资源简介 第四节 函数的构造问题函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容,经常以客观题出现,同构法构造函数也会在解答题中出现,通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.题点一 通过导数的运算法则构造函数考法(一) 利用f(x)与xn构造函数[例1] 已知函数f(x)的定义域为(-∞,0),f(-1)=-1,其导函数f'(x)满足xf'(x)-2f(x)>0,则不等式f(x+2 025)+(x+2 025)2<0的解集为 ( )A.(-2 026,0) B.(-2 026,-2 025)C.(-∞,-2 026) D.(-∞,-2 025)|思维建模|(1)出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x).(2)出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=.考法(二) 利用f(x)与ex构造函数[例2] 已知定义在R上的函数f(x),g(x)处处导数存在,f(1)=g(1),f'(x)+g(x)>g'(x)+f(x),则下列情况一定成立的是 ( )A.f(2)+g(0)>f(0)+g(2) B.f(2)+g(0)C.f(2)·g(0)>f(0)·g(2) D.f(2)·g(0)|思维建模|(1)出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x).(2)出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=.考法(三) 利用f(x)与sin x,cos x构造函数[例3] 定义在上的函数f(x),已知f'(x)是它的导函数,且恒有cos xf'(x)+sin xf(x)<0成立,则有 ( )A.f>f B.f>fC.f>f D.f|思维建模|(1)若F(x)=f(x)sin x,则F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x;(2)若F(x)=,则F'(x)=;(3)若F(x)=f(x)cos x,则F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x;(4)若F(x)=,则F'(x)=. [即时训练]1.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则不等式f(x)<0的解集为 ( )A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)2.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,f(0)=0且f(x)+f'(x)>0,则不等式f(x2+4x-5)>0的解集为 ( )A.(-∞,-5)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(5,+∞)C.(-5,1) D.(-1,5)3.设f(x)是定义在(-π,0)∪(0,π)上的奇函数,其导函数为f'(x),且当x∈(0,π)时,f'(x)sin x-f(x)cos x<0,则关于x的不等式f(x)<2fsin x的解集为 . 题点二 利用数学运算式中的相同点构造函数 [例4] 已知a<5,且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,则 ( )A.cC.a|思维建模|(1)若题目所给的条件含有两个变量,可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边,即可构造函数,并且利用函数的单调性求解.(2)当要比较的各数为某些函数的函数值时,要仔细观察这些数值的共同之处,构造一个或两个函数,使要比较的数成为该函数的函数值,然后利用函数的单调性比较大小.[即时训练]4.(2024·宜春三模)已知a=,b=,c=,其中e=2.718 28…为自然对数的底数,则 ( )A.bC.a5.若对于0A. B.1C.e D.2e第四节 函数的构造问题题点一[例1] 选B 根据题意可令g(x)=(x<0) g'(x)=<0,所以g(x)=在(-∞,0)上单调递减,则原不等式等价于<-1,由g(x+2 025)=<-1=g(-1) 0>x+2 025>-1,解得x∈(-2 026,-2 025).[例2] 选A f'(x)+g(x)>g'(x)+f(x) f'(x)-g'(x)>f(x)-g(x),令h(x)=,则h'(x)=,故h'(x)>0 h(x)单调递增,又h(1)=0,所以h(2)>h(1)>h(0),即f(2)-g(2)>>0>f(0)-g(0),移项可得A正确,B错误;另外,f(2)>g(2),f(0)[例3] 选C 令g(x)=,x∈,则g'(x)=,因为cos xf'(x)+sin xf(x)<0,所以g'(x)<0,则g(x)=在上单调递减,所以<<,即<<,故f>f,f>f,故选C.[即时训练]1.选B 设F(x)=,则F'(x)=,∵当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,∴当x>0时,F'(x)<0,即F(x)在(0,+∞)上单调递减.由于f(x)是奇函数,所以F(-x)===F(x),F(x)是偶函数,所以F(x)在(-∞,0)上单调递增.又f(1)=f(-1)=0,当x<-1或x>1时,F(x)=<0;当-10,所以当-11时,f(x)<0.即不等式f(x)<0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).2.选A 设g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0,故g(x)单调递增.又g(0)=e0f(0)=0,故f(x2+4x-5)>0可转化为f(x2+4x-5)>0,即g(x2+4x-5)>g(0),由g(x)单调递增可得x2+4x-5>0,解得x<-5或x>1,即不等式f(x2+4x-5)>0的解集为(-∞,-5)∪(1,+∞).3.解析:令g(x)=,x∈(-π,0)∪(0,π),则g'(x)=,∵当x∈(0,π)时,f'(x)sin x-f(x)·cos x<0,∴在(0,π)上,g'(x)<0,∴函数g(x)在(0,π)内单调递减.∵y=f(x),y=sin x是奇函数,∴函数g(x)是偶函数,∴函数g(x)在(-π,0)内单调递增.当x∈(0,π)时,sin x>0,则不等式f(x)<2fsin x可化为<,即g(x)=,即g(x)>g,∴-答案:∪题点二[例4] 选D 三个等式可变形为=,=,=.∵ae5=5ea,a<5,∴a>0.同理b>0,c>0.构造函数f(x)=,x>0,则f'(x)=.当01时,f'(x)>0,f(x)单调递增.∵f(5)=f(a),而0f(4)>f(3),∴f(a)>f(b)>f(c),0[即时训练]4.选A 由题意得a==,b==,c===.设f(x)=,则f'(x)=,当00,所以f(x)单调递增,又0<<<25.选B ∵x2ln x1-x1ln x2≤x1-x2,∴-≤-,即≤.又0∴φ(x)在(0,a)上单调递增,φ'(x)=,当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,∴φ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故a≤1,∴a的最大值为1.(共51张PPT)第四节函数的构造问题明确目标函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容,经常以客观题出现,同构法构造函数也会在解答题中出现,通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.目录01.题点一 通过导数的运算法则构造函数02.题点二 利用数学运算式中的相同点构造函数03.课时跟踪检测考法(一) 利用f(x)与xn构造函数[例1] 已知函数f(x)的定义域为(-∞,0),f(-1)=-1,其导函数 f'(x)满足xf'(x)-2f(x)>0,则不等式 f(x+2 025)+(x+2 025)2<0的解集为( )A.(-2 026,0) B.(-2 026,-2 025)C.(-∞,-2 026) D.(-∞,-2 025)√题点一 通过导数的运算法则构造函数解析:根据题意可令g(x)=(x<0) g'(x)=<0,所以g(x)=在(-∞,0)上单调递减,则原不等式等价于<-1,由g(x+2 025)=<-1=g(-1) 0>x+2 025>-1,解得x∈(-2 026,-2 025).(1)出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x).(2)出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=.思维建模考法(二) 利用f(x)与ex构造函数[例2] 已知定义在R上的函数f(x),g(x)处处导数存在,f(1)=g(1),f'(x)+g(x)>g'(x)+f(x),则下列情况一定成立的是( )A.f(2)+g(0)>f(0)+g(2)B.f(2)+g(0)C.f(2)·g(0)>f(0)·g(2)D.f(2)·g(0)√解析:f'(x)+g(x)>g'(x)+f(x) f'(x)-g'(x)>f(x)-g(x),令h(x)=,则h'(x)=,故h'(x)>0 h(x)单调递增,又h(1)=0,所以h(2)>h(1)>h(0),即f(2)-g(2)>>0>f(0)-g(0),移项可得A正确,B错误;另外,f(2)>g(2),f(0)(1)出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x).(2)出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=.思维建模考法(三) 利用f(x)与sin x,cos x构造函数[例3] 定义在上的函数f(x),已知f'(x)是它的导函数,且恒有cos xf'(x)+sin xf(x)<0成立,则有( )A.f>f B.f>fC.f>f D.f√解析:令g(x)=,x∈,则g'(x)=,因为cos xf'(x)+sin xf(x)<0,所以g'(x)<0,则g(x)=在上单调递减,所以<<,即<<,故f>f,f>f,故选C.(1)若F(x)=f(x)sin x,则F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x;(2)若F(x)=,则F'(x)=;(3)若F(x)=f(x)cos x,则F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x;(4)若F(x)=,则F'(x)=.思维建模1.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则不等式f(x)<0的解集为 ( )A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)即时训练√解析:设F(x)=,则F'(x)=,∵当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,∴当x>0时,F'(x)<0,即F(x)在(0,+∞)上单调递减.由于f(x)是奇函数,所以F(-x)===F(x),F(x)是偶函数,所以F(x)在(-∞,0)上单调递增.又f(1)=f(-1)=0,当x<-1或x>1时,F(x)=<0;当-1<1时,F(x)=>0,所以当-11时,f(x)<0.即不等式f(x)<0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).2.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,f(0)=0且f(x)+f'(x)>0,则不等式f(x2+4x-5)>0的解集为 ( )A.(-∞,-5)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(5,+∞)C.(-5,1)D.(-1,5)√解析:设g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0,故g(x)单调递增.又g(0)=e0f(0)=0,故f(x2+4x-5)>0可转化为f(x2+4x-5)>0,即g(x2+4x-5)>g(0),由g(x)单调递增可得x2+4x-5>0,解得x<-5或x>1,即不等式f(x2+4x-5)>0的解集为(-∞,-5)∪(1,+∞).3.设f(x)是定义在(-π,0)∪(0,π)上的奇函数,其导函数为f'(x),且当x∈(0,π)时,f'(x)sin x-f(x)cos x<0,则关于x的不等式f(x)<2fsin x的解集为________________. ∪解析:令g(x)=,x∈(-π,0)∪(0,π),则g'(x)=,∵当x∈(0,π)时,f'(x)sin x-f(x)cos x<0,∴在(0,π)上,g'(x)<0,∴函数g(x)在(0,π)内单调递减.∵y=f(x),y=sin x是奇函数,∴函数g(x)是偶函数,∴函数g(x)在(-π,0)内单调递增.当x∈(0,π)时,sin x>0,则不等式f(x)<2fsin x可化为<,即g(x)=,即g(x)>g,∴-[例4] 已知a<5,且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,则 ( )A.cC.a√题点二 利用数学运算式中的相同点构造函数解析:三个等式可变形为===.∵ae5=5ea,a<5,∴a>0.同理b>0,c>0.构造函数f(x)=,x>0,则f'(x)=.当01时,f'(x)>0,f(x)单调递增.∵f(5)=f(a),而0∵f(5)>f(4)>f(3),∴f(a)>f(b)>f(c),0(1)若题目所给的条件含有两个变量,可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边,即可构造函数,并且利用函数的单调性求解.(2)当要比较的各数为某些函数的函数值时,要仔细观察这些数值的共同之处,构造一个或两个函数,使要比较的数成为该函数的函数值,然后利用函数的单调性比较大小.思维建模4.(2024·宜春三模)已知a=,b=,c=,其中e=2.718 28…为自然对数的底数,则( )A.bC.a即时训练√解析:由题意得a==,b==,c===.设f(x)=,则f'(x)=,当00,所以f(x)单调递增,又0<<<25.若对于0A. B.1C.e D.2e√解析:∵x2ln x1-x1ln x2≤x1-x2,∴-≤-,即≤.又00,当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,∴φ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故a≤1,∴a的最大值为1.课时跟踪检测03一、单选题1.已知f'(x)为函数f(x)的导函数,当x>0时,有f(x)-xf'(x)>0恒成立,则下列不等式一定成立的是( )A.f>2f B.f<2fC.f>f(1) D.f√1567891011121314234解析:令F(x)=,x>0,则F'(x)=,因为当x>0时,有f(x)-xf'(x)>0恒成立,所以当x>0时,F'(x)=<0,即F(x)在(0,+∞)上单调递减,所以FF(1),即>,即2f>f(1),C、D错误.15678910111214234132.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),f(0)=1,且对任意的x满足f'(x)ex的解集是 ( )A.(-∞,1) B.(-∞,0)C.(0,+∞) D.(1,+∞)√1567891011121423413解析:令g(x)=,则g'(x)==<0,所以g(x)在R上单调递减,因为f(0)=1,所以g(0)=1,不等式f(x)>ex可变形为>1,即g(x)>g(0),可得x<0,故选B.3.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f(1)=1,且x2f'(x)+1>0,则下列式子一定成立的是 ( )A.f>3 B.f>πC.f(log2e)>ln 2 D.f(ln 3)√1567891011121423413解析:因为当x>0时,x2f'(x)+1>0,可得f'(x)+>0,令g(x)=f(x)-,可得g'(x)=f'(x)+>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(1)=1,可得g(1)=f(1)-1=0,对于A,由gg(1),即f(log2e)-ln 2>0,所以f(log2e)>ln 2,所以C正确;对于D,由g(ln 3)>g(1),即f(ln 3)->0,所以f(ln 3)>log3e,所以D不正确.15678910111214234134.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对于任意的实数x都有=e2x,且x>0时,f'(x)>f(x).若a=,b=,c=3f,则a,b,c的大小关系是( )A.a>c>b B.a>b>cC.c>a>b D.c>b>a√1567891011121423413解析:令g(x)=,对于任意的实数x都有=e2x =,即g(-x)=g(x) g(x)为偶函数.a=g(1),b=g(ln 2),c=g(-ln 3)=g(ln 3).当x>0时,f'(x)>f(x),g'(x)=>0,g(x)单调递增.又ln 2<1g(1)>g(ln 2),即c>a>b.15678910111214234135.若x∈,a=2x,b=sin x,c=x,则a,b,c的大小关系为( )A.cC.b√1567891011121423413解析:令f(x)=x-sin x,x∈(0,1),则f'(x)=1-cos x>0,所以f(x)在(0,1)内单调递增,所以f(x)>f(0)=0,即x>sin x在(0,1)上恒成立,则c>b在上恒成立,又当x∈时a=2x>20=1,c=x<1,所以a>c>b.6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,f'(x)是f(x)的导函数,当x≥0时,f'(x)-2x>0,且f(1)=2,则f(x)>x2+1的解集是 ( )A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(0,1)D.(-∞,-1)∪(0,1)快审准解:利用抽象函数的导数,及时还原出原函数,构造所需形式解不等式即可.√1567891011121423413解析:由题意知当x≥0时,f'(x)-2x>0,可知[f(x)-x2]'>0.令g(x)=f(x)-x2,故g(x)在[0,+∞)单调递增,且g(1)=1.若求f(x)>x2+1的解集,即求g(x)>1的解集,即解g(x)>g(1),∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴g(x)也是偶函数,故|x|>1即可,解得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故选B.15678910111214234137.若A.baC.ab√1567891011121423413解析:因为y=ax在R上单调递减,且>aa>ab>a,因为y=bx在R上单调递减,且ba>bb>b,令f(x)=xln x,则f'(x)=ln x+1,因为0,所以f(x)在上单调递增,因为所以aln a15678910111214234138.设a=1+ln 1.03,b=,c=1.03,则( )A.aC.c√1567891011121423413解析:设g(x)=ln(x+1)-x(x>0),则g'(x)=-1=,当x>0时,g'(x)<0,即g(x)在(0,+∞)上单调递减,故g(x)1,所以<1.03,即b0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(0.03)>f(0)=0,即a>b.故b1567891011121423413二、多选题9.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均是(0,+∞),2是 f(x)的唯一零点,且(x+1) f'(x)A.2 025f(2 023)>2 024f(2 024)B.f(1)>0C.2 026f(2 024)<2 025f (2 025)D.f(3)>0√1567891011121423413√解析:令F(x)=,则F'(x)=,由题意知(x+1)f'(x)>,故A正确,C错误.又2是f(x)的唯一零点,所以F(2)=0,又F(x)在(0,+∞)上单调递减,所以F(1)=>0,F(3)=<0,即f(1)>0,f(3)<0,故B正确,D错误.1567891011121423413习得方略:对于比较复杂的式子要观察式子的特征,通过移项或乘除等手段,将相同的变量移到不等式的同一边,化异为同构造函数,然后对构造的函数求导,应用导数进行解答,同时要注意函数的定义域及变形的等价性.156789101112142341310.已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意的正数x,都满足f(x)A.f(1)<2f B.f(1)< f(2)C.f(1)<4f-2 D.f(1)> f(2)+115678910111214234√13√√15678910111214234解析:设g(x)=(x>0),则g'(x)=>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,由g(1)>g得f(1)>2f,故A错误;由g(1)0),则h'(x)==<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,由h(1)h(2)得f(1)> f(2)+1,故D正确.13三、填空题11.已知函数f(x)是定义在R上的增函数,且f(2)=1,则不等式f(x)>5-2x的解集为 . 解析:由题意,知f(x)在R上为增函数,所以f'(x)≥0恒成立,构造函数g(x)=f(x)+2x-5,所以g'(x)=f'(x)+2≥2恒成立,所以g(x)在R上单调递增.又因为g(2)=f(2)+2×2-5=0,所以当x>2时,g(x)=f(x)+2x-5>g(2)=0,即f(x)>5-2x,所以f(x)>5-2x的解集为(2,+∞).1567891011121423413(2,+∞)12.若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+2f(x)>0,且f(0)=1,则不等式f(x)>的解集为 . 解析:构造F(x)=f(x)·e2x,∴F'(x)=f'(x)·e2x+f(x)·2e2x=e2x[f'(x)+2f(x)]>0,∴F(x)在R上单调递增,且F(0)=f(0)·e0=1.∵不等式 f(x)>可化为f(x)e2x>1,即F(x)>F(0),∴x>0,∴原不等式的解集为(0,+∞).1567891011121423413(0,+∞)13.使得不等式logab快审准解:取a>1,b>1,由ba1,利用导数探讨函数的单调性,由此确定a,b的取值区间,并验证logab1567891011121423413e,2(答案不唯一)解析:不妨取a>1,b>1,由ba1,求导得f'(x)=.当10,当x>e时,f'(x)<0,即函数f(x)在(1,e)内单调递增,在(e,+∞)上单调递减,取a,b∈(1,e],由f(b)15678910111214234131567891011121423414.(2024·东莞三模)若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为 .(用“<”连接) 解析:ln a=ln =ln 2,ln b=ln e=,ln c=ln π,令f(x)=(x>0),则f'(x)=,由f'(x)>0,得0e.∴f(x)在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)上单调递减.∴ln b=最大,而ln a-ln c=ln 2-ln π=ln 4-ln π<0,∴a13a一、单选题1.已知f'(x)为函数f(x)的导函数,当x>0时,有f(x)-xf'(x)>0恒成立,则下列不等式一定成立的是 ( )A.f>2f B.f<2fC.f>f(1) D.f2.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),f(0)=1,且对任意的x满足f'(x)ex的解集是 ( )A.(-∞,1) B.(-∞,0)C.(0,+∞) D.(1,+∞)3.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f(1)=1,且x2f'(x)+1>0,则下列式子一定成立的是 ( )A.f>3 B.f>πC.f(log2e)>ln 2 D.f(ln 3)4.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对于任意的实数x都有=e2x,且x>0时,f'(x)>f(x).若a=,b=,c=3f,则a,b,c的大小关系是 ( )A.a>c>b B.a>b>cC.c>a>b D.c>b>a5.若x∈,a=2x,b=sin x,c=x,则a,b,c的大小关系为 ( )A.cC.b6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,f'(x)是f(x)的导函数,当x≥0时,f'(x)-2x>0,且f(1)=2,则f(x)>x2+1的解集是 ( )A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(0,1)7.若A.baC.ab8.设a=1+ln 1.03,b=,c=1.03,则 ( )A.aC.c二、多选题9.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均是(0,+∞),2是f(x)的唯一零点,且(x+1)f'(x)A.2 025f(2 023)>2 024f(2 024) B.f(1)>0C.2 026f(2 024)<2 025f(2 025) D.f(3)>010.已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意的正数x,都满足f(x)A.f(1)<2f B.f(1)C.f(1)<4f-2 D.f(1)>f(2)+1三、填空题11.已知函数f(x)是定义在R上的增函数,且f(2)=1,则不等式f(x)>5-2x的解集为 . 12.若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+2f(x)>0,且f(0)=1,则不等式f(x)>的解集为 . 13.使得不等式logab14.(2024·东莞三模)若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为 .(用“<”连接)课时跟踪检测(二十三)1.选B 令F(x)=,x>0,则F'(x)=,因为当x>0时,有f(x)-xf'(x)>0恒成立,所以当x>0时,F'(x)=<0,即F(x)在(0,+∞)上单调递减,所以FF(1),即>,即2f>f(1),C、D错误.2.选B 令g(x)=,则g'(x)==<0,所以g(x)在R上单调递减,因为f(0)=1,所以g(0)=1,不等式f(x)>ex可变形为>1,即g(x)>g(0),可得x<0,故选B.3.选C 因为当x>0时,x2f'(x)+1>0,可得f'(x)+>0,令g(x)=f(x)-,可得g'(x)=f'(x)+>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(1)=1,可得g(1)=f(1)-1=0,对于A,由gg(1),即f(log2e)-ln 2>0,所以f(log2e)>ln 2,所以C正确;对于D,由g(ln 3)>g(1),即f(ln 3)->0,所以f(ln 3)>log3e,所以D不正确.4.选C 令g(x)=,对于任意的实数x都有=e2x =,即g(-x)=g(x) g(x)为偶函数.a=g(1),b=g(ln 2),c=g(-ln 3)=g(ln 3).当x>0时,f'(x)>f(x),g'(x)=>0,g(x)单调递增.又ln 2<1∴g(ln 3)>g(1)>g(ln 2),即c>a>b.5.选D 令f(x)=x-sin x,x∈(0,1),则f'(x)=1-cos x>0,所以f(x)在(0,1)内单调递增,所以f(x)>f(0)=0,即x>sin x在(0,1)上恒成立,则c>b在上恒成立,又当x∈时a=2x>20=1,c=x<1,所以a>c>b.6.快审准解:利用抽象函数的导数,及时还原出原函数,构造所需形式解不等式即可.选B 由题意知当x≥0时,f'(x)-2x>0,可知[f(x)-x2]'>0.令g(x)=f(x)-x2,故g(x)在[0,+∞)单调递增,且g(1)=1.若求f(x)>x2+1的解集,即求g(x)>1的解集,即解g(x)>g(1),∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴g(x)也是偶函数,故|x|>1即可,解得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故选B.7.选C 因为y=ax在R上单调递减,且aa>ab>a,因为y=bx在R上单调递减,且ba>bb>b,令f(x)=xln x,则f'(x)=ln x+1,因为0,所以f(x)在上单调递增,因为8.选B 设g(x)=ln(x+1)-x(x>0),则g'(x)=-1=,当x>0时,g'(x)<0,即g(x)在(0,+∞)上单调递减,故g(x)1,所以<1.03,即b0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(0.03)>f(0)=0,即a>b.故b9.选AB 令F(x)=,则F'(x)=,由题意知(x+1)f'(x),>,故A正确,C错误.又2是f(x)的唯一零点,所以F(2)=0,又F(x)在(0,+∞)上单调递减,所以F(1)=>0,F(3)=<0,即f(1)>0,f(3)<0,故B正确,D错误.习得方略:对于比较复杂的式子要观察式子的特征,通过移项或乘除等手段,将相同的变量移到不等式的同一边,化异为同构造函数,然后对构造的函数求导,应用导数进行解答,同时要注意函数的定义域及变形的等价性.10.选BCD 设g(x)=(x>0),则g'(x)=>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,由g(1)>g得f(1)>2f,故A错误;由g(1)0),则h'(x)==<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,由h(1)h(2)得f(1)>f(2)+1,故D正确.11.解析:由题意,知f(x)在R上为增函数,所以f'(x)≥0恒成立,构造函数g(x)=f(x)+2x-5,所以g'(x)=f'(x)+2≥2恒成立,所以g(x)在R上单调递增.又因为g(2)=f(2)+2×2-5=0,所以当x>2时,g(x)=f(x)+2x-5>g(2)=0,即f(x)>5-2x,所以f(x)>5-2x的解集为(2,+∞).答案:(2,+∞)12.解析:构造F(x)=f(x)·e2x,∴F'(x)=f'(x)·e2x+f(x)·2e2x=e2x[f'(x)+2f(x)]>0,∴F(x)在R上单调递增,且F(0)=f(0)·e0=1.∵不等式f(x)>可化为f(x)e2x>1,即F(x)>F(0),∴x>0,∴原不等式的解集为(0,+∞).答案:(0,+∞)13.快审准解:取a>1,b>1,由ba1,利用导数探讨函数的单调性,由此确定a,b的取值区间,并验证logab解析:不妨取a>1,b>1,由ba1,求导得f'(x)=.当10,当x>e时,f'(x)<0,即函数f(x)在(1,e)内单调递增,在(e,+∞)上单调递减,取a,b∈(1,e],由f(b)答案:e,2(答案不唯一)14.解析:ln a=ln =ln 2,ln b=ln e=,ln c=ln π,令f(x)=(x>0),则f'(x)=,由f'(x)>0,得0e.∴f(x)在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)上单调递减.∴ln b=最大,而ln a-ln c=ln 2-ln π=ln 4-ln π<0,∴a答案:a 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第四节 函数的构造问题.docx 第四节 函数的构造问题.pptx 课时跟踪检测(二十三) 函数的构造问题.docx