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苏州市2024-2025学年第二学期高二数学期末模拟卷07
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：选择性必修修第二册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　）
A． B．
C． D．
2．从3位男生、4位女生中选派4人参加座谈会，则既有男生又有女生参加的不同选派方法共有（ ）
A．120种 B．60种 C．34种 D．30种
3．若，则（ ）
A．64 B． C．16 D．
4．根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（ ）
A． B．
C． D．
5．某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及其以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一高二高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（ ）
A． B． C． D．
6．为了了解性别与视力之间的关系，一个调查机构得到列联表如图，则当取下面何值时，性别与视力无关的可能性最大（ ）
男 女
近视 240 200
不近视 50
A．40 B．60 C．100 D．240
7．l8世纪英国数学数理统计学家托马斯·贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中是一组两两互斥的事件，，且，是中任意事件， ，称为事件B的全概率．现有一种医学检验方法，对患有X疾病的人化验结果呈阳性，对未患有X疾病的人化验呈阴性，我们称检测为阴性的人中患病的概率为漏诊率．现已知某地区X疾病的患病率为0.04，利用贝叶斯公式，则这种医学检验方法在该地区的漏诊率大约为（ ）
A．0.001 B．0.002 C．0.003 D．0.004
8．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，，若该四棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，若只有最大，则（ ）
A． B．
C． D．
10．小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了右表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为，若成等差数列，则（ ）
x 4 6 8 10 12
y a 2 b c 6
A．变量x与y的样本相关系数 B．
C．当时，残差为 D．当时，y的预测值为
11．一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A．X服从超几何分布 B．
C． D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．11个相同的小球放入3个编号为1，2，3的盒中，每个盒子至少1个，有 种放法.（用数字作答）
13．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ．
14．某超市举办了一场抽奖活动，回馈消费者，规则如下：在抽奖盒子中装有6、8两个数字的卡牌（除数字外不可区分）各两张，消费者从盒子中依次摸出4张卡牌，并按摸取的顺序排成一列．若4张牌上相邻的数字均不相同，则可获得50元奖励；若4张牌上只有一对相邻的数字相同，则可获得80元奖励；若4张牌上有两对相邻的数字相同，则可获得100元奖励．按上述规则，任意1名消费者最终可获得奖励的数学期望为 元．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.
(1)如果参加选拔的9名同学站成一排且男生不相邻共有多少种站队方法？
(2)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
(3)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
16．（15分）
已知与及与的成对数据如下，且关于的回归直线方程为，
(1)求关于的回归直线方程；
(2)由散点图发现可以用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到）；
(3)又得到一组新数据，，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）、（2）两个方程哪个拟合效果更好.
参考数据：
其中，.
参考公式：对于一组数据，，，，
其回归直线方程为，其中，.
17．（15分）
如图，在四面体中，D为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为．
(1)证明：平面；
(2)求四面体外接球的体积；
(3)求的长．
18．（17分）
为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果，研究人员对一地区某种动物种群（数量较大）进行试验，从该试验种群中随机抽查了80只，得到如下的样本数据（单位：只）：
发病 没发病 合计
使用药物 10 30 40
没使用药物 25 15 40
合计 35 45 80
(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关？
(2)从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物使用药物，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，证明：，并利用表中数据求出值．
(3)若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中使用药物的只数为，求随机变量的分布列，数学期望．
附：，其中．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19．（17分）
若数列满足，则称数列为项数列.集合是由所有的项数列构成的，现从集合中任意取出两个数列，记随机变量.
(1)求集合中元素的个数；
(2)求概率的值；
(3)若的期望，求的最小值.
答案与解析
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为M为与的交点，所以M是与的中点，
所以.
故选：D.
2．从3位男生、4位女生中选派4人参加座谈会，则既有男生又有女生参加的不同选派方法共有（ ）
A．120种 B．60种 C．34种 D．30种
【答案】C
【解析】从7人中任选4人，除去选到4个全是女生的情况，共有.
故选：C．
3．若，则（ ）
A．64 B． C．16 D．
【答案】A
【解析】因为展开式的通项为，
所以.
故选：A.
4．根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为、方差为的随机变量的观测值.
对于A选项，残差与有线性关系，故A错误；
对于B选项，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变小，故B错；
对于C选项，残差与有非线性关系，故C错；
对于D选项，残差比较均匀地分布在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内，故D正确.
故选：D.
5．某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及其以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一高二高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据全概率公式可得:
.
故选：C．
6．为了了解性别与视力之间的关系，一个调查机构得到列联表如图，则当取下面何值时，性别与视力无关的可能性最大（ ）
男 女
近视 240 200
不近视 50
A．40 B．60 C．100 D．240
【答案】B
【解析】根据相关性的概念可知当，即近视与不近视的男女比例相同时，性别与视力无关的可能性最大，
解得，
故选：B
7．l8世纪英国数学数理统计学家托马斯·贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中是一组两两互斥的事件，，且，是中任意事件， ，称为事件B的全概率．现有一种医学检验方法，对患有X疾病的人化验结果呈阳性，对未患有X疾病的人化验呈阴性，我们称检测为阴性的人中患病的概率为漏诊率．现已知某地区X疾病的患病率为0.04，利用贝叶斯公式，则这种医学检验方法在该地区的漏诊率大约为（ ）
A．0.001 B．0.002 C．0.003 D．0.004
【答案】D
【解析】设事件“患病”， “不患病”， “显阴性”，
根据题意，可得，且，
由贝叶斯公式，
可得 .
故选：D.
8．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，，若该四棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解法一 如图，分别取，的中点，连接，
因为是等腰直角三角形，且斜边，所以，，
因为四边形是边长为2的正方形，所以，，
因为，所以，，
则，得.
过点作平面的垂线，过的中点作平面的垂线，
则两垂线的交点就是球心，在中，，所以，
所以球的半径，所以球的表面积，故选:C.
解法二 如图，分别取的中点，，连接，
因为是等腰直角三角形，且斜边，所以，，
因为四边形是边长为2的正方形，所以，，
因为，所以，所以，
所以，.
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，
以过点且垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设，球的半径为，则，
解得，，，，所以球的表面积，
故选:C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，若只有最大，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】因为只有最大，根据二项展开式的性质，可得，所以A错误；
则
令，可得，所以B正确；
令，可得，
因为，所以，所以C正确；
因为，所以D正确．
故选：BCD.
10．小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了右表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为，若成等差数列，则（ ）
x 4 6 8 10 12
y a 2 b c 6
A．变量x与y的样本相关系数 B．
C．当时，残差为 D．当时，y的预测值为
【答案】BCD
【解析】由表格中的数据可计算平均数：，
，
又因为成等差数列，所以，则，
根据经验回归方程为必过点，
则，解得,故B正确；
由于经验回归方程为是递增的一次函数，所以两个变量是正相关，
则样本相关系数，故A错误；
当时，，所以残差为，故C正确；
当时，，所以y的预测值为，故D正确；
故选：BCD．
11．一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A．X服从超几何分布 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】A选项，由题意知，随机变量X为取出白球的个数，
从10个球（6黑4白）中不放回抽取4个，
服从超几何分布概念，故A正确，
BC选项，的取值可能为：，
所以，又，
，，
，
所以，
的取值可能为：，
由题意得，所以，
所以，
，
，
所以，
所以，故B错误，C正确，
D选项，由题意，且，故，
则，D正确.
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．11个相同的小球放入3个编号为1，2，3的盒中，每个盒子至少1个，有 种放法.（用数字作答）
【答案】45
【解析】根据题意，将11个相同的小球放入3个盒中，每个盒子至少1个，
相当于将11个相同的小球分成3组，每组至少1个.
可将11个小球排成一列，然后在除两端的10个空位中，选取2个，插入隔板，故共有种放法.
故答案为：45
13．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ．
【答案】-1
【解析】依题意，得，，．
若四点共面，则，即，
所以，所以．
故答案为：-1
14．某超市举办了一场抽奖活动，回馈消费者，规则如下：在抽奖盒子中装有6、8两个数字的卡牌（除数字外不可区分）各两张，消费者从盒子中依次摸出4张卡牌，并按摸取的顺序排成一列．若4张牌上相邻的数字均不相同，则可获得50元奖励；若4张牌上只有一对相邻的数字相同，则可获得80元奖励；若4张牌上有两对相邻的数字相同，则可获得100元奖励．按上述规则，任意1名消费者最终可获得奖励的数学期望为 元．
【答案】
【解析】解法一：当相邻卡片上的数字都不同时，如6868，有，则；
当相邻卡片的数字只有一对相同时，如6886，有，则；
当相邻卡片的数字只有两对相同时，如6688，有，则，
故所求期望．
解法二：两个6和两个8四张卡片，共有6种排法，
其中相邻卡片上的数字都不相同的排法有2种，
相邻卡片上数字只有一对相同的排法有2种，
相邻卡片上数字有两对相同的排法有2种，
可得，
故所求期望．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.
(1)如果参加选拔的9名同学站成一排且男生不相邻共有多少种站队方法？
(2)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
(3)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
【解析】（1）先安排4名女生，出现5个空位，再安排5名男生，
所以参加选拔的9名同学站成一排且男生不相邻共有
种方法；
（2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，包含两种情况，
第一种甲和乙都在内的选法有种，
第二种情况，甲乙选人，有种选法，
则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法；
（3）如果人中必须既有男生又有女生，先从所有人中选人，
去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法.
16．（15分）
已知与及与的成对数据如下，且关于的回归直线方程为，
(1)求关于的回归直线方程；
(2)由散点图发现可以用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到）；
(3)又得到一组新数据，，根据这对数据残差的绝对值的大小判断（1）、（2）两个方程哪个拟合效果更好.
参考数据：
其中，.
参考公式：对于一组数据，，，，
其回归直线方程为，其中，.
【解析】（1）方法一：设关于的回归直线方程为，
由已知，，
，
，
所以，
，
所以关于的回归直线方程为，
方法二：因为关于的回归直线方程为，
因为，，
所以，，
则，
所以关于的回归直线方程为，
（2）若用指数型函数模型拟合与的关系，则有，
设，，，
则，
，
，
所以，
所以，
所以关于的回归方程为，
（3）由（1）关于的回归直线方程为，
所以时，，
残差为，
由（2）关于的指数函数模型的回归方程为，
所以时，，
残差为，
因为，所以指数函数模型拟合效果更好.
17．（15分）
如图，在四面体中，D为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为．
(1)证明：平面；
(2)求四面体外接球的体积；
(3)求的长．
【解析】（1）由，，，可得：，
则由勾股定理得：，又，，平面，
所以平面；
（2）由平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
则四面体满足平面，，
因此这个四面体可以放在一个长方体里，
所以外接球的直径就是该长方体的体对角线，
因为，所以外接球的半径，
即该外接球的体积，
（3）把这个三棱锥换成以作底面，因为，所以以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
由于平面，，，,
设，则，
即，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以，
因为二面角的大小为，
所以，解得
故
18．（17分）
为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果，研究人员对一地区某种动物种群（数量较大）进行试验，从该试验种群中随机抽查了80只，得到如下的样本数据（单位：只）：
发病 没发病 合计
使用药物 10 30 40
没使用药物 25 15 40
合计 35 45 80
(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关？
(2)从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物使用药物，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，证明：，并利用表中数据求出值．
(3)若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中使用药物的只数为，求随机变量的分布列，数学期望．
附：，其中．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【解析】（1）提出零假设该药物与预防该疾病无关，
根据表格得出，，
由此推断不成立，
则能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关.
（2）由条件可得，
由表中数据可知，，，则.
（3）样本中没发病的动物有只，其中使用药物的有只，
则使用药物且没发病的频率为，
将频率视作概率，则，
则，，
，，
则的分布列为：
期望.
19．（17分）
若数列满足，则称数列为项数列.集合是由所有的项数列构成的，现从集合中任意取出两个数列，记随机变量.
(1)求集合中元素的个数；
(2)求概率的值；
(3)若的期望，求的最小值.
【解析】（1）根据数列中1的个数可得集合中元素的个数为
集合中共有个元素.
（2）数列为中的两个数列，它们各项元素不能完全相同，
不能取的所有可能取值为.
当时，数列中有项取值不同，有项取值相同，
从项中选择项，和在项中的某一项数字相同，其余项，两者均在同一位置数字相反.
问题为组合问题，所有的情况会重复1次，共有种情况，
概率.
（3）随机变量的分布列为
1 2 3 ...
...
，
.
令，则，
数列是递增函数.
，
的最小值为32.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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