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2025年九年级中考数学冲刺练习 一次函数与折叠问题
1．将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．P是边上的一点（点P不与点A，O重合），沿着折叠该纸片，得点O的对应点C．
(1)填空：如图①，当点C在边上时，点P的坐标为________，的面积为________；
(2)如图②，当轴时，与交于点D，求点D的坐标；
(3)设点A到直线的距离为d，在折叠过程中，当时，求的长（直接写出结果即可）．
2．如图，矩形的边、的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合．
(1)求折痕所在直线解析式．
(2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式．
(3)点P是直线上一点，试在平面内确定一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是菱形，直接写出点M的坐标．
3．如图， 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D．
(1)线段的长度为 ；
(2)求线段的长，以及直线所对应的函数表达式；
4．将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，．
(1)如图①，沿折叠矩形，点落在处，交于点，求点F的坐标；
(2)如图②，点D是中点，点E在上，求的最小值；
(3)如图③，折叠该纸片，使点C落在边上的点为，折痕为，点M在边上，求直线的函数解析式．
5．如图，已知直线与轴，轴分别交于点和点，为线段上一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．

(1)求，两点的坐标．
(2)求直线的函数表达式．
6．如图，四边形是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O与坐标原点重合，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，D的坐标为．现将纸片沿过D点的直线折叠，使顶点C落在线段上的点F处，折痕与y轴的交点记为E．
(1)求点F的坐标；
(2)在x轴上是否存在点Q，满足，若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P在直线上，且为直角三角形，请直接写出点P的坐标．
7．如图，四边形是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点与坐标原点重合，点A、C分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，D的坐标为，现将纸片沿过点的直线折叠，使顶点落在线段AB上的点处，折痕与轴的交点记为．

(1)求点的坐标：
(2)在轴上是否存在点，满足，若存在，求出点坐标，若不存在请说明理由：
(3)点在直线上，且为等腰三角形，请直接写出点的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点、，C是线段上一点，将沿着折叠，点O落在点D，连接．
(1)求直线的函数解析式；
(2)若点D正好落在线段上，求点C的坐标；
(3)若，求点D的坐标；
(4)点P是平面内一点，若，请直接写出直线的函数解析式．
9．已知，直线经过点和点，点C在线段上，将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处．
(1)求直线的表达式；
(2)求的面积．
10．将一长方形纸片放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，．
(1)如图1，在上取一点E，将沿折叠，使点O落在边上的点D，求线段．
(2)如图2，在边上选取适当的点M，F，将沿折叠，使点O落在边上的点处，过点D，作垂直于于点G，交于点T．
①求证：；
②设，求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示．
(3)在（2）的条件下，当时，点P在直线上，问：在坐标轴上是否存在点Q，使以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
11．长方形纸片中，，，把这张长方形纸片如图放置在平面直角坐标系中，在边上取一点，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．
(1)点的坐标是______，点的坐标是______；
(2)在上找一点，使最小，求点坐标．
12．综合与实践课上；老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二；在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接．
(1)如图1，当点在上时，______度；
(2)改变点在上的位置（点不与点A，D重合）如图2，判断与的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，在y轴上，点在第一象限，点在边上，，，直线交边于，，求直线的解析式．
13．在矩形中，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E．

(1)当点F运动到边的中点时，求点E的坐标；
(2)连接、，求证：；
(3)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
14．如图1，直线，直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，直线交x轴于点B，沿直线折叠，点O恰好落在直线上的点C处
(1)求点B的坐标；
(2)直线上有一点Q，使，求Q的坐标
(3)如图2，直线上的两点F、G，是以为斜边的等腰直角三角形，求点G的坐标
15．如图，四边形为矩形，，将矩形沿直线折叠，使点A落在点处．
(1)求证：；
(2)求直线的函数表达式；
(3)在y轴上作点，连接，点N是x轴上一动点，直线上是否存在点M，使以M，N，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．
《2025年九年级中考数学冲刺练习-一次函数与折叠问题》参考答案
1．(1)，；
(2)
(3)或8
【分析】（1）根据折叠的性质，得，，设，则，结合，得到，得到，解答即可．
（2）根据折叠的性质，结合轴，证明四边形是正方形，再利用三角形的中位线定理，解答即可．
（3）解答时，分轴和不平行x轴两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵点，点，
∴，
根据折叠的性质，得，
设，
则
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴点，
故答案为：；
∵，
∴，
故答案为：．
（2）解：∵点，点，
∴，
根据折叠的性质，得，
设，
则，
∵轴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）解：当轴时，
∵点，点，
∴，
根据折叠的性质，得，
设，
则，
∵轴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，此时；
∴；
当不平行x轴时，如图所示，
过点A作于点G，根据题意，得，
设的交点为M，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理，得，
解得，
此时，
故或8．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
2．(1)
(2)
(3)M的坐标为或或或
【分析】先解方程得到，，再求出D点坐标，最后由待定系数法求解析式即可；
分为：当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形，当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形，当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积，分别列面积表达式求解即可；
由点P是直线上一点，设，从而，，再分别判定以A、B、P三点的三角形为等腰三角形，列方程得到P点坐标，再由平行四边形性质推出点M的坐标，注意分类讨论即可．
【详解】（1）解：，
解得，，
、的长分别是方程的两个根，
，
由折叠可知，，
，
则由待定系数法可得直线的直线解析式为
（2）解：当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形，
故；
当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形，
故；
当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积，
即
综上，直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式为
（3）解：点P是直线上一点，设，
又，，
，，
，
①当时，即，解得，
，，
此时可得，
②当时，即，解得或与A重合，舍去，
即，此时可得
③当时，即，解得，
即，此时可得
综上，M的坐标为或或或
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，动点引出的几何图形面积与函数问题，两点间距离公式，一元二次方程，菱形的判定，等腰三角形的判定，掌握以上内容是解题关键．
3．(1)15
(2)，
【分析】本题考查一次函数与几何图形，矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握一次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式的方法，矩形的性质是解题的关键．
（1）矩形中，可得；
（2）求出点，，，由待定系数法求出直线的解析式．
【详解】（1）解：，
，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：15；
（2）解：由折叠的性质得：，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，
设直线所对应的函数表达式为，
将点代入得：，
解得，
则直线所对应的函数表达式为．
4．(1)
(2)15
(3)
【分析】（1）先根据平行线和折叠的性质得：，设，根据勾股定理得解出可解答；
（2）作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即的长，根据勾股定理可解答；
（3）过作轴于，设，根据勾股定理列方程得求得点，然后利用待定系数法求得的解析式．
【详解】（1）解：由折叠得：，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，则，，
在中，，
由勾股定理得：，
，
，
；
（2）解：如图②，作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即，
过作轴于，
，
是的中点，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即的最小值是15；
（3）解：如图③，过作轴于，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
．
设的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
的解析式为．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质、矩形的性质及最短路径的知识，综合性较强，难度适中，注意掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，本题辅助线的作法是关键．
5．(1)，
(2)直线的解析式为．
【分析】（1）本题考查一次函数与坐标轴的交点，根据轴上的点，轴上的点，代入求解即可．
（2）本题根据勾股定理得出的长，设，利用折叠的性质，推出，，又，在中通过勾股定理求得，给出的坐标，再利用待定系数法即可求得直线的解析式．
【详解】（1）解：当时，有，解得，即，
当时，有，解得，即．
（2）解：设，则，
将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．
，，
，，
，
，
在中，，解得，
，
设直线的解析式为，
将代入解析式，有，解得，
直线的解析式为．
【点睛】此题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理等知识，解答本题的关键是求出的长度．
6．(1)
(2)存在，或
(3)或
【分析】（1）由题意得，可得，根据勾股定理可得的值，进而可得点的坐标；
（2）根据，可得，过点作，与轴交于点，与等底同高面积相等，点即为存在的点；
（3）设，当时，当时，当时，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：，
，
由折叠可得，
在中，，，
，
；
（2）解：存在，过点作于点，
设，
，
，
，
，
，
设直线解析式为：，将代入得，
，
解得：，
直线的解析式为：，
，
设，过点作轴交直线于点，则，，
，
或，
或，
或；
（3）解：，
，
如图：连接，
∴，
∴，
点P不在直线上，不符合题意；
当时，如图：
设，
则，，
为直角三角形，
，
解得，或(舍去)，
时，，的坐标为；
当时，如图：
，
，解得∶ ，
当时，则，的坐标为，
综上所述，的坐标为或．
【点睛】本题考查了矩形，直角三角形，点的坐标，一次函数解析式等知识点，通过证明三角形全等，根据勾股定理求值，用解析式方法求点的存在性是解本题考查的关键，是一道经典的四边形综合题，综合性较强，难度较大．
7．(1)
(2)当时，则点Q的坐标为或
(3)点的坐标为：，，，
【分析】（1）由题意易得，可得，根据勾股定理可得的值，进而可得点的坐标；
（2）①当点Q落在x轴的正半轴时，由，可得，过点作，与轴交于点，与等底同高面积相等，点即为存在的点；②当点Q落在x轴的负半轴时，过点C作，交x轴于点，同理①可求解；
（3）①以为半径，点的圆心，作弧，交直线与点、；②以为半径，点的圆心，作弧，交直线与点；作的中垂线，交直线于点；点、、、即为所求的点的坐标．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，
是由沿折叠所得，
∴，
，
点的坐标为，的坐标为，
，，，，
，
∴，
点的坐标为；
（2）解：存在，理由如下：
①当点Q落在x轴的正半轴时，如图1所示：过点作，与轴交于点，点即为存在的点．

是由沿折叠所得，
∴，
∴根据平行线间的距离都相等可知：，
过点E作于点H，如图所示，
∴，
设，则有，，
∴由勾股定理得：，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
将点、点代入，联立方程可得，
，解得：，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∵，直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
将点代入，可得，
，解得：，
直线的解析式为，
当时，，解得：，
点的坐标为；
②当点Q落在x轴的负半轴时，过点C作，交x轴于点，根据平行间的距离相等可知此时满足，如图所示，

同理①可得直线的解析式为，
∴当时，，解得：，
点的坐标为；
综上所述：当时，则点Q的坐标为或；
（3）解：设直线与x轴的交点为M，如图2所示：

①以为半径，点的圆心，作弧，交直线与点、，
由（2）可知：直线的解析式为，，
∴当时，，解得：，
点的坐标为；
∴，
过点轴于点N，则有，设，
，
解得：（负根舍去），
∴，
同理可得：，
②以为半径，点的圆心，作弧，交直线与点，过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理①可得：，
③作的中垂线，交直线于点，
∴，
同理可知，
∴，
同理可得，
综上所述，点的坐标为：，，，．
【点睛】本题考查了矩形、等腰三角形、点的坐标、一次函数解析式等知识点，通过证明三角形的全等，根据勾股定理求值，函数与图形结合，用解析式方法求点的存在性是解本题的关键，是一道经典的四边形综合题，综合性较强，难度较大．
8．(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）先利用勾股定理求出，由折叠的性质得出，．设，则，，利用勾股定理解即可；
（3）连接交于点E，由翻折可得：，，，根据求出点C的坐标，进而求出直线和直线直线的表达式，联立求出点E的坐标，最后根据中点公式可得点D的坐标；
（4）分点P在上方与下方两种情况，添加辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质得出相关线段的长度，即可求解．
【详解】（1）解：将、代入直线得：
，
解得： ，
∴；
（2）解：如图，
∵、，
∴，
∴，
由折叠得：，．
∴，
设，则，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接交于点E，

由翻折可得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴直线的表达式为：，
∵
∴直线的表达式为：，
联立：解得：，
∴，
∵，
∴；
（4）解：分两种情况：
若点P在直线的上方，令，轴于点M，如图，
，，
是等腰直角三角形，，
，
又，
，
又，，
，
，，
，
，
设直线的函数解析式为，
将和代入，得：，
解得，
直线的函数解析式为；
同理，若点P在直线的下方，构造，如图，
可得，直线的函数解析式为．
综上可知，直线的函数解析式为或．
【点睛】本题考查一次函数的综合问题，坐标与图形，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两条直线的交点问题等，熟练掌握一次函数的图象和性质，以及分类讨论思想是解题的关键．
9．(1)
(2)15
【分析】本题考查了求一次函数表达式，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，以及直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方．
（1）设直线的表达式为，把、代入求出k和b的值，即可得出函数表达式；
（2）根据勾股定理得出 ，由折叠的性质可知，，则，设，根据勾股定理列出方程求出x的值，进而得出，最后根据即可求解．
【详解】（1）解：设直线的表达式为，
把、代入得：
，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：∵、
∴，
∴，
∵由沿着折叠所得，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
∴．
10．(1)4
(2)①见解析；②
(3)存在，或或
【分析】（1）由折叠的性质可知，，，由勾股定理得，，则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可；
（2）①由折叠的性质可知，，，证明，四边形是矩形，则，，，可得，进而可证；②由，可得，，由勾股定理得，，即，整理作答即可；
（3）当时，，即，，则，，以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分当为对角线时，，如图1，，重合；当为边，为对角线时，，如图1，，重合；当为边，为边时，，如图1，，三种情况求解作答即可．
【详解】（1）解：∵长方形，
∴，
由折叠的性质可知，，，
由勾股定理得，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴线段的长为4．
（2）①证明：由折叠的性质可知，，，
∵，，
∴，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：∵，
∴，，
由勾股定理得，，即，
整理得，；
（3）解：当时，，
∴，，
∴，，
∵以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，
∴当为对角线时，，如图1，，重合，

∴，
由平移的性质可得，；
当为边，为对角线时，，如图1，，重合，则，
由平移的性质可得，；
当为边，为边时，，如图1，，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴ 直线的解析式为，
令，则，
解得，，
∴；
综上所述，在坐标轴上存在点Q，使以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形， Q点坐标为或或．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等角对等边，平行四边形的性质，一次函数解析式，平移的性质等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等角对等边，平行四边形的性质，一次函数解析式，平移的性质是解题的关键．
11．(1)，；
(2)．
【分析】（）由折叠可得，，利用勾股可得，即得，得到点的坐标是，设，则，在中由勾股定理得，解方程可得，即得点的坐标；
（）作点关于的对称点，连接，交于点，则 ，即得，由两点之间线段最短，可得此时最小，由对称可得点，利用待定系数法可得直线的解析式为，把代入函数解析式即可求解；
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，轴对称最短线段问题，待定系数法求一次函数解析式，求一次函数图象上点的坐标，利用轴对称找到点的位置是解题的关键．
【详解】（1）解：由折叠可得，，，
∵四边形是长方形纸，
∴，，，
∴，
∴，
∴点的坐标是，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点的坐标是，
故答案为：，；
（2）解：作点关于的对称点，连接，交于点，则 ，
∴，由两点之间线段最短，可得此时最小，
∵点和点关于对称，
∴点，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
把代入得，，
解得，
∴点坐标为．
12．(1)30
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）连接，根据折叠得出为对称轴，根据轴对称的性质得出，，证明为等边三角形，得出，求出结果即可；
（2）根据折叠和正方形的性质，得出，得出，即可；
（3）延长至F，使得，连接，，证明，得出，，，证明，得出．
设，则，，求出，得出点E的坐标，利用待定系数法，求出函数解析式即可．
【详解】（1）解：连接，
∵为对称轴，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
（2）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
根据折叠可知：,，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（3）解：延长至F，使得，连接，，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∴
∵在和中，，，，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
在中，设，则，
∴，
解得：，
设直线为，代入点得：，
解得：，
∴直线为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，求一次函数解析式，勾股定理，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
13．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先求出点的坐标，进而得到反比例函数的解析式，再求出点坐标即可；
（2）分别求出直线的解析式，即可得证；
（3）过点作轴，交于点，证明，列出比例式，求出的长，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵矩形中，，
∴，，
当点F运动到边的中点时：，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象与边交于点E，
∴，
∴；
∴；
（2）如图：

∵，设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴直线：；
设：直线，
∵，
∴，解得：，
∴直线：，
∴；
（3）如图，过点作轴，交于点，则四边形为矩形，
∴，

∵翻折，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理．利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
14．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）设，则，在中，根据，构建方程即可解决问题；
（2）分两种情况：当点Q在线段上时，当点Q在延长线上时，分别 求出点Q的坐标即可；
（3）作轴于，轴于，由，推出，，设，，根据、在直线上，构建方程组即可解决问题
【详解】（1）解：对于直线，令，得到，可得，
令，得到，可得，
，，，
，设，则，
在中，，
，
，
．
（2）解：∵，，
∴，，，
分两种情况：当点Q在线段上时，过点Q作轴于p，如图，
∵轴，轴，
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∴
∴；
当点Q在延长线上时，过点Q作轴于p，如图，
同理
∵，
∴，
∴
∴，，
∴
∴．；
综上，点Q的坐标为或．
（3）解：设直线的解析式为，
，
，
，
直线的解析式为，
作轴于，轴于，
是等腰直角三角形，
，，，
，
，，设，，
、在直线上，
，
解得，
．
【点睛】本题考查一次函数综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
15．(1)见解析
(2)
(3)，，，理由见解析
【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、一次函数与平行四边形的综合等知识点，掌握平行四边形的性质成为解题的关键．
（1）先说明，由折叠可得，进而得出，最后根据等角对等边即可解答；
（2）先求出，进而得出，根据勾股定理求出，即，进而得到点E的坐标，最后用待定系数法求解即可；
（3）①当为对角线时，于互相平分，即的中点也是的中点，再求出的中点坐标，设出点M，N的坐标，建立方程求解即可；②当EF为边时，a.为对角线时，先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立两直线的解析式即可解答；b.为对角线时，的中点，也是的中点，得出的中点在直线上，先求出的中点坐标，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠可得：，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
在中，，
∴解得：，
∴，
∵点E在上，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为．
（3）解：∵以M，N，E，F为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当为对角线时，于互相平分，
∴的中点也是的中点，
由（2）知，，
∵，
∴的中点坐标为，
设，，
∴，，
∴，，
∴，；
②当为边时，
a.为对角线时，，
由（2）知，直线的解析式为，
∵点
∴直线的解析式为，
∴，
∵，，
根据待定系数法可得：直线的解析式为，
∵
∴直线的解析式为，
联立，解得：，
∴；
②为对角线时，的中点，也是的中点，
∴的中点在直线上，
设，
∵，
∴的中点坐标为，
∵直线的解析式为，
∴，
∴，
∴的中点坐标为，
设，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴满足条件的点，，．

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