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第2课时　导数与函数的零点
题点一　判断或讨论零点个数
[例1]　已知函数f(x)=ax-ln x-2.
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(2)讨论函数f(x)的零点个数.
|思维建模|　利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法:根据题目要求画出函数的图象,标明函数极(最)值的位置,借助数形结合的思想分析问题(画草图时注意有时候需要使用极限);
(2)利用函数零点存在定理:先用该定理判定函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.
[即时训练]
1.(2025·苏州开学考试)已知函数f(x)=sin x+ex-4x,e为自然对数的底数,函数g(x)=x3-ax+3.
(1)若f(x)在(0,1)处的切线也是g(x)的切线,求实数a的值;
(2)求f(x)在(-π,+∞)上的零点个数.
题点二　由零点存在情况求参数
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]　(2024·邵阳三模)已知函数f(x)=-x3+x2+1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数g(x)=f(x)-k(k∈R)有且仅有三个零点,求k的取值范围.
|思维建模|　利用函数的零点求参数范围的方法
(1)分离参数(a=g(x))后,将原问题转化为y=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y=a与y=g(x)的图象的交点个数问题(优先分离、次选分类)求解;
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解;
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.
[即时训练]
2.若函数f(x)=ex(x2-2x+1-a)-x恒有2个零点,求a的取值范围.
第2课时　导数与函数的零点
题点一
[例1]　解:(1)当a=1时,f(x)=x-ln x-2(x>0),f'(x)=1-=(x>0),
令f'(x)>0,则x>1;令f'(x)<0,则0当x=1时,函数取得极小值f(1)=1-ln 1-2=-1,无极大值.
(2)令f(x)=ax-ln x-2=0,因为x>0,所以a=,令g(x)=,则g'(x)=,
令g'(x)>0,则0,
故g(x)在上单调递增,在上单调递减,从而g(x)max=g=e,因此当a>e时,直线y=a与y=g(x)的图象没有交点;
当a=e或a≤0时,直线y=a与y=g(x)的图象有1个交点;当0综上,当a>e时,函数f(x)没有零点;当a=e或a≤0时,函数f(x)有1个零点;当0[即时训练]
1.解:(1)f'(x)=cos x+ex-4,则f'(0)=cos 0+e0-4=-2,
所以切线方程为y=-2x+1.又g'(x)=3x2-a,设直线y=-2x+1与y=g(x)图象的切点为(x0,y0),
则解得故实数a的值为5.
(2)f'(x)=cos x+ex-4,
当-π当x>0时,设h(x)=cos x+ex-4,则h'(x)=-sin x+ex>0,即f'(x)单调递增,
f'(0)=-2<0,f'(2)=cos 2+e2-4>0,
因此f'(x)在(0,+∞)即在(0,2)上有唯一零点,记零点为m,即f'(m)=0,
(f'(x)的零点不可求,也猜不出来,故虚设零点)
在(0,m)上,f'(x)<0,f(x)单调递减,在(m,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增.
又f(0)=1>0,f(1)=sin 1+e-4<0,f(2)=sin 2+e2-8>0,f(π)=eπ-4π>0,
所以f(x)在(0,1)上有一个零点,在(1,2)上有一个零点.
综上所述,f(x)在(-π,+∞)上有2个零点.
题点二
[例2]　解:(1)由f(x)=-x3+x2+1,得f'(x)=-x2+2x,
令f'(x)>0,得-x2+2x>0,解得0所以f(x)的单调递增区间为(0,2).
(2)令f'(x)=0,解得x=0或x=2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示.
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 单调递减 1 单调递增 单调递减
由函数g(x)=f(x)-k有且仅有三个零点,
得方程f(x)=k(k∈R)有且仅有三个不等的实数根,
所以函数y=f(x)的图象与直线y=k有且仅有三个交点.显然,当x→-∞时,f(x)→+∞;当x→+∞时,f(x)→-∞.
所以由上表可知,f(x)的极小值为f(0)=1,f(x)的极大值为f(2)=,故k的取值范围为.
[即时训练]
2.解:由f(x)=0,得x2-2x+1-a=.
令g(x)=,则函数f(x)=ex(x2-2x+1-a)-x恒有2个零点等价于函数y=x2-2x+1-a与y=g(x)的图象有2个交点,g'(x)=,令g'(x)>0,得x<1,令g'(x)<0,得x>1,
所以g(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以g(x)max=g(1)=.
作出函数y=x2-2x+1-a=(x-1)2-a与y=g(x)的图象,如图所示,
数形结合可得-a<,解得a>-,
故a的取值范围为.(共31张PPT)
第2课时　导数与函数的零点
目录
01.题点一　判断或讨论零点个数
02.题点二　由零点存在情况求参数
03.课时跟踪检测
[例1]　已知函数f(x)=ax-ln x-2.
(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；
解:当a=1时，f(x)=x-ln x-2(x>0)，f'(x)=1-=(x>0)，
令f'(x)>0，则x>1；令f'(x)<0，则0故函数f(x)的单调递增区间是(1，+∞)，单调递减区间为(0，1).
当x=1时，函数取得极小值f(1)=1-ln 1-2=-1，无极大值.
题点一　判断或讨论零点个数
(2)讨论函数f(x)的零点个数.
解:令f(x)=ax-ln x-2=0，因为x>0，所以a=，令g(x)=，则g'(x)=，
令g'(x)>0，则0，
故g(x)在上单调递增，在上单调递减，从而g(x)max=g=e，因此当a>e时，直线y=a与y=g(x)的图象没有交点；
当a=e或a≤0时，直线y=a与y=g(x)的图象有1个交点；当0综上，当a>e时，函数f(x)没有零点；当a=e或a≤0时，函数f(x)有1个零点；当0利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法:根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题(画草图时注意有时候需要使用极限)；
(2)利用函数零点存在定理:先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.
思维建模
1.(2025·苏州开学考试)已知函数f(x)=sin x+ex-4x，e为自然对数的底数，函数g(x)=x3-ax+3.
(1)若f(x)在(0，1)处的切线也是g(x)的切线，求实数a的值；
解: f'(x)=cos x+ex-4，则f'(0)=cos 0+e0-4=-2，所以切线方程为y=
-2x+1.又g'(x)=3x2-a，设直线y=-2x+1与y=g(x)图象的切点为(x0，y0)，
则解得故实数a的值为5.
即时训练
(2)求f(x)在(-π，+∞)上的零点个数.
解: f'(x)=cos x+ex-4，当-π当x>0时，设h(x)=cos x+ex-4，
则h'(x)=-sin x+ex>0，即f'(x)单调递增，
f'(0)=-2<0，f'(2)=cos 2+e2-4>0，
因此f'(x)在(0，+∞)即在(0，2)上有唯一零点，
记零点为m，即f'(m)=0，
(f'(x)的零点不可求，也猜不出来，故虚设零点)
在(0，m)上，f'(x)<0，f(x)单调递减，
在(m，+∞)上，f'(x)>0，f(x)单调递增.
又f(0)=1>0，f(1)=sin 1+e-4<0，f(2)=sin 2+e2-8>0，f(π)=eπ-4π>0，
所以f(x)在(0，1)上有一个零点，在(1，2)上有一个零点.综上所述，f(x)在(-π，+∞)上有2个零点.
[例2]　(2024·邵阳三模)已知函数f(x)=-x3+x2+1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
解:由f(x)=-x3+x2+1，得f'(x)=-x2+2x，
令f'(x)>0，得-x2+2x>0，解得0所以f(x)的单调递增区间为(0，2).
题点二　由零点存在情况求参数
(2)若函数g(x)=f(x)-k(k∈R)有且仅有三个零点，求k的取值范围.
解:令f'(x)=0，解得x=0或x=2.
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表所示.
x (-∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 单调递减 1 单调递增 单调递减
由函数g(x)=f(x)-k有且仅有三个零点，
得方程f(x)=k(k∈R)有且仅有三个不等的实数根，
所以函数y=f(x)的图象与直线y=k有且仅有三个交点.
显然，当x→-∞时，f(x)→+∞；当x→+∞时，f(x)→-∞.
所以由上表可知，f(x)的极小值为f(0)=1，f(x)的极大值为f(2)=，故k的取值范围为.
利用函数的零点求参数范围的方法
(1)分离参数(a=g(x))后，将原问题转化为y=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y=a与y=g(x)的图象的交点个数问题(优先分离、次选分类)求解；
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
思维建模
2.若函数f(x)=ex(x2-2x+1-a)-x恒有2个零点，求a的取值范围.
解:由f(x)=0，得x2-2x+1-a=.令g(x)=，
则函数f(x)=ex(x2-2x+1-a)-x恒有2个零点等价于函数y=x2-2x+1-a与y=g(x)的图象有2个交点，g'(x)=，令g'(x)>0，得x<1，令g'(x)<0，得x>1，所以g(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，所以g(x)max=g(1)=.
即时训练
作出函数y=x2-2x+1-a=(x-1)2-a与y=g(x)的图象，如图所示，
数形结合可得-a<，解得a>-，故a的取值范围为.
课时跟踪检测
03
1.(15分)设f'(x)是函数f(x)的导函数，f″(x)是函数f'(x)的导函数，若方程f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数f(x)=mx3+nx2-9x-13的图象的对称中心为(-1，-2).
(1)求实数m，n的值；(5分)
1
2
3
4
解:因为f(x)=mx3+nx2-9x-13，所以f'(x)=3mx2+2nx-9，
所以f ″(x)=6mx+2n=2(3mx+n).
又因为f(x)的图象的对称中心为(-1，-2)，
所以
即解得
1
2
3
4
(2)求f(x)的零点个数.(10分)
解:由(1)知，f(x)=x3+3x2-9x-13，所以f'(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1).
令f'(x)=0，得x=-3或x=1，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:
1
2
3
4
x (-∞，-3) -3 (-3，1) 1 (1，+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 14 单调递减 -18 单调递增
所以f(x)的极大值为f(-3)=14，
极小值为f(1)=-18.又f(-10)=-623<0，
f(3)=14>0，
所以f(x)有3个零点.
1
2
3
4
2.(10分)已知函数f(x)=ln x+(a∈R).若函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围.
解:f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=-=，当a≤0时，f'(x)>0，所以f(x)在(0，+∞)上是增函数，不可能有两个零点，舍去.
当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增，
因为f(x)有两个不同的零点，所以f(x)min=f(a)=ln a+1<0，
解得01
2
3
4
当00，所以f(x)在(a，e)上存在一个零点；
又当a∈时，f(a2)=2ln a+，令φ(a)=2ln a+，a∈，则φ'(a)=-=<0，所以φ(a)在上单调递减，从而有φ(a)
>φ=-2+e>0，即f(a2)=2ln a+>0，所以f(x)在(a2，a)上也存在一个零点.综上，a的取值范围为.
1
2
3
4
3.(15分)(2025·武汉模拟)已知函数f(x)=ln x-ax2(a∈R).
(1)当a=1时，求f(x)的最大值；(6分)
解: f(x)的定义域是(0，+∞)，∵f(x)=ln x-ax2(a∈R)，∴f'(x)=-ax=.当a=1时，令f'(x)==0，解得x=±1.
∵x>0，∴当x∈(0，1)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，∴当x=1时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(1)=-.
1
2
3
4
(2)讨论函数f(x)在区间[1，e2]上零点的个数.(9分)
解:由f(x)=0，得a=，
令g(x)=，1≤x≤e2，则g'(x)=，
由g'(x)>0，得1由g'(x)<0，得1
2
3
4
又g(1)=0，g()=，g(e2)=，作函数g(x)的图象如图所示.
综上，当0≤a<或a=时，f(x)在[1，e2]上有一个零点，当≤a<时，f(x)在[1，e2]上有2个零点，当a<0或a>时，f(x)在[1，e2]上没有零点.
1
2
3
4
习得方略:(1)特值试探法:当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，特殊值的选取应遵循以下原则:
①在含有ln x的函数中，通常选取x=ek，特别地，选取当k=0时，x=1来试探；
②在含有ex的函数中，通常选取x=ln k，特别地，选取当k=1时，x=0来试探.在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决.
1
2
3
4
(2)虚设和代换法:当导函数f'(x)的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点的存在，再虚设为x0，接下来通常有两个方向:
①由f'(x0)=0得到一个关于x0的方程，再将这个关于x0的方程的整体或局部代入f(x0)，从而求得f(x0)，然后解决相关的问题；
②根据导函数f'(x)的单调性，得出x0两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解.
1
2
3
4
4.(17分)已知函数f(x)=(x-1)ex-x2.
(1)求函数的单调区间；(3分)
解:由题可得f'(x)=xex-2x=x(ex-2)，令f'(x)=0，解得x=0或x=ln 2，
令f'(x)<0，解得00，解得x<0或x>ln 2，
所以f(x)的单调递减区间为(0，ln 2)，单调递增区间为(-∞，0)，(ln 2，+∞).
1
2
3
4
(2)求f(x)的零点个数；(4分)
解:由(1)知f(x)的单调递减区间为(0，ln 2)，单调递增区间为(-∞，0)，(ln 2，+∞)，由于f(0)=-1<0，则f(x)在(-∞，0)上无零点；由于f(ln 2)=2(ln 2-1)-(ln 2)2<0，
则f(x)在(0，ln 2)上无零点；
由于f(2)=e2-4>0，则f(x)在(ln 2，2)上存在唯一零点.
综上，函数f(x)在R上存在1个零点.
1
2
3
4
(3)若g(x)=f(x)-m在区间上有两个零点，求m的取值范围.(10分)
解:若g(x)=f(x)-m在区间上有两个零点，则函数y=f(x)与y=m在区间上有两个交点.
由(1)知，f(x)在(-1，0)内单调递增，内单调递减，
f(-1)=--1<0，f(0)=-1<0，f=-->f(-1)，
1
2
3
4
如图所示，函数y=f(x)的图象与y=m在区间上有两个交点，则--≤m<-1，即若g(x)=f(x)-m在区间上有两个零点，则m的取值范围为.
1
2
3
4课时跟踪检测(二十五)　导数与函数的零点
1.(15分)设f'(x)是函数f(x)的导函数,f″(x)是函数f'(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数的图象都有“拐点”,且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数f(x)=mx3+nx2-9x-13的图象的对称中心为(-1,-2).
(1)求实数m,n的值;(5分)
(2)求f(x)的零点个数.(10分)
2.(10分)已知函数f(x)=ln x+(a∈R).若函数f(x)有两个不同的零点,求a的取值范围.
3.(15分)(2025·武汉模拟)已知函数f(x)=ln x-ax2(a∈R).
(1)当a=1时,求f(x)的最大值;(6分)
(2)讨论函数f(x)在区间[1,e2]上零点的个数.(9分)
4.(17分)已知函数f(x)=(x-1)ex-x2.
(1)求函数的单调区间;(3分)
(2)求f(x)的零点个数;(4分)
(3)若g(x)=f(x)-m在区间上有两个零点,求m的取值范围.(10分)
课时跟踪检测(二十五)
1.解:(1)因为f(x)=mx3+nx2-9x-13,所以f'(x)=3mx2+2nx-9,所以f″(x)=6mx+2n=2(3mx+n).又因为f(x)的图象的对称中心为(-1,-2),
所以
即解得
(2)由(1)知,f(x)=x3+3x2-9x-13,
所以f'(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1).
令f'(x)=0,得x=-3或x=1,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 14 单调递减 -18 单调递增
所以f(x)的极大值为f(-3)=14,极小值为f(1)=-18.
又f(-10)=-623<0,f(3)=14>0,所以f(x)有3个零点.
2.解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-=,当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,不可能有两个零点,舍去.
当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,
因为f(x)有两个不同的零点,所以f(x)min=f(a)=ln a+1<0,解得0当00,所以f(x)在(a,e)上存在一个零点;又当a∈时,f(a2)=2ln a+,
令φ(a)=2ln a+,a∈,则φ'(a)=-=<0,所以φ(a)在上单调递减,从而有φ(a)>φ=-2+e>0,即f(a2)=2ln a+>0,所以f(x)在(a2,a)上也存在一个零点.综上,a的取值范围为.
3.解:(1)f(x)的定义域是(0,+∞),∵f(x)=ln x-ax2(a∈R),∴f'(x)=-ax=.
当a=1时,令f'(x)==0,解得x=±1.
∵x>0,∴当x∈(0,1)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,
当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,
∴当x=1时,函数f(x)取得最大值,最大值为f(1)=-.
(2)由f(x)=0,得a=,令g(x)=,1≤x≤e2,
则g'(x)=,由g'(x)>0,得1由g'(x)<0,得综上,当0≤a<或a=时,f(x)在[1,e2]上有一个零点,当≤a<时,f(x)在[1,e2]上有2个零点,当a<0或a>时,f(x)在[1,e2]上没有零点.
习得方略:(1)特值试探法:当导函数的零点不可求时,可尝试利用特殊值试探,特殊值的选取应遵循以下原则:
①在含有ln x的函数中,通常选取x=ek,特别地,选取当k=0时,x=1来试探;
②在含有ex的函数中,通常选取x=ln k,特别地,选取当k=1时,x=0来试探.在探得导函数的一个零点后,结合导函数的单调性,确定导函数在零点左右的符号,进而确定原函数的单调性和极值,使问题得到解决.
(2)虚设和代换法:当导函数f'(x)的零点无法求出显性的表达式时,我们可以先证明零点的存在,再虚设为x0,接下来通常有两个方向:
①由f'(x0)=0得到一个关于x0的方程,再将这个关于x0的方程的整体或局部代入f(x0),从而求得f(x0),然后解决相关的问题;
②根据导函数f'(x)的单调性,得出x0两侧导函数的正负,进而得出原函数的单调性和极值,使问题得解.
4.解:(1)由题可得f'(x)=xex-2x=x(ex-2),
令f'(x)=0,解得x=0或x=ln 2,
令f'(x)<0,解得0令f'(x)>0,解得x<0或x>ln 2,所以f(x)的单调递减区间为(0,ln 2),单调递增区间为(-∞,0),(ln 2,+∞).
(2)由(1)知f(x)的单调递减区间为(0,ln 2),单调递增区间为(-∞,0),(ln 2,+∞),由于f(0)=-1<0,则f(x)在(-∞,0)上无零点;由于f(ln 2)=2(ln 2-1)-(ln 2)2<0,则f(x)在(0,ln 2)上无零点;
由于f(2)=e2-4>0,则f(x)在(ln 2,2)上存在唯一零点.
综上,函数f(x)在R上存在1个零点.
(3)若g(x)=f(x)-m在区间上有两个零点,则函数y=f(x)与y=m在区间上有两个交点.
由(1)知,f(x)在(-1,0)内单调递增,内单调递减,f(-1)=--1<0,f(0)=-1<0,f=-->f(-1),如图所示,
函数y=f(x)的图象与y=m在区间上有两个交点,则--≤m<-1,即若g(x)=f(x)-m在区间上有两个零点,则m的取值范围为.

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