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四川省绵阳市游仙区2023-2024学年八年级下学期6月期末数学试题
1．（2024八下·游仙期末）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则常数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
2．（2024八下·游仙期末）12月4日为国家宪法日，某校开展“宪法进校园”法律知识竞赛，满分为10分，九年级1班10位学生的成绩如下（单位：分）：7、9、7、9、7、9、10、8、9，则这10位学生竞赛成绩的众数是（　　）
A．4分 B．7分 C．9分 D．10分
【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：7、9、7、9、7、9、10、8、9，
出现的次数最多，
这10位学生竞赛成绩的众数是9分．
故答案为：C.
【分析】根据众数的定义"一组数据中出现次数最多的数据叫做众数”并结合题意即可求解．
3．（2024八下·游仙期末）关于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象过点
B．其图象可由的图象向上平移3个单位长度得到
C．随的增大而增大
D．图象经过一、二、三象限
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：对于一次函数，
A.当时，，因此图象不经过点，A错误；
B.的图象向上平移3个单位长度得到的图象，B正确；
C.，因此随的增大而减小，C错误；
D.图象经过一、二、四象限，D错误；
故选B．
【分析】本题考查一次函数的图象和性质.将点代入函数解析式，可判断A选项；根据函数平移的规律：“左加，右减；上加，下减.”求出平移后解析式可判断B选项；根据函数解析式可得：，可得直线下降，据此可判断C选项；根据一次函数的图象特征可判断D选项.
4．（2024八下·游仙期末）二次根式的除法则成立的条件是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式的除法则成立，
∴，．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，以及分式的分母不为确定出所求即可．
5．（2024八下·游仙期末）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（　　）
A．1，3，5 B．，，1 C．，2，3 D．6，8，9
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵1+3＜5，
∴A不可以组成三角形，不符合题意；
∴B可以组成直角三角形，符合题意；
故答案为：B
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可
6．（2024八下·游仙期末）工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这样做的道理是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是矩形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵两组对边的长度分别相等，AD=BC，AB=DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵测量它们的两条对角线相等，AC=BD，
∴平行四边形ABCD为矩形．
故选择D．
【分析】利用矩形的判定方法求解即可。
7．（2024八下·游仙期末）小明和哥哥一起同速去离家1600米的菜鸟驿站，小明取完包裹后随即原路原速度返回，哥哥花了8分钟寄出一个包裹后原路原速度返回，下面的图象表示小明和哥哥之间的距离与时间之间的关系，其中较合理的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：当两人同时去菜鸟驿站时，小明和哥哥之间的距离为0；
当哥哥寄包裹，小明取完包裹原路返回时，小明和哥哥之间的距离逐渐增加；
当哥哥寄出包裹后原路返回时且小明到家之前，小明和哥哥之间的距离保持不变；
当哥哥原路返回时且小明到家之后，小明和哥哥之间的距离逐渐变小，直到为零，
所以符合这一过程的函数图象为：
故答案为：D．
【分析】此函数图象应该分为4段，第一段，两人一同前往菜乌驿站阶段，小明和哥哥一起同速去离家1600米的菜鸟驿站，因为两人速度相同且方向一致，所以在这段时间内两人之间的距离始终为0，也就是说，从出发开始到到达菜鸟驿站这段时间，距离与时间的图象是一条水平线段，且距离为0；第二段，小明返回，哥哥寄包裹阶段，小明取完包裹后随即原路原速度返回，而哥哥花了8分钟寄出一个包裹，在这8分钟内，小明在往家的方向移动，哥哥原地不动，所以两人之间的距离会随着时间的增加而增大，因此， 图象会从距离为0开始，随着时间的推移，距离逐渐增加；第三段，哥哥开始返回阶段，哥哥寄完包裹后开始原路原速度返回，此时， 小明已经在返回的路上，两人速度相同且方向相同，所以两人之间的距离保持不变，图象会在这段时间内保持水平状态；第四段，小明到达家阶段，当小明到达家时，两人的距离会随时间的增大而减小，因为哥哥还在往家走，两人之间的距离逐渐缩短，直到哥哥也回到家，两人距离为0，图象会从两人距离不变的水平状态开始， 随着小明到达家，距离逐渐减小，综上即可判断得出答案.
8．（2024八下·游仙期末）如图，在中，，分别是和的平分线，，分别与相交于点，，，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴．
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可得，由等角对等边可得，同理可得，由线段的和差DE=AD-AE求出的值，同理由线段的和差EF=DF-DE即可求解．
9．（2024八下·游仙期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，根据图象可知，不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由题意可知：直线与直线相交于，
结合函数图象可知当时，
直线的图象位于直线图象的上方，
即关于的不等式的解集为：．
故答案为：A．
【分析】根据图象可知两直线的交点P的坐标，由图可知，不等式的解集就是直线的图象高于直线图象所对应的x的取值范围，结合交点坐标即可求解．
10．（2024八下·游仙期末）如图，是年月在北京召开的第届国际数学家大会会标，创作的灵感来源于我国三国时代东吴数学家赵爽所注的著作《周髀算经》中的一个数学知识，这个数学知识是（　　）
A．黄金分割 B．完全平方公式
C．平方差公式 D．勾股定理
【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：，
整理得：，
即直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和，
故答案为：D．
【分析】如图，对直角三角形的三边进行标注，根据边长为c的大正方形的面积=4个全等的两个直角边长分别为a和b的直角三角形的面积+边长为(b-a)的小正方形的面积，列出式子，进而化简整理即可得出答案.
11．（2024八下·游仙期末）一组数据为5,6，7，8，10，10,某同学在抄题时，误把其中一个10抄成了100，那么该同学所抄的数据和原数据相比，不变的统计量是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，在不抄错的情况下，中位数是7.5，
当把把其中一个10抄成了100，把这些数排列后，中位数还是7.5，
平均数、方差和众数都有变化，所以计算结果不受影响的是中位数；
故答案为：A．
【分析】根据中位数、平均数、方差和众数的定义解答可得．
12．（2024八下·游仙期末）已知正方形的对角线长为2，则此正方形的边长为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠D=90°，
在Rt△ADC中，
∵AD2+CD2=AC2，即2CD2=AC2，
∴CD2=2，
解得：CD=
，（ CD=-
舍去），
所以该正方形的边长为
，
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质，利用勾股定理可得正方形的边长。
13．（2024八下·游仙期末）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数2x﹣6≥0，解得x≥3；
根据分式有意义的条件，2x﹣6≠0，解得x≠3．
所以x＞3．
故填：x＞3．
【分析】根据二次根式有意义的条件（二次根式的被开方数x是非负数）以及分式有意义的条件，可求解x的取值范围，进而可求解．
14．（2024八下·游仙期末）重庆9月5日到10日的最高气温的折线统计图如图所示，则这六天的最高气温的中位数是　 　
【答案】29
【知识点】折线统计图；中位数
【解析】【解答】解：根据6天的最高气温折线统计图，
将这6天的最高气温按从小到大排列为：
25，28，28，30，31，32，
故中位数为
故答案为：29．
【分析】将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果这组数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义并结合题意即可求解.
15．（2024八下·游仙期末）若一次函数的图象向上平移2个单位长度后经过点，则　 　．
【答案】3
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意得，一次函数的图象向上平移2个单位长度后解析式为，
即，
∵平移后的图象过点，
∴，
故答案为：3．
【分析】先根据一次函数图象的平移规律“上加下减”写出平移后的一次函数解析式，根据一次函数图象上点的坐标特点将点（1，t）代入平移后的函数解析式求解即可．
16．（2024八下·游仙期末）如图，四边形为菱形，点，菱形的对角线相交于点E，连接，则的长是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，
，
∵菱形的对角线相交于点E，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∵菱形的对角线相交于点E，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】在中，用勾股定理可求得AD的值，根据菱形的性质“菱形的各边相等”可得，，由线段的和差OC=CD-OD求出OC的值，在中，用勾股定理可求得AC的值，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
17．（2024八下·游仙期末）一船向东航行，上午9：00到达一座灯塔P的西南68 n mine的M处，上午11：00到达这座灯塔的正南的N处，则船的航行速度为　 　（结果保留根号）；
【答案】n mine/h
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题意，∠M=45°，则在Rt△PNM中，PM=68n mine，
，即，
∴MN=，
∴（n mine/h）．
故答案为：n mine/h．
【分析】△PMN是等腰直角三角形，在△PMN已知MP的长，由∠M的余弦函数及特殊锐角三角函数值即可求得MN的长，进而根据路程除以时间等于速度即可求得这只船航行的速度．
18．（2024八下·游仙期末）如图，是一钝角三角形，，现以为斜边向外作等腰直角三角形，点D为边中点，连接，若，则　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图：分别取中点，连接，
在中，是边上的中点，
∴，即，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵等腰和等腰，
∴，
又∵
，
∴，
在△NPD和△DQM中
∴，
∴，
∴，
在中，设，则，
∴，
∴在中，，
∴，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴．
故答案为：．
【分析】如图：分别取中点，连接，由三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且平行于第三边的一半”可得PD∥BC，PD=BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得；结合已知，用边角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，于是可得为等腰直角三角形，然后用勾股定理即可求解．
19．（2024八下·游仙期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的和谐二次根式．
（1）若与是关于的和谐二次根式，求；
（2）若与是关于的和谐二次根式，求的值．
【答案】（1）解：由题意可得，，
∴；
（2）解：由题意可得，，
整理得，，
∴．
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】（）根据和谐二次根式的定义即可求解；
（）同理可求解.
（1）解：由题意可得，，
∴；
（2）解：由题意可得，，
整理得，，
∴．
20．（2024八下·游仙期末）在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人射击成绩的平均数均是8.9环，方差分别是，，则甲、乙两人在这次射击训练中成绩更稳定的是哪个人？
【答案】解：∵＞，
∴关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定是乙．
【知识点】方差
【解析】【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的定义并结合题意即可求解．
21．（2024八下·游仙期末）已知四边形中，．连接，过点C作的垂线交于点E，连接．
（1）如图1，若，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，连接，设相交于点F，垂直平分线段，求的大小．
【答案】（1）证明：设与交于点O，
∵，
∴，
∵，
∴，
在△DOE和△BOC中
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：∵垂直平分线段，
∴且，
∴，
又∵且，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）由平行线的性质可得∠DEO=∠BCO，结合已知，用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求解；
（2）由垂直平分线段可得，由题意易得垂直平分，根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”并结合等边对等角可得，然后根据平角的性质即可求解．
（1）证明：设与交于点O，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：∵垂直平分线段，
∴且，
∴，
又∵且，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
22．（2024八下·游仙期末）一列快车、一列慢车同时从相距的甲、乙两地出发，相向而行．如图，、分别表示两车到甲地的距离与行驶时间的关系．
（1）直接写出快车和慢车的速度；
（2）求经过多长时间两车第一次相遇？
（3）当快车到达目的地时，求慢车距离甲地多远？
【答案】（1）解：快车的速度为，慢车的速度为；
（2）解：
答：经过两车第一次相遇；
（3）解：300-30×=100km，
答：当快车到达目的地时，慢车距离甲地．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】 【解答】解：快车的速度为，慢车的速度为，
故答案为：45，30；
【分析】（1）从图象可得快车小时行驶300km，慢车10小时行驶300km，然后根据路程除以时间等于速度，列式计算即可；
（2）用总路程除以快车与慢车的速度和即可得两车第一次相遇时间；
（3）用甲乙两地之间的距离减去慢车已经行驶的距离即可得出慢车距离甲地的距离.
23．（2024八下·游仙期末）如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接AC，OA＝4，OA＝2OC．
（1）根据题意，写出点A的坐标　　，点C的坐标　　；
（2）将纸片OABC沿EF折叠，使点A落在点C的位置，求CE所在直线的表达式　　．
【答案】（1）（4，0），（0，2）
（2）y＝﹣x+2
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）∵OA＝4，OA＝2OC．
∴OC＝2，
∴A（4，0），C（0，2）；
故答案为：（4，0），（0，2）；
（2）由折叠知：AE＝CE，
设CE＝AE＝x，则OE＝4﹣x，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
，
解得x＝，
∴OE＝4﹣＝，
∴E（，0），
设直线CE的函数解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线CE的函数解析式为y＝﹣x+2．
故答案为：y＝﹣x+2．
【分析】
（1）由OA＝4，OA＝2OC，求出OC的值，即可得点A、C的坐标；
（2）由折叠的性质可得AE＝CE，设CE＝AE＝x，则OE＝4﹣x，在Rt△OCE中，由勾股定理列关于x的方程，解方程可得AE的长，由线段的和差OE=OA-AE求出OE的值，从而可得点E的坐标，然后用待定系数法求函数解析式即可．
（1）解：∵OA＝4，OA＝2OC．
∴OC＝2，
∴A（4，0），C（0，2）；
故答案为：（4，0），（0，2）；
（2）解：由折叠知：AE＝CE，
设CE＝AE＝x，则OE＝4﹣x，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
，
解得x＝，
∴OE＝4﹣＝，
∴E（，0），
设直线CE的函数解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线CE的函数解析式为y＝﹣x+2．
故答案为：y＝﹣x+2．
24．（2024八下·游仙期末）【问题探究】
数学实践小组的同学利用一张宽的矩形纸片进行了如下的操作写探究：
第一步：如图1，将该矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，使点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平．
（1）【问题解决】
如图1，填空：四边形的形状是__________．
（2）如图2，小明连接了，E两点，发现线段写是相等的．
①请帮助小明写出证明过程；
②如图2，若，求的值．
（3）【问题延伸】如图3，若该矩形纸片的长，点Q在边上，且，P是边上的动点（不与点A，B重合）．现将纸片沿折叠，使点B，C分别落在点，处．在点P从点A向点B运动的过程中，若边与边交于点E，则点E相应运动的路径长为__________．
【答案】（1）正方形
（2）①证明：连接EC、，则由翻折的对称性可知EC=，
又由（1）可知AE=AD=BC，
∴Rt△≌Rt△BCE，
∴=BE．
在Rt△和Rt△中，
∴（AAS），
∴．
②解：∵，
∴，
Rt△中，设AM=x，则，
解得．
Rt△和Rt△中，
∵，
∴．
∴Rt△∽Rt△．
∴．
解得．
而，
∴．
（3）
【知识点】轴对称的性质；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）依题意，，
∴四边形是矩形． 又，
∴四边形是正方形．
故答案为：正方形．
（3）解：如图，连接，
∵边与边CD交于点E，
∴∠BQP=≥∠EQP．
故∠EQP≤∠EQB．
当P在点A处时，由对折可得
由可得
QE=，
当P移动到AP=2时，如图，同理可得：点E向右移动到QE=2，
当P移动到∠EQP=∠EQB时，点E又向左移动到QE=QB=
当P继续移动时，边与边CD不相交，不合题意．
故点E移动的路径长为．
故答案为：．
【分析】
（1）由题意，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形AEA D是矩形，由翻折可知，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得矩形是正方形；
（2）①由题目中的等量关系， 用角角边可证．然后由全等三角形的对应边相等可求解；
②设AM=x，在Rt△AMC 中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值；由题意，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得Rt△AC M∽Rt△DFC ，于是可得比例式，由比例式求出DF的值，根据DN：EN与面积比之间的关系计算三角形的面积即可；
（3）根据题意，动点E随着P的移动先从左往右，再从右往左，计算几个零界点时QE的长度即可求解．
（1）解：依题意，，
∴四边形是矩形． 又，
∴四边形是正方形．
故答案为：正方形．
（2）①证明：连接EC、，则由翻折的对称性可知EC=，
又由（1）可知AE=AD=BC，
∴Rt△≌Rt△BCE，
∴=BE．
在Rt△和Rt△中，又由∠A=，=，
∴，
∴．
②解：∵，
∴，
Rt△中，设AM=x，则，
解得．
Rt△和Rt△中，
∵，
∴．
∴Rt△∽Rt△．
∴．
解得．
而，
∴．
（3）（3）解：如图，连接，
∵边与边CD交于点E，
∴∠BQP=≥∠EQP．
故∠EQP≤∠EQB．
当P在点A处时，由对折可得
由可得
QE=，
当P移动到AP=2时，如图，同理可得：点E向右移动到QE=2，
当P移动到∠EQP=∠EQB时，点E又向左移动到QE=QB=
当P继续移动时，边与边CD不相交，不合题意．
故点E移动的路径长为．
故答案为：．
1 / 1四川省绵阳市游仙区2023-2024学年八年级下学期6月期末数学试题
1．（2024八下·游仙期末）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则常数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·游仙期末）12月4日为国家宪法日，某校开展“宪法进校园”法律知识竞赛，满分为10分，九年级1班10位学生的成绩如下（单位：分）：7、9、7、9、7、9、10、8、9，则这10位学生竞赛成绩的众数是（　　）
A．4分 B．7分 C．9分 D．10分
3．（2024八下·游仙期末）关于一次函数，下列结论正确的是（　　）
A．图象过点
B．其图象可由的图象向上平移3个单位长度得到
C．随的增大而增大
D．图象经过一、二、三象限
4．（2024八下·游仙期末）二次根式的除法则成立的条件是（　　）
A．， B．， C．， D．，
5．（2024八下·游仙期末）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（　　）
A．1，3，5 B．，，1 C．，2，3 D．6，8，9
6．（2024八下·游仙期末）工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这样做的道理是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是矩形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
7．（2024八下·游仙期末）小明和哥哥一起同速去离家1600米的菜鸟驿站，小明取完包裹后随即原路原速度返回，哥哥花了8分钟寄出一个包裹后原路原速度返回，下面的图象表示小明和哥哥之间的距离与时间之间的关系，其中较合理的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（2024八下·游仙期末）如图，在中，，分别是和的平分线，，分别与相交于点，，，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024八下·游仙期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，根据图象可知，不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·游仙期末）如图，是年月在北京召开的第届国际数学家大会会标，创作的灵感来源于我国三国时代东吴数学家赵爽所注的著作《周髀算经》中的一个数学知识，这个数学知识是（　　）
A．黄金分割 B．完全平方公式
C．平方差公式 D．勾股定理
11．（2024八下·游仙期末）一组数据为5,6，7，8，10，10,某同学在抄题时，误把其中一个10抄成了100，那么该同学所抄的数据和原数据相比，不变的统计量是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数
12．（2024八下·游仙期末）已知正方形的对角线长为2，则此正方形的边长为（　　）
A． B．2 C． D．
13．（2024八下·游仙期末）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
14．（2024八下·游仙期末）重庆9月5日到10日的最高气温的折线统计图如图所示，则这六天的最高气温的中位数是　 　
15．（2024八下·游仙期末）若一次函数的图象向上平移2个单位长度后经过点，则　 　．
16．（2024八下·游仙期末）如图，四边形为菱形，点，菱形的对角线相交于点E，连接，则的长是　 　．
17．（2024八下·游仙期末）一船向东航行，上午9：00到达一座灯塔P的西南68 n mine的M处，上午11：00到达这座灯塔的正南的N处，则船的航行速度为　 　（结果保留根号）；
18．（2024八下·游仙期末）如图，是一钝角三角形，，现以为斜边向外作等腰直角三角形，点D为边中点，连接，若，则　 　．
19．（2024八下·游仙期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的和谐二次根式．
（1）若与是关于的和谐二次根式，求；
（2）若与是关于的和谐二次根式，求的值．
20．（2024八下·游仙期末）在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人射击成绩的平均数均是8.9环，方差分别是，，则甲、乙两人在这次射击训练中成绩更稳定的是哪个人？
21．（2024八下·游仙期末）已知四边形中，．连接，过点C作的垂线交于点E，连接．
（1）如图1，若，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，连接，设相交于点F，垂直平分线段，求的大小．
22．（2024八下·游仙期末）一列快车、一列慢车同时从相距的甲、乙两地出发，相向而行．如图，、分别表示两车到甲地的距离与行驶时间的关系．
（1）直接写出快车和慢车的速度；
（2）求经过多长时间两车第一次相遇？
（3）当快车到达目的地时，求慢车距离甲地多远？
23．（2024八下·游仙期末）如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接AC，OA＝4，OA＝2OC．
（1）根据题意，写出点A的坐标　　，点C的坐标　　；
（2）将纸片OABC沿EF折叠，使点A落在点C的位置，求CE所在直线的表达式　　．
24．（2024八下·游仙期末）【问题探究】
数学实践小组的同学利用一张宽的矩形纸片进行了如下的操作写探究：
第一步：如图1，将该矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，使点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平．
（1）【问题解决】
如图1，填空：四边形的形状是__________．
（2）如图2，小明连接了，E两点，发现线段写是相等的．
①请帮助小明写出证明过程；
②如图2，若，求的值．
（3）【问题延伸】如图3，若该矩形纸片的长，点Q在边上，且，P是边上的动点（不与点A，B重合）．现将纸片沿折叠，使点B，C分别落在点，处．在点P从点A向点B运动的过程中，若边与边交于点E，则点E相应运动的路径长为__________．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
2．【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：7、9、7、9、7、9、10、8、9，
出现的次数最多，
这10位学生竞赛成绩的众数是9分．
故答案为：C.
【分析】根据众数的定义"一组数据中出现次数最多的数据叫做众数”并结合题意即可求解．
3．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：对于一次函数，
A.当时，，因此图象不经过点，A错误；
B.的图象向上平移3个单位长度得到的图象，B正确；
C.，因此随的增大而减小，C错误；
D.图象经过一、二、四象限，D错误；
故选B．
【分析】本题考查一次函数的图象和性质.将点代入函数解析式，可判断A选项；根据函数平移的规律：“左加，右减；上加，下减.”求出平移后解析式可判断B选项；根据函数解析式可得：，可得直线下降，据此可判断C选项；根据一次函数的图象特征可判断D选项.
4．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式的除法则成立，
∴，．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，以及分式的分母不为确定出所求即可．
5．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵1+3＜5，
∴A不可以组成三角形，不符合题意；
∴B可以组成直角三角形，符合题意；
故答案为：B
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可
6．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵两组对边的长度分别相等，AD=BC，AB=DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵测量它们的两条对角线相等，AC=BD，
∴平行四边形ABCD为矩形．
故选择D．
【分析】利用矩形的判定方法求解即可。
7．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：当两人同时去菜鸟驿站时，小明和哥哥之间的距离为0；
当哥哥寄包裹，小明取完包裹原路返回时，小明和哥哥之间的距离逐渐增加；
当哥哥寄出包裹后原路返回时且小明到家之前，小明和哥哥之间的距离保持不变；
当哥哥原路返回时且小明到家之后，小明和哥哥之间的距离逐渐变小，直到为零，
所以符合这一过程的函数图象为：
故答案为：D．
【分析】此函数图象应该分为4段，第一段，两人一同前往菜乌驿站阶段，小明和哥哥一起同速去离家1600米的菜鸟驿站，因为两人速度相同且方向一致，所以在这段时间内两人之间的距离始终为0，也就是说，从出发开始到到达菜鸟驿站这段时间，距离与时间的图象是一条水平线段，且距离为0；第二段，小明返回，哥哥寄包裹阶段，小明取完包裹后随即原路原速度返回，而哥哥花了8分钟寄出一个包裹，在这8分钟内，小明在往家的方向移动，哥哥原地不动，所以两人之间的距离会随着时间的增加而增大，因此， 图象会从距离为0开始，随着时间的推移，距离逐渐增加；第三段，哥哥开始返回阶段，哥哥寄完包裹后开始原路原速度返回，此时， 小明已经在返回的路上，两人速度相同且方向相同，所以两人之间的距离保持不变，图象会在这段时间内保持水平状态；第四段，小明到达家阶段，当小明到达家时，两人的距离会随时间的增大而减小，因为哥哥还在往家走，两人之间的距离逐渐缩短，直到哥哥也回到家，两人距离为0，图象会从两人距离不变的水平状态开始， 随着小明到达家，距离逐渐减小，综上即可判断得出答案.
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴．
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可得，由等角对等边可得，同理可得，由线段的和差DE=AD-AE求出的值，同理由线段的和差EF=DF-DE即可求解．
9．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由题意可知：直线与直线相交于，
结合函数图象可知当时，
直线的图象位于直线图象的上方，
即关于的不等式的解集为：．
故答案为：A．
【分析】根据图象可知两直线的交点P的坐标，由图可知，不等式的解集就是直线的图象高于直线图象所对应的x的取值范围，结合交点坐标即可求解．
10．【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：，
整理得：，
即直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和，
故答案为：D．
【分析】如图，对直角三角形的三边进行标注，根据边长为c的大正方形的面积=4个全等的两个直角边长分别为a和b的直角三角形的面积+边长为(b-a)的小正方形的面积，列出式子，进而化简整理即可得出答案.
11．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，在不抄错的情况下，中位数是7.5，
当把把其中一个10抄成了100，把这些数排列后，中位数还是7.5，
平均数、方差和众数都有变化，所以计算结果不受影响的是中位数；
故答案为：A．
【分析】根据中位数、平均数、方差和众数的定义解答可得．
12．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠D=90°，
在Rt△ADC中，
∵AD2+CD2=AC2，即2CD2=AC2，
∴CD2=2，
解得：CD=
，（ CD=-
舍去），
所以该正方形的边长为
，
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质，利用勾股定理可得正方形的边长。
13．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数2x﹣6≥0，解得x≥3；
根据分式有意义的条件，2x﹣6≠0，解得x≠3．
所以x＞3．
故填：x＞3．
【分析】根据二次根式有意义的条件（二次根式的被开方数x是非负数）以及分式有意义的条件，可求解x的取值范围，进而可求解．
14．【答案】29
【知识点】折线统计图；中位数
【解析】【解答】解：根据6天的最高气温折线统计图，
将这6天的最高气温按从小到大排列为：
25，28，28，30，31，32，
故中位数为
故答案为：29．
【分析】将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果这组数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义并结合题意即可求解.
15．【答案】3
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意得，一次函数的图象向上平移2个单位长度后解析式为，
即，
∵平移后的图象过点，
∴，
故答案为：3．
【分析】先根据一次函数图象的平移规律“上加下减”写出平移后的一次函数解析式，根据一次函数图象上点的坐标特点将点（1，t）代入平移后的函数解析式求解即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，
，
∵菱形的对角线相交于点E，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∵菱形的对角线相交于点E，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】在中，用勾股定理可求得AD的值，根据菱形的性质“菱形的各边相等”可得，，由线段的和差OC=CD-OD求出OC的值，在中，用勾股定理可求得AC的值，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
17．【答案】n mine/h
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题意，∠M=45°，则在Rt△PNM中，PM=68n mine，
，即，
∴MN=，
∴（n mine/h）．
故答案为：n mine/h．
【分析】△PMN是等腰直角三角形，在△PMN已知MP的长，由∠M的余弦函数及特殊锐角三角函数值即可求得MN的长，进而根据路程除以时间等于速度即可求得这只船航行的速度．
18．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图：分别取中点，连接，
在中，是边上的中点，
∴，即，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵等腰和等腰，
∴，
又∵
，
∴，
在△NPD和△DQM中
∴，
∴，
∴，
在中，设，则，
∴，
∴在中，，
∴，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴．
故答案为：．
【分析】如图：分别取中点，连接，由三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且平行于第三边的一半”可得PD∥BC，PD=BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得；结合已知，用边角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，于是可得为等腰直角三角形，然后用勾股定理即可求解．
19．【答案】（1）解：由题意可得，，
∴；
（2）解：由题意可得，，
整理得，，
∴．
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】（）根据和谐二次根式的定义即可求解；
（）同理可求解.
（1）解：由题意可得，，
∴；
（2）解：由题意可得，，
整理得，，
∴．
20．【答案】解：∵＞，
∴关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定是乙．
【知识点】方差
【解析】【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的定义并结合题意即可求解．
21．【答案】（1）证明：设与交于点O，
∵，
∴，
∵，
∴，
在△DOE和△BOC中
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：∵垂直平分线段，
∴且，
∴，
又∵且，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）由平行线的性质可得∠DEO=∠BCO，结合已知，用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求解；
（2）由垂直平分线段可得，由题意易得垂直平分，根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”并结合等边对等角可得，然后根据平角的性质即可求解．
（1）证明：设与交于点O，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：∵垂直平分线段，
∴且，
∴，
又∵且，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
22．【答案】（1）解：快车的速度为，慢车的速度为；
（2）解：
答：经过两车第一次相遇；
（3）解：300-30×=100km，
答：当快车到达目的地时，慢车距离甲地．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】 【解答】解：快车的速度为，慢车的速度为，
故答案为：45，30；
【分析】（1）从图象可得快车小时行驶300km，慢车10小时行驶300km，然后根据路程除以时间等于速度，列式计算即可；
（2）用总路程除以快车与慢车的速度和即可得两车第一次相遇时间；
（3）用甲乙两地之间的距离减去慢车已经行驶的距离即可得出慢车距离甲地的距离.
23．【答案】（1）（4，0），（0，2）
（2）y＝﹣x+2
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）∵OA＝4，OA＝2OC．
∴OC＝2，
∴A（4，0），C（0，2）；
故答案为：（4，0），（0，2）；
（2）由折叠知：AE＝CE，
设CE＝AE＝x，则OE＝4﹣x，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
，
解得x＝，
∴OE＝4﹣＝，
∴E（，0），
设直线CE的函数解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线CE的函数解析式为y＝﹣x+2．
故答案为：y＝﹣x+2．
【分析】
（1）由OA＝4，OA＝2OC，求出OC的值，即可得点A、C的坐标；
（2）由折叠的性质可得AE＝CE，设CE＝AE＝x，则OE＝4﹣x，在Rt△OCE中，由勾股定理列关于x的方程，解方程可得AE的长，由线段的和差OE=OA-AE求出OE的值，从而可得点E的坐标，然后用待定系数法求函数解析式即可．
（1）解：∵OA＝4，OA＝2OC．
∴OC＝2，
∴A（4，0），C（0，2）；
故答案为：（4，0），（0，2）；
（2）解：由折叠知：AE＝CE，
设CE＝AE＝x，则OE＝4﹣x，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
，
解得x＝，
∴OE＝4﹣＝，
∴E（，0），
设直线CE的函数解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线CE的函数解析式为y＝﹣x+2．
故答案为：y＝﹣x+2．
24．【答案】（1）正方形
（2）①证明：连接EC、，则由翻折的对称性可知EC=，
又由（1）可知AE=AD=BC，
∴Rt△≌Rt△BCE，
∴=BE．
在Rt△和Rt△中，
∴（AAS），
∴．
②解：∵，
∴，
Rt△中，设AM=x，则，
解得．
Rt△和Rt△中，
∵，
∴．
∴Rt△∽Rt△．
∴．
解得．
而，
∴．
（3）
【知识点】轴对称的性质；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）依题意，，
∴四边形是矩形． 又，
∴四边形是正方形．
故答案为：正方形．
（3）解：如图，连接，
∵边与边CD交于点E，
∴∠BQP=≥∠EQP．
故∠EQP≤∠EQB．
当P在点A处时，由对折可得
由可得
QE=，
当P移动到AP=2时，如图，同理可得：点E向右移动到QE=2，
当P移动到∠EQP=∠EQB时，点E又向左移动到QE=QB=
当P继续移动时，边与边CD不相交，不合题意．
故点E移动的路径长为．
故答案为：．
【分析】
（1）由题意，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形AEA D是矩形，由翻折可知，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得矩形是正方形；
（2）①由题目中的等量关系， 用角角边可证．然后由全等三角形的对应边相等可求解；
②设AM=x，在Rt△AMC 中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值；由题意，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得Rt△AC M∽Rt△DFC ，于是可得比例式，由比例式求出DF的值，根据DN：EN与面积比之间的关系计算三角形的面积即可；
（3）根据题意，动点E随着P的移动先从左往右，再从右往左，计算几个零界点时QE的长度即可求解．
（1）解：依题意，，
∴四边形是矩形． 又，
∴四边形是正方形．
故答案为：正方形．
（2）①证明：连接EC、，则由翻折的对称性可知EC=，
又由（1）可知AE=AD=BC，
∴Rt△≌Rt△BCE，
∴=BE．
在Rt△和Rt△中，又由∠A=，=，
∴，
∴．
②解：∵，
∴，
Rt△中，设AM=x，则，
解得．
Rt△和Rt△中，
∵，
∴．
∴Rt△∽Rt△．
∴．
解得．
而，
∴．
（3）（3）解：如图，连接，
∵边与边CD交于点E，
∴∠BQP=≥∠EQP．
故∠EQP≤∠EQB．
当P在点A处时，由对折可得
由可得
QE=，
当P移动到AP=2时，如图，同理可得：点E向右移动到QE=2，
当P移动到∠EQP=∠EQB时，点E又向左移动到QE=QB=
当P继续移动时，边与边CD不相交，不合题意．
故点E移动的路径长为．
故答案为：．
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