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四川省成都实验外国语学校2023-2024学年七年级下学期数学期末试卷
1．（2024七下·成都期末）新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一，下列新能源车标中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·成都期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·成都期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为0.000036m，用科学记数法表示为，则n的值为（　　）
A．－4 B．－5 C．4 D．5
4．（2024七下·成都期末）关于全等图形的描述，下列说法正确的是（　　）
A．形状相同的图形 B．面积相等的图形
C．能够完全重合的图形 D．周长相等的图形
5．（2024七下·成都期末）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，点落在直线上若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七下·成都期末）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）
A．1，2，3 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，2，4
7．（2024七下·成都期末）如图，已知 ，下列所给条件不能证明△ ≌△ 的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·成都期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024七下·成都期末）把方程变形，用含的代数式表示，则　 　．
10．（2024七下·成都期末）若、满足，，则代数式的值为　 　．
11．（2024七下·成都期末）已知与互余，且，则的补角是　 　 度．
12．（2024七下·成都期末）在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而增长，经过实验与测量，得到弹簧的长度65
物体的质量
弹簧的长度
若弹簧的长度是，则所挂物体的质量是　 　．
13．（2024七下·成都期末）如图，在中，，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，连接与交于点，若，则的长度为　 　．
14．（2024七下·成都期末）已知，则　 　．
15．（2024七下·成都期末）已知是完全平方式，则　 　．
16．（2024七下·成都期末）如图，，、分别是线段、上的定点，在与之间有一点，、分别为、的角平分线，若，则　 　度
17．（2024七下·成都期末）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿做匀速移动，点从点出发沿向点匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动在整个运动过程中，当的速度为　 　时，与全等．
18．（2024七下·成都期末）在正方形中，点、是、上的两定点，满足：，点不与，重合；点不与，重合连接，取的中点，连接，请问：
（1）若，则　 　．
（2）在的条件下，当时，在线段上找一点，在线段上找一点，使四边形的周长最小，最小值为　 　．
19．（2024七下·成都期末）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）解方程组：．
20．（2024七下·成都期末）先化简，再求值：，其中，．
21．（2024七下·成都期末）如图，在正方形网格中，已知的三个顶点在格点上．
（1）画出关于直线的轴对称图形；
（2）若正方形网格的单位长度为，求的面积．
22．（2024七下·成都期末）补充完成下列推理过程：
已知：如图，在中，为的中点，过点作，交于点是上一点，连接，且．
求证：．
证明：为的中点已知
（　　）
已知
（　　）
又已知
（　　）
▲ ．
在与中
≌（　　）
（　　）
23．（2024七下·成都期末）已知，在中，，于点，是上一点，满足：；将绕点顺时针旋转，交于点．
（1）如图，
（ⅰ）试说明：；
(ⅱ)若，请探究与的数量关系，并说明理由；
（2）如图，若是线段的中点，求的值．
24．（2024七下·成都期末）“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线表示龟兔赛跑时的路程米与时间分钟的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
（1）折线表示赛跑过程中　 　填“兔子”或“乌龟”的路程与时间的关系，赛跑的全程是　 　米
（2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？
（3）兔子醒来，以米分钟的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
25．（2024七下·成都期末）【知识回顾】
如图，长方形的长与宽分别为、，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图的正方形，请写出下列三个代数式，，之间的一个等量关系式：　 　；
（2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值；
（3）【深入探究】
若满足，求的值；
（4）【应用迁移】
如图，长方形中，，、是边上的点在左侧，以为边向下作正方形，延长交于点，再以为边向上作正方形，若，，为常数，且，正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，求长方形的周长．
26．（2024七下·成都期末）
（1）【模型熟悉】
如图，已知和，点、、在一条直线上，且，，求证：；
（2）【模型运用】
如图，在等边中，、分别为，边上的点，且，，连接若，求证：；
（3）【能力提升】
如图，等边的面积是，，点、分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点运动到点，请在图中作出点的运动轨迹，并求出点的运动路程．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项中，此两项不是同类项，无法合并，故A错误；
B选项中，，故B错误；
C选项中，，故C正确；
D选项中，，故D错误；
故答案为：C.
【分析】分别根据合并同类项与同底数幂的运算规则依次判断即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵，
∴n=-5.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成的形式，其中1≤|a|<10 ， n为整数，据此可得答案.
4．【答案】C
【知识点】全等图形的概念
【解析】【解答】A.形状相同的两个图形大小不一定相等，所以不是全等图形，故本选项不符合题意．
B.面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意．
C.能够完全重合的两个图形是全等图形，故本选项符合题意．
D.周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据全等图形的定义逐项判断即可。
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由∠ACB=90°，∠1=48°得∠3=180°-90°-48°=42°，而a||b得∠2=∠3=42°
故答案为：A.
【分析】由平角的定义得∠3的度数，再由平行线的性质得∠2的度数.
6．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A、 ，不能组成三角形，故A选项错误；
B、 ，不能组成三角形，故B选项错误；
C、 ，能组成三角形，故C选项正确；
D、 ，不能组成三角形，故D选项错误；
故答案为：C．
【分析】三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐一判断即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A满足AAS，
B，SSA，不能证明三角形全等.
C满足ASA.
D满足SAS.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS；判断即可.
8．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设该店有客房x间，房客y人，
根据题意得：
故答案为：D.
【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可.
9．【答案】
【知识点】利用等式的性质将等式变形；移项的概念及应用
【解析】【解答】解：2x-y=4得y=2x-4
故答案为：2x-4.
【分析】直接由等式的性质可得y=2x-4.
10．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：=(x-y)(x+y)=-2×3=-6
故答案为：-6.
【分析】由平方差公式直接整体代入数值即可得结果.
11．【答案】137
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解：由题意得，．
的补角是．
故答案为：137．
【分析】根据和为90°的两个角互为余角可求出∠B=43°，进而根据和为180°的两个角互为补角，可求出∠B的补角.
12．【答案】9
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由表格发现每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm，5kg时的长度为15cm，故17cm时的重量为(17-15)÷0.5+5=9kg.
故答案为：9.
【分析】由图表中的数据知物体的重量每增加1kg弹簧长度增加0.5cm，即可得17cm时的重量.
13．【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图痕迹知MN为线段AC的垂直平分线，故E为AC的中点，AC=2EC=4，而AB=AC=4；
故答案为：4.
【分析】由作图痕迹知E为AC的中点，即可得AC的长度，即可得AB的长.
14．【答案】25
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由得x2-3x=10，故2(x2-3x)+5=2×10+5=25.
故答案为：25.
【分析】由条件得x2-3x=10，再整体代入即可得结果.
15．【答案】-9或15
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：由完全平方式的性质得(k-3)xy=±2×2x·3y，即k-3=±12，解得k=-9或15
故答案为：-9或15.
【分析】由等式的性质得(k-3)xy=±2×2x·3y，即可得k的值.
16．【答案】100
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过点E作GH||AB
∵AB||CD
∴GH||CD
∴∠CQE=∠HEQ
∵GH||AB
∴∠PEH=∠APE
∵∠PEQ=∠PEH+∠QEH，∠PEQ=130°
∴∠APE+∠CQE=130°
∵PE、QE平分∠APF、∠CQF
∴∠APF=2∠APE，∠CQF=2∠CQE
∴∠APF+∠CQF=2(∠APE+∠CQE)=260°
∵∠BPF=180°-∠APF，∠DQF=180°-∠CQF
∴∠BPF+∠DQF=180°-∠APF+180°-∠CQF=360°-160°=100°
过点F作MN||AB
∵AB||CD，
∴MN||CD
∴∠PFM=∠BPF，∠QFM=∠DQF
∴∠PFQ=∠BPF+∠DQF=100°
故答案为：100.
【分析】过点E作GH||AB，利用平行线的性质得∠APF+∠CQF=2(∠APE+∠CQE)=260°，由此可得∠BPF+∠DQF=100°，同理作MN||AB即可得∠PFQ=∠BPF+∠DQF=100°.
17．【答案】或
【知识点】一元一次方程的其他应用；三角形全等及其性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：由AD=BC，AB=CD得ABCD为平行四边形，故∠EDG=∠FBG，
设G的速度为v，则BG=vt，DE=t，
当△DGE和△BFG全等时，DE=BF，DG=BG，有以下两种情况
①当点F到达点B之前时，此时BF=6-3t，6-3t=t，得t=，同时vt=5，得v=；
②当点F到达B后时，此时BF=3t-6，3t-6=t，得t=3，vt=5，得v=；
综上所述，G的速度为或
故答案为：或.
【分析】由条件得ABCD为平行四边形，得∠EDG=∠FBG，由此得两三角形全等的情形，分点F到B点前与到B点后两种情况求解速度.
18．【答案】（1）6
（2）22
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：(1)MN=6，证明如下
在CB延长线上取点H，使BH=DM，连接AH，
∵ABCD为正方形
∴AB=AD，∠ADM=∠ABH=90°
∴△ABH≌△ADM(SAS)
∴AH=AM，∠DAM=∠BAH
∵∠BAN+∠DAM=45°
∴∠BAH+∠BAN=45°，即∠HAN=45°
∵AN=AN
∴△AHN≌△AMN(SAS)
∴MN=HN
∵EN=BH+BN=DM+BN
∴MN=DM+BN
∴MN=6
(2)取点M关于AD的对称点M'，N关于AB的对称点N’，连接AM'，AN'，M'N'，知AM'=AM，AN'=AN且∠BAN'=∠BAN，∠M'AD=∠MAD，故∠M'AN'=135°
延长AP至点Q使PQ=AP，连接NQ
∵P为MN的中点
∴PM=PN
∵∠APM=∠NPQ
∴△AMP≌△QNP
∴NQ=AM，∠AMP=∠ANP
∴NQ=AM'
∵∠MAN=45°
∴∠ANM+∠AMN=135°
∴∠ANM+∠PNQ=135°即∠ANQ=135°
在△AM'N'和△NQA中
AN'=AN，AM'=NQ，∠M'AN'=∠ANQ
∴△AM'N'≌△NQA
∴MN'=AQ=16
当N、E、F、M共线时，EN+EF+FM取最小值，此时ENMF的周长取最小值22.
故答案为：22.
【分析】(1)在CB延长线上截取BH=DM，可得△ABH≌△ADM，再证△AHN≌△AMN即可得MN=6；
(2)分别取M、N关于AD、AB的对称点得M'N'，得∠M'AN'=135°，延长AP至Q使PQ=AP可得△AMP≌△QNP，再证△AM'N'≌△NQA即可得M'N'=PQ=16，当N’、E、F、M'共线时取最小值.
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：，
得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
故原方程组的解是：．
【知识点】整式的混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)先分别化简负指数幂、零指数幂，再进行加减运算即可；
(2)先进行乘除法及乘方化简整理，再合并同类项即可；
(3)①×2将y的系数化为6，再加减消元即可得结果.
20．【答案】解：
，
当，时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方式和平方差公式展开并化简，再代入数值即可得结果.
21．【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）解：的面积．
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】(1)先分别找到点A、B、C关于DE对称的点，再连接对称点即可；
(2)利用割补法用矩形的面积减去三个三角形的面积即可.
22．【答案】证明：为的中点已知，
中点定义，
已知，
两直线平行，同位角相等，
又已知，
同位角相等，两直线平行，
，
在与中，
，
≌，
全等三角形的对应边相等，
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】根据证明上下证明的逻辑关系补充理由和过程.
23．【答案】（1）解：（i）证明：，，
，
，
，
，
将绕点顺时针旋转，交于点，
，
，
，
；
(ⅱ)；
理由：过作于，
由知，，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
；
（2）解：如图，过作于，
是线段的中点，
，
由知，
，
，
，
：：．
，，
，
，
：：：，
．
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】(1)作FH⊥AB，证明≌，再结合等腰三角形的性质可得结论；
(2)作FG⊥AB于点G，得结合等腰三角形的性质求出面积比.
24．【答案】（1）兔子；1200
（2）解：结合图象得出：
兔子在起初每分钟跑米，
乌龟每分钟爬米，
答：兔子在起初每分钟跑米，乌龟每分钟爬米．
（3）解：兔子跑了米停下睡觉，用了分钟，
剩余米所用的时间为分钟，
兔子睡觉用了分钟，
答：所以兔子中间停下睡觉用了分钟．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：(1)由题意兔子中间休息了一段，故折线为兔子，赛跑全程的是乌龟，全程1200米；
【分析】(1)由龟兔赛跑的特点直接判断，由函数图可知赛跑全程为1200米；
(2)根据图像信息即可分别计算龟兔的速度；
(3)先计算剩余的800米所需时间，可得中间休息的时间.
25．【答案】（1）
（2）解：把两边平方得：，
展开得：，
将代入得：，
整理得：；
（3）解：设，，则有，，
把两边平方得：，即，
把代入得：，即，则；
（4）解：设，则，
正方形，矩形，
，
，
正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，即矩形面积为，
，即，
整理得：，
开方得：负值舍去，
，，，
则长方形周长为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)图2中的大正方形的面积为4ab+(a-b)2，大正方形的面积为(a+b)2，故=+4；
【分析】(1)用两种方式表示正方形的面积，即可得；
(2)根据(1)中成立的等量关系，代入数据即可得，即得；
(3)利用换元法和(1)的结论，代入数据即可得的值；
(4)设AD=x，得AB=2x，再分别求出AM和AE的长即得，求得AM和AF的长，即可得长方形AMGF的周长.
26．【答案】（1）证明：，，
，
在和中，
，
≌，
．
（2）证明：在上截取，连接，
，
，
，
，且，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，即，
．
（3）解：如图，在上截取，连接，
，且，
，
是等边三角形，
，，
，且，
，
≌，
，，
，
，
，
平分，
如图所示，点在的内角的角平分线上上运动．
点的运动路程也就是的长度，
是等边三角形，是角平分线，
，
，
，
，
即点的运动路程为．
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【分析】(1)由=∠E可得∠BAC=∠DCE，即可得△ABC≌△CED，可得BC=DE；
(2)截取AF=DF可得(1)模型，可得≌，即可得CM=2BN；
(3)结合(2)中方法截取BM=CF得≌，得BE平分∠ABC，即可得E的轨迹，即得BN的长即可路径长.
1 / 1四川省成都实验外国语学校2023-2024学年七年级下学期数学期末试卷
1．（2024七下·成都期末）新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一，下列新能源车标中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
2．（2024七下·成都期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项中，此两项不是同类项，无法合并，故A错误；
B选项中，，故B错误；
C选项中，，故C正确；
D选项中，，故D错误；
故答案为：C.
【分析】分别根据合并同类项与同底数幂的运算规则依次判断即可.
3．（2024七下·成都期末）“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为0.000036m，用科学记数法表示为，则n的值为（　　）
A．－4 B．－5 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵，
∴n=-5.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成的形式，其中1≤|a|<10 ， n为整数，据此可得答案.
4．（2024七下·成都期末）关于全等图形的描述，下列说法正确的是（　　）
A．形状相同的图形 B．面积相等的图形
C．能够完全重合的图形 D．周长相等的图形
【答案】C
【知识点】全等图形的概念
【解析】【解答】A.形状相同的两个图形大小不一定相等，所以不是全等图形，故本选项不符合题意．
B.面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意．
C.能够完全重合的两个图形是全等图形，故本选项符合题意．
D.周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据全等图形的定义逐项判断即可。
5．（2024七下·成都期末）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，点落在直线上若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由∠ACB=90°，∠1=48°得∠3=180°-90°-48°=42°，而a||b得∠2=∠3=42°
故答案为：A.
【分析】由平角的定义得∠3的度数，再由平行线的性质得∠2的度数.
6．（2024七下·成都期末）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）
A．1，2，3 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，2，4
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A、 ，不能组成三角形，故A选项错误；
B、 ，不能组成三角形，故B选项错误；
C、 ，能组成三角形，故C选项正确；
D、 ，不能组成三角形，故D选项错误；
故答案为：C．
【分析】三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐一判断即可.
7．（2024七下·成都期末）如图，已知 ，下列所给条件不能证明△ ≌△ 的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A满足AAS，
B，SSA，不能证明三角形全等.
C满足ASA.
D满足SAS.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS；判断即可.
8．（2024七下·成都期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设该店有客房x间，房客y人，
根据题意得：
故答案为：D.
【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可.
9．（2024七下·成都期末）把方程变形，用含的代数式表示，则　 　．
【答案】
【知识点】利用等式的性质将等式变形；移项的概念及应用
【解析】【解答】解：2x-y=4得y=2x-4
故答案为：2x-4.
【分析】直接由等式的性质可得y=2x-4.
10．（2024七下·成都期末）若、满足，，则代数式的值为　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：=(x-y)(x+y)=-2×3=-6
故答案为：-6.
【分析】由平方差公式直接整体代入数值即可得结果.
11．（2024七下·成都期末）已知与互余，且，则的补角是　 　 度．
【答案】137
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解：由题意得，．
的补角是．
故答案为：137．
【分析】根据和为90°的两个角互为余角可求出∠B=43°，进而根据和为180°的两个角互为补角，可求出∠B的补角.
12．（2024七下·成都期末）在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而增长，经过实验与测量，得到弹簧的长度65
物体的质量
弹簧的长度
若弹簧的长度是，则所挂物体的质量是　 　．
【答案】9
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由表格发现每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm，5kg时的长度为15cm，故17cm时的重量为(17-15)÷0.5+5=9kg.
故答案为：9.
【分析】由图表中的数据知物体的重量每增加1kg弹簧长度增加0.5cm，即可得17cm时的重量.
13．（2024七下·成都期末）如图，在中，，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，连接与交于点，若，则的长度为　 　．
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图痕迹知MN为线段AC的垂直平分线，故E为AC的中点，AC=2EC=4，而AB=AC=4；
故答案为：4.
【分析】由作图痕迹知E为AC的中点，即可得AC的长度，即可得AB的长.
14．（2024七下·成都期末）已知，则　 　．
【答案】25
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由得x2-3x=10，故2(x2-3x)+5=2×10+5=25.
故答案为：25.
【分析】由条件得x2-3x=10，再整体代入即可得结果.
15．（2024七下·成都期末）已知是完全平方式，则　 　．
【答案】-9或15
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：由完全平方式的性质得(k-3)xy=±2×2x·3y，即k-3=±12，解得k=-9或15
故答案为：-9或15.
【分析】由等式的性质得(k-3)xy=±2×2x·3y，即可得k的值.
16．（2024七下·成都期末）如图，，、分别是线段、上的定点，在与之间有一点，、分别为、的角平分线，若，则　 　度
【答案】100
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【解答】解：过点E作GH||AB
∵AB||CD
∴GH||CD
∴∠CQE=∠HEQ
∵GH||AB
∴∠PEH=∠APE
∵∠PEQ=∠PEH+∠QEH，∠PEQ=130°
∴∠APE+∠CQE=130°
∵PE、QE平分∠APF、∠CQF
∴∠APF=2∠APE，∠CQF=2∠CQE
∴∠APF+∠CQF=2(∠APE+∠CQE)=260°
∵∠BPF=180°-∠APF，∠DQF=180°-∠CQF
∴∠BPF+∠DQF=180°-∠APF+180°-∠CQF=360°-160°=100°
过点F作MN||AB
∵AB||CD，
∴MN||CD
∴∠PFM=∠BPF，∠QFM=∠DQF
∴∠PFQ=∠BPF+∠DQF=100°
故答案为：100.
【分析】过点E作GH||AB，利用平行线的性质得∠APF+∠CQF=2(∠APE+∠CQE)=260°，由此可得∠BPF+∠DQF=100°，同理作MN||AB即可得∠PFQ=∠BPF+∠DQF=100°.
17．（2024七下·成都期末）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿做匀速移动，点从点出发沿向点匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动在整个运动过程中，当的速度为　 　时，与全等．
【答案】或
【知识点】一元一次方程的其他应用；三角形全等及其性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：由AD=BC，AB=CD得ABCD为平行四边形，故∠EDG=∠FBG，
设G的速度为v，则BG=vt，DE=t，
当△DGE和△BFG全等时，DE=BF，DG=BG，有以下两种情况
①当点F到达点B之前时，此时BF=6-3t，6-3t=t，得t=，同时vt=5，得v=；
②当点F到达B后时，此时BF=3t-6，3t-6=t，得t=3，vt=5，得v=；
综上所述，G的速度为或
故答案为：或.
【分析】由条件得ABCD为平行四边形，得∠EDG=∠FBG，由此得两三角形全等的情形，分点F到B点前与到B点后两种情况求解速度.
18．（2024七下·成都期末）在正方形中，点、是、上的两定点，满足：，点不与，重合；点不与，重合连接，取的中点，连接，请问：
（1）若，则　 　．
（2）在的条件下，当时，在线段上找一点，在线段上找一点，使四边形的周长最小，最小值为　 　．
【答案】（1）6
（2）22
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：(1)MN=6，证明如下
在CB延长线上取点H，使BH=DM，连接AH，
∵ABCD为正方形
∴AB=AD，∠ADM=∠ABH=90°
∴△ABH≌△ADM(SAS)
∴AH=AM，∠DAM=∠BAH
∵∠BAN+∠DAM=45°
∴∠BAH+∠BAN=45°，即∠HAN=45°
∵AN=AN
∴△AHN≌△AMN(SAS)
∴MN=HN
∵EN=BH+BN=DM+BN
∴MN=DM+BN
∴MN=6
(2)取点M关于AD的对称点M'，N关于AB的对称点N’，连接AM'，AN'，M'N'，知AM'=AM，AN'=AN且∠BAN'=∠BAN，∠M'AD=∠MAD，故∠M'AN'=135°
延长AP至点Q使PQ=AP，连接NQ
∵P为MN的中点
∴PM=PN
∵∠APM=∠NPQ
∴△AMP≌△QNP
∴NQ=AM，∠AMP=∠ANP
∴NQ=AM'
∵∠MAN=45°
∴∠ANM+∠AMN=135°
∴∠ANM+∠PNQ=135°即∠ANQ=135°
在△AM'N'和△NQA中
AN'=AN，AM'=NQ，∠M'AN'=∠ANQ
∴△AM'N'≌△NQA
∴MN'=AQ=16
当N、E、F、M共线时，EN+EF+FM取最小值，此时ENMF的周长取最小值22.
故答案为：22.
【分析】(1)在CB延长线上截取BH=DM，可得△ABH≌△ADM，再证△AHN≌△AMN即可得MN=6；
(2)分别取M、N关于AD、AB的对称点得M'N'，得∠M'AN'=135°，延长AP至Q使PQ=AP可得△AMP≌△QNP，再证△AM'N'≌△NQA即可得M'N'=PQ=16，当N’、E、F、M'共线时取最小值.
19．（2024七下·成都期末）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）解方程组：．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：，
得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
故原方程组的解是：．
【知识点】整式的混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)先分别化简负指数幂、零指数幂，再进行加减运算即可；
(2)先进行乘除法及乘方化简整理，再合并同类项即可；
(3)①×2将y的系数化为6，再加减消元即可得结果.
20．（2024七下·成都期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
当，时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方式和平方差公式展开并化简，再代入数值即可得结果.
21．（2024七下·成都期末）如图，在正方形网格中，已知的三个顶点在格点上．
（1）画出关于直线的轴对称图形；
（2）若正方形网格的单位长度为，求的面积．
【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）解：的面积．
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】(1)先分别找到点A、B、C关于DE对称的点，再连接对称点即可；
(2)利用割补法用矩形的面积减去三个三角形的面积即可.
22．（2024七下·成都期末）补充完成下列推理过程：
已知：如图，在中，为的中点，过点作，交于点是上一点，连接，且．
求证：．
证明：为的中点已知
（　　）
已知
（　　）
又已知
（　　）
▲ ．
在与中
≌（　　）
（　　）
【答案】证明：为的中点已知，
中点定义，
已知，
两直线平行，同位角相等，
又已知，
同位角相等，两直线平行，
，
在与中，
，
≌，
全等三角形的对应边相等，
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】根据证明上下证明的逻辑关系补充理由和过程.
23．（2024七下·成都期末）已知，在中，，于点，是上一点，满足：；将绕点顺时针旋转，交于点．
（1）如图，
（ⅰ）试说明：；
(ⅱ)若，请探究与的数量关系，并说明理由；
（2）如图，若是线段的中点，求的值．
【答案】（1）解：（i）证明：，，
，
，
，
，
将绕点顺时针旋转，交于点，
，
，
，
；
(ⅱ)；
理由：过作于，
由知，，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
；
（2）解：如图，过作于，
是线段的中点，
，
由知，
，
，
，
：：．
，，
，
，
：：：，
．
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】(1)作FH⊥AB，证明≌，再结合等腰三角形的性质可得结论；
(2)作FG⊥AB于点G，得结合等腰三角形的性质求出面积比.
24．（2024七下·成都期末）“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线表示龟兔赛跑时的路程米与时间分钟的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
（1）折线表示赛跑过程中　 　填“兔子”或“乌龟”的路程与时间的关系，赛跑的全程是　 　米
（2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？
（3）兔子醒来，以米分钟的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
【答案】（1）兔子；1200
（2）解：结合图象得出：
兔子在起初每分钟跑米，
乌龟每分钟爬米，
答：兔子在起初每分钟跑米，乌龟每分钟爬米．
（3）解：兔子跑了米停下睡觉，用了分钟，
剩余米所用的时间为分钟，
兔子睡觉用了分钟，
答：所以兔子中间停下睡觉用了分钟．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：(1)由题意兔子中间休息了一段，故折线为兔子，赛跑全程的是乌龟，全程1200米；
【分析】(1)由龟兔赛跑的特点直接判断，由函数图可知赛跑全程为1200米；
(2)根据图像信息即可分别计算龟兔的速度；
(3)先计算剩余的800米所需时间，可得中间休息的时间.
25．（2024七下·成都期末）【知识回顾】
如图，长方形的长与宽分别为、，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图的正方形，请写出下列三个代数式，，之间的一个等量关系式：　 　；
（2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值；
（3）【深入探究】
若满足，求的值；
（4）【应用迁移】
如图，长方形中，，、是边上的点在左侧，以为边向下作正方形，延长交于点，再以为边向上作正方形，若，，为常数，且，正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，求长方形的周长．
【答案】（1）
（2）解：把两边平方得：，
展开得：，
将代入得：，
整理得：；
（3）解：设，，则有，，
把两边平方得：，即，
把代入得：，即，则；
（4）解：设，则，
正方形，矩形，
，
，
正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，即矩形面积为，
，即，
整理得：，
开方得：负值舍去，
，，，
则长方形周长为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)图2中的大正方形的面积为4ab+(a-b)2，大正方形的面积为(a+b)2，故=+4；
【分析】(1)用两种方式表示正方形的面积，即可得；
(2)根据(1)中成立的等量关系，代入数据即可得，即得；
(3)利用换元法和(1)的结论，代入数据即可得的值；
(4)设AD=x，得AB=2x，再分别求出AM和AE的长即得，求得AM和AF的长，即可得长方形AMGF的周长.
26．（2024七下·成都期末）
（1）【模型熟悉】
如图，已知和，点、、在一条直线上，且，，求证：；
（2）【模型运用】
如图，在等边中，、分别为，边上的点，且，，连接若，求证：；
（3）【能力提升】
如图，等边的面积是，，点、分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点运动到点，请在图中作出点的运动轨迹，并求出点的运动路程．
【答案】（1）证明：，，
，
在和中，
，
≌，
．
（2）证明：在上截取，连接，
，
，
，
，且，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，即，
．
（3）解：如图，在上截取，连接，
，且，
，
是等边三角形，
，，
，且，
，
≌，
，，
，
，
，
平分，
如图所示，点在的内角的角平分线上上运动．
点的运动路程也就是的长度，
是等边三角形，是角平分线，
，
，
，
，
即点的运动路程为．
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【分析】(1)由=∠E可得∠BAC=∠DCE，即可得△ABC≌△CED，可得BC=DE；
(2)截取AF=DF可得(1)模型，可得≌，即可得CM=2BN；
(3)结合(2)中方法截取BM=CF得≌，得BE平分∠ABC，即可得E的轨迹，即得BN的长即可路径长.
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