资源简介

第四节　函数的构造问题
函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容,经常以客观题出现,同构法构造函数也会在解答题中出现,通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
题点一　通过导数的运算法则构造函数
考法(一)　利用f(x)与xn构造函数
[例1]　已知函数f(x)的定义域为(-∞,0),f(-1)=-1,其导函数f'(x)满足xf'(x)-2f(x)>0,则不等式f(x+2 025)+(x+2 025)2<0的解集为 (　　)
A.(-2 026,0) B.(-2 026,-2 025)
C.(-∞,-2 026) D.(-∞,-2 025)
|思维建模|
(1)出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x).
(2)出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=.
考法(二)　利用f(x)与ex构造函数
[例2]　已知定义在R上的函数f(x),g(x)处处导数存在,f(1)=g(1),f'(x)+g(x)>g'(x)+f(x),则下列情况一定成立的是　 (　　)
A.f(2)+g(0)>f(0)+g(2) B.f(2)+g(0)C.f(2)·g(0)>f(0)·g(2) D.f(2)·g(0)|思维建模|
(1)出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x).
(2)出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=.
考法(三)　利用f(x)与sin x,cos x构造函数
[例3]　定义在上的函数f(x),已知f'(x)是它的导函数,且恒有cos xf'(x)+sin xf(x)<0成立,则有 (　　)
A.f>f B.f>f
C.f>f D.f|思维建模|
(1)若F(x)=f(x)sin x,则F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x;
(2)若F(x)=,则F'(x)=;
(3)若F(x)=f(x)cos x,则F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x;
(4)若F(x)=,则F'(x)=.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[即时训练]
1.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则不等式f(x)<0的解集为 (　　)
A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
2.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,f(0)=0且f(x)+f'(x)>0,则不等式f(x2+4x-5)>0的解集为 (　　)
A.(-∞,-5)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(5,+∞)
C.(-5,1) D.(-1,5)
3.设f(x)是定义在(-π,0)∪(0,π)上的奇函数,其导函数为f'(x),且当x∈(0,π)时,f'(x)sin x-f(x)cos x<0,则关于x的不等式f(x)<2fsin x的解集为　　　　.
题点二　利用数学运算式中的相同点构造函数
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例4]　已知a<5,且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,则 (　　)
A.cC.a|思维建模|
(1)若题目所给的条件含有两个变量,可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边,即可构造函数,并且利用函数的单调性求解.
(2)当要比较的各数为某些函数的函数值时,要仔细观察这些数值的共同之处,构造一个或两个函数,使要比较的数成为该函数的函数值,然后利用函数的单调性比较大小.
[即时训练]
4.(2024·宜春三模)已知a=,b=,c=,其中e=2.718 28…为自然对数的底数,则 (　　)
A.bC.a5.若对于0A. B.1
C.e D.2e
第四节　函数的构造问题
题点一
[例1]　选B　根据题意可令g(x)=(x<0) g'(x)=<0,所以g(x)=在(-∞,0)上单调递减,则原不等式等价于<-1,由g(x+2 025)=<-1=g(-1) 0>x+2 025>-1,解得x∈(-2 026,-2 025).
[例2]　选A　f'(x)+g(x)>g'(x)+f(x) f'(x)-g'(x)>f(x)-g(x),令h(x)=,则h'(x)=,故h'(x)>0 h(x)单调递增,又h(1)=0,所以h(2)>h(1)>h(0),即f(2)-g(2)>>0>f(0)-g(0),移项可得A正确,B错误;另外,f(2)>g(2),f(0)[例3]　选C　令g(x)=,x∈,则g'(x)=,因为cos xf'(x)+sin xf(x)<0,
所以g'(x)<0,则g(x)=在上单调递减,
所以<<,即<<,
故f>f,f>f,故选C.
[即时训练]
1.选B　设F(x)=,则F'(x)=,∵当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,∴当x>0时,F'(x)<0,即F(x)在(0,+∞)上单调递减.由于f(x)是奇函数,所以F(-x)===F(x),F(x)是偶函数,所以F(x)在(-∞,0)上单调递增.又f(1)=f(-1)=0,当x<-1或x>1时,F(x)=<0;当-10,所以当-11时,f(x)<0.即不等式f(x)<0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).
2.选A　设g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0,故g(x)单调递增.又g(0)=e0f(0)=0,故f(x2+4x-5)>0可转化为f(x2+4x-5)>0,即g(x2+4x-5)>g(0),由g(x)单调递增可得x2+4x-5>0,解得x<-5或x>1,即不等式f(x2+4x-5)>0的解集为(-∞,-5)∪(1,+∞).
3.解析:令g(x)=,x∈(-π,0)∪(0,π),则g'(x)=,∵当x∈(0,π)时,f'(x)sin x-f(x)·cos x<0,∴在(0,π)上,g'(x)<0,∴函数g(x)在(0,π)内单调递减.∵y=f(x),y=sin x是奇函数,∴函数g(x)是偶函数,∴函数g(x)在(-π,0)内单调递增.当x∈(0,π)时,sin x>0,则不等式f(x)<2fsin x可化为<,即g(x)=,
即g(x)>g,∴-答案:∪
题点二
[例4]　选D　三个等式可变形为=,=,=.
∵ae5=5ea,a<5,∴a>0.同理b>0,c>0.构造函数f(x)=,x>0,则f'(x)=.当01时,f'(x)>0,f(x)单调递增.∵f(5)=f(a),而0f(4)>f(3),∴f(a)>f(b)>f(c),0[即时训练]
4.选A　由题意得a==,b==,c===.设f(x)=,则f'(x)=,当00,所以f(x)单调递增,又0<<<25.选B　∵x2ln x1-x1ln x2≤x1-x2,∴-≤-,即≤.又0∴φ(x)在(0,a)上单调递增,φ'(x)=,当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,
∴φ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故a≤1,∴a的最大值为1.(共51张PPT)
第四节
函数的构造问题
明确目标
函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也会在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
目录
01.题点一　通过导数的运算法则构造函数
02.题点二　利用数学运算式中的相同点构造函数
03.课时跟踪检测
考法(一)　利用f(x)与xn构造函数
[例1]　已知函数f(x)的定义域为(-∞，0)，f(-1)=-1，其导函数 f'(x)满足xf'(x)-2f(x)>0，则不等式 f(x+2 025)+(x+2 025)2<0的解集为(　　)
A.(-2 026，0) B.(-2 026，-2 025)
C.(-∞，-2 026) D.(-∞，-2 025)
√
题点一　通过导数的运算法则构造函数
解析:根据题意可令g(x)=(x<0) g'(x)=<0，所以g(x)=
在(-∞，0)上单调递减，则原不等式等价于<-1，由g(x+
2 025)=<-1=g(-1) 0>x+2 025>-1，解得x∈(-2 026，-2 025).
(1)出现nf(x)+xf'(x)形式，构造函数F(x)=xnf(x).
(2)出现xf'(x)-nf(x)形式，构造函数F(x)=.
思维建模
考法(二)　利用f(x)与ex构造函数
[例2]　已知定义在R上的函数f(x)，g(x)处处导数存在，f(1)=g(1)，f'(x)+g(x)>g'(x)+f(x)，则下列情况一定成立的是(　　)
A.f(2)+g(0)>f(0)+g(2)
B.f(2)+g(0)C.f(2)·g(0)>f(0)·g(2)
D.f(2)·g(0)√
解析:f'(x)+g(x)>g'(x)+f(x) f'(x)-g'(x)>f(x)-g(x)，令h(x)=，则h'(x)=，故h'(x)>0 h(x)单调递增，又h(1)=0，所以h(2)>h(1)>h(0)，即f(2)-g(2)>>0>f(0)-g(0)，移项可得A正确，B错误；另外，f(2)>g(2)，f(0)(1)出现f'(x)+nf(x)形式，构造函数F(x)=enxf(x).
(2)出现f'(x)-nf(x)形式，构造函数F(x)=.
思维建模
考法(三)　利用f(x)与sin x，cos x构造函数
[例3]　定义在上的函数f(x)，已知f'(x)是它的导函数，且恒有cos xf'(x)+sin xf(x)<0成立，则有(　　)
A.f>f B.f>f
C.f>f D.f√
解析:令g(x)=，x∈，则g'(x)=，因为cos xf'(x)+sin xf(x)<0，所以g'(x)<0，则g(x)=在上单调递减，所以<<，即<<，故f>f，f>
f，故选C.
(1)若F(x)=f(x)sin x，则F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x；
(2)若F(x)=，则F'(x)=；
(3)若F(x)=f(x)cos x，则F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x；
(4)若F(x)=，则F'(x)=.
思维建模
1.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf'(x)-f(x)<0，则不等式f(x)<0的解集为 (　　)
A.(-∞，-1)∪(0，1)
B.(-1，0)∪(1，+∞)
C.(-∞，-1)∪(-1，0)
D.(0，1)∪(1，+∞)
即时训练
√
解析:设F(x)=，则F'(x)=，∵当x>0时，xf'(x)-f(x)<0，∴当x>0时，F'(x)<0，即F(x)在(0，+∞)上单调递减.由于f(x)是奇函数，所以F(-x)===F(x)，F(x)是偶函数，所以F(x)在(-∞，0)上单调递增.又f(1)=f(-1)=0，当x<-1或x>1时，F(x)=<0；当-1<1时，F(x)=>0，所以当-11时，f(x)<0.即不等式f(x)<0的解集为(-1，0)∪(1，+∞).
2.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，f(0)=0且f(x)+f'(x)>0，则不等式f(x2+4x-5)>0的解集为 (　　)
A.(-∞，-5)∪(1，+∞) 　
B.(-∞，-1)∪(5，+∞)
C.(-5，1)
D.(-1，5)
√
解析:设g(x)=exf(x)，则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0，故g(x)单调递增.
又g(0)=e0f(0)=0，故f(x2+4x-5)>0可转化为f(x2+4x-5)>0，即g(x2+4x-5)>g(0)，由g(x)单调递增可得x2+4x-5>0，解得x<-5或x>1，即不等式f(x2+4x-5)>0的解集为(-∞，-5)∪(1，+∞).
3.设f(x)是定义在(-π，0)∪(0，π)上的奇函数，其导函数为f'(x)，且当x∈(0，π)时，f'(x)sin x-f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)<
2fsin x的解集为________________.
∪
解析:令g(x)=，x∈(-π，0)∪(0，π)，则g'(x)=，∵当x∈(0，π)时，f'(x)sin x-f(x)cos x<0，∴在(0，π)上，g'(x)<0，∴函数g(x)在(0，π)内单调递减.∵y=f(x)，y=sin x是奇函数，∴函数g(x)是偶函数，∴函数g(x)在(-π，0)内单调递增.当x∈(0，π)时，sin x>0，则不等式f(x)<2fsin x可化为<，
即g(x)=，即g(x)>g，∴-[例4]　已知a<5，且ae5=5ea，b<4且be4=4eb，c<3且ce3=3ec，则 (　　)
A.cC.a√
题点二　利用数学运算式中的相同点构造函数
解析:三个等式可变形为===.∵ae5=5ea，a<5，∴a>0.同理b>0，c>0.构造函数f(x)=，x>0，则f'(x)=.当01时，f'(x)>0，f(x)单调递增.∵f(5)=
f(a)，而0∵f(5)>f(4)>f(3)，∴f(a)>f(b)>f(c)，0(1)若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边，即可构造函数，并且利用函数的单调性求解.
(2)当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小.
思维建模
4.(2024·宜春三模)已知a=，b=，c=，其中e=2.718 28…为自然对数的底数，则(　　)
A.bC.a即时训练
√
解析:由题意得a==，b==，c===.设f(x)=，则f'(x)=，当00，所以f(x)单调递增，又0<<<25.若对于0A. B.1
C.e D.2e
√
解析:∵x2ln x1-x1ln x2≤x1-x2，∴-≤-，即
≤.又00，当x∈(1，+∞)时，φ'(x)<0，∴φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，故a≤1，∴a的最大值为1.
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.已知f'(x)为函数f(x)的导函数，当x>0时，有f(x)-xf'(x)>0恒成立，则下列不等式一定成立的是(　　)
A.f>2f B.f<2f
C.f>f(1) D.f√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析:令F(x)=，x>0，则F'(x)=，因为当x>0时，有f(x)-xf'(x)>0恒成立，所以当x>0时，F'(x)=<0，即F(x)在(0，+∞)上单调递减，所以FF(1)，即>，即2f>f(1)，C、D错误.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
2.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，f(0)=1，且对任意的x满足f'(x)ex的解集是 (　　)
A.(-∞，1) B.(-∞，0)
C.(0，+∞) D.(1，+∞)
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
解析:令g(x)=，则g'(x)==<0，所以g(x)在R上单调递减，因为f(0)=1，所以g(0)=1，不等式f(x)>ex可变形为
>1，即g(x)>g(0)，可得x<0，故选B.
3.已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若f(1)=1，且x2f'(x)+1>0，则下列式子一定成立的是 (　　)
A.f>3 B.f>π
C.f(log2e)>ln 2 D.f(ln 3)√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
解析:因为当x>0时，x2f'(x)+1>0，可得f'(x)+>0，令g(x)=f(x)
-，可得g'(x)=f'(x)+>0，所以g(x)在(0，+∞)上单调递增，因为f(1)=1，可得g(1)=f(1)-1=0，对于A，由gg(1)，即f(log2e)-ln 2>0，所以f(log2e)>ln 2，所以C正确；对于D，由g(ln 3)>g(1)，即f(ln 3)->0，所以f(ln 3)>log3e，所以D不正确.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
4.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，对于任意的实数x都有=e2x，且x>0时，f'(x)>f(x).若a=，b=，c=3f，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>a>b D.c>b>a
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
解析:令g(x)=，对于任意的实数x都有=e2x =，即g(-x)=g(x) g(x)为偶函数.a=g(1)，b=g(ln 2)，c=g(-ln 3)=g(ln 3).当x>0时，f'(x)>f(x)，g'(x)=>0，g(x)单调递增.又ln 2<1g(1)>g(ln 2)，即c>a>b.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
5.若x∈，a=2x，b=sin x，c=x，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.cC.b√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
解析:令f(x)=x-sin x，x∈(0，1)，则f'(x)=1-cos x>0，所以f(x)在(0，1)内单调递增，所以f(x)>f(0)=0，即x>sin x在(0，1)上恒成立，则c>b在上恒成立，又当x∈时a=2x>20=1，c=x<1，所以a>c>b.
6.已知f(x)是定义在R上的偶函数，f'(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f'(x)-2x>0，且f(1)=2，则f(x)>x2+1的解集是 (　　)
A.(-1，0)∪(1，+∞)
B.(-∞，-1)∪(1，+∞)
C.(-1，0)∪(0，1)
D.(-∞，-1)∪(0，1)
快审准解:利用抽象函数的导数，及时还原出原函数，构造所需形式解不等式即可.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
解析:由题意知当x≥0时，f'(x)-2x>0，可知[f(x)-x2]'>0.令g(x)=f(x)
-x2，故g(x)在[0，+∞)单调递增，且g(1)=1.若求f(x)>x2+1的解集，即求g(x)>1的解集，即解g(x)>g(1)，∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴g(x)也是偶函数，故|x|>1即可，解得x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)，故选B.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
7.若A.baC.ab√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
解析:因为y=ax在R上单调递减，且>aa>ab>a，因为y=bx在R上单调递减，且
ba>bb>b，令f(x)=xln x，则f'(x)=ln x+1，因为0，所以f(x)在上单调递增，因为所以aln a1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
8.设a=1+ln 1.03，b=，c=1.03，则(　　)
A.aC.c√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
解析:设g(x)=ln(x+1)-x(x>0)，则g'(x)=-1=，当x>0时，g'(x)<0，即g(x)在(0，+∞)上单调递减，故g(x)1，所以<1.03，即b0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以f(0.03)>f(0)=0，即a>b.故b1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
二、多选题
9.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均是(0，+∞)，2是 f(x)的唯一零点，且(x+1) f'(x)A.2 025f(2 023)>2 024f(2 024)
B.f(1)>0
C.2 026f(2 024)<2 025f (2 025)
D.f(3)>0
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
√
解析:令F(x)=，则F'(x)=，由题意知(x+1)f'(x)
>，故A正确，C错误.又2是f(x)的唯一零点，所以F(2)=0，又F(x)在(0，+∞)上单调递减，所以F(1)=>0，F(3)=<0，即f(1)>0，f(3)<0，故B正确，D错误.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
习得方略:对于比较复杂的式子要观察式子的特征，通过移项或乘除等手段，将相同的变量移到不等式的同一边，化异为同构造函数，然后对构造的函数求导，应用导数进行解答，同时要注意函数的定义域及变形的等价性.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
10.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，对任意的正数x，都满足f(x)A.f(1)<2f B.f(1)< f(2)
C.f(1)<4f-2 D.f(1)> f(2)+1
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
√
13
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
解析:设g(x)=(x>0)，则g'(x)=>0，所以g(x)在(0，+∞)上单调递增，由g(1)>g得f(1)>2f，故A错误；由g(1)0)，则h'(x)==<0，
所以h(x)在(0，+∞)上单调递减，由h(1)h(2)得f(1)> f(2)+1，故D正确.
13
三、填空题
11.已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(2)=1，则不等式f(x)>5-2x的解集为　 　　　.
解析:由题意，知f(x)在R上为增函数，所以f'(x)≥0恒成立，构造函数g(x)=f(x)+2x-5，所以g'(x)=f'(x)+2≥2恒成立，所以g(x)在R上单调递增.又因为g(2)=f(2)+2×2-5=0，所以当x>2时，g(x)=f(x)+2x-5>g(2)=0，即f(x)>5-2x，所以f(x)>5-2x的解集为(2，+∞).
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
(2，+∞)
12.若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+2f(x)>0，且f(0)=1，则不等式f(x)>的解集为　　 　　.
解析:构造F(x)=f(x)·e2x,∴F'(x)=f'(x)·e2x+f(x)·2e2x=e2x[f'(x)+2f(x)]>0，∴F(x)在R上单调递增，且F(0)=f(0)·e0=1.∵不等式 f(x)>可化为f(x)e2x>1，即F(x)>F(0)，∴x>0，∴原不等式的解集为(0，+∞).
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
(0，+∞)
13.使得不等式logab快审准解:取a>1，b>1，由ba1，利用导数探讨函数的单调性，由此确定a，b的取值区间，并验证logab1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
e，2(答案不唯一)
解析:不妨取a>1，b>1，由ba1，求导得f'(x)=.当10，当x>e时，f'(x)<0，即函数f(x)在(1，e)内单调递增，在(e，+∞)上单调递减，取a，b∈(1，e]，由f(b)1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
14.(2024·东莞三模)若a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为　　　　.(用“<”连接)
解析:ln a=ln =ln 2，ln b=ln e=，ln c=ln π，令f(x)=
(x>0)，则f'(x)=，由f'(x)>0，得0e.∴f(x)在(0，e)内单调递增，在(e，+∞)上单调递减.∴ln b=最大，而ln a-ln c
=ln 2-ln π=ln 4-ln π<0，∴a13
a一、单选题
1.已知f'(x)为函数f(x)的导函数,当x>0时,有f(x)-xf'(x)>0恒成立,则下列不等式一定成立的是 (　　)
A.f>2f B.f<2f
C.f>f(1) D.f2.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),f(0)=1,且对任意的x满足f'(x)ex的解集是 (　　)
A.(-∞,1) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(1,+∞)
3.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f(1)=1,且x2f'(x)+1>0,则下列式子一定成立的是 (　　)
A.f>3 B.f>π
C.f(log2e)>ln 2 D.f(ln 3)4.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对于任意的实数x都有=e2x,且x>0时,f'(x)>f(x).若a=,b=,c=3f,则a,b,c的大小关系是 (　　)
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>a>b D.c>b>a
5.若x∈,a=2x,b=sin x,c=x,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.cC.b6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,f'(x)是f(x)的导函数,当x≥0时,f'(x)-2x>0,且f(1)=2,则f(x)>x2+1的解集是 (　　)
A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(0,1)
7.若A.baC.ab8.设a=1+ln 1.03,b=,c=1.03,则 (　　)
A.aC.c二、多选题
9.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均是(0,+∞),2是f(x)的唯一零点,且(x+1)f'(x)A.2 025f(2 023)>2 024f(2 024) B.f(1)>0
C.2 026f(2 024)<2 025f(2 025) D.f(3)>0
10.已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意的正数x,都满足f(x)A.f(1)<2f B.f(1)C.f(1)<4f-2 D.f(1)>f(2)+1
三、填空题
11.已知函数f(x)是定义在R上的增函数,且f(2)=1,则不等式f(x)>5-2x的解集为　　　　.
12.若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+2f(x)>0,且f(0)=1,则不等式f(x)>的解集为　　　　.
13.使得不等式logab14.(2024·东莞三模)若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为　　　　　　　.(用“<”连接)
课时跟踪检测(二十三)
1.选B　令F(x)=,x>0,则F'(x)=,因为当x>0时,有f(x)-xf'(x)>0恒成立,所以当x>0时,F'(x)=<0,即F(x)在(0,+∞)上单调递减,所以FF(1),即>,即2f>f(1),C、D错误.
2.选B　令g(x)=,则g'(x)==<0,所以g(x)在R上单调递减,因为f(0)=1,所以g(0)=1,不等式f(x)>ex可变形为>1,即g(x)>g(0),可得x<0,故选B.
3.选C　因为当x>0时,x2f'(x)+1>0,可得f'(x)+>0,令g(x)=f(x)-,可得g'(x)=f'(x)+>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(1)=1,可得g(1)=f(1)-1=0,对于A,由gg(1),即f(log2e)-ln 2>0,所以f(log2e)>ln 2,所以C正确;对于D,由g(ln 3)>g(1),即f(ln 3)->0,所以f(ln 3)>log3e,所以D不正确.
4.选C　令g(x)=,对于任意的实数x都有=e2x =,即g(-x)=g(x) g(x)为偶函数.a=g(1),b=g(ln 2),c=g(-ln 3)=g(ln 3).当x>0时,f'(x)>f(x),g'(x)=>0,g(x)单调递增.又ln 2<1∴g(ln 3)>g(1)>g(ln 2),即c>a>b.
5.选D　令f(x)=x-sin x,x∈(0,1),则f'(x)=1-cos x>0,所以f(x)在(0,1)内单调递增,所以f(x)>f(0)=0,
即x>sin x在(0,1)上恒成立,则c>b在上恒成立,
又当x∈时a=2x>20=1,c=x<1,所以a>c>b.
6.快审准解:利用抽象函数的导数,及时还原出原函数,构造所需形式解不等式即可.
选B　由题意知当x≥0时,f'(x)-2x>0,可知[f(x)-x2]'>0.令g(x)=f(x)-x2,故g(x)在[0,+∞)单调递增,且g(1)=1.若求f(x)>x2+1的解集,即求g(x)>1的解集,即解g(x)>g(1),∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴g(x)也是偶函数,故|x|>1即可,解得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故选B.
7.选C　因为y=ax在R上单调递减,且aa>ab>a,因为y=bx在R上单调递减,且ba>bb>b,令f(x)=xln x,则f'(x)=ln x+1,因为0,所以f(x)在上单调递增,因为8.选B　设g(x)=ln(x+1)-x(x>0),则g'(x)=-1=,当x>0时,g'(x)<0,即g(x)在(0,+∞)上单调递减,故g(x)1,所以<1.03,即b0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(0.03)>f(0)=0,即a>b.故b9.选AB　令F(x)=,则F'(x)=,由题意知(x+1)f'(x),>,故A正确,C错误.又2是f(x)的唯一零点,所以F(2)=0,又F(x)在(0,+∞)上单调递减,所以F(1)=>0,F(3)=<0,即f(1)>0,f(3)<0,故B正确,D错误.
习得方略:对于比较复杂的式子要观察式子的特征,通过移项或乘除等手段,将相同的变量移到不等式的同一边,化异为同构造函数,然后对构造的函数求导,应用导数进行解答,同时要注意函数的定义域及变形的等价性.
10.选BCD　设g(x)=(x>0),则g'(x)=>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,由g(1)>g得f(1)>2f,故A错误;由g(1)0),则h'(x)==<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,由h(1)h(2)得f(1)>f(2)+1,故D正确.
11.解析:由题意,知f(x)在R上为增函数,所以f'(x)≥0恒成立,构造函数g(x)=f(x)+2x-5,所以g'(x)=f'(x)+2≥2恒成立,所以g(x)在R上单调递增.又因为g(2)=f(2)+2×2-5=0,所以当x>2时,g(x)=f(x)+2x-5>g(2)=0,即f(x)>5-2x,所以f(x)>5-2x的解集为(2,+∞).
答案:(2,+∞)
12.解析:构造F(x)=f(x)·e2x,∴F'(x)=f'(x)·e2x+f(x)·2e2x=e2x[f'(x)+2f(x)]>0,∴F(x)在R上单调递增,且F(0)=f(0)·e0=1.∵不等式f(x)>可化为f(x)e2x>1,即F(x)>F(0),∴x>0,∴原不等式的解集为(0,+∞).
答案:(0,+∞)
13.快审准解:取a>1,b>1,由ba1,利用导数探讨函数的单调性,由此确定a,b的取值区间,并验证logab解析:不妨取a>1,b>1,由ba1,求导得f'(x)=.当10,当x>e时,f'(x)<0,即函数f(x)在(1,e)内单调递增,在(e,+∞)上单调递减,取a,b∈(1,e],由f(b)答案:e,2(答案不唯一)
14.解析:ln a=ln =ln 2,ln b=ln e=,ln c=ln π,令f(x)=(x>0),则f'(x)=,由f'(x)>0,得0e.∴f(x)在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)上单调递减.∴ln b=最大,而ln a-ln c=ln 2-ln π=ln 4-ln π<0,∴a答案:a

展开更多......

收起↑