.函数f(x)=ex-3x在[0，2]上纯粹递减
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解析:若f(x)=x2-2x，则f'(x)=2x-2，因为f'(1)=0，所以A错误.若f(x)=x3-2x，则f'(x)=3x2-2，当x∈[1，2]时，f'(x)>0恒成立，所以B正确.若f(x)=sin x-2x，则f'(x)=cos x-2<0，所以C正确.若f(x)=ex-3x，则f'(x)=ex-3<0在[0，2]上不恒成立，所以D错误.
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9.若函数f(x)满足f'(x)A.f(3)C.e2f(-1)>f(1) D.ef(1)快审准解:构造函数g(x)=，求导得到g(x)单调递减，然后根据单调性比较大小即可.
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解析:令g(x)=，则g'(x)=<0，从而g(x)单调递减，则>>>>，即ef(2)>f(3)，e2f(-1)>f(1)，ef(0)>f(1)，ef(1)>f(2).故选AC.
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三、填空题
10.已知函数f(x)=，则函数f(x)的单调递增区间是　　　　.
解析:因为函数f(x)=(x≠0)，于是f'(x)=，所以当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(0，1)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增.因此函数f(x)的单调递增区间是(1，+∞).
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(1，+∞)
11.若函数f(x)=1--ln x在区间[1-a，2-a]内单调递增，则a的取值范围是　　　　.
解析:由题意，可知f(x)的定义域为(0，+∞)，且f'(x)=-=，令f'(x)≥0，得01
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[0，1)
四、解答题
12.(10分)已知函数f(x)=(a≠0)，讨论f(x)的单调性.
解:由题意知函数f(x)的定义域为R，且f'(x)=，令f'(x)=0，解得x=0或x=2.当a>0时，令f'(x)<0，解得x<0或x>2；
令f'(x)>0，解得00，解得x<0或x>2，
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可知f(x)在区间(-∞，0)和(2，+∞)上单调递增，在区间(0，2)上单调递减.
综上所述，当a>0时，f(x)在区间(-∞，0)和(2，+∞)上单调递减，在区间(0，2)上单调递增；
当a<0时，f(x)在区间(-∞，0)和(2，+∞)上单调递增，在区间(0，2)上单调递减.
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13.(10分)已知函数f(x)=x2-ax+bln x在x=1处的切线平行于x轴.
(1)求a与b的关系；(4分)
解:由f(x)=x2-ax+bln x，可得f(1)=-a，f'(x)=x-a+，
依题意，f'(1)=1-a+b=0，即得a-b=1，
此时切线方程为y=-a，该直线与x轴平行，
所以-a≠0，即a≠，所以a-b=1.
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(2)若函数f(x)在[2，+∞)上单调递增，求a的取值范围.(6分)
解:函数f(x)在[2，+∞)上单调递增等价于f'(x)=x-a+≥0在[2，+∞)上恒成立，
即x-a+≥0在[2，+∞)上恒成立，也即a≤x+1在[2，+∞)上恒成立，故得a≤3且a≠，即a的取值范围是∪.
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13课时跟踪检测(二十一)　导数与函数的单调性
一、单选题
1.(2025·武汉模拟)函数f(x)=2x-sin x在(-∞,+∞)上是 (　　)
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.不确定
2.函数f(x)=ln x-ax(a>0)的单调递增区间为 (　　)
A. B.
C. D.(-∞,a)
3.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则其导函数y=f'(x)的图象可能是 (　　)
4.若函数f(x)=-x2+4x+bln x在(0,+∞)上是减函数,则实数b的取值范围是 (　　)
A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]
C.(-∞,-2] D.[-2,+∞)
5.已知函数f(x)=3x-4x-1,则不等式f(x)>0的解集是 (　　)
A.(0,2) B.(-∞,0)∪(2,+∞)
C.(-1,0) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
6.已知函数F(x)=在R上具有单调性,则实数a的取值范围为 (　　)
A.(-∞,-1) B.(-∞,-1]
C.[-4,-1) D.[-4,-1]
7.在数学中,我们把仅有变量不同,而结构、形式相同的两个式子称为同构式,相应的方程称为同构方程,相应的不等式称为同构不等式.若关于a的方程aea-2=e4和关于b的方程b(ln b-2)=e3λ-1(a,b∈N*)可化为同构方程,则ab的值为 (　　)
A.e8 B.e
C.ln 6 D.1
二、多选题
8.(2025·晋城一模)若一个函数在区间D上的导数值恒大于0,则该函数在D上纯粹递增,若一个函数在区间D上的导数值恒小于0,则该函数在D上纯粹递减,则 (　　)
A.函数f(x)=x2-2x在[1,+∞)上纯粹递增
B.函数f(x)=x3-2x在[1,2]上纯粹递增
C.函数f(x)=sin x-2x在[0,1]上纯粹递减
D.函数f(x)=ex-3x在[0,2]上纯粹递减
9.若函数f(x)满足f'(x)A.f(3)C.e2f(-1)>f(1) D.ef(1)三、填空题
10.已知函数f(x)=,则函数f(x)的单调递增区间是　　　　　　　　　.
11.若函数f(x)=1--ln x在区间[1-a,2-a]内单调递增,则a的取值范围是　　　　　　　　.
四、解答题
12.(10分)已知函数f(x)=(a≠0),讨论f(x)的单调性.
13.(10分)已知函数f(x)=x2-ax+bln x在x=1处的切线平行于x轴.
(1)求a与b的关系;(4分)
(2)若函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,求a的取值范围.(6分)
课时跟踪检测(二十一)
1.选A　∵f(x)=2x-sin x,
∴f'(x)=2-cos x>0在(-∞,+∞)上恒成立,
∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
2.选A　函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a,令f'(x)=-a>0,得03.选D　由f(x)的图象可知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,故x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,故排除A、C;当x∈(0,+∞)时,函数f(x)的图象是先递增,再递减,最后再递增,所以f'(x)的值是先正,再负,最后是正,因此排除B.故选D.
习得方略:①由原函数图象识别导函数图象的依据:若f(x)单调递增,则f'(x)的图象一定在x轴的上方;若f(x)单调递减,则f'(x)的图象一定在x轴的下方;若f(x)是常函数,则f'(x)=0.
②由导函数图象识别原函数图象的依据:根据f'(x)>0,则f(x)单调递增,f'(x)<0,则f(x)单调递减.
4.选C　∵函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,∴f'(x)=-2x+4+≤0,即b≤2x2-4x在(0,+∞)上恒成立,∵2x2-4x=2(x-1)2-2≥-2,∴b≤-2.
5.选B　函数f(x)=3x-4x-1的定义域为R,求导得f'(x)=3xln 3-4.
当xlog3时,f'(x)>0,
函数f(x)在上单调递减,在上单调递增.又f(0)=f(2)=0,且0∈,2∈,由不等式f(x)>0,得x<0或x>2,所以不等式f(x)>0的解集是(-∞,0)∪(2,+∞).
6.选D　设f(x)=-x3+ax2-a-4,则f(x)在[0,+∞)上单调递减,
因为f'(x)=-x2+2ax,由f'(x)≤0在[0,+∞)上恒成立,得
若x=0,则0≤0,所以a∈R;
若x>0,则-x2+2ax≤0 2a≤x,所以a≤0.
设g(x)=ax-sin x,则g(x)在(-∞,0)上单调递减.
由g'(x)=a-cos x≤0在(-∞,0)上恒成立,所以a≤cos x,x∈(-∞,0),所以a≤-1.且-a-4≤0 a≥-4.
综上可知,-4≤a≤-1.
7.快审准解:根据对数的运算性质,结合同构方程的定义可得λ=3,构造函数f(x)=ln x+x,x>0,由单调性可得a=ln b-2即可求解.
选A　对aea-2=e4的两边同时取自然对数,得ln a+a=6　①.
对b(ln b-2)=e3λ-1的两边同时取自然对数,得ln b+ln(ln b-2)=3λ-1,即ln b-2+ln(ln b-2)=3λ-3　②.
因为方程①②为同构方程,所以3λ-3=6,解得λ=3.
设f(x)=ln x+x,x>0,则f'(x)=+1>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以方程f(x)=6的解只有一个,所以a=ln b-2,所以ab=b(ln b-2)=e3×3-1=e8.故选A.
8.选BC　若f(x)=x2-2x,则f'(x)=2x-2,因为f'(1)=0,所以A错误.若f(x)=x3-2x,则f'(x)=3x2-2,当x∈[1,2]时,f'(x)>0恒成立,所以B正确.若f(x)=sin x-2x,则f'(x)=cos x-2<0,所以C正确.若f(x)=ex-3x,则f'(x)=ex-3<0在[0,2]上不恒成立,所以D错误.
9.快审准解:构造函数g(x)=,求导得到g(x)单调递减,然后根据单调性比较大小即可.
选AC　令g(x)=,则g'(x)=<0,从而g(x)单调递减,则>>>>,即ef(2)>f(3),e2f(-1)>f(1),ef(0)>f(1),ef(1)>f(2).故选AC.
10.解析:因为函数f(x)=(x≠0),于是f'(x)=,所以当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.因此函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞).
答案:(1,+∞)
11.解析:由题意,可知f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=-=,令f'(x)≥0,得0答案:[0,1)
12.解:由题意知函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=,令f'(x)=0,解得x=0或x=2.
当a>0时,令f'(x)<0,解得x<0或x>2;
令f'(x)>0,解得0可知f(x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递减,在区间(0,2)上单调递增;
当a<0时,令f'(x)<0,解得00,解得x<0或x>2,
可知f(x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减.
综上所述,当a>0时,f(x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递减,在区间(0,2)上单调递增;
当a<0时,f(x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减.
13.解:(1)由f(x)=x2-ax+bln x,可得f(1)=-a,f'(x)=x-a+,
依题意,f'(1)=1-a+b=0,即得a-b=1,此时切线方程为y=-a,该直线与x轴平行,所以-a≠0,即a≠,
所以a-b=1.
(2)函数f(x)在[2,+∞)上单调递增等价于f'(x)=x-a+≥0在[2,+∞)上恒成立,
即x-a+≥0在[2,+∞)上恒成立,也即a≤x+1在[2,+∞)上恒成立,故得a≤3且a≠,即a的取值范围是∪.

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