第三章 第四节 函数的构造问题(课件 学案 练习,共3份)2026届高中数学(人教A版)一轮复习

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第三章 第四节 函数的构造问题(课件 学案 练习,共3份)2026届高中数学(人教A版)一轮复习

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第四节 函数的构造问题
函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容,经常以客观题出现,同构法构造函数也会在解答题中出现,通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
题点一 通过导数的运算法则构造函数
考法(一) 利用f(x)与xn构造函数
[例1] 已知函数f(x)的定义域为(-∞,0),f(-1)=-1,其导函数f'(x)满足xf'(x)-2f(x)>0,则不等式f(x+2 025)+(x+2 025)2<0的解集为 (  )
A.(-2 026,0) B.(-2 026,-2 025)
C.(-∞,-2 026) D.(-∞,-2 025)
|思维建模|
(1)出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x).
(2)出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=.
考法(二) 利用f(x)与ex构造函数
[例2] 已知定义在R上的函数f(x),g(x)处处导数存在,f(1)=g(1),f'(x)+g(x)>g'(x)+f(x),则下列情况一定成立的是  (  )
A.f(2)+g(0)>f(0)+g(2) B.f(2)+g(0)C.f(2)·g(0)>f(0)·g(2) D.f(2)·g(0)|思维建模|
(1)出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x).
(2)出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=.
考法(三) 利用f(x)与sin x,cos x构造函数
[例3] 定义在上的函数f(x),已知f'(x)是它的导函数,且恒有cos xf'(x)+sin xf(x)<0成立,则有 (  )
A.f>f B.f>f
C.f>f D.f|思维建模|
(1)若F(x)=f(x)sin x,则F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x;
(2)若F(x)=,则F'(x)=;
(3)若F(x)=f(x)cos x,则F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x;
(4)若F(x)=,则F'(x)=.
                      
[即时训练]
1.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则不等式f(x)<0的解集为 (  )
A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
2.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,f(0)=0且f(x)+f'(x)>0,则不等式f(x2+4x-5)>0的解集为 (  )
A.(-∞,-5)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(5,+∞)
C.(-5,1) D.(-1,5)
3.设f(x)是定义在(-π,0)∪(0,π)上的奇函数,其导函数为f'(x),且当x∈(0,π)时,f'(x)sin x-f(x)cos x<0,则关于x的不等式f(x)<2fsin x的解集为    .
题点二 利用数学运算式中的相同点构造函数
                      
[例4] 已知a<5,且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,则 (  )
A.cC.a|思维建模|
(1)若题目所给的条件含有两个变量,可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边,即可构造函数,并且利用函数的单调性求解.
(2)当要比较的各数为某些函数的函数值时,要仔细观察这些数值的共同之处,构造一个或两个函数,使要比较的数成为该函数的函数值,然后利用函数的单调性比较大小.
[即时训练]
4.(2024·宜春三模)已知a=,b=,c=,其中e=2.718 28…为自然对数的底数,则 (  )
A.bC.a5.若对于0A. B.1
C.e D.2e
第四节 函数的构造问题
题点一
[例1] 选B 根据题意可令g(x)=(x<0) g'(x)=<0,所以g(x)=在(-∞,0)上单调递减,则原不等式等价于<-1,由g(x+2 025)=<-1=g(-1) 0>x+2 025>-1,解得x∈(-2 026,-2 025).
[例2] 选A f'(x)+g(x)>g'(x)+f(x) f'(x)-g'(x)>f(x)-g(x),令h(x)=,则h'(x)=,故h'(x)>0 h(x)单调递增,又h(1)=0,所以h(2)>h(1)>h(0),即f(2)-g(2)>>0>f(0)-g(0),移项可得A正确,B错误;另外,f(2)>g(2),f(0)[例3] 选C 令g(x)=,x∈,则g'(x)=,因为cos xf'(x)+sin xf(x)<0,
所以g'(x)<0,则g(x)=在上单调递减,
所以<<,即<<,
故f>f,f>f,故选C.
[即时训练]
1.选B 设F(x)=,则F'(x)=,∵当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,∴当x>0时,F'(x)<0,即F(x)在(0,+∞)上单调递减.由于f(x)是奇函数,所以F(-x)===F(x),F(x)是偶函数,所以F(x)在(-∞,0)上单调递增.又f(1)=f(-1)=0,当x<-1或x>1时,F(x)=<0;当-10,所以当-11时,f(x)<0.即不等式f(x)<0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).
2.选A 设g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0,故g(x)单调递增.又g(0)=e0f(0)=0,故f(x2+4x-5)>0可转化为f(x2+4x-5)>0,即g(x2+4x-5)>g(0),由g(x)单调递增可得x2+4x-5>0,解得x<-5或x>1,即不等式f(x2+4x-5)>0的解集为(-∞,-5)∪(1,+∞).
3.解析:令g(x)=,x∈(-π,0)∪(0,π),则g'(x)=,∵当x∈(0,π)时,f'(x)sin x-f(x)·cos x<0,∴在(0,π)上,g'(x)<0,∴函数g(x)在(0,π)内单调递减.∵y=f(x),y=sin x是奇函数,∴函数g(x)是偶函数,∴函数g(x)在(-π,0)内单调递增.当x∈(0,π)时,sin x>0,则不等式f(x)<2fsin x可化为<,即g(x)=,
即g(x)>g,∴-答案:∪
题点二
[例4] 选D 三个等式可变形为=,=,=.
∵ae5=5ea,a<5,∴a>0.同理b>0,c>0.构造函数f(x)=,x>0,则f'(x)=.当01时,f'(x)>0,f(x)单调递增.∵f(5)=f(a),而0f(4)>f(3),∴f(a)>f(b)>f(c),0[即时训练]
4.选A 由题意得a==,b==,c===.设f(x)=,则f'(x)=,当00,所以f(x)单调递增,又0<<<25.选B ∵x2ln x1-x1ln x2≤x1-x2,∴-≤-,即≤.又0∴φ(x)在(0,a)上单调递增,φ'(x)=,当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,
∴φ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故a≤1,∴a的最大值为1.(共51张PPT)
第四节
函数的构造问题
明确目标
函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容,经常以客观题出现,同构法构造函数也会在解答题中出现,通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
目录
01.题点一 通过导数的运算法则构造函数
02.题点二 利用数学运算式中的相同点构造函数
03.课时跟踪检测
考法(一) 利用f(x)与xn构造函数
[例1] 已知函数f(x)的定义域为(-∞,0),f(-1)=-1,其导函数 f'(x)满足xf'(x)-2f(x)>0,则不等式 f(x+2 025)+(x+2 025)2<0的解集为(  )
A.(-2 026,0) B.(-2 026,-2 025)
C.(-∞,-2 026) D.(-∞,-2 025)

题点一 通过导数的运算法则构造函数
解析:根据题意可令g(x)=(x<0) g'(x)=<0,所以g(x)=
在(-∞,0)上单调递减,则原不等式等价于<-1,由g(x+
2 025)=<-1=g(-1) 0>x+2 025>-1,解得x∈(-2 026,-2 025).
(1)出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x).
(2)出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=.
思维建模
考法(二) 利用f(x)与ex构造函数
[例2] 已知定义在R上的函数f(x),g(x)处处导数存在,f(1)=g(1),f'(x)+g(x)>g'(x)+f(x),则下列情况一定成立的是(  )
A.f(2)+g(0)>f(0)+g(2)
B.f(2)+g(0)C.f(2)·g(0)>f(0)·g(2)
D.f(2)·g(0)
解析:f'(x)+g(x)>g'(x)+f(x) f'(x)-g'(x)>f(x)-g(x),令h(x)=,则h'(x)=,故h'(x)>0 h(x)单调递增,又h(1)=0,所以h(2)>h(1)>h(0),即f(2)-g(2)>>0>f(0)-g(0),移项可得A正确,B错误;另外,f(2)>g(2),f(0)(1)出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x).
(2)出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=.
思维建模
考法(三) 利用f(x)与sin x,cos x构造函数
[例3] 定义在上的函数f(x),已知f'(x)是它的导函数,且恒有cos xf'(x)+sin xf(x)<0成立,则有(  )
A.f>f B.f>f
C.f>f D.f
解析:令g(x)=,x∈,则g'(x)=,因为cos xf'(x)+sin xf(x)<0,所以g'(x)<0,则g(x)=在上单调递减,所以<<,即<<,故f>f,f>
f,故选C.
(1)若F(x)=f(x)sin x,则F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x;
(2)若F(x)=,则F'(x)=;
(3)若F(x)=f(x)cos x,则F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x;
(4)若F(x)=,则F'(x)=.
思维建模
1.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则不等式f(x)<0的解集为 (  )
A.(-∞,-1)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)
D.(0,1)∪(1,+∞)
即时训练

解析:设F(x)=,则F'(x)=,∵当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,∴当x>0时,F'(x)<0,即F(x)在(0,+∞)上单调递减.由于f(x)是奇函数,所以F(-x)===F(x),F(x)是偶函数,所以F(x)在(-∞,0)上单调递增.又f(1)=f(-1)=0,当x<-1或x>1时,F(x)=<0;当-1<1时,F(x)=>0,所以当-11时,f(x)<0.即不等式f(x)<0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).
2.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,f(0)=0且f(x)+f'(x)>0,则不等式f(x2+4x-5)>0的解集为 (  )
A.(-∞,-5)∪(1,+∞)  
B.(-∞,-1)∪(5,+∞)
C.(-5,1)
D.(-1,5)

解析:设g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0,故g(x)单调递增.
又g(0)=e0f(0)=0,故f(x2+4x-5)>0可转化为f(x2+4x-5)>0,即g(x2+4x-5)>g(0),由g(x)单调递增可得x2+4x-5>0,解得x<-5或x>1,即不等式f(x2+4x-5)>0的解集为(-∞,-5)∪(1,+∞).
3.设f(x)是定义在(-π,0)∪(0,π)上的奇函数,其导函数为f'(x),且当x∈(0,π)时,f'(x)sin x-f(x)cos x<0,则关于x的不等式f(x)<
2fsin x的解集为________________.

解析:令g(x)=,x∈(-π,0)∪(0,π),则g'(x)=,∵当x∈(0,π)时,f'(x)sin x-f(x)cos x<0,∴在(0,π)上,g'(x)<0,∴函数g(x)在(0,π)内单调递减.∵y=f(x),y=sin x是奇函数,∴函数g(x)是偶函数,∴函数g(x)在(-π,0)内单调递增.当x∈(0,π)时,sin x>0,则不等式f(x)<2fsin x可化为<,
即g(x)=,即g(x)>g,∴-[例4] 已知a<5,且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,则 (  )
A.cC.a
题点二 利用数学运算式中的相同点构造函数
解析:三个等式可变形为===.∵ae5=5ea,a<5,∴a>0.同理b>0,c>0.构造函数f(x)=,x>0,则f'(x)=.当01时,f'(x)>0,f(x)单调递增.∵f(5)=
f(a),而0∵f(5)>f(4)>f(3),∴f(a)>f(b)>f(c),0(1)若题目所给的条件含有两个变量,可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边,即可构造函数,并且利用函数的单调性求解.
(2)当要比较的各数为某些函数的函数值时,要仔细观察这些数值的共同之处,构造一个或两个函数,使要比较的数成为该函数的函数值,然后利用函数的单调性比较大小.
思维建模
4.(2024·宜春三模)已知a=,b=,c=,其中e=2.718 28…为自然对数的底数,则(  )
A.bC.a即时训练

解析:由题意得a==,b==,c===.设f(x)=,则f'(x)=,当00,所以f(x)单调递增,又0<<<25.若对于0A. B.1
C.e D.2e

解析:∵x2ln x1-x1ln x2≤x1-x2,∴-≤-,即
≤.又00,当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,∴φ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故a≤1,∴a的最大值为1.
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.已知f'(x)为函数f(x)的导函数,当x>0时,有f(x)-xf'(x)>0恒成立,则下列不等式一定成立的是(  )
A.f>2f B.f<2f
C.f>f(1) D.f
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解析:令F(x)=,x>0,则F'(x)=,因为当x>0时,有f(x)-xf'(x)>0恒成立,所以当x>0时,F'(x)=<0,即F(x)在(0,+∞)上单调递减,所以FF(1),即>,即2f>f(1),C、D错误.
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2.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),f(0)=1,且对任意的x满足f'(x)ex的解集是 (  )
A.(-∞,1) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(1,+∞)

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解析:令g(x)=,则g'(x)==<0,所以g(x)在R上单调递减,因为f(0)=1,所以g(0)=1,不等式f(x)>ex可变形为
>1,即g(x)>g(0),可得x<0,故选B.
3.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f(1)=1,且x2f'(x)+1>0,则下列式子一定成立的是 (  )
A.f>3 B.f>π
C.f(log2e)>ln 2 D.f(ln 3)
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解析:因为当x>0时,x2f'(x)+1>0,可得f'(x)+>0,令g(x)=f(x)
-,可得g'(x)=f'(x)+>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(1)=1,可得g(1)=f(1)-1=0,对于A,由gg(1),即f(log2e)-ln 2>0,所以f(log2e)>ln 2,所以C正确;对于D,由g(ln 3)>g(1),即f(ln 3)->0,所以f(ln 3)>log3e,所以D不正确.
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4.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对于任意的实数x都有=e2x,且x>0时,f'(x)>f(x).若a=,b=,c=3f,则a,b,c的大小关系是(  )
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>a>b D.c>b>a

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解析:令g(x)=,对于任意的实数x都有=e2x =,即g(-x)=g(x) g(x)为偶函数.a=g(1),b=g(ln 2),c=g(-ln 3)=g(ln 3).当x>0时,f'(x)>f(x),g'(x)=>0,g(x)单调递增.又ln 2<1g(1)>g(ln 2),即c>a>b.
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5.若x∈,a=2x,b=sin x,c=x,则a,b,c的大小关系为(  )
A.cC.b
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解析:令f(x)=x-sin x,x∈(0,1),则f'(x)=1-cos x>0,所以f(x)在(0,1)内单调递增,所以f(x)>f(0)=0,即x>sin x在(0,1)上恒成立,则c>b在上恒成立,又当x∈时a=2x>20=1,c=x<1,所以a>c>b.
6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,f'(x)是f(x)的导函数,当x≥0时,f'(x)-2x>0,且f(1)=2,则f(x)>x2+1的解集是 (  )
A.(-1,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(0,1)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
快审准解:利用抽象函数的导数,及时还原出原函数,构造所需形式解不等式即可.

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解析:由题意知当x≥0时,f'(x)-2x>0,可知[f(x)-x2]'>0.令g(x)=f(x)
-x2,故g(x)在[0,+∞)单调递增,且g(1)=1.若求f(x)>x2+1的解集,即求g(x)>1的解集,即解g(x)>g(1),∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴g(x)也是偶函数,故|x|>1即可,解得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故选B.
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7.若A.baC.ab
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解析:因为y=ax在R上单调递减,且>aa>ab>a,因为y=bx在R上单调递减,且
ba>bb>b,令f(x)=xln x,则f'(x)=ln x+1,因为0,所以f(x)在上单调递增,因为所以aln a1
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8.设a=1+ln 1.03,b=,c=1.03,则(  )
A.aC.c
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解析:设g(x)=ln(x+1)-x(x>0),则g'(x)=-1=,当x>0时,g'(x)<0,即g(x)在(0,+∞)上单调递减,故g(x)1,所以<1.03,即b0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(0.03)>f(0)=0,即a>b.故b1
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二、多选题
9.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均是(0,+∞),2是 f(x)的唯一零点,且(x+1) f'(x)A.2 025f(2 023)>2 024f(2 024)
B.f(1)>0
C.2 026f(2 024)<2 025f (2 025)
D.f(3)>0

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解析:令F(x)=,则F'(x)=,由题意知(x+1)f'(x)
>,故A正确,C错误.又2是f(x)的唯一零点,所以F(2)=0,又F(x)在(0,+∞)上单调递减,所以F(1)=>0,F(3)=<0,即f(1)>0,f(3)<0,故B正确,D错误.
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习得方略:对于比较复杂的式子要观察式子的特征,通过移项或乘除等手段,将相同的变量移到不等式的同一边,化异为同构造函数,然后对构造的函数求导,应用导数进行解答,同时要注意函数的定义域及变形的等价性.
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10.已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意的正数x,都满足f(x)A.f(1)<2f B.f(1)< f(2)
C.f(1)<4f-2 D.f(1)> f(2)+1
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解析:设g(x)=(x>0),则g'(x)=>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,由g(1)>g得f(1)>2f,故A错误;由g(1)0),则h'(x)==<0,
所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,由h(1)h(2)得f(1)> f(2)+1,故D正确.
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三、填空题
11.已知函数f(x)是定义在R上的增函数,且f(2)=1,则不等式f(x)>5-2x的解集为     .
解析:由题意,知f(x)在R上为增函数,所以f'(x)≥0恒成立,构造函数g(x)=f(x)+2x-5,所以g'(x)=f'(x)+2≥2恒成立,所以g(x)在R上单调递增.又因为g(2)=f(2)+2×2-5=0,所以当x>2时,g(x)=f(x)+2x-5>g(2)=0,即f(x)>5-2x,所以f(x)>5-2x的解集为(2,+∞).
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(2,+∞)
12.若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+2f(x)>0,且f(0)=1,则不等式f(x)>的解集为     .
解析:构造F(x)=f(x)·e2x,∴F'(x)=f'(x)·e2x+f(x)·2e2x=e2x[f'(x)+2f(x)]>0,∴F(x)在R上单调递增,且F(0)=f(0)·e0=1.∵不等式 f(x)>可化为f(x)e2x>1,即F(x)>F(0),∴x>0,∴原不等式的解集为(0,+∞).
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(0,+∞)
13.使得不等式logab快审准解:取a>1,b>1,由ba1,利用导数探讨函数的单调性,由此确定a,b的取值区间,并验证logab1
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e,2(答案不唯一)
解析:不妨取a>1,b>1,由ba1,求导得f'(x)=.当10,当x>e时,f'(x)<0,即函数f(x)在(1,e)内单调递增,在(e,+∞)上单调递减,取a,b∈(1,e],由f(b)1
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14.(2024·东莞三模)若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为    .(用“<”连接)
解析:ln a=ln =ln 2,ln b=ln e=,ln c=ln π,令f(x)=
(x>0),则f'(x)=,由f'(x)>0,得0e.∴f(x)在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)上单调递减.∴ln b=最大,而ln a-ln c
=ln 2-ln π=ln 4-ln π<0,∴a13
a一、单选题
1.已知f'(x)为函数f(x)的导函数,当x>0时,有f(x)-xf'(x)>0恒成立,则下列不等式一定成立的是 (  )
A.f>2f B.f<2f
C.f>f(1) D.f2.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),f(0)=1,且对任意的x满足f'(x)ex的解集是 (  )
A.(-∞,1) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(1,+∞)
3.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f(1)=1,且x2f'(x)+1>0,则下列式子一定成立的是 (  )
A.f>3 B.f>π
C.f(log2e)>ln 2 D.f(ln 3)4.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对于任意的实数x都有=e2x,且x>0时,f'(x)>f(x).若a=,b=,c=3f,则a,b,c的大小关系是 (  )
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>a>b D.c>b>a
5.若x∈,a=2x,b=sin x,c=x,则a,b,c的大小关系为 (  )
A.cC.b6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,f'(x)是f(x)的导函数,当x≥0时,f'(x)-2x>0,且f(1)=2,则f(x)>x2+1的解集是 (  )
A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(0,1)
7.若A.baC.ab8.设a=1+ln 1.03,b=,c=1.03,则 (  )
A.aC.c二、多选题
9.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均是(0,+∞),2是f(x)的唯一零点,且(x+1)f'(x)A.2 025f(2 023)>2 024f(2 024) B.f(1)>0
C.2 026f(2 024)<2 025f(2 025) D.f(3)>0
10.已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意的正数x,都满足f(x)A.f(1)<2f B.f(1)C.f(1)<4f-2 D.f(1)>f(2)+1
三、填空题
11.已知函数f(x)是定义在R上的增函数,且f(2)=1,则不等式f(x)>5-2x的解集为    .
12.若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+2f(x)>0,且f(0)=1,则不等式f(x)>的解集为    .
13.使得不等式logab14.(2024·东莞三模)若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为       .(用“<”连接)
课时跟踪检测(二十三)
1.选B 令F(x)=,x>0,则F'(x)=,因为当x>0时,有f(x)-xf'(x)>0恒成立,所以当x>0时,F'(x)=<0,即F(x)在(0,+∞)上单调递减,所以FF(1),即>,即2f>f(1),C、D错误.
2.选B 令g(x)=,则g'(x)==<0,所以g(x)在R上单调递减,因为f(0)=1,所以g(0)=1,不等式f(x)>ex可变形为>1,即g(x)>g(0),可得x<0,故选B.
3.选C 因为当x>0时,x2f'(x)+1>0,可得f'(x)+>0,令g(x)=f(x)-,可得g'(x)=f'(x)+>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(1)=1,可得g(1)=f(1)-1=0,对于A,由gg(1),即f(log2e)-ln 2>0,所以f(log2e)>ln 2,所以C正确;对于D,由g(ln 3)>g(1),即f(ln 3)->0,所以f(ln 3)>log3e,所以D不正确.
4.选C 令g(x)=,对于任意的实数x都有=e2x =,即g(-x)=g(x) g(x)为偶函数.a=g(1),b=g(ln 2),c=g(-ln 3)=g(ln 3).当x>0时,f'(x)>f(x),g'(x)=>0,g(x)单调递增.又ln 2<1∴g(ln 3)>g(1)>g(ln 2),即c>a>b.
5.选D 令f(x)=x-sin x,x∈(0,1),则f'(x)=1-cos x>0,所以f(x)在(0,1)内单调递增,所以f(x)>f(0)=0,
即x>sin x在(0,1)上恒成立,则c>b在上恒成立,
又当x∈时a=2x>20=1,c=x<1,所以a>c>b.
6.快审准解:利用抽象函数的导数,及时还原出原函数,构造所需形式解不等式即可.
选B 由题意知当x≥0时,f'(x)-2x>0,可知[f(x)-x2]'>0.令g(x)=f(x)-x2,故g(x)在[0,+∞)单调递增,且g(1)=1.若求f(x)>x2+1的解集,即求g(x)>1的解集,即解g(x)>g(1),∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴g(x)也是偶函数,故|x|>1即可,解得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故选B.
7.选C 因为y=ax在R上单调递减,且aa>ab>a,因为y=bx在R上单调递减,且ba>bb>b,令f(x)=xln x,则f'(x)=ln x+1,因为0,所以f(x)在上单调递增,因为8.选B 设g(x)=ln(x+1)-x(x>0),则g'(x)=-1=,当x>0时,g'(x)<0,即g(x)在(0,+∞)上单调递减,故g(x)1,所以<1.03,即b0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(0.03)>f(0)=0,即a>b.故b9.选AB 令F(x)=,则F'(x)=,由题意知(x+1)f'(x),>,故A正确,C错误.又2是f(x)的唯一零点,所以F(2)=0,又F(x)在(0,+∞)上单调递减,所以F(1)=>0,F(3)=<0,即f(1)>0,f(3)<0,故B正确,D错误.
习得方略:对于比较复杂的式子要观察式子的特征,通过移项或乘除等手段,将相同的变量移到不等式的同一边,化异为同构造函数,然后对构造的函数求导,应用导数进行解答,同时要注意函数的定义域及变形的等价性.
10.选BCD 设g(x)=(x>0),则g'(x)=>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,由g(1)>g得f(1)>2f,故A错误;由g(1)0),则h'(x)==<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,由h(1)h(2)得f(1)>f(2)+1,故D正确.
11.解析:由题意,知f(x)在R上为增函数,所以f'(x)≥0恒成立,构造函数g(x)=f(x)+2x-5,所以g'(x)=f'(x)+2≥2恒成立,所以g(x)在R上单调递增.又因为g(2)=f(2)+2×2-5=0,所以当x>2时,g(x)=f(x)+2x-5>g(2)=0,即f(x)>5-2x,所以f(x)>5-2x的解集为(2,+∞).
答案:(2,+∞)
12.解析:构造F(x)=f(x)·e2x,∴F'(x)=f'(x)·e2x+f(x)·2e2x=e2x[f'(x)+2f(x)]>0,∴F(x)在R上单调递增,且F(0)=f(0)·e0=1.∵不等式f(x)>可化为f(x)e2x>1,即F(x)>F(0),∴x>0,∴原不等式的解集为(0,+∞).
答案:(0,+∞)
13.快审准解:取a>1,b>1,由ba1,利用导数探讨函数的单调性,由此确定a,b的取值区间,并验证logab解析:不妨取a>1,b>1,由ba1,求导得f'(x)=.当10,当x>e时,f'(x)<0,即函数f(x)在(1,e)内单调递增,在(e,+∞)上单调递减,取a,b∈(1,e],由f(b)答案:e,2(答案不唯一)
14.解析:ln a=ln =ln 2,ln b=ln e=,ln c=ln π,令f(x)=(x>0),则f'(x)=,由f'(x)>0,得0e.∴f(x)在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)上单调递减.∴ln b=最大,而ln a-ln c=ln 2-ln π=ln 4-ln π<0,∴a答案:a

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