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苏州市2024-2025学年第二学期高二数学期末模拟卷06
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：选择性必修修第二册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某人工智能公司从某年起7年的利润情况如下表所示，关于的回归直线方程是，预测该人工智能公司第8年的利润是多少亿元（ ）
第年 1 2 3 4 5 6 7
利润/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
A．6.2 B．6.3 C．6.4 D．6.5
2．已知向量，，，则正确的是（ ）
A．在上的投影向量为 B．
C． D．
3．若的展开式各项系数的绝对值之和为512，则的展开式中的系数为（ ）
A． B．56 C． D．70
4．某学校举行运动会，该校高二年级2班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、100米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，若甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则不同参赛方案总数为（ ）
A．24 B．30 C．32 D．36
5．在某市年月份的高三质量检测考试中，理科生的数学成绩服从正态分布已知参加本次考试的全市理科生约有人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）参考数值：；，
A．名 B．名 C．名 D．名
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由计算得： 参照附表，则下列结论正确的是（ ）
A．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
B．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过
C．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
D．在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关
8．设平面与长方体的六个面的夹角分别为，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．对于回归分析，下列结论中正确的是（ ）
A．两个变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于0
B．若回归直线的斜率估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为
C．在回归直线方程中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位
D．用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好
10．若，则（ ）
A． B．
C． D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某校高三某班第一小组有男生5人，女生3人，现需从中抽取2人参加校秋季运动会助理裁判工作，恰有一名女生参加校运会助理裁判的概率为 ．
13．已知非零向量，满足，，若，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
14．为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
二项式展开式前三项的二项式系数和为22.
(1)求n的值；
(2)求展开式中各项的二项式系数和及各项的系数和；
(3)求展开式中的常数项.
16．（15分）
某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据．
10 20 30 40 50
650 640 600 590 580
(1)一般认为当时，经验回归方程的拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．
(2)请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间的经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度．
参考公式：；
相关系数．
参考数据：．
17．（15分）
如图，菱形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
(1)若，证明：平面平面；
(2)若，当三棱锥体积最大时，
①求直线与平面所成角的正弦值；
②求平面与平面所成二面角的大小．
18．（17分）
诗词大会的挑战赛上，挑战者向守擂者提出挑战，规则为挑战者和守擂者轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜，比赛最多进行5轮（挑战者和守擂者依次答题一次为一轮），若第五轮挑战者答题正确则不论守擂者答对与否都认为挑战者获胜.赛制要求挑战者先答题，守擂者和挑战者每次答对问题的概率都是，且每次答题互不影响.（其中挑战者第五轮答对问题概率为）.
(1)若在不多于两次答题就决出胜负的条件下，则挑战者获胜的概率是多少？
(2)在此次比赛中，挑战者最终获胜的概率是多少？
(3)现赛制改革，挑战者需要按上述方式连续挑战全部6位守擂者，以（2）中求得的挑战者最终获胜的概率作为挑战者面对每个守擂者的获胜概率，每次挑战之间相互独立，若最终统计结果是挑战者战胜了不少于三分之二的守擂者，则称该挑战者挑战成功，反之则称挑战者挑战失败.若再增加1位守擂者，试分析该挑战者挑战成功的概率是否会增加？并说明理由.
19．（17分）
甲、乙两位乒乓球爱好者进行一次对抗赛，第一个球的发球权通过掷硬币确定，从第二个球开始，上一个球谁赢谁发球．由历史数据可知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为．
(1)求第1个球甲赢的概率；
(2)求第个球甲赢的概率；
(3)定义第个球甲赢的期望，求．
答案与解析
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某人工智能公司从某年起7年的利润情况如下表所示，关于的回归直线方程是，预测该人工智能公司第8年的利润是多少亿元（ ）
第年 1 2 3 4 5 6 7
利润/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
A．6.2 B．6.3 C．6.4 D．6.5
【答案】B
【解析】由题意，，，
所以，
所以关于的回归直线方程为，
当时，．
故选：B.
2．已知向量，，，则正确的是（ ）
A．在上的投影向量为 B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A， 在上的投影向量为，故A正确；
对于B，，且所以，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，因为，所以与不平行，故D错误.
故选：A
3．若的展开式各项系数的绝对值之和为512，则的展开式中的系数为（ ）
A． B．56 C． D．70
【答案】A
【解析】的展开式各项系数的绝对值之和等于的展开式各项系数之和，
则，得，则，
因为的展开式中没有的项，
所以的展开式中的系数为的展开式中的系数，
即.
故选：A
4．某学校举行运动会，该校高二年级2班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、100米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，若甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则不同参赛方案总数为（ ）
A．24 B．30 C．32 D．36
【答案】B
【解析】对甲、乙、丙、丁四位同学分成3组，
则三组各有位同学，共有种，
又因为甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，
且甲乙在一组时仅有1种分法，则共有种分组方法，
所以不同的参赛方案共有种.
故选：B
5．在某市年月份的高三质量检测考试中，理科生的数学成绩服从正态分布已知参加本次考试的全市理科生约有人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）参考数值：；，
A．名 B．名 C．名 D．名
【答案】A
【解析】因为理科生的数学成绩服从正态分布，，，
所以
，
所以，
故该学生的数学成绩大约排在全市第名．
故选．
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，由对立事件概率计算公式可得：，
又，则.
故选：C
7．通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由计算得： 参照附表，则下列结论正确的是（ ）
A．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
B．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过
C．根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
D．在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关
【答案】A
【解析】零假设为：爱好跳绳与性别无关.
A.∵，
∴根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为爱好跳绳与性别无关.选项A正确.
B. ∵，
∴根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为爱好跳绳与性别无关，但无法判断这个结论犯错误的概率是否超过.选项B错误.
C.∵，
∴根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别有关.选项C错误.
D. ∵，
∴在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为爱好跳绳与性别有关.选项D错误.
故选：A.
8．设平面与长方体的六个面的夹角分别为，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【解析】设平面的法向量为，
正方体一个顶点处的三个平面的法向量分别为、、，
则，，
，
因正方体有三对互相平行的平面，
则.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．对于回归分析，下列结论中正确的是（ ）
A．两个变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于0
B．若回归直线的斜率估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为
C．在回归直线方程中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位
D．用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好
【答案】BD
【解析】对于A，两个变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，A错误；
对于B，设回归直线方程为，则，回归直线方程为，B正确；
对于C，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，C错误；
对于D，用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好，D正确.
故选：BD
10．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，令，则，故A正确；
对于B，令，则1，故B正确；
对于C，令，则，所以，故C错误；
对于D，因为，
所以，故D正确．
故选：ABD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某校高三某班第一小组有男生5人，女生3人，现需从中抽取2人参加校秋季运动会助理裁判工作，恰有一名女生参加校运会助理裁判的概率为 ．
【答案】
【解析】从8人中任抽2人的试验含有的基本事件数为种，
恰有一名女生的事件含有的基本事件数为，
设事件所抽取的两名学生中恰有一名女生参加校运会助理裁判为，
则，
所以事件恰有一名女生参加校运会助理裁判的概率为.
故答案为：.
13．已知非零向量，满足，，若，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
【答案】
【解析】由已知可得，.
因为，
所以，
解得或（舍去），
所以，，
所以，向量在向量方向上的投影向量为，坐标为.
故答案为：.
14．为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是 ．
【答案】
【解析】由题意得，随机变量服从超几何分布，即，
记，则，
所以．
当时，，解得，
当时，，故当时，最大，的估计值为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
二项式展开式前三项的二项式系数和为22.
(1)求n的值；
(2)求展开式中各项的二项式系数和及各项的系数和；
(3)求展开式中的常数项.
【解析】（1）展开式前三项的二项式系数和为22，
，
或（舍），
故n的值为6.
（2）展开式中各项的二项式系数和为.
令，则展开式各项系数和为.
（3）由题意得，展开式通项，
令，得，
所以常数项为960.
16．（15分）
某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据．
10 20 30 40 50
650 640 600 590 580
(1)一般认为当时，经验回归方程的拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．
(2)请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间的经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度．
参考公式：；
相关系数．
参考数据：．
【解析】（1）易知，
因为，，
，
因为
所以该经验回归方程的拟合效果非常好．
（2）由（1）知，由，
因为，
所以，故所求的经验回归方程为．
当时，，
所以冷却速率为时，该金属的凝固点温度为．
17．（15分）
如图，菱形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
(1)若，证明：平面平面；
(2)若，当三棱锥体积最大时，
①求直线与平面所成角的正弦值；
②求平面与平面所成二面角的大小．
【解析】（1）为半圆直径，在半圆弧上，
，
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
平面，
，
，平面，
平面，
平面，
平面平面．
（2），则三棱锥体积最大时，有最大，此时在弧中点，
以为原点，设中点为，则，
以为轴，为轴，过点与面垂直的射线为轴建立空间直角坐标系，
设菱形边长为2有，，，，
则，，，
（ⅰ）设面的法向量为，
由，即，令，，
记直线与面所成角为，则 ，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（ⅱ）记平面的法向量为，
由，即，令，，
由题知，面的法向量为，
记平面与平面所成二面角为，，
所以平面与平面所成二面角为．
18．（17分）
诗词大会的挑战赛上，挑战者向守擂者提出挑战，规则为挑战者和守擂者轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜，比赛最多进行5轮（挑战者和守擂者依次答题一次为一轮），若第五轮挑战者答题正确则不论守擂者答对与否都认为挑战者获胜.赛制要求挑战者先答题，守擂者和挑战者每次答对问题的概率都是，且每次答题互不影响.（其中挑战者第五轮答对问题概率为）.
(1)若在不多于两次答题就决出胜负的条件下，则挑战者获胜的概率是多少？
(2)在此次比赛中，挑战者最终获胜的概率是多少？
(3)现赛制改革，挑战者需要按上述方式连续挑战全部6位守擂者，以（2）中求得的挑战者最终获胜的概率作为挑战者面对每个守擂者的获胜概率，每次挑战之间相互独立，若最终统计结果是挑战者战胜了不少于三分之二的守擂者，则称该挑战者挑战成功，反之则称挑战者挑战失败.若再增加1位守擂者，试分析该挑战者挑战成功的概率是否会增加？并说明理由.
【解析】（1）设事件A为“挑战者获胜”，事件B为“不多于两次答题就决出胜负”，则，
又事件为“不多于两次答题就决出胜负且挑战者获胜”，即只有“挑战者获胜，守擂者失败”这一种情况，
则，，
所以挑战者获胜的概率是.
（2）挑战者和守擂者依次答题一次为一轮，
每一轮答题中两人都答对的概率为，进行轮后不分胜负的概率为，
则第轮挑战者获胜的概率为，第5轮挑战者获胜的概率为
挑战者最终获胜的概率为.
（3）设随机变量X为挑战者连续挑战6位守擂者时能够战胜守擂者的人数，为此时挑战者挑
战成功的概率，由守擂者有6位，得挑战者要想挑战成功，至少需要战胜4位守擂者；
设Y为挑战者连续挑战7位守擂者时能够战胜守擂者的人数，为此时挑战者挑战成功的概率，
由守擂者有7位，得挑战者要想挑战成功，至少需要战胜5位守擂者，
，
，而，
所以该挑战者胜利的概率没有增加.
19．（17分）
甲、乙两位乒乓球爱好者进行一次对抗赛，第一个球的发球权通过掷硬币确定，从第二个球开始，上一个球谁赢谁发球．由历史数据可知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为．
(1)求第1个球甲赢的概率；
(2)求第个球甲赢的概率；
(3)定义第个球甲赢的期望，求．
【解析】（1）设第1个球的发球人为甲为事件，第1个球的发球人为乙为事件，
第1个球甲赢为事件，
由题知，，
由全概率公式知，，
第1个球甲赢的概率．
（2）设事件：第个球甲赢，事件：第个球乙赢，
由题知，当时，，
由全概率公式知，当时，
，
，
，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，
．
（3）由（2）知，．
设数列的前项和为，
则，①
，②
①②得，
，
易知数列的前项和为，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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