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浙江省湖州市长兴县龙山中学教育集团共同体2024-2025学年第二学期期中素养测试八年级数学试题卷
1．（2025八下·长兴期中）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的定义，可知，，选项不符合题意，选项符合题意，
故答案为：D.
【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
2．（2025八下·长兴期中）下面各式是最简二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故选项A不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故选项B不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故选项C不符合题意；
D、是最简二次根式，故选项D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据最简二次根式定义，逐项判断即可.
3．（2025八下·长兴期中）下列多边形中，内角和等于外角和的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：任意多边形的外角和等于360°，
A、三角形的内角和等于180°，180°不等于360°，不符合题意；
B、四边形的内角和等于360°，360°等于360°，符合题意；
C、五边形的内角和等于540°，540°不等于360°，不符合题意；
D、六边形的内角和等于720°，720°不等于360°，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据任意多边形的外角和等于360°，要使内角和等于外角和，利用公式求出多边形内角和即可判断.
4．（2025八下·长兴期中） 比较，3，的大小，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】由于三个数字都是正数且两个都是二次根式，因此可利用求平方的法直接比较大小.
5．（2025八下·长兴期中）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
【解答】用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，
应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即每一个内角都大于60°．
故选：D．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6．（2025八下·长兴期中）用配方法解一元二次方程x2-8x+9=0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x-4）2=-7 B．（x-4）2 =25
C．（x+4）2 =7 D．（x-4）2 =7
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】配方法的一般步骤是，若二次项系数为1，先把常数项移到等号的右边，再给两边都加上一次项系数一半的平方，则把方程转化成一个完全平方与一个常数相等的形式.
7．（2025八下·长兴期中） 如图，在□ABCD中，E为边BC上的一个点，将△CDE沿DE折叠至△C'DE处，使得C'落在AB的延长线上，若∠A=50°，C'E⊥AB时，则∠CED的度数为（　　）
A．100° B．105° C．110° D．115°
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质知：
四边形ABCD是平行四边形
、
故答案为：C.
【分析】由于平行四边形的对角相等，因此∠C等于∠A等于50°；由折叠的性质可得 ∠C`DC等于 ∠CDE的2倍、 ∠DC`E等于∠C等于50°；由于平行四边形的对边平行，则∠AC`D等于∠C`DC，由垂直的概念可得∠AC`D与∠DC`E的和等于90°，则 ∠CDE可求，再利用三角形的内角和定理即可求得 ∠CED .
8．（2025八下·长兴期中）龙山中学第二届“龍BA”篮球联赛正在如火如荼地进行，其中初二男子甲级比赛将所有班级平均分成4个小组，每组x支球队，第一阶段每个小组内部实行单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），计划安排一共60场比赛，则下列方程中符合题意的是（　　）
A．x（x-1）=60 B．x（x+1）=60
C．2x（x-1）=60 D．x（x-1）=60
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每组 x支球队， 由题意列方程得：
故答案为：C.
【分析】设每组 x支球队，则各组内每一支球队都要打（x-1）场比赛，则每一组共打场比赛，则4组共打场比赛.
9．（2025八下·长兴期中）小暖同学在计算出6个数的平均数后，不小心将这个数也混到原数据中了，那么重新分析这组新数据后，一定不变的量是（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：设这6个数据的总和为S，平均数为，则S＝6
故答案为：C.
【分析】先设这个数据的和为S，平均数为平均数为，则利用加权平均数计算公式可求得这7个数据的平均值依然是.
10．（2025八下·长兴期中）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD=2BC，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H.有下列4个结论：①ED⊥CA：②EF =EG：③FH=FD；④S△EFD=S△CED，其中说法正确的有（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；四边形的综合；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形
是中点
，故 ① 正确；
是直角三角形
是中点
分别是中点
、
，故 ② 正确；
中
，故 ③ 正确；
是中点
，故 ④ 正确；
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的对边相等且对角线互相平分可得OD等于AD，由于点E是AO中点，则由等腰三角形三线合一知DE ⊥CA ；由中位线定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等量代换得 EF =EG： 由中位线平行于三角形的第三边结合平行四边形的对边平行且相等可证，则FH等于DH等于DF的一半；由全等三角形的面积相等可推导出，再由三角形的中线等分三角形面积可得 S△EFD=S△CED .
11．（2025八下·长兴期中）要使代数式有意义，则x的取值范围是　 　.
【答案】x≦3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：
故答案为：x≦3.
【分析】二次根式的被开方数是非负数.
12．（2025八下·长兴期中）关于x的一元二次方程ax2-4x-1=0有实数根，则a的取值范围是　 　.
【答案】a≥-4，且a≠0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意知：
且
故答案为：a≥-4且a≠0.
【分析】对于一元二次方程，其二次项系数首先不等于0；另其根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.
13．（2025八下·长兴期中） 小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的标准差S=　 　.
【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差；标准差
【解析】【解答】解：由题意知：
故答案为：.
【分析】先由方差的计算公式可求得平均数和样本容量n，再把平均值和n代入到公式中求出方差，则标准差就是主差的算术平方根.
14．（2025八下·长兴期中） 如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC =6，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的长为　 　.
【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形
平分
故答案为：2.
【分析】由平行四边形的性质结合角平分线的概念可得是等腰三角形即可.
15．（2025八下·长兴期中）已知α，β是一元二次方程x2-2024x-2025=0的两个根，则α2-2025α-β的值等于　 　.
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 是一元二次方程x2-2024x-2025=0的两个根
故答案为：1.
【分析】先由一元二次方程根与系数的关系可求出的和，再利用方程解的概念对指定代数式变形，即 α2-2025α-β 等于即可.
16．（2025八下·长兴期中）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S2=14、S3=4、S4=6，则S1=　 　.
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图所示.
四边形ABCD是平行四边形
故答案为：4.
【分析】分别标记中两个空白部分面积，由平行四边形的性质知在面积等于的面积等于面积的一半，即的面积等于与的面积和，则 S1等于S2、S3、S4
的和.
17．（2025八下·长兴期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
=9+6+5-（4-3）
=13+6
【知识点】二次根式的加减法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）二次根式的加减运算，可先把每一个二次根式先化为最简二次根式，若最简二次根式的被开方数相同，还需要合并二次根式；
（2）实数的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减，运算时合理利用乘法公式可简化运算.
18．（2025八下·长兴期中）选择合适的方法解下列方程：
（1）x2-2x-8=0
（2）3x（x-1）=2（x-1）
【答案】（1）解：x2-2x-8=0
(x-4)(x+2)=0
x-4=0 或 x+2=0
∴ X1=4，x2=-2
（2）解：3x（x-1）=2（x-1）
3x(x -1)-2(x-1) =0
(x-1)(3x-2)=0
x-1=0或3x-2=0
∴x1=1， ×2=
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）解一元二次方程时，若方程右边等于0且左边可分解因式，此时可直接分解因式化一元二次方程为一元一次方程；
（2）解一元二次方程时，若方程左右两边有公因式时，可先移项，再提公因式，从而化化一元二次方程为一元一次方程.
19．（2025八下·长兴期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分，如图1，直线m经过□ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB=S四边形DEFC
（1）如图2，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分。
（2）8个大小相同的正方形如图3所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）.
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】平行四边形的面积；中心对称的性质；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）取大正方形的对角线的交点，再边两个正方形对角线的交点作直线即可；
（2）方法不唯一，由于图形3是轴对称图形，因此可补全图形得到一个大正方形，再过这个正方形的中心与缺少的小正方形的中心画一条直线即可；也分别作最上方两个小正方形拼成的矩形的对称中心及下方6个小正方形拼成的矩形的对称中心，再过两个对称中心画直线即可.
20．（2025八下·长兴期中）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日，某中学在全校七、八年级各1000名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）八年级抽取的学生的竞赛成绩：4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10.
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 a 7.4
中位数 b 8
众数 7 c
合格率 85% 90%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=　 　；b=　 　；c=　 　.
（2）估计该校八年级1000名学生中竞赛成绩不合格的人数：
（3）在这次“国家安全法”知识竞赛中，你认为哪个年级的学生成绩更优异？请说明理由。
【答案】（1）7.4；7.5；8
（2）解：
答： 八年级1000名学生中竞赛成绩不合格的人数为100人；
（3）解：七、八年级的平均分一样，但是八年级的中位数、众数和和合格率均高于七月份，所以八年级学生成绩更优异(答案不唯一，合理即可）.
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；分析数据的波动程度；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）由条统计图可得出七年级20名学生的竞赛成绩，再利用加权平均值计算公式可得a的值；由于这20名同学的成绩已按照从小到大的顺序排列，则中位数按照取最中间两个同学成绩的平均值，观察条形统计图可发现第10和第11名都在7分这一组，则中位数为7；众数取出现次数最多的成绩即可；
（2）先求出八年级不及格人数的百分比，再乘以八年级总人数即可；
（3）由于平均值相等，由于方差反映一组数据的稳定性，因此可利用方差的大小来比较.
21．（2025八下·长兴期中）在Rt△ABC中，∠C =90°，E，F分别是边AB，AC的中点，延长BC到点D，使BC =2CD，连结EF，CE，DF.
（1）求证：四边形CDFE是平行四边形。
（2）连结DE，交AC于点O，若AB=BD =9，求DE的长.
【答案】（1）证明：∵E，F分别为AB，AC的中点，
，，
∵，∴
∴CD=EF，
∴四边形DCEF是平行四边形
（2）解：
在Rt中，，
在平行四边形DCEF中，，在Rt中，，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由中位线定理知EF平行BC且等于BC的一半，又CD等于BC的一半且在BC的延长线上，则EF与DC平行且相等，则四边形CDFE是平行四边形；
（2）由于DE是平行四边形CDFE的对角线，因此只需求出OD的长即可，此时利用DC与BC的数量关系可得DC的长，再由平行四边形的对角互相平分结合中点的概念可得OC是AC的四分之一，此时再利用勾股定理可求出AC的长，则OC可得，再在直角三角形OCD中应用勾股定理即可求得OD的长，则DE的长为OD的2倍.
22．（2025八下·长兴期中）已知关于x的方程（k+1）x2+（3k-1）x+2k-2=0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根：
（2）若一元二次方程（k+1）x2+（3k-1）x+2k-2=0满足|x1-x2|=2，求k的值.
【答案】（1）证明：当k+1=0，即k=-1时，原方程为-4x-4=0，
解得：x=-1：
当k+1≠0，即k≠-1时，△=(3k-1)2-4(k+1)(2k-2)=k2-6k+9=(k-3)2 ≥0，
∴方程有实数根.
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根.
（2）解：，且，，
（其它方法亦可）
解得：或，
经检验或是原方程的解．
故的值为-5或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）当二次项系数为0时，可求得k的值，从而得到关于x的一元一次方程；当二次项系数不为0时，可利用根的判别式进行计算，发现结果为一个完全平方式，即，则结论正确；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可先分别表示出两个根，再代入到已知两根关系的等式中，由于该等式含有绝对值符号，因此应该得到关于k的两个一元一次方程，分别求解即可.
23．（2025八下·长兴期中）随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇.某新能源汽车的销量和收入均实现了显著增长，2022年全年总销量约为150万辆，到2024年全年总销量已增长至约216万辆，由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求，公司决定加建工厂，经调研发现，受公司多方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少0.2万辆/季度.
（1）求该品牌汽车企业2022年到2024年新能源汽车销售总量的平均年增长率：
（2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加总产量同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？
【答案】（1）解：设该品牌汽车企业2022年到2024年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，
由题意得：150(1+x)2=216
解得： x1=0.2，x2=-2.2(舍去)
答：该品牌汽车企业2022年到2024年新能源汽车销售总量的平均年增长率为20%。
（2）解：设应该再增加у个工厂，
由题意得： (2+y)(6-0.2y)=27
解得：y1=3，y2=25（舍去）
答：现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加总产量同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加3个工厂.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）平均增长率问题，常设平均增长率为x，再利用等式（其中a代表起始数据，b代表终止数据）列方程求解即可；
（2）设应该再增加у个工厂，则每个工厂的最大产能将减少0.2y万辆/季度. 由等量关系“ 每季度生产汽车27万辆 ， 在增加总产量同时又要节省投入成本的条件下 ”列方程，由于方程的解要满足限定条件，则要对求出的解进行适当取舍即可.
24．（2025八下·长兴期中）已知平行四边形ABCD，E为BC边上的中点，F为AB边上的一点.
（1）如图1，连接FE并延长交DC的延长线于点G，求证：FE=GE：
（2）如图2，若FB+AB=DF，∠EDC=35°，求∠AFD：
（3）如图3，若FE=DE，P为AF的中点，Q为FD的中点，AQ=，DP=6，求线段BE的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠EFB=∠EGC，∠B=∠ECG，
∵E为BC边上的中点，
∴BE=CE，
∴△FEB≌△GEC(AAS)，
∴FE=GE；
（2）解：如图所示，连接FE并延长交DC的延长线于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
由（1）可得FB=GC，
∵FB+AB=DF，
∴GC+DC=DG=DF，
∵FE=GE，
∴∠EDC=∠EDF，
∵AB//DC， ∠EDC=35° ，
∴∠AFD=∠FDC=2∠EDC=70°
（3）解：连接FE并延长交DC的延长线于点M，
由（1）可得FE=ME，
∵FE=DE，
∴FE=DE=ME，
∴∠EFD=∠EDF，∠EDM=∠EMD，
∵∠EFD+∠EDF+∠EDM+∠EMD=180°，
∴∠FDM=∠EDF+∠EDM=90°
∵AB//DC，
∴∠AFD=∠FDM=90°，
∴DF⊥AB，
∴△AFD为直角三角形，
∵P为AF的中点，Q为FD的中点，
∴设AP=FP=x，FQ=DQ=y，
∵，，，，
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）由于平行四边形的对边平行，又E为BC中点，则可利用ASA或AAS来证明△FEB≌△GEC，再由全等的性质即可证得结论；
（2）利用（1）中的方法连接FE并延长交DC的延长线于点G，则可证DG等于DF，又E为FG中点，则三角形DFG是等腰三角形，则DE平分 ∠FDC ，即∠FDC等于70 ° ，再利用平行四边形对边平行可求得 ∠AFD 等于∠FDC等于70 °；
（3）利用（1）的方法延长FE交DC的延长线于点M，则DE等于EF等于MF，即为直角三角形，且；因为AB平行CD，则；此时为便于计算可分别设AP=FP=x，FQ=DQ=y，可在和分别应用勾股定理即可求得x与y的平方和，则再在中应用勾股定理即可求得AD的长，最后由平行四边形的性质可得BE等于AD的一半即可.
1 / 1浙江省湖州市长兴县龙山中学教育集团共同体2024-2025学年第二学期期中素养测试八年级数学试题卷
1．（2025八下·长兴期中）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·长兴期中）下面各式是最简二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
3．（2025八下·长兴期中）下列多边形中，内角和等于外角和的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·长兴期中） 比较，3，的大小，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·长兴期中）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
6．（2025八下·长兴期中）用配方法解一元二次方程x2-8x+9=0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x-4）2=-7 B．（x-4）2 =25
C．（x+4）2 =7 D．（x-4）2 =7
7．（2025八下·长兴期中） 如图，在□ABCD中，E为边BC上的一个点，将△CDE沿DE折叠至△C'DE处，使得C'落在AB的延长线上，若∠A=50°，C'E⊥AB时，则∠CED的度数为（　　）
A．100° B．105° C．110° D．115°
8．（2025八下·长兴期中）龙山中学第二届“龍BA”篮球联赛正在如火如荼地进行，其中初二男子甲级比赛将所有班级平均分成4个小组，每组x支球队，第一阶段每个小组内部实行单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），计划安排一共60场比赛，则下列方程中符合题意的是（　　）
A．x（x-1）=60 B．x（x+1）=60
C．2x（x-1）=60 D．x（x-1）=60
9．（2025八下·长兴期中）小暖同学在计算出6个数的平均数后，不小心将这个数也混到原数据中了，那么重新分析这组新数据后，一定不变的量是（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
10．（2025八下·长兴期中）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD=2BC，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H.有下列4个结论：①ED⊥CA：②EF =EG：③FH=FD；④S△EFD=S△CED，其中说法正确的有（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④
11．（2025八下·长兴期中）要使代数式有意义，则x的取值范围是　 　.
12．（2025八下·长兴期中）关于x的一元二次方程ax2-4x-1=0有实数根，则a的取值范围是　 　.
13．（2025八下·长兴期中） 小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的标准差S=　 　.
14．（2025八下·长兴期中） 如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC =6，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的长为　 　.
15．（2025八下·长兴期中）已知α，β是一元二次方程x2-2024x-2025=0的两个根，则α2-2025α-β的值等于　 　.
16．（2025八下·长兴期中）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S2=14、S3=4、S4=6，则S1=　 　.
17．（2025八下·长兴期中）计算：
（1）
（2）
18．（2025八下·长兴期中）选择合适的方法解下列方程：
（1）x2-2x-8=0
（2）3x（x-1）=2（x-1）
19．（2025八下·长兴期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分，如图1，直线m经过□ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB=S四边形DEFC
（1）如图2，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分。
（2）8个大小相同的正方形如图3所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）.
20．（2025八下·长兴期中）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日，某中学在全校七、八年级各1000名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）八年级抽取的学生的竞赛成绩：4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10.
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 a 7.4
中位数 b 8
众数 7 c
合格率 85% 90%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=　 　；b=　 　；c=　 　.
（2）估计该校八年级1000名学生中竞赛成绩不合格的人数：
（3）在这次“国家安全法”知识竞赛中，你认为哪个年级的学生成绩更优异？请说明理由。
21．（2025八下·长兴期中）在Rt△ABC中，∠C =90°，E，F分别是边AB，AC的中点，延长BC到点D，使BC =2CD，连结EF，CE，DF.
（1）求证：四边形CDFE是平行四边形。
（2）连结DE，交AC于点O，若AB=BD =9，求DE的长.
22．（2025八下·长兴期中）已知关于x的方程（k+1）x2+（3k-1）x+2k-2=0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根：
（2）若一元二次方程（k+1）x2+（3k-1）x+2k-2=0满足|x1-x2|=2，求k的值.
23．（2025八下·长兴期中）随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇.某新能源汽车的销量和收入均实现了显著增长，2022年全年总销量约为150万辆，到2024年全年总销量已增长至约216万辆，由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求，公司决定加建工厂，经调研发现，受公司多方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少0.2万辆/季度.
（1）求该品牌汽车企业2022年到2024年新能源汽车销售总量的平均年增长率：
（2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加总产量同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？
24．（2025八下·长兴期中）已知平行四边形ABCD，E为BC边上的中点，F为AB边上的一点.
（1）如图1，连接FE并延长交DC的延长线于点G，求证：FE=GE：
（2）如图2，若FB+AB=DF，∠EDC=35°，求∠AFD：
（3）如图3，若FE=DE，P为AF的中点，Q为FD的中点，AQ=，DP=6，求线段BE的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的定义，可知，，选项不符合题意，选项符合题意，
故答案为：D.
【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
2．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故选项A不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故选项B不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故选项C不符合题意；
D、是最简二次根式，故选项D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据最简二次根式定义，逐项判断即可.
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：任意多边形的外角和等于360°，
A、三角形的内角和等于180°，180°不等于360°，不符合题意；
B、四边形的内角和等于360°，360°等于360°，符合题意；
C、五边形的内角和等于540°，540°不等于360°，不符合题意；
D、六边形的内角和等于720°，720°不等于360°，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据任意多边形的外角和等于360°，要使内角和等于外角和，利用公式求出多边形内角和即可判断.
4．【答案】B
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】由于三个数字都是正数且两个都是二次根式，因此可利用求平方的法直接比较大小.
5．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
【解答】用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，
应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即每一个内角都大于60°．
故选：D．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】配方法的一般步骤是，若二次项系数为1，先把常数项移到等号的右边，再给两边都加上一次项系数一半的平方，则把方程转化成一个完全平方与一个常数相等的形式.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质知：
四边形ABCD是平行四边形
、
故答案为：C.
【分析】由于平行四边形的对角相等，因此∠C等于∠A等于50°；由折叠的性质可得 ∠C`DC等于 ∠CDE的2倍、 ∠DC`E等于∠C等于50°；由于平行四边形的对边平行，则∠AC`D等于∠C`DC，由垂直的概念可得∠AC`D与∠DC`E的和等于90°，则 ∠CDE可求，再利用三角形的内角和定理即可求得 ∠CED .
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每组 x支球队， 由题意列方程得：
故答案为：C.
【分析】设每组 x支球队，则各组内每一支球队都要打（x-1）场比赛，则每一组共打场比赛，则4组共打场比赛.
9．【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：设这6个数据的总和为S，平均数为，则S＝6
故答案为：C.
【分析】先设这个数据的和为S，平均数为平均数为，则利用加权平均数计算公式可求得这7个数据的平均值依然是.
10．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；四边形的综合；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形
是中点
，故 ① 正确；
是直角三角形
是中点
分别是中点
、
，故 ② 正确；
中
，故 ③ 正确；
是中点
，故 ④ 正确；
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的对边相等且对角线互相平分可得OD等于AD，由于点E是AO中点，则由等腰三角形三线合一知DE ⊥CA ；由中位线定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等量代换得 EF =EG： 由中位线平行于三角形的第三边结合平行四边形的对边平行且相等可证，则FH等于DH等于DF的一半；由全等三角形的面积相等可推导出，再由三角形的中线等分三角形面积可得 S△EFD=S△CED .
11．【答案】x≦3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：
故答案为：x≦3.
【分析】二次根式的被开方数是非负数.
12．【答案】a≥-4，且a≠0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意知：
且
故答案为：a≥-4且a≠0.
【分析】对于一元二次方程，其二次项系数首先不等于0；另其根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.
13．【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差；标准差
【解析】【解答】解：由题意知：
故答案为：.
【分析】先由方差的计算公式可求得平均数和样本容量n，再把平均值和n代入到公式中求出方差，则标准差就是主差的算术平方根.
14．【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形
平分
故答案为：2.
【分析】由平行四边形的性质结合角平分线的概念可得是等腰三角形即可.
15．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 是一元二次方程x2-2024x-2025=0的两个根
故答案为：1.
【分析】先由一元二次方程根与系数的关系可求出的和，再利用方程解的概念对指定代数式变形，即 α2-2025α-β 等于即可.
16．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图所示.
四边形ABCD是平行四边形
故答案为：4.
【分析】分别标记中两个空白部分面积，由平行四边形的性质知在面积等于的面积等于面积的一半，即的面积等于与的面积和，则 S1等于S2、S3、S4
的和.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
=9+6+5-（4-3）
=13+6
【知识点】二次根式的加减法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）二次根式的加减运算，可先把每一个二次根式先化为最简二次根式，若最简二次根式的被开方数相同，还需要合并二次根式；
（2）实数的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减，运算时合理利用乘法公式可简化运算.
18．【答案】（1）解：x2-2x-8=0
(x-4)(x+2)=0
x-4=0 或 x+2=0
∴ X1=4，x2=-2
（2）解：3x（x-1）=2（x-1）
3x(x -1)-2(x-1) =0
(x-1)(3x-2)=0
x-1=0或3x-2=0
∴x1=1， ×2=
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）解一元二次方程时，若方程右边等于0且左边可分解因式，此时可直接分解因式化一元二次方程为一元一次方程；
（2）解一元二次方程时，若方程左右两边有公因式时，可先移项，再提公因式，从而化化一元二次方程为一元一次方程.
19．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】平行四边形的面积；中心对称的性质；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）取大正方形的对角线的交点，再边两个正方形对角线的交点作直线即可；
（2）方法不唯一，由于图形3是轴对称图形，因此可补全图形得到一个大正方形，再过这个正方形的中心与缺少的小正方形的中心画一条直线即可；也分别作最上方两个小正方形拼成的矩形的对称中心及下方6个小正方形拼成的矩形的对称中心，再过两个对称中心画直线即可.
20．【答案】（1）7.4；7.5；8
（2）解：
答： 八年级1000名学生中竞赛成绩不合格的人数为100人；
（3）解：七、八年级的平均分一样，但是八年级的中位数、众数和和合格率均高于七月份，所以八年级学生成绩更优异(答案不唯一，合理即可）.
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；分析数据的波动程度；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）由条统计图可得出七年级20名学生的竞赛成绩，再利用加权平均值计算公式可得a的值；由于这20名同学的成绩已按照从小到大的顺序排列，则中位数按照取最中间两个同学成绩的平均值，观察条形统计图可发现第10和第11名都在7分这一组，则中位数为7；众数取出现次数最多的成绩即可；
（2）先求出八年级不及格人数的百分比，再乘以八年级总人数即可；
（3）由于平均值相等，由于方差反映一组数据的稳定性，因此可利用方差的大小来比较.
21．【答案】（1）证明：∵E，F分别为AB，AC的中点，
，，
∵，∴
∴CD=EF，
∴四边形DCEF是平行四边形
（2）解：
在Rt中，，
在平行四边形DCEF中，，在Rt中，，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由中位线定理知EF平行BC且等于BC的一半，又CD等于BC的一半且在BC的延长线上，则EF与DC平行且相等，则四边形CDFE是平行四边形；
（2）由于DE是平行四边形CDFE的对角线，因此只需求出OD的长即可，此时利用DC与BC的数量关系可得DC的长，再由平行四边形的对角互相平分结合中点的概念可得OC是AC的四分之一，此时再利用勾股定理可求出AC的长，则OC可得，再在直角三角形OCD中应用勾股定理即可求得OD的长，则DE的长为OD的2倍.
22．【答案】（1）证明：当k+1=0，即k=-1时，原方程为-4x-4=0，
解得：x=-1：
当k+1≠0，即k≠-1时，△=(3k-1)2-4(k+1)(2k-2)=k2-6k+9=(k-3)2 ≥0，
∴方程有实数根.
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根.
（2）解：，且，，
（其它方法亦可）
解得：或，
经检验或是原方程的解．
故的值为-5或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）当二次项系数为0时，可求得k的值，从而得到关于x的一元一次方程；当二次项系数不为0时，可利用根的判别式进行计算，发现结果为一个完全平方式，即，则结论正确；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可先分别表示出两个根，再代入到已知两根关系的等式中，由于该等式含有绝对值符号，因此应该得到关于k的两个一元一次方程，分别求解即可.
23．【答案】（1）解：设该品牌汽车企业2022年到2024年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，
由题意得：150(1+x)2=216
解得： x1=0.2，x2=-2.2(舍去)
答：该品牌汽车企业2022年到2024年新能源汽车销售总量的平均年增长率为20%。
（2）解：设应该再增加у个工厂，
由题意得： (2+y)(6-0.2y)=27
解得：y1=3，y2=25（舍去）
答：现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加总产量同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加3个工厂.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）平均增长率问题，常设平均增长率为x，再利用等式（其中a代表起始数据，b代表终止数据）列方程求解即可；
（2）设应该再增加у个工厂，则每个工厂的最大产能将减少0.2y万辆/季度. 由等量关系“ 每季度生产汽车27万辆 ， 在增加总产量同时又要节省投入成本的条件下 ”列方程，由于方程的解要满足限定条件，则要对求出的解进行适当取舍即可.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠EFB=∠EGC，∠B=∠ECG，
∵E为BC边上的中点，
∴BE=CE，
∴△FEB≌△GEC(AAS)，
∴FE=GE；
（2）解：如图所示，连接FE并延长交DC的延长线于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
由（1）可得FB=GC，
∵FB+AB=DF，
∴GC+DC=DG=DF，
∵FE=GE，
∴∠EDC=∠EDF，
∵AB//DC， ∠EDC=35° ，
∴∠AFD=∠FDC=2∠EDC=70°
（3）解：连接FE并延长交DC的延长线于点M，
由（1）可得FE=ME，
∵FE=DE，
∴FE=DE=ME，
∴∠EFD=∠EDF，∠EDM=∠EMD，
∵∠EFD+∠EDF+∠EDM+∠EMD=180°，
∴∠FDM=∠EDF+∠EDM=90°
∵AB//DC，
∴∠AFD=∠FDM=90°，
∴DF⊥AB，
∴△AFD为直角三角形，
∵P为AF的中点，Q为FD的中点，
∴设AP=FP=x，FQ=DQ=y，
∵，，，，
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）由于平行四边形的对边平行，又E为BC中点，则可利用ASA或AAS来证明△FEB≌△GEC，再由全等的性质即可证得结论；
（2）利用（1）中的方法连接FE并延长交DC的延长线于点G，则可证DG等于DF，又E为FG中点，则三角形DFG是等腰三角形，则DE平分 ∠FDC ，即∠FDC等于70 ° ，再利用平行四边形对边平行可求得 ∠AFD 等于∠FDC等于70 °；
（3）利用（1）的方法延长FE交DC的延长线于点M，则DE等于EF等于MF，即为直角三角形，且；因为AB平行CD，则；此时为便于计算可分别设AP=FP=x，FQ=DQ=y，可在和分别应用勾股定理即可求得x与y的平方和，则再在中应用勾股定理即可求得AD的长，最后由平行四边形的性质可得BE等于AD的一半即可.
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