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第三节 导数与函数的极值、最值
　
1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.会用导数求函数的极大值、极小值.
2.掌握利用导数研究函数最值的方法.会用导数研究生活中的最优化问题.
教材再回首
1.函数的极值
(1)极小值
函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧　　　　,右侧　　　　,则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)极大值
函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧　　　　,右侧　　　　,则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
(3)极值、极值点
极小值点、极大值点统称为　　　　,极小值和极大值统称为　　　.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件
如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条　　 　　的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)求y=f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤
①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的　　　;
②将函数y=f(x)的各极值与　　　　　　　比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
解题结论拓展
(1)有极值的函数一定不具有单调性.
(2)对于可导函数f(x),f'(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.
(3)若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在[a,b]上一定有最值.
(4)若函数f(x)在[a,b]上具有单调性,则f(x)一定在区间端点处取得最值.
(5)若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数的极大值不一定比极小值大. (　　)
(2)闭区间上的连续函数必有最值. (　　)
(3)函数的极大值一定是函数的最大值. (　　)
(4)开区间上的单调连续函数无最值. (　　)
(5)设函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在区间(a,b)内不具有单调性. (　　)
2.(人A选必修②P92T1改编)若函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)极值点的个数为 (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
3.(人A选必修②P91例5改编)函数f(x)=的极大值为 (　　)
A.-e B.
C.1 D.0
4.(苏教选必修①P230T7改编)已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m=　　　　.
题点一　函数的极值
　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　根据图象判断函数的极值(点)
[例1]　(多选)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论一定成立的是 (　　)
A.函数f(x)在(2,+∞)上单调递增
B.函数f(x)在(-2,1)内单调递增
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
|思维建模|
　　由图象判断函数y=f(x)的极值(点),要抓住两点:
(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点;
(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
考法(二)　求已知函数的极值(点)
[例2]　已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)当a=时,求函数f(x)的极值;
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
|思维建模|　求函数极值的一般步骤
(1)先求函数f(x)的定义域,再求函数f(x)的导函数.
(2)求f'(x)=0的根.
(3)判断f'(x)=0的根的左、右两侧f'(x)的符号,确定极值点.
(4)求出函数f(x)的极值.
考法(三)　根据函数的极值(点)求参数
[例3]　(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=ex-ax-a3.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围.
|思维建模|　
已知函数极值点或极值求参数的2个关键
(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)验证:因为某点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
[即时训练]
1.已知函数f(x)=在x=1处取得极值,则f(x)的极小值为 (　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
2.(2023·新课标Ⅱ卷)[多选]若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则 (　　)
A.bc>0 B.ab>0
C.b2+8ac>0 D.ac<0
3.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知函数f(x)=aln x+-x.
(1)设a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程;
(2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围.
题点二　函数的最值
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例4]　设函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当函数f(x)有最大值,且最大值小于a-2时,求a的取值范围.
|思维建模|　求函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤
[即时训练]
4.函数f(x)=-x3+x在(a,10-a2)上有最大值,则实数a的取值范围是　　　　.
5.已知函数f(x)=-ln x(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求f(x)在上的最大值g(a).
题点三　函数极值和最值的综合问题
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例5]　设函数f(x)=ex-ax-1.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)存在极值M,求证:M≤0.
|思维建模|　解决函数极值、最值综合问题的策略
(1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小;
(2)函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值;
(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和
极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.
[即时训练]
6.已知函数f(x)=ax3+bx2-x(a,b∈R),且当x=1时,f(x)有极值-.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若对于区间[-3,3]上任意两个自变量的值x1,x2,有|f(x1)-f(x2)|≤c,求实数c的最小值.
第三节　导数与函数的极值、最值
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.(1)f'(x)<0　f'(x)>0　(2)f'(x)>0　f'(x)<0
(3)极值点　极值
2.(1)连续不断　(2)极值　端点处的函数值f(a),f(b)
[典题细发掘]
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√
2.选C　设导函数f'(x)的图象与x轴的交点从左到右分别为x1,x2,x3,x4,x5,根据函数的极值的定义可知在该点处的左、右两侧的导数符号相反,可得x1,x4为函数f(x)的极大值点,x2,x5为函数f(x)的极小值点,所以函数f(x)极值点的个数为4.
3.B
4.解析:令f'(x)=3x2-12=0,解得x=±2.
因为f(-3)=17,f(-2)=24,f(2)=-8,
f(3)=-1,所以M=24,m=-8,故M-m=32.
答案:32
课堂·题点精研
题点一
[例1]　选AD　由题图可知当x>2时(1-x)f'(x)<0,所以f'(x)>0,当10,所以f'(x)<0,当-20,所以f'(x)>0,所以f(x)在(2,+∞)上单调递增,在(1,2)内单调递减,在(-2,1)内单调递减,在(-∞,-2)上单调递增,故A正确,B错误;则f(x)在x=-2处取得极大值,x=2处取得极小值,即函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2),故C错误,D正确.
[例2]　解:(1)当a=时,f(x)=ln x-x,定义域为(0,+∞),且f'(x)=-=.
令f'(x)=0,得x=2,
于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.
x (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) 单调递增 ln 2-1 单调递减
故f(x)在定义域上的极大值为f(2)=ln 2-1,无极小值.
(2)由(1)知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=-a=(x>0).
当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时函数f(x)在定义域上无极值点;
当a>0时,当x∈时,f'(x)>0;
当x∈时,f'(x)<0,故函数f(x)在x=处有极大值.
综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值点;
当a>0时,函数y=f(x)有一个极大值点,且为x=.
[例3]　解:(1)当a=1时,f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1,
∵f(1)=e-2,f'(1)=e-1,∴切点为(1,e-2),切线斜率k=e-1,
∴切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x-1.
(2)由已知可得f'(x)=ex-a.
①若a≤0,则f'(x)恒大于0,即f(x)在R上单调递增,无极小值,不符合题意.
②若a>0,令f'(x)=0,解得x=ln a.
当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
∴极小值为f(ln a)=a-aln a-a3.
∵极小值小于0,∴a-aln a-a3<0,∴1-ln a-a2<0.
令h(x)=1-ln x-x2(x>0),
则h'(x)=--2x<0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递减,
∵h(1)=0,∴当x∈(0,1)时,h(x)>0,
当x∈(1,+∞)时,h(x)<0.∴a的取值范围是(1,+∞).
易错提醒:分类讨论时不要盲目以0为分类的分界点,要根据题目的具体情况,如本题中因为f'(x)=ex-a,而ex恒大于0,所以导数的正负与a的正负有关,所以分a≤0和a>0两种情况讨论.
[即时训练]
1.选C　求导得f'(x)=,由已知得f'(1)=0,所以a=-1,则f(x)=,f'(x)=.令f'(x)=0,得x=0或x=1.当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)的极小值为f(0)=1.
2.选BCD　函数f(x)=aln x++(a≠0)的定义域为(0,+∞),f'(x)=,因为函数f(x)既有极大值也有极小值,所以关于x的方程ax2-bx-2c=0有两个不等的正实根x1,x2,则即所以故选BCD.
3.解:(1)当a=1,b=-2时,f(x)=ln x--x,其中x>0,
则f'(x)=+-1=,令f'(x)=2 =2,
化简得3x2-x-2=(x-1)(3x+2)=0,解得x=1(负值舍去),
又此时f(1)=-3,则切线过点(1,-3),结合切线斜率为2,
则切线方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5=0.
(2)由题可得f(x)定义域为(0,+∞),
f'(x)=--1=,
由x=1是f(x)的极小值点,则f'(1)=-1+a-b=0 a=b+1,
则f'(x)==-.
若b≤0,令f'(x)>0 x∈(0,1),令f'(x)<0 x∈(1,+∞),
则f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
得x=1是f(x)的极大值点,不满足题意;
若00 x∈(b,1),
令f'(x)<0 x∈(0,b)∪(1,+∞),
则f(x)在(b,1)上单调递增,在(0,b),(1,+∞)上单调递减,
得x=1是f(x)的极大值点,不满足题意;
若b=1,则f'(x)=-≤0,
f(x)在(0,+∞)上单调递减,无极值,不满足题意;
若b>1,令f'(x)>0 x∈(1,b),
令f'(x)<0 x∈(0,1)∪(b,+∞),
则f(x)在(1,b)上单调递增,在(0,1),(b,+∞)上单调递减,
得x=1是f(x)的极小值点,满足题意.
综上,x=1是f(x)的极小值点时,b>1,
即b的取值范围为(1,+∞).
题点二
[例4]　解:(1)由f(x)=ln x-ax,知f'(x)=-a,定义域为(0,+∞),
当a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,令f'(x)>0,则0,f(x)在上单调递减.
综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)知,若f(x)有最大值,则a>0,且f(x)max=f=-ln a-1,因为f(x)的最大值小于a-2,所以-ln a-10.设g(a)=a+ln a-1,问题转化为解不等式g(a)>0,
因为g'(a)=1+>0恒成立,所以g(a)在(0,+∞)上单调递增.
又g(1)=0,所以g(a)>0=g(1),所以a>1,
故a的取值范围为(1,+∞).
[即时训练]
4.解析:由于f'(x)=-x2+1,易知f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)内单调递增,若函数f(x)在(a,10-a2)上有最大值,
则即-2≤a<1.
答案:[-2,1)
5.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=,
①若a≤0,则f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减;
②若a>0,则当x>a时,f'(x)<0;
当00,
所以f(x)在(0,a)内单调递增,在(a,+∞)上单调递减.
(2)f'(x)=,当a≤时,f(x)在上单调递减,
所以f(x)max=f=2-ae;
当当a≥e时,f(x)在上单调递增,
所以f(x)max=f(e)=-,综上,g(a)=
题点三
[例5]　解:(1)由题设f'(x)=ex-a,
当a≤0时,f'(x)>0恒成立,故f(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间;
当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln a,故在(-∞,ln a)上f'(x)<0,在(ln a,+∞)上f'(x)>0,
所以f(x)的单调递减区间为(-∞,ln a),单调递增区间为(ln a,+∞).
(2)证明:由(1)知,当a≤0时,f(x)在R上单调递增,没有极值;
当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,f(x)存在极小值M=f(ln a)=a-aln a-1.
令g(a)=a-aln a-1(a>0),则g'(a)=-ln a,
所以g(a)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,g(a)在a=1处取得最大值0,
所以g(a)≤0恒成立,即M≤0.
[即时训练]
6.解:(1)f'(x)=3ax2+2bx-1(a,b∈R),
由题意得 即 解得
经检验,当a=,b=-时,f(x)在x=1处取得极值-,
所以f(x)=x3-x2-x.
(2)f'(x)=4x2-3x-1,x∈[-3,3],
令f'(x)>0,得-3≤x<-或1令f'(x)<0,得-因为f(-3)=-,f(1)=-,f=,f(3)=,所以f(x)max=f(3)=,f(x)min=f(-3)=-,
对于区间[-3,3]上任意两个自变量的值x1,x2,有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=66,
所以c≥66,故实数c的最小值为66.(共76张PPT)
第三节
导数与函数的极值、最值
明确目标
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.会用导数求函数的极大值、极小值.
2.掌握利用导数研究函数最值的方法.会用导数研究生活中的最优化问题.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.函数的极值
(1)极小值
函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小，f'(a)=0；而且在点x=a附近的左侧________，右侧_______，则a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
f'(x)<0
f'(x)>0
(2)极大值
函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f'(b)=0；而且在点x=b附近的左侧_______，右侧________，则b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
(3)极值、极值点
极小值点、极大值点统称为_______，极小值和极大值统称为_____.
f'(x)>0
f'(x)<0
极值点
极值
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条_____________的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求y=f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤
①求函数y=f(x)在区间(a，b)内的______；
②将函数y=f(x)的各极值与________________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
连续不断
极值
端点处的函数值f(a)，f(b)
解题结论拓展
(1)有极值的函数一定不具有单调性.
(2)对于可导函数f(x)，f'(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.
(3)若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值.
(4)若函数f(x)在[a，b]上具有单调性，则f(x)一定在区间端点处取得最值.
(5)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数的极大值不一定比极小值大.(　　)
(2)闭区间上的连续函数必有最值.(　　)
(3)函数的极大值一定是函数的最大值.(　　)
(4)开区间上的单调连续函数无最值.(　　)
(5)设函数y=f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y=f(x)在区间(a，b)内不具有单调性.(　　)
√
√
×
√
√
2.(人A选必修②P92T1改编)若函数f(x)的定义域为R，其导函数f'(x)的图象如图所示，则函数f(x)极值点的个数为 (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:设导函数f'(x)的图象与x轴的交点从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x5，根据函数的极值的定义可知在该点处的左、右两侧的导数符号相反，可得x1，x4为函数f(x)的极大值点，x2，x5为函数f(x)的极小值点，所以函数f(x)极值点的个数为4.
√
3.(人A选必修②P91例5改编)函数f(x)=的极大值为(　　)
A.-e B.
C.1 D.0
√
4.(苏教选必修①P230T7改编)已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M-m=　　　　.
解析:令f'(x)=3x2-12=0，解得x=±2.
因为f(-3)=17，f(-2)=24，f(2)=-8，
f(3)=-1，所以M=24，m=-8，故M-m=32.
32
课堂·题点精研
02
考法(一)　根据图象判断函数的极值(点)
[例1]　(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示，则下列结论一定成立的是(　　)
A.函数f(x)在(2，+∞)上单调递增
B.函数f(x)在(-2，1)内单调递增
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
√
题点一　函数的极值
√
解析:由题图可知当x>2时(1-x)f'(x)<0，所以f'(x)>0，当10，所以f'(x)<0，当-20，所以f'(x)>0，所以f(x)在(2，+∞)上单调递增，在(1，2)内单调递减，在(-2，1)内单调递减，在(-∞，-2)上单调递增，故A正确，B错误；则f(x)在x=-2处取得极大值，x=2处取得极小值，即函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)，故C错误，D正确.
由图象判断函数y=f(x)的极值(点)，要抓住两点:
(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点，可得函数y=f(x)的可能极值点；
(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负，从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
思维建模
考法(二)　求已知函数的极值(点)
[例2]　已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)当a=时，求函数f(x)的极值；
解:当a=时，f(x)=ln x-x，
定义域为(0，+∞)，且f'(x)=-=.
令f'(x)=0，得x=2，
于是当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表.
故f(x)在定义域上的极大值为f(2)=ln 2-1，无极小值.
x (0，2) 2 (2，+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) 单调递增 ln 2-1 单调递减
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
解:由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，+∞)，
f'(x)=-a=(x>0).
当a≤0时，f'(x)>0在(0，+∞)上恒成立，
即函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，
此时函数f(x)在定义域上无极值点；
当a>0时，当x∈时，f'(x)>0；
当x∈时，f'(x)<0，
故函数f(x)在x=处有极大值.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点；当a>0时，函数y=f(x)有一个极大值点，且为x=.
求函数极值的一般步骤
(1)先求函数f(x)的定义域，再求函数f(x)的导函数.
(2)求f'(x)=0的根.
(3)判断f'(x)=0的根的左、右两侧f'(x)的符号，确定极值点.
(4)求出函数f(x)的极值.
思维建模
考法(三)　根据函数的极值(点)求参数
[例3]　(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=ex-ax-a3.
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
解:当a=1时，f(x)=ex-x-1，f'(x)=ex-1，
∵f(1)=e-2，f'(1)=e-1，
∴切点为(1，e-2)，切线斜率k=e-1，
∴切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1)，即y=(e-1)x-1.
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
解:由已知可得f'(x)=ex-a.
①若a≤0，则f'(x)恒大于0，即f(x)在R上单调递增，无极小值，不符合题意.
②若a>0，令f'(x)=0，解得x=ln a.
当x∈(-∞，ln a)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(ln a，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增.
∴极小值为f(ln a)=a-aln a-a3.
∵极小值小于0，∴a-aln a-a3<0，∴1-ln a-a2<0.
令h(x)=1-ln x-x2(x>0)，
则h'(x)=--2x<0，
∴h(x)在(0，+∞)上单调递减，
∵h(1)=0，∴当x∈(0，1)时，h(x)>0，
当x∈(1，+∞)时，h(x)<0.
∴a的取值范围是(1，+∞).
分类讨论时不要盲目以0为分类的分界点，要根据题目的具体情况，如本题中因为f'(x)=ex-a，而ex恒大于0，所以导数的正负与a的正负有关，所以分a≤0和a>0两种情况讨论.
易错提醒
已知函数极值点或极值求参数的2个关键
思维建模
列式 根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解
验证 因为其点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性
1.已知函数f(x)=在x=1处取得极值，则f(x)的极小值为(　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
即时训练
√
解析:求导得f'(x)=，由已知得f'(1)=0，所以a=-1，则f(x)=，f'(x)=.令f'(x)=0，得x=0或x=1.当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0，1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增.所以f(x)的极小值为f(0)=1.
2.(2023·新课标Ⅱ卷)[多选]若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　)
A.bc>0 B.ab>0
C.b2+8ac>0 D.ac<0
√
√
√
解析:函数f(x)=aln x++(a≠0)的定义域为(0，+∞)，
f'(x)=，因为函数f(x)既有极大值也有极小值，
所以关于x的方程ax2-bx-2c=0有两个不等的正实根x1，x2，
则即所以
故选BCD.
3.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知函数f(x)=aln x+-x.
(1)设a=1，b=-2，求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程；
解:当a=1，b=-2时，f(x)=ln x--x，其中x>0，
则f'(x)=+-1=，令f'(x)=2 =2，
化简得3x2-x-2=(x-1)(3x+2)=0，解得x=1(负值舍去)，又此时f(1)=-3，则切线过点(1，-3)，结合切线斜率为2，
则切线方程为y+3=2(x-1)，即2x-y-5=0.
(2)若x=1是f(x)的极小值点，求b的取值范围.
解:由题可得f(x)定义域为(0，+∞)，
f'(x)=--1=，
由x=1是f(x)的极小值点，则f'(1)=-1+a-b=0 a=b+1，
则f'(x)==-.
若b≤0，令f'(x)>0 x∈(0，1)，令f'(x)<0 x∈(1，+∞)，
则f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，得x=1是f(x)的极大值点，不满足题意；
若00 x∈(b，1)，令f'(x)<0 x∈(0，b)∪(1，+∞)，
则f(x)在(b，1)上单调递增，在(0，b)，(1，+∞)上单调递减，
得x=1是f(x)的极大值点，不满足题意；
若b=1，则f'(x)=-≤0，
f(x)在(0，+∞)上单调递减，无极值，不满足题意；
若b>1，令f'(x)>0 x∈(1，b)，令f'(x)<0 x∈(0，1)∪(b，+∞)，
则f(x)在(1，b)上单调递增，在(0，1)，(b，+∞)上单调递减，
得x=1是f(x)的极小值点，满足题意.
综上，x=1是f(x)的极小值点时，b>1，即b的取值范围为(1，+∞).
[例4]　设函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
解:由f(x)=ln x-ax，
知f'(x)=-a，定义域为(0，+∞)，
当a≤0时，f'(x)>0恒成立，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增；
题点二　函数的最值
当a>0时，令f'(x)>0，则0令f'(x)<0，则x>，f(x)在上单调递减.
综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.
(2)当函数f(x)有最大值，且最大值小于a-2时，求a的取值范围.
解:由(1)知，若f(x)有最大值，则a>0，且f(x)max=f=-ln a-1，因为f(x)的最大值小于a-2，所以-ln a-10.设g(a)=a+ln a-1，问题转化为解不等式g(a)>0，
因为g'(a)=1+>0恒成立，所以g(a)在(0，+∞)上单调递增.
又g(1)=0，所以g(a)>0=g(1)，所以a>1，
故a的取值范围为(1，+∞).
求函数f(x)在[a，b]上的最值的步骤
思维建模
4.函数f(x)=-x3+x在(a，10-a2)上有最大值，则实数a的取值范围是　　　　.
解析:由于f'(x)=-x2+1，易知f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上单调递减，在(-1，1)内单调递增，若函数f(x)在(a，10-a2)上有最大值，则即-2≤a<1.
即时训练
[-2，1)
5.已知函数f(x)=-ln x(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性；
解:函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=，
①若a≤0，则f'(x)<0在(0，+∞)上恒成立，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递减；
②若a>0，则当x>a时，f'(x)<0；当00，
所以f(x)在(0，a)内单调递增，在(a，+∞)上单调递减.
(2)求f(x)在上的最大值g(a).
解:f'(x)=，当a≤时，f(x)在上单调递减，
所以f(x)max=f=2-ae；
当所以f(x)max=f(a)=-ln a；
当a≥e时，f(x)在上单调递增，
所以f(x)max=f(e)=-，
综上，g(a)=
[例5]　设函数f(x)=ex-ax-1.
(1)求f(x)的单调区间；
解:由题设f'(x)=ex-a，当a≤0时，f'(x)>0恒成立，故f(x)的单调递增区间为R，无单调递减区间；
当a>0时，令f'(x)=0，得x=ln a，故在(-∞，ln a)上f'(x)<0，在(ln a，+∞)上f'(x)>0，所以f(x)的单调递减区间为(-∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，+∞).
题点三　函数极值和最值的综合问题
(2)若f(x)存在极值M，求证:M≤0.
证明:由(1)知，当a≤0时，f(x)在R上单调递增，没有极值；当a>0时，f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，在(ln a，+∞)上单调递增，
f(x)存在极小值M=f(ln a)=a-aln a-1.
令g(a)=a-aln a-1(a>0)，则g'(a)=-ln a，
所以g(a)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，g(a)在a=1处取得最大值0，所以g(a)≤0恒成立，即M≤0.
解决函数极值、最值综合问题的策略
(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
(2)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值；
(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
思维建模
6.已知函数f(x)=ax3+bx2-x(a，b∈R)，且当x=1时，f(x)有极值-.
(1)求函数f(x)的解析式；
解: f'(x)=3ax2+2bx-1(a，b∈R)，
由题意得 即 解得
经检验，当a=，b=-时，f(x)在x=1处取得极值-，所以f(x)=x3-x2-x.
即时训练
(2)若对于区间[-3，3]上任意两个自变量的值x1，x2，有| f(x1)-f(x2)|≤c，求实数c的最小值.
解:f'(x)=4x2-3x-1，x∈[-3，3]，
令f'(x)>0，得-3≤x<-或1所以f(x)在上单调递增，
在上单调递减，在(1，3]上单调递增.
因为f(-3)=-，f(1)=-，f=，f(3)=，
所以f(x)max=f(3)=，f(x)min=f(-3)=-，
对于区间[-3，3]上任意两个自变量的值x1，x2，
有| f(x1)-f(x2)|≤| f(x)max-f(x)min|=66，
所以c≥66，故实数c的最小值为66.
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03
一、单选题
1.函数f(x)=ln x-x在区间(0，e]上的最大值为(　　)
A.1-e B.-1
C.-e D.0
解析:因为f'(x)=-1=，当x∈(0，1)时，f'(x)>0；当x∈(1，e]时，f'(x)<0，所以当x=1时，f(x)取得最大值ln 1-1=-1.故选B.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
2.函数f(x)=x3+x2-3x-1的极小值点是(　　)
A.1 B.
C.-3 D.(-3，8)
解析:f'(x)=x2+2x-3，由x2+2x-3=0，得x=-3或x=1，所以函数f(x)=x3+x2-3x-1在(-∞，-3)上单调递增，在(-3，1)内单调递减，在(1，+∞)上单调递增，故f(x)在x=1处有极小值，极小值点为1.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
3.(2024·承德二模)设a为实数，若函数f(x)=x3-ax2+3在x=1处取得极小值，则a=(　　)
A.1 B.
C.0 D.-1
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
解析:由题可得f'(x)=x2-2ax=x(x-2a)，令f'(x)=0，解得x=0或x=2a，因为函数f(x)=x3-ax2+3在x=1处取得极小值，所以2a=1，即a=，当a=时，f'(x)=x(x-1)，由f'(x)>0，得x<0或x>1，由f'(x)<0，得01
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
4.函数f(x)=(4x-5)e2x的极值点为 (　　)
A. B. C. D.
快审准解:运用导数的正负研究单调性，再得到极值点即可.
√
1
5
6
7
8
9
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11
12
14
2
3
4
13
解析: f'(x)=4e2x+2(4x-5)e2x=(8x-6)e2x，令f'(x)<0，得x<，此时函数单调递减；令f'(x)>0，得x>，此时函数单调递增.
所以f(x)的极小值点为.故选B.
5.已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示，则+等于(　　)
A. 　　　 B.
C. 　　　 D.
√
1
5
6
7
8
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2
3
4
13
解析:由题图可知f(x)的图象经过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是f(x)的极值点，∴1+b+c=0，8+4b+2c=0，解得b=-3，c=2，∴f(x)=x3-3x2+2x，∴f'(x)=3x2-6x+2.∵x1，x2是方程3x2-6x+2=0的两根，∴x1+x2=2，x1x2=
，∴+=(x1+x2)2-2x1x2=4-2×=.
1
5
6
7
8
9
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11
12
14
2
3
4
13
6.函数结构是值得关注的对象.为了研究y=xx(x>0)的结构，两边取对数，可得ln y=ln xx，即ln y=xln x，两边取指数，得eln y=
exln x，即y=exln x，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型.结合上述材料，y=xx(x>0)的最小值为 (　　)
A.1 B.e
C. D.e-e
√
1
5
6
7
8
9
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11
12
14
2
3
4
13
解析:由y=xx(x>0)，两边取对数，可得ln y=ln xx，即ln y=xln x，令g(x)=xln x(x>0)，则g'(x)=ln x+1，当x∈时，g'(x)<0，g(x)单调递减，当x∈时，g'(x)>0，g(x)单调递增，∴g(x)min=g
=-，∴ln y≥-，y≥，y的最小值为.故选C.
1
5
6
7
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2
3
4
13
7.(2024·宝鸡三模)若函数f(x)=-ax2+4x-2ln x 有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A.(0，2) B.(0，1)
C.(-∞，1) D.(2，+∞)
√
1
5
6
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2
3
4
13
解析:f(x)=-ax2+4x-2ln x，f'(x)=-ax+4-=，故原命题等价于关于x的方程-ax2+4x-2=0在(0，+∞)上有两个不同的实数根，即关于x的方程a==-2+2在(0，+∞)上有两个不同的实数根，令t=，则t∈(0，+∞)，所以关于t的方程a=-2(t-1)2+2在(0，+∞)上有两个不同的实数根，令g(t)=-2(t-1)2+2，t∈(0，+∞)，因为g(t)在(0，1)上单调递增，故g(t)在(0，1)上的值域为(0，2)，因为g(t)在(1，+∞)上单调递减，故g(t)在(1，+∞)上的值域为(-∞，2)，而(0，2)∩(-∞，2)=(0，2)，从而实数a的取值范围是(0，2).
1
5
6
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14
2
3
4
13
二、多选题
8.对于函数f(x)=-2ln x+x2-3x，下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在区间(2，+∞)上单调递增
B.2是函数f(x)的极大值点
C.f(x)的单调递减区间是(0，2)
D.函数f(x)的最小值为-2ln 2-2
√
1
5
6
7
8
9
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12
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2
3
4
13
√
√
解析:∵f(x)=-2ln x+x2-3x，x∈(0，+∞)，
∴f'(x)=-+2x-3==.
令f'(x)=0，则x=2，令f'(x)<0，解得00，解得x>2，
∴f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，2是函数f(x)的极小值点，故A、C正确，B错误；f(x)min=f(2)=-2ln 2+4-6=-2ln 2-2，故D正确.
1
5
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2
3
4
13
9.已知函数f(x)=x3+x2+ax+b的极小值点为1，极小值为-.则(　　)
A.a=-2
B.b=-1
C.f(x)有3个零点
D.直线y=5与f(x)的图象仅有1个公共点
√
1
5
6
7
8
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2
3
4
13
√
√
解析:由题意得f'(x)=x2+x+a，则f'(1)=2+a=0，解得a=-2，故A正确.由f(1)=+-2+b=-，解得b=1，故B错误.f'(x)=x2+x-2=(x-1)(x+2)，当x∈(-∞，-2)时，f'(x)>0，所以f(x)在(-∞，-2)上单调递增，
当x∈(-2，1)时，f'(x)<0，所以f(x)在(-2，1)上单调递减，
当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，
1
5
6
7
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3
4
13
所以f(x)的极大值为f(-2)=，画出草图，
如图所示.所以f(x)有3个零点，故C正确.
直线y=5与f(x)的图象仅有1个公共点，
故D正确.故选ACD.
1
5
6
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14
2
3
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13
三、填空题
10.已知函数f(x)=x3-3ax+b+2在区间[0，1]上单调递增且最大值为3， 写出一对符合上述条件的整数a，b(注意:a，b都要为整数)为a=_______________，b=_______________.
1
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6
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　-3(答案不唯一)
-1(答案不唯一)
解析:由f(x)=x3-3ax+b+2可得f'(x)=3x2-3a，依题意， f'(x)=3x2-3a≥0在区间[0，1]上恒成立，则a≤(x2)min，即a≤0，且函数最大值为3，则f(1)=3-3a+b=3，即b=3a.又a，b都要为整数，故可取a=-1，b=-3.
11.若函数f(x)=ex-ax2-a存在两个极值点x1，x2，且x2=2x1，则a=　　　　.
解析:因为f(x)=ex-ax2-a，定义域为R，所以f'(x)=ex-2ax，故-2ax1=0，-2ax2=0.又x2=2x1，所以-4ax1=0.又>0，故=2，所以x1=ln 2，所以a==.
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四、解答题
12.(10分)(2024·张掖三模)已知函数f(x)=-ln x-图象在x=2处的切线斜率为.
(1)求a；(4分)
解:因为f'(x)=-+=-=，
由已知f'(2)=，即=，解得a=2.
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(2)求函数f(x)的单调区间和极大值.(6分)
解:由(1)知a=2，则f'(x)==0，解得x=1或x=2-ln 2，
当00；
当10，2ex-2-1<0，则f'(x)<0；
当x>2-ln 2时，x-1>0，2ex-2-1>0，则f'(x)>0，
所以f(x)的单调递增区间为(0，1)和(2-ln 2，+∞)，单调递减区间为(1，2-ln 2)，函数f(x)的极大值为f(1)=-1.
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13
13.(10分)已知函数f(x)=x2-aln x+1，a∈R.
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(4分)
解:当a=1时，f(x)=x2-ln x+1，y=f(x)的定义域为(0，+∞)，
则f'(x)=2x-，则f'(1)=2-=1，f(1)=1-ln 1+1=2，所以函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y-2=x-1，即y=x+1.
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3
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13
(2)当a>0时，若函数f(x)有最小值2，求a的值.(6分)
解:f(x)=x2-aln x+1，a∈R的定义域为(0，+∞)，f'(x)=2x-=，当a>0时，令f'(x)>0，解得x>；令f'(x)<0，解得01
5
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3
4
13
所以f(x)min=f=-aln +1=2，即-ln -1=0.令t=>0，设g(t)=t-tln t-1，g'(t)=-ln t，令g'(t)<0，解得t>1；令g'(t)>0，解得01
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14.(13分)已知函数f(x)=ln x-ax，x∈(0，e]，其中e为自然对数的底数.
(1)若x=1为f(x)的极值点，求f(x)的单调区间和最大值；(5分)
解:∵f(x)=ln x-ax，x∈(0，e]，∴f'(x)=，由f'(1)=0，得a=1.
∴f'(x)=，当x∈(0，1)时，f'(x)>0，当x∈(1，e]时，f'(x)<0，
∴f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，e].
f(x)的极大值为f(1)=-1，也即f(x)的最大值为f(1)=-1.
13
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(2)是否存在实数a，使得f(x)的最大值是-3 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.(8分)
解:∵f(x)=ln x-ax，∴f'(x)=，
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递增，
∴f(x)的最大值是f(e)=1-ae=-3，
解得a=>0，舍去；
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3
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②当a>0时，由f'(x)==0，得x=，
当0<时，∴x∈时，f'(x)>0；
x∈时，f'(x)<0，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减，
又f(x)在(0，e]上的最大值为-3，
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∴f(x)max=f =-1-ln a=-3，
∴a=e2，符合题意；
当e≤，即0∴f(x)max=f(e)=1-ae=-3，
解得a=>，舍去.
综上，存在a符合题意，此时a=e2.
13课时跟踪检测(二十二)　导数与函数的极值、最值
一、单选题
1.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为 (　　)
A.1-e B.-1
C.-e D.0
2.函数f(x)=x3+x2-3x-1的极小值点是 (　　)
A.1 B.
C.-3 D.(-3,8)
3.(2024·承德二模)设a为实数,若函数f(x)=x3-ax2+3在x=1处取得极小值,则a= (　　)
A.1 B.
C.0 D.-1
4.函数f(x)=(4x-5)e2x的极值点为 (　　)
A. B.
C. D.
5.已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则+等于 (　　)
A. B.
C. D.
6.函数结构是值得关注的对象.为了研究y=xx(x>0)的结构,两边取对数,可得ln y=ln xx,即ln y=xln x,两边取指数,得eln y=exln x,即y=exln x,这样我们就得到了较为熟悉的函数类型.结合上述材料,y=xx(x>0)的最小值为 (　　)
A.1 B.e
C. D.e-e
7.(2024·宝鸡三模)若函数f(x)=-ax2+4x-2ln x 有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(0,2) B.(0,1)
C.(-∞,1) D.(2,+∞)
二、多选题
8.对于函数f(x)=-2ln x+x2-3x,下列说法正确的是 (　　)
A.f(x)在区间(2,+∞)上单调递增
B.2是函数f(x)的极大值点
C.f(x)的单调递减区间是(0,2)
D.函数f(x)的最小值为-2ln 2-2
9.已知函数f(x)=x3+x2+ax+b的极小值点为1,极小值为-.则 (　　)
A.a=-2
B.b=-1
C.f(x)有3个零点
D.直线y=5与f(x)的图象仅有1个公共点
三、填空题
10.已知函数f(x)=x3-3ax+b+2在区间[0,1]上单调递增且最大值为3, 写出一对符合上述条件的整数a,b(注意:a,b都要为整数)为a=　　　　,b=　　　　.
11.若函数f(x)=ex-ax2-a存在两个极值点x1,x2,且x2=2x1,则a=　　　　.
四、解答题
12.(10分)(2024·张掖三模)已知函数f(x)=-ln x-图象在x=2处的切线斜率为.
(1)求a;(4分)
(2)求函数f(x)的单调区间和极大值.(6分)
13.(10分)已知函数f(x)=x2-aln x+1,a∈R.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(4分)
(2)当a>0时,若函数f(x)有最小值2,求a的值.(6分)
14.(13分)已知函数f(x)=ln x-ax,x∈(0,e],其中e为自然对数的底数.
(1)若x=1为f(x)的极值点,求f(x)的单调区间和最大值;(5分)
(2)是否存在实数a,使得f(x)的最大值是-3 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.(8分)
课时跟踪检测(二十二)
1.选B　因为f'(x)=-1=,当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,e]时,f'(x)<0,所以当x=1时,f(x)取得最大值ln 1-1=-1.故选B.
2.选A　f'(x)=x2+2x-3,由x2+2x-3=0,得x=-3或x=1,所以函数f(x)=x3+x2-3x-1在(-∞,-3)上单调递增,在(-3,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故f(x)在x=1处有极小值,极小值点为1.
3.选B　由题可得f'(x)=x2-2ax=x(x-2a),令f'(x)=0,解得x=0或x=2a,因为函数f(x)=x3-ax2+3在x=1处取得极小值,所以2a=1,即a=,当a=时,f'(x)=x(x-1),由f'(x)>0,得x<0或x>1,由f'(x)<0,得04.快审准解:运用导数的正负研究单调性,再得到极值点即可.
选B　f'(x)=4e2x+2(4x-5)e2x=(8x-6)e2x,令f'(x)<0,得x<,此时函数单调递减;
令f'(x)>0,得x>,此时函数单调递增.
所以f(x)的极小值点为.故选B.
5.选C　由题图可知f(x)的图象经过点(1,0)与(2,0),x1,x2是f(x)的极值点,∴1+b+c=0,8+4b+2c=0,解得b=-3,c=2,∴f(x)=x3-3x2+2x,∴f'(x)=3x2-6x+2.∵x1,x2是方程3x2-6x+2=0的两根,∴x1+x2=2,x1x2=,∴+=(x1+x2)2-2x1x2=4-2×=.
6.选C　由y=xx(x>0),两边取对数,可得ln y=ln xx,即ln y=xln x,令g(x)=xln x(x>0),则g'(x)=ln x+1,当x∈时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈时,g'(x)>0,g(x)单调递增,∴g(x)min=g=-,
∴ln y≥-,y≥,y的最小值为.故选C.
7.选A　f(x)=-ax2+4x-2ln x,f'(x)=-ax+4-=,故原命题等价于关于x的方程-ax2+4x-2=0在(0,+∞)上有两个不同的实数根,即关于x的方程a==-2+2在(0,+∞)上有两个不同的实数根,令t=,则t∈(0,+∞),所以关于t的方程a=-2(t-1)2+2在(0,+∞)上有两个不同的实数根,令g(t)=-2(t-1)2+2,t∈(0,+∞),因为g(t)在(0,1)上单调递增,故g(t)在(0,1)上的值域为(0,2),因为g(t)在(1,+∞)上单调递减,故g(t)在(1,+∞)上的值域为(-∞,2),而(0,2)∩(-∞,2)=(0,2),从而实数a的取值范围是(0,2).
8.选ACD　∵f(x)=-2ln x+x2-3x,x∈(0,+∞),
∴f'(x)=-+2x-3==.
令f'(x)=0,则x=2,令f'(x)<0,解得00,解得x>2,
∴f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,2是函数f(x)的极小值点,故A、C正确,B错误;f(x)min=f(2)=-2ln 2+4-6=-2ln 2-2,故D正确.
9.选ACD　由题意得f'(x)=x2+x+a,则f'(1)=2+a=0,解得a=-2,故A正确.由f(1)=+-2+b=-,解得b=1,故B错误.f'(x)=x2+x-2=(x-1)(x+2),当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增,当x∈(-2,1)时,f'(x)<0,所以f(x)在(-2,1)上单调递减,
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以f(x)的极大值为f(-2)=,画出草图,如图所示.所以f(x)有3个零点,故C正确.
直线y=5与f(x)的图象仅有1个公共点,故D正确.故选ACD.
10.解析:由f(x)=x3-3ax+b+2可得f'(x)=3x2-3a,依题意, f'(x)=3x2-3a≥0在区间[0,1]上恒成立,则a≤(x2)min,即a≤0,且函数最大值为3,则f(1)=3-3a+b=3,即b=3a.又a,b都要为整数,故可取a=-1,b=-3.
答案:-1(答案不唯一)　-3(答案不唯一)
11.解析:因为f(x)=ex-ax2-a,定义域为R,所以f'(x)=ex-2ax,故-2ax1=0,-2ax2=0.又x2=2x1,所以-4ax1=0.又>0,故=2,所以x1=ln 2,所以a==.
答案:
12.解:(1)因为f'(x)=-+=-=,
由已知f'(2)=,即=,解得a=2.
(2)由(1)知a=2,则f'(x)==0,解得x=1或x=2-ln 2,
当00;
当10,2ex-2-1<0,则f'(x)<0;
当x>2-ln 2时,x-1>0,2ex-2-1>0,则f'(x)>0,
所以f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2-ln 2,+∞),单调递减区间为(1,2-ln 2),函数f(x)的极大值为f(1)=-1.
13.解:(1)当a=1时,f(x)=x2-ln x+1,y=f(x)的定义域为(0,+∞),
则f'(x)=2x-,则f'(1)=2-=1,f(1)=1-ln 1+1=2,所以函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-2=x-1,即y=x+1.
(2)f(x)=x2-aln x+1,a∈R的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-=,当a>0时,令f'(x)>0,解得x> ;
令f'(x)<0,解得00,设g(t)=t-tln t-1,g'(t)=-ln t,令g'(t)<0,解得t>1;令g'(t)>0,解得0所以a的值为2.
14.解:(1)∵f(x)=ln x-ax,x∈(0,e],
∴f'(x)=,由f'(1)=0,得a=1.
∴f'(x)=,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,
当x∈(1,e]时,f'(x)<0,
∴f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e].
f(x)的极大值为f(1)=-1,也即f(x)的最大值为f(1)=-1.
(2)∵f(x)=ln x-ax,∴f'(x)=,
①当a≤0时,f(x)在(0,e]上单调递增,
∴f(x)的最大值是f(e)=1-ae=-3,解得a=>0,舍去;
②当a>0时,由f'(x)==0,得x=,
当0<时,∴x∈时,f'(x)>0;
x∈时,f'(x)<0,
∴f(x)在上单调递增,在上单调递减,
又f(x)在(0,e]上的最大值为-3,
∴f(x)max=f =-1-ln a=-3,∴a=e2,符合题意;
当e≤,即0∴f(x)max=f(e)=1-ae=-3,解得a=>,舍去.
综上,存在a符合题意,此时a=e2.

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