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浙江省台州市椒江区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·椒江期末）下列选项中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·椒江期末）以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7
3．（2024八下·椒江期末）某班男生引体向上测试成绩如下表，则该班男生引体向上成绩的众数为（　　）
成绩/分 6 7 8 9 10
人数 2 4 9 5 3
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2024八下·椒江期末）将直线向上平移1个单位长度得到的直线是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·椒江期末）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是矩形；③它是正方形．下列推理过程正确的是（　　）
A．由①推出②，由②推出③ B．由②推出①，由②推出③
C．由①推出②，由③推出② D．由②推出①，由③推出②
6．（2024八下·椒江期末）若，，则可以表示为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·椒江期末）如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为1.5米，梯子顶端到地面距离为2米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离为2.4米，则小巷的宽度为（　　）
A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
8．（2024八下·椒江期末）一次函数的图象经过第一、二、四象限，且经过点，则下列关系式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·椒江期末）如图，在 中，，将平行四边形分割成①②③④四个平行四边形，其中平行四边形④为菱形．若平行四边形①的周长为12，平行四边形②与③的面积之和为10，则菱形④的边长为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·椒江期末）已知点，是一次函数图象上两点，且满足，若，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·椒江期末） 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2024八下·椒江期末）在中，若，则　 　．
13．（2024八下·椒江期末）为比较甲、乙两种小麦秧苗的整齐情况，随机抽取甲、乙两种秧苗各株，分别量出每株秧苗的长度，发现：，，，，则　 　（填“甲”或“乙”）种秧苗更整齐．
14．（2024八下·椒江期末）如图，在 中，，，若平分交于点，则　 　．
15．（2024八下·椒江期末）如图1，一个圆柱体铁块放置在圆柱体水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，32秒时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．如果将圆柱体铁块取出，再经过　 　秒恰好将水槽注满．
16．（2024八下·椒江期末）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的弦图，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．作的平分线交于点，的平分线交于点，若点，，在同一直线上，则的值为　 　．
17．（2024八下·椒江期末）计算：
（1）
（2）
18．（2024八下·椒江期末）如图，由10个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知大矩形的宽为12，的顶点均在格点上．
（1）小矩形的长为______，宽为______；
（2）求证：为直角三角形．
19．（2024八下·椒江期末）如图，在中，对角线，延长至点，使得，连接．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）连接，若，，求的长．
20．（2024八下·椒江期末）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式：______；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
21．（2024八下·椒江期末）学习了弹力及弹簧测力计的相关知识后，小明知道在弹性限度内，弹簧的长度与它受到的拉力成一次函数关系．小明想进一步探究“某个弹簧的长度与它所受到的拉力之间的关系”，他通过悬挂不同质量的物体，分别测量对应的弹簧长度．实验中，他收集到了如下数据：
弹簧受到的拉力 0 1 2 3 … 10
弹簧的长度 2 … 16
（1）根据表格数据，求出弹簧的长度关于它所受到的拉力的函数解析式；
（2）小明第一次悬挂物体的拉力读数为，记录对应的弹簧长度为，第二次悬挂物体的拉力读数为，记录对应的弹簧长度为．若，求的值．
22．（2024八下·椒江期末）某校为迎接椒江区初中数学学生“微说题”比赛，在校内进行了选拔赛，参加选拔的20位学生分A，B两组，成绩如下：
A组：82，82，84，85，87，88，91，92，93，96；
B组：82，84，84，84，86，87，89，91，95，98．
数据分析如下表：
组别 平均数 中位数 众数 优秀率（大于90分为优秀）
A组 88 87.5 82
B组 88 84 30%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）______，______；
（2）B组的小明说：“我的成绩是87分，在B组属于中上水平，那么我的成绩在A组肯定也属于中上水平！”你同意小明的说法吗？请说明理由；
（3）选择适当的统计量，分析哪一组学生成绩更好？
23．（2024八下·椒江期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，为线段上的动点，连接，作点关于线段的对称点，连接，．
（1）求，两点的坐标；
（2）如图2，当点落在直线上时，求点的坐标；
（3）如图3，作点关于轴的对称点，连接，为的中点，连接，求线段的最小值．
24．（2024八下·椒江期末）如图1，在矩形中，，，点从点出发沿方向运动，运动到点停止，同时，点从点出发沿方向运动，运动到点停止，点，的速度均为．设点，运动的时间为．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）当为何值时，平行四边形为菱形？
（3）如图2，连接，，分别交，于点，．随着点，的运动，请回答下列问题：
①当______时，取得最大值，此时四边形为______（填“邻边不等的矩形”，“内角不为的菱形”，“正方形”）；
②如图3，连接，，的值是否有变化？若不变，求出相应的值，若改变，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故A符合题意；
B、，不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母中不含根号，这样的二次根式叫做最简二次根式，逐项进行判断即可.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： 不能构成直角三角形，故A选项错误；
可以构成直角三角形，故B选项正确；
不能构成直角三角形，故C选项错误；
不能构成直角三角形，故D选项错误；
故答案为：B.
【分析】若一个三角形的三边满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，据此判断.
3．【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵成绩为6，7，8，9，10分的人数分别为2，4，9，5，3人，
∴成绩为8分的人数最多，
∴该班男生引体向上成绩的众数为8，
故答案为：C.
【分析】根据众数的定义：出现次数最多的数为众数，直接得到答案.
4．【答案】B
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将直线向上平移1个单位长度，
∴平移后的直线解析式为，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的平移变换规律：上加下减常数项，左加右减自变量，直接得到答案.
5．【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形对角线相等，互相平分且垂直，矩形的对角线相等且互相平分，
∴由②推出①，由③推出② ，
故答案为：D．
【分析】根据正方形、矩形的性质进行求解即可.
6．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：A．
【分析】结合题意化简二次根式，然后代入a，b，据此即可求解.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：∵，，，
∴在中，，
∴，
∵，，∴在中，，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理得出长，然后在中，利用勾股定理求出长，最后可求得的长．
8．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，，
∵一次函数的图象经过点，
∴，
A、∵，，
∴，故A不成立；
B、∵，
∴，
∴，故B不成立；
C、∵，
∴，故C不成立；
D、∵，
∴，故D成立；
故答案为：D.
【分析】对于一次函数，当时，图象必过一、二、三象限；当时，图像必过一、三、四象限；当时，图象必过一、二、四象限；当时，图象必过二、三、四象限，据此得，，然后将点代入函数解析式，得，接下来逐项进行判断即可.
9．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于，过点作于，
设，，，
∵四边形是平行四边形，①②③④是四个平行四边形，其中④是菱形，
∴，，，
∵平行四边形①的周长为12，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四边形②的面积为，
∵②③④是四个平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形③的面积为，
∵平行四边形②与③的面积之和为10，
∴，
整理得：，
将代入上式得：，
解得：，
∴，
∴菱形④的边长为，
故答案为：A．
【分析】过点作于，过点作于，设，，，则，，，根据平行四边形的周长得，根据得，在中，由，根据含30° 的直角三角形的性质得，利用勾股定理得，进而得平行四边形的面积，在中，由，根据含30° 的直角三角形的性质得，利用勾股定理得，进而得平行四边形的面积，根据平行四边形与的面积之和，进行整理得，最后将代入上式求出即可得菱形的边长．
10．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的性质；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
①+②，得，
解得：，
将代入②，得，
解得：，
∵点，是一次函数图象上两点，且，
∴，
∴，
解得：
故答案为：B.
【分析】先解二元一次方程组求出a，b的值，然后根据一次函数的性质：对于一次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，据此可得，最后再建立不等式解题即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 式子在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义，被开方数非负，列不等式求解即可．
12．【答案】35°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：35°．
【分析】根据平行四边形对角相等的性质求出，据此即可求出的度数．
13．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，， ，
∴甲、乙的平均数相同，，
∴甲秧苗出苗更整齐，
故答案为：甲．
【分析】根据方差的意义：方差用来衡量一组数据波动的大小，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定；方差越小，说明数据的波动越小，越稳定，据此直接得到答案.
14．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】根据平行四边形的性质得，，从而根据平行线的性质得，根据角平分线的定义得，进而进行等量代换得到，然后根据等腰三角形的判定得，最后再根据线段的和差关系即可求解.
15．【答案】8
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由函数可知，圆柱体水槽内水面的高是，圆柱体铁块的高是，
∵25-10=15cm，32-8=24s，
∴水面上升15cm所需时间为24秒，
∴注满水需要（秒），
∴40-32=8（秒），
∴如果将圆柱体铁块取出，又经过8秒恰好将水槽注满，
故答案为：8．
【分析】根据函数图象和图象中的数据，可知圆柱体水槽内水面的高以及圆柱体铁块的高，然后求出水面上升15cm所需时间为24秒，从而得注满水需要的时间，进而即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∵四个直角三角形全等，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点是中点，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，，
在中，，
∴，
∴故答案为：.
【分析】先根据正方形的性质、角平分线的定义得，于是得，，然后根据四个直角三角形全等得，从而推出，进而得，接下来利用直角三角形斜边上的中线性质得，求出，根据等腰三角形的判定得，设，则，，结合勾股定理列式，，据此即可求解.
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）将二次根式化成最简二次根式，然后再进行二次根式的加减运算；
（2）先利用平方差公式进行化简，然后进行减法运算即可.
（1）解：
；
（2）解：
18．【答案】（1）6，3；
（2）证明：根据题意，得，，，
∴，
∴，
∴为直角三角形.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）设小矩形的长为，宽为，
根据题意，得，
解得：，
∴每个小矩形的长为6，宽为3，
故答案为：6，3.
【分析】（1）设小矩形的长为，宽为，然后根据大矩形的宽为12，结合图形列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）利用勾股定理分别求出的值，然后再利用勾股定理的逆定理得证结论.
（1）解：设每个小矩形的长为，宽为，
依题意得：，
解得，
所以每个小矩形的长为，宽为；
（2）解：由题意可得：，，，
∴，
∴；
19．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
∴，
四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴，
，，
，
在和中，
，
，
.
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，然后进行等量代换得，从而证明四边形是平行四边形，进而结合求出，即可推出四边形为矩形；
（2）根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，计算出的长度，然后再证明，从而求出的长度．
（1）四边形是平行四边形
，
又
四边形是平行四边形
四边形是矩形
（2），，
，，
故答案为：4．
20．【答案】（1）；
（2）解：∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
......
∴第n个等式：（n为正整数），
证明：∵，
∴.
【知识点】二次根式的性质与化简；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1）∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
∴第4个等式：，
故答案为：.
【分析】（1）观察题目中所给的三个等式，直接得到第4个等式；
（2）根据题目所给的三个等式找到等式的规律，直接写出第n个等式，然后将等式的坐标进行化简，化简的结果等于等式右边，据此证明等式成立．
（1）解：结合以上规律容易得出第四个等式为：，
故答案为：；
（2）结合规律猜想第n个等式：
（n为正整数），
证明：左＝＝右
即
21．【答案】（1）解：根据题意，可设弹簧的长度关于它所受到的拉力的函数解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴弹簧的长度关于它所受到的拉力的函数解析式为；
（2）解：第一次悬挂物体的拉力读数为，记录对应的弹簧长度为，第二次悬挂物体的拉力读数为，记录对应的弹簧长度为，
，，
，，
，
，
.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）由（1）可知，，的值，结合，可求出的值．
（1）设，代入，
那么有，解得
（2）第一次悬挂物体的拉力读数为，记录对应的弹簧长度为，第二次悬挂物体的拉力读数为，记录对应的弹簧长度为
，
，
故答案为：．
22．【答案】（1）86.5，40%；
（2）解：不同意小明的说法，理由如下：
∵B组的中位数为86.5分，A组的中位数为87.5分，B组小明的成绩是87分，
∴小明在B组属于中上水平说法是正确的，但是在A组不属于中上水平，
∴不同意小明的说法；
（3）解：A组的总体成绩较好，理由如下：
∵A组的成绩中位数为87.5分，高于B组的中位数为86.5分，A组的成绩优秀率40%，高于B组的优秀率30%，
∴A组的总体成绩较好．
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）∵B组的成绩按从小到大进行排列为：82，84，84，84，86，87，89，91，95，98，
∴中位数，
∵A组的成绩为82，82，84，85，87，88，91，92，93，96，
∴大于90分的人数有4个，
∴优秀率，
故答案为：86.5，40%.
【分析】（1）根据中位数的定义求出a的值，然后根据A组的成绩得到大于90分的人数为4人，据此即可求出优秀率b的值；
（2）根据中位数的意义即可求解；
（3）根据中位数，优秀率进行判定即可求解．
（1）解：∵B组：82，84，84，84，86，87，89，91，95，98，
∴中位数为第5，6位同学成绩的中位数，
∵A组：82，82，84，85，87，88，91，92，93，96；（大于90分为优秀）
∴；
（2）解：∵B组的中位数为分，A组的中位数为分；
小明说：我的成绩是87分，在B组属于中上水平说法是正确的，但是在A组不属于中上水平，
∴不同意小明的说法；
（3）解：A组的总体成绩较好，理由如下，
A组的成绩中位数为分，高于B组的中位数为分，九年A组级的成绩优秀率，高于B组的优秀率，
∴A组的总体成绩较好．
23．【答案】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴当，有，当，有，
∴，；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵轴对称的性质，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，，
∵，
∴，，
∵为的中点，，
∴，
∴，
∵轴对称的性质，
∴，
∵，
∴的最小值为.
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）分别令，，据此即可求出的坐标；
（2）先求出，，然后根据轴对称的性质得，，从而求出，进而根据等腰三角形的判定，进行等量代换可设，利用勾股定理可得，最后可得关于的方程，解方程即可；
（3）作点关于轴的对称点，连接，，根据轴对称的性质以及点坐标得，，然后利用中点坐标公式得，根据坐标系中两点距离公式求出的值，接下来根据轴对称的性质得，最后结合即可求出 线段的最小值．
（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴当，则，当，则，
∴，；
（2）解：∵，；
∴，，
由轴对称的性质可得：，，
∴，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：∵作点关于轴的对称点，连接，为的中点，
∴，而，
∴，
如图，连接，
∵，
∴，
由对折可得：，
∵，
∴的最小值为；
24．【答案】（1）证明：根据题意，得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：由（1）得四边形为平行四边形，
∴时，平行四边形为菱形，
∵在矩形中，，，
∴，，，
∴，
∴，
解得：，
∴当时，平行四边形为菱形；
（3）解：①∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
同理可得，
∴，
∴当时，取得最大值，、分别是、的中点，
∴易得，
∵，是中点，
∴是的中位线，
∴，
同理可得：，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，，，
∴不可能是直角，
∴当时，取得最大值，此时四边形为内角不为的菱形；
故答案为：5，内角不为的菱形；
② 解：的值没有变化，，理由如下：
设边上的高为，边上的高为，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点G到的距离为，
∵，
∴，
∴，
∴的值没有变化，．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据题意求出，然后由矩形的性质得，即可得证结论；
（2）根据菱形的判定可知时，平行四边形为菱形，然后根据矩形的性质求出，，，再利用勾股定理建立方程即可求解；
（3）①证明四边形是平行四边形，从而推出是平行四边形，然后求出，根据相似三角形的判定得
，根据相似的性质得，于是得和，再建立函数模型，据此求面积的最大值，最后求证四边形为内角不为的菱形；
②设边上的高为，边上的高为，证，得，，从而得即可求解．
（1）证明：∵在矩形中，
∴，
∵点，同时运动，且速度均为，点，运动的时间为，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解；由（）得四边形为平行四边形，
∴时，平行四边形为菱形，
∵在矩形中，
∴，
∴，
即，
解得，
∴当时，平行四边形为菱形；
（3）解：①∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
同理可得，
，
∴当时，取得最大值，、分别是、的中点，
∴易得，
∵，是中点，
∴是的中位线，
∴，
同理可得：，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，，，
∴不可能是直角，
∴当时，取得最大值，此时四边形 EGFH 为内角不为的菱形；
故答案为：，内角不为的菱形；
② 解：的值没有变化，
理由：设边上的高为，边上的高为，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点G到的距离为，
∵，
∴，
∴，
∴的值没有变化，．
1 / 1浙江省台州市椒江区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·椒江期末）下列选项中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，故A符合题意；
B、，不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母中不含根号，这样的二次根式叫做最简二次根式，逐项进行判断即可.
2．（2024八下·椒江期末）以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： 不能构成直角三角形，故A选项错误；
可以构成直角三角形，故B选项正确；
不能构成直角三角形，故C选项错误；
不能构成直角三角形，故D选项错误；
故答案为：B.
【分析】若一个三角形的三边满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，据此判断.
3．（2024八下·椒江期末）某班男生引体向上测试成绩如下表，则该班男生引体向上成绩的众数为（　　）
成绩/分 6 7 8 9 10
人数 2 4 9 5 3
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵成绩为6，7，8，9，10分的人数分别为2，4，9，5，3人，
∴成绩为8分的人数最多，
∴该班男生引体向上成绩的众数为8，
故答案为：C.
【分析】根据众数的定义：出现次数最多的数为众数，直接得到答案.
4．（2024八下·椒江期末）将直线向上平移1个单位长度得到的直线是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将直线向上平移1个单位长度，
∴平移后的直线解析式为，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的平移变换规律：上加下减常数项，左加右减自变量，直接得到答案.
5．（2024八下·椒江期末）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是矩形；③它是正方形．下列推理过程正确的是（　　）
A．由①推出②，由②推出③ B．由②推出①，由②推出③
C．由①推出②，由③推出② D．由②推出①，由③推出②
【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形对角线相等，互相平分且垂直，矩形的对角线相等且互相平分，
∴由②推出①，由③推出② ，
故答案为：D．
【分析】根据正方形、矩形的性质进行求解即可.
6．（2024八下·椒江期末）若，，则可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：A．
【分析】结合题意化简二次根式，然后代入a，b，据此即可求解.
7．（2024八下·椒江期末）如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为1.5米，梯子顶端到地面距离为2米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离为2.4米，则小巷的宽度为（　　）
A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：∵，，，
∴在中，，
∴，
∵，，∴在中，，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理得出长，然后在中，利用勾股定理求出长，最后可求得的长．
8．（2024八下·椒江期末）一次函数的图象经过第一、二、四象限，且经过点，则下列关系式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，，
∵一次函数的图象经过点，
∴，
A、∵，，
∴，故A不成立；
B、∵，
∴，
∴，故B不成立；
C、∵，
∴，故C不成立；
D、∵，
∴，故D成立；
故答案为：D.
【分析】对于一次函数，当时，图象必过一、二、三象限；当时，图像必过一、三、四象限；当时，图象必过一、二、四象限；当时，图象必过二、三、四象限，据此得，，然后将点代入函数解析式，得，接下来逐项进行判断即可.
9．（2024八下·椒江期末）如图，在 中，，将平行四边形分割成①②③④四个平行四边形，其中平行四边形④为菱形．若平行四边形①的周长为12，平行四边形②与③的面积之和为10，则菱形④的边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于，过点作于，
设，，，
∵四边形是平行四边形，①②③④是四个平行四边形，其中④是菱形，
∴，，，
∵平行四边形①的周长为12，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四边形②的面积为，
∵②③④是四个平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形③的面积为，
∵平行四边形②与③的面积之和为10，
∴，
整理得：，
将代入上式得：，
解得：，
∴，
∴菱形④的边长为，
故答案为：A．
【分析】过点作于，过点作于，设，，，则，，，根据平行四边形的周长得，根据得，在中，由，根据含30° 的直角三角形的性质得，利用勾股定理得，进而得平行四边形的面积，在中，由，根据含30° 的直角三角形的性质得，利用勾股定理得，进而得平行四边形的面积，根据平行四边形与的面积之和，进行整理得，最后将代入上式求出即可得菱形的边长．
10．（2024八下·椒江期末）已知点，是一次函数图象上两点，且满足，若，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的性质；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
①+②，得，
解得：，
将代入②，得，
解得：，
∵点，是一次函数图象上两点，且，
∴，
∴，
解得：
故答案为：B.
【分析】先解二元一次方程组求出a，b的值，然后根据一次函数的性质：对于一次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，据此可得，最后再建立不等式解题即可.
11．（2024八下·椒江期末） 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 式子在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义，被开方数非负，列不等式求解即可．
12．（2024八下·椒江期末）在中，若，则　 　．
【答案】35°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：35°．
【分析】根据平行四边形对角相等的性质求出，据此即可求出的度数．
13．（2024八下·椒江期末）为比较甲、乙两种小麦秧苗的整齐情况，随机抽取甲、乙两种秧苗各株，分别量出每株秧苗的长度，发现：，，，，则　 　（填“甲”或“乙”）种秧苗更整齐．
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，， ，
∴甲、乙的平均数相同，，
∴甲秧苗出苗更整齐，
故答案为：甲．
【分析】根据方差的意义：方差用来衡量一组数据波动的大小，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定；方差越小，说明数据的波动越小，越稳定，据此直接得到答案.
14．（2024八下·椒江期末）如图，在 中，，，若平分交于点，则　 　．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】根据平行四边形的性质得，，从而根据平行线的性质得，根据角平分线的定义得，进而进行等量代换得到，然后根据等腰三角形的判定得，最后再根据线段的和差关系即可求解.
15．（2024八下·椒江期末）如图1，一个圆柱体铁块放置在圆柱体水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，32秒时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．如果将圆柱体铁块取出，再经过　 　秒恰好将水槽注满．
【答案】8
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由函数可知，圆柱体水槽内水面的高是，圆柱体铁块的高是，
∵25-10=15cm，32-8=24s，
∴水面上升15cm所需时间为24秒，
∴注满水需要（秒），
∴40-32=8（秒），
∴如果将圆柱体铁块取出，又经过8秒恰好将水槽注满，
故答案为：8．
【分析】根据函数图象和图象中的数据，可知圆柱体水槽内水面的高以及圆柱体铁块的高，然后求出水面上升15cm所需时间为24秒，从而得注满水需要的时间，进而即可求出答案.
16．（2024八下·椒江期末）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的弦图，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．作的平分线交于点，的平分线交于点，若点，，在同一直线上，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∵四个直角三角形全等，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点是中点，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，，
在中，，
∴，
∴故答案为：.
【分析】先根据正方形的性质、角平分线的定义得，于是得，，然后根据四个直角三角形全等得，从而推出，进而得，接下来利用直角三角形斜边上的中线性质得，求出，根据等腰三角形的判定得，设，则，，结合勾股定理列式，，据此即可求解.
17．（2024八下·椒江期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）将二次根式化成最简二次根式，然后再进行二次根式的加减运算；
（2）先利用平方差公式进行化简，然后进行减法运算即可.
（1）解：
；
（2）解：
18．（2024八下·椒江期末）如图，由10个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知大矩形的宽为12，的顶点均在格点上．
（1）小矩形的长为______，宽为______；
（2）求证：为直角三角形．
【答案】（1）6，3；
（2）证明：根据题意，得，，，
∴，
∴，
∴为直角三角形.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）设小矩形的长为，宽为，
根据题意，得，
解得：，
∴每个小矩形的长为6，宽为3，
故答案为：6，3.
【分析】（1）设小矩形的长为，宽为，然后根据大矩形的宽为12，结合图形列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）利用勾股定理分别求出的值，然后再利用勾股定理的逆定理得证结论.
（1）解：设每个小矩形的长为，宽为，
依题意得：，
解得，
所以每个小矩形的长为，宽为；
（2）解：由题意可得：，，，
∴，
∴；
19．（2024八下·椒江期末）如图，在中，对角线，延长至点，使得，连接．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
∴，
四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴，
，，
，
在和中，
，
，
.
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，然后进行等量代换得，从而证明四边形是平行四边形，进而结合求出，即可推出四边形为矩形；
（2）根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，计算出的长度，然后再证明，从而求出的长度．
（1）四边形是平行四边形
，
又
四边形是平行四边形
四边形是矩形
（2），，
，，
故答案为：4．
20．（2024八下·椒江期末）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式：______；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【答案】（1）；
（2）解：∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
......
∴第n个等式：（n为正整数），
证明：∵，
∴.
【知识点】二次根式的性质与化简；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1）∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
∴第4个等式：，
故答案为：.
【分析】（1）观察题目中所给的三个等式，直接得到第4个等式；
（2）根据题目所给的三个等式找到等式的规律，直接写出第n个等式，然后将等式的坐标进行化简，化简的结果等于等式右边，据此证明等式成立．
（1）解：结合以上规律容易得出第四个等式为：，
故答案为：；
（2）结合规律猜想第n个等式：
（n为正整数），
证明：左＝＝右
即
21．（2024八下·椒江期末）学习了弹力及弹簧测力计的相关知识后，小明知道在弹性限度内，弹簧的长度与它受到的拉力成一次函数关系．小明想进一步探究“某个弹簧的长度与它所受到的拉力之间的关系”，他通过悬挂不同质量的物体，分别测量对应的弹簧长度．实验中，他收集到了如下数据：
弹簧受到的拉力 0 1 2 3 … 10
弹簧的长度 2 … 16
（1）根据表格数据，求出弹簧的长度关于它所受到的拉力的函数解析式；
（2）小明第一次悬挂物体的拉力读数为，记录对应的弹簧长度为，第二次悬挂物体的拉力读数为，记录对应的弹簧长度为．若，求的值．
【答案】（1）解：根据题意，可设弹簧的长度关于它所受到的拉力的函数解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴弹簧的长度关于它所受到的拉力的函数解析式为；
（2）解：第一次悬挂物体的拉力读数为，记录对应的弹簧长度为，第二次悬挂物体的拉力读数为，记录对应的弹簧长度为，
，，
，，
，
，
.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）由（1）可知，，的值，结合，可求出的值．
（1）设，代入，
那么有，解得
（2）第一次悬挂物体的拉力读数为，记录对应的弹簧长度为，第二次悬挂物体的拉力读数为，记录对应的弹簧长度为
，
，
故答案为：．
22．（2024八下·椒江期末）某校为迎接椒江区初中数学学生“微说题”比赛，在校内进行了选拔赛，参加选拔的20位学生分A，B两组，成绩如下：
A组：82，82，84，85，87，88，91，92，93，96；
B组：82，84，84，84，86，87，89，91，95，98．
数据分析如下表：
组别 平均数 中位数 众数 优秀率（大于90分为优秀）
A组 88 87.5 82
B组 88 84 30%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）______，______；
（2）B组的小明说：“我的成绩是87分，在B组属于中上水平，那么我的成绩在A组肯定也属于中上水平！”你同意小明的说法吗？请说明理由；
（3）选择适当的统计量，分析哪一组学生成绩更好？
【答案】（1）86.5，40%；
（2）解：不同意小明的说法，理由如下：
∵B组的中位数为86.5分，A组的中位数为87.5分，B组小明的成绩是87分，
∴小明在B组属于中上水平说法是正确的，但是在A组不属于中上水平，
∴不同意小明的说法；
（3）解：A组的总体成绩较好，理由如下：
∵A组的成绩中位数为87.5分，高于B组的中位数为86.5分，A组的成绩优秀率40%，高于B组的优秀率30%，
∴A组的总体成绩较好．
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）∵B组的成绩按从小到大进行排列为：82，84，84，84，86，87，89，91，95，98，
∴中位数，
∵A组的成绩为82，82，84，85，87，88，91，92，93，96，
∴大于90分的人数有4个，
∴优秀率，
故答案为：86.5，40%.
【分析】（1）根据中位数的定义求出a的值，然后根据A组的成绩得到大于90分的人数为4人，据此即可求出优秀率b的值；
（2）根据中位数的意义即可求解；
（3）根据中位数，优秀率进行判定即可求解．
（1）解：∵B组：82，84，84，84，86，87，89，91，95，98，
∴中位数为第5，6位同学成绩的中位数，
∵A组：82，82，84，85，87，88，91，92，93，96；（大于90分为优秀）
∴；
（2）解：∵B组的中位数为分，A组的中位数为分；
小明说：我的成绩是87分，在B组属于中上水平说法是正确的，但是在A组不属于中上水平，
∴不同意小明的说法；
（3）解：A组的总体成绩较好，理由如下，
A组的成绩中位数为分，高于B组的中位数为分，九年A组级的成绩优秀率，高于B组的优秀率，
∴A组的总体成绩较好．
23．（2024八下·椒江期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，为线段上的动点，连接，作点关于线段的对称点，连接，．
（1）求，两点的坐标；
（2）如图2，当点落在直线上时，求点的坐标；
（3）如图3，作点关于轴的对称点，连接，为的中点，连接，求线段的最小值．
【答案】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴当，有，当，有，
∴，；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵轴对称的性质，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，，
∵，
∴，，
∵为的中点，，
∴，
∴，
∵轴对称的性质，
∴，
∵，
∴的最小值为.
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）分别令，，据此即可求出的坐标；
（2）先求出，，然后根据轴对称的性质得，，从而求出，进而根据等腰三角形的判定，进行等量代换可设，利用勾股定理可得，最后可得关于的方程，解方程即可；
（3）作点关于轴的对称点，连接，，根据轴对称的性质以及点坐标得，，然后利用中点坐标公式得，根据坐标系中两点距离公式求出的值，接下来根据轴对称的性质得，最后结合即可求出 线段的最小值．
（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴当，则，当，则，
∴，；
（2）解：∵，；
∴，，
由轴对称的性质可得：，，
∴，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：∵作点关于轴的对称点，连接，为的中点，
∴，而，
∴，
如图，连接，
∵，
∴，
由对折可得：，
∵，
∴的最小值为；
24．（2024八下·椒江期末）如图1，在矩形中，，，点从点出发沿方向运动，运动到点停止，同时，点从点出发沿方向运动，运动到点停止，点，的速度均为．设点，运动的时间为．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）当为何值时，平行四边形为菱形？
（3）如图2，连接，，分别交，于点，．随着点，的运动，请回答下列问题：
①当______时，取得最大值，此时四边形为______（填“邻边不等的矩形”，“内角不为的菱形”，“正方形”）；
②如图3，连接，，的值是否有变化？若不变，求出相应的值，若改变，请说明理由．
【答案】（1）证明：根据题意，得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：由（1）得四边形为平行四边形，
∴时，平行四边形为菱形，
∵在矩形中，，，
∴，，，
∴，
∴，
解得：，
∴当时，平行四边形为菱形；
（3）解：①∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
同理可得，
∴，
∴当时，取得最大值，、分别是、的中点，
∴易得，
∵，是中点，
∴是的中位线，
∴，
同理可得：，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，，，
∴不可能是直角，
∴当时，取得最大值，此时四边形为内角不为的菱形；
故答案为：5，内角不为的菱形；
② 解：的值没有变化，，理由如下：
设边上的高为，边上的高为，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点G到的距离为，
∵，
∴，
∴，
∴的值没有变化，．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据题意求出，然后由矩形的性质得，即可得证结论；
（2）根据菱形的判定可知时，平行四边形为菱形，然后根据矩形的性质求出，，，再利用勾股定理建立方程即可求解；
（3）①证明四边形是平行四边形，从而推出是平行四边形，然后求出，根据相似三角形的判定得
，根据相似的性质得，于是得和，再建立函数模型，据此求面积的最大值，最后求证四边形为内角不为的菱形；
②设边上的高为，边上的高为，证，得，，从而得即可求解．
（1）证明：∵在矩形中，
∴，
∵点，同时运动，且速度均为，点，运动的时间为，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解；由（）得四边形为平行四边形，
∴时，平行四边形为菱形，
∵在矩形中，
∴，
∴，
即，
解得，
∴当时，平行四边形为菱形；
（3）解：①∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
同理可得，
，
∴当时，取得最大值，、分别是、的中点，
∴易得，
∵，是中点，
∴是的中位线，
∴，
同理可得：，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，，，
∴不可能是直角，
∴当时，取得最大值，此时四边形 EGFH 为内角不为的菱形；
故答案为：，内角不为的菱形；
② 解：的值没有变化，
理由：设边上的高为，边上的高为，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点G到的距离为，
∵，
∴，
∴，
∴的值没有变化，．
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