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苏州市2024-2025学年第二学期高二数学期末模拟卷01
(满分150分，考试时间120分钟)
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是(　　)
A. (0，3)　　　 B. (0，1)∪(1，3)
C. (0，1)　　　　 D. (－∞，1)∪(3，＋∞)
2. 某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示．
x(月份) 1 2 3 4 5
y(万盒) 5 5 6 6 8
若x，y线性相关，线性回归方程为y＝0.6x＋a，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为(　　)
A. 7.2万盒 B. 7.6万盒 C. 7.8万盒 D. 8.6万盒
3. “幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm在(0，＋∞)上为增函数”是“函数g(x)＝2x－m2·2－x为奇函数”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知某个函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是(　　)
A. f(x)＝ B. f(x)＝
C. f(x)＝ D. f(x)＝
5. 某学校有四位优秀的同学甲、乙、丙、丁获得了保送到哈尔滨工业大学、东北林业大学和哈尔滨医科大学3所大学的机会，若每所大学至少保送1人，且甲同学要求不去哈尔滨医科大学，则不同的保送方案共有(　　)
A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 64种
6. 已知m，n∈R，且m－3n＋4＝0，则2m＋的最小值为(　　)
A. B. C. D.
7. 已知定义域为R的函数f(x)满足f(1＋x)＋f(1－x)＝4，且当x>1时f′(x)＞0，则不等式[f(x)－2]ln (x－1)>0的解集为(　　)
A. (2，＋∞) B. (1，＋∞) C. (1，2) D. (2，e2)
8. 若曲线y＝ex－1与曲线y＝a在公共点处有公共切线，则实数a＝(　　)
A. B. C. D.
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是(　　)
A. 若事件A与B互相独立，且0B. 在回归分析中，对一组给定的样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好
C. 若随机变量ξ服从二项分布B(4，)，则E(2ξ＋3)＝5
D. 设随机变量X服从正态分布N(0，1)，则P(|X|<)＝1－2P(X<)
10. 若(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022x2 022，则下列结果正确的是(　　)
A. a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 022＝1
B. a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝
C. a1＋2a2＋3a3＋…＋2 022a2 022＝4 044
D. a0＋＋＋…＋＝0
11. 已知函数f(x)＝lg (－x＋1)，g(x)＝，则下列说法正确的是(　　)
A. f(x)是奇函数
B. g(x)的图象关于点(1，2)对称
C. 若函数F(x)＝f(x)＋g(x)在x∈[1－m，1＋m]上的最大值、最小值分别为M，N，则M＋N＝4
D. 令F(x)＝f(x)＋g(x)，若F(a)＋F(－2a＋1)>4，则实数a的取值范围是(－1，＋∞)
12. 下列关于函数f(x)＝(1－)cos x的结论正确的有(　　)
A. 图象关于原点对称 B. 在(0，)上单调递增
C. 在(，π)上单调递减 D. 值域为(－1，1)
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若命题“ x∈R，使x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
14. 设a∈Z，且0≤a<13，若512 022＋a能被13整除，则a＝________．
15. 用1到5这5个整数组成无重复数字的四位数中按从小到大的顺序排列，其中第34个数是________．
16. 已知函数f(x)＝ex－ex＋a与g(x)＝ln x＋的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
(1) 若3A－6A＝4C，求n；
(2) 已知x>0，求(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10的展开式中x3的系数．(用数字表示结果)
18. (本小题满分12分)
已知实数x>0，y>0.
(1) 若x＋y＋xy＝3，求2xy的最大值与x＋y的最小值；
(2) 若x>y，求＋的最小值．
19. (本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ax2＋(a－2)x－ln x，a∈R.
(1) 试讨论f(x)的单调性；
(2) 若对任意x>0，都有f(x)≥0成立，求实数a的取值范围．
20. (本小题满分12分)
已知a∈R，函数f(x)＝log2(＋a).
(1) 若关于x的方程f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；
(2) 设a>0，若对任意t∈[，1]，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
21.(本小题满分12分)
中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数(PMI)为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快．以新能源汽车、机器人、增材制造、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展．已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量差在(μ－σ，μ＋σ)内的产品称为优等品，质量差在(μ＋σ，μ＋2σ)内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1 000件，测得产品质量差的样本数据统计如下．
(1) 根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x－作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，记质量差X～N(μ，σ2)，求该企业生产的产品为正品的概率P；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
(2) 假如企业包装时要求把2件优等品和n(n≥2，且n∈N*)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B.
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f(p)，求当n为何值时，f(p)取得最大值，并求出最大值．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x ln x－ax2＋x(a∈R).
(1) 求证：曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l恒过定点；
(2) 若f(x)有两个零点x1，x2，且x2>2x1，求证： eq \r(x＋x) >.
答案与解析
1. B　解析：∵ A∩B有4个子集，∴ A∩B有2个元素，∴ a∈A，∴ a2－3a<0 02. C　解析：由题意，根据表格中的数据可知：x－＝＝3，y－＝＝6，即样本点中心为(3，6)，代入回归方程y＝0.6x＋a，解得a＝4.2，即y＝0.6x＋4.2，令x＝6，解得y＝0.6×6＋4.2＝7.8(万盒)，故选C.
3. A　解析：要使函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则解得m＝1，当m＝1时，g(x)＝2x－2－x，x∈R，则g(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，即充分性成立；“函数g(x)＝2x－m2·2－x为奇函数”，则g(x)＝－g(－x)，即2x－m2·2－x＝－(2－x－m2·2x)＝m2·2x－2－x，解得m＝±1，故必要性不成立，故选A.
4. A　解析：对于B选项，函数f(x)＝有意义，则解得x≠0且x≠1且x≠2，故不满足，错误；对于C选项，函数f(x)＝有意义，则|x|－1≠0，解得x≠±1，故不满足，错误；对于D选项，当x∈(0，1)时，f(x)＝>0，故图象不满足，错误．故根据排除法得f(x)＝与此图象最为符合．故选A.
5. A　解析：每所大学至少保送1人，且甲同学要求不去哈尔滨医科大学，先考虑甲去的学校有2种情况，对甲去的学校分类讨论，若该校只有1人保送，则另外3人去两所学校共有CA；若甲去的学校有2人保送，则另外3人去3所学校共有A， 则不同的保送方案共有2×(CA＋A)＝24.故选A.
6. D　解析：将m＝3n－4代入2m＋，可得2m＋＝23n－4＋＝＋≥2＝(当且仅当n＝时，取得等号)，故选D.
7. A　解析：由f(1＋x)＋f(1－x)＝4得f(x)关于(1，2)成中心对称．令x＝0，可得f(1)＝2，当x>1时f′(x)＞0，则f(x)在[1，＋∞)上单调递增. 由f(x)关于(1，2)成中心对称且f(1)＝2，故f(x)在R上单调递增．由[f(x)－2]ln (x－1)>0，则或解得或故x>2.故选A.
8. A　解析：设公共点为P(s，t)，y＝ex－1的导数为y′＝ex－1，曲线y＝ex－1在P(s，t)处的切线斜率k＝es－1，y＝a的导数为y′＝，曲线y＝a在P(s，t)处的切线斜率k＝，因为两曲线在公共点P处有公共切线，所以es－1＝，且t＝es－1，t＝a，所以即a＝解得s＝，所以e－1＝a，解得a＝，故选A.
9. ABC　解析：若事件A与B互相独立，且010. ACD　解析：令x＝1，得1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 022…(1)，所以A对．令x＝，得0＝a0＋＋＋…＋，所以D对．令x＝－1，得32 022＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022…(2).(1)－(2)得1－32 022＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a2 021).所以a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝，所以B错．等式(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022x2 022两边求导得再令x＝1，得4 044＝a1＋2a2＋3a3＋…＋2 022a2 022，所以C对．故选ACD.
11. BCD　解析：由题意函数f(x)＝lg (－x＋1)＝lg [－(x－1)], 因为－(x－1)>0恒成立，即函数f(x)的定义域为R，又因为f(0)＝lg (＋1)≠0，所以f(x)不是奇函数，所以A错误；将g(x)＝的图象向下平移两个单位长度得到y＝－2＝，再向左平移一个单位长度得到h(x)＝＝，此时h(－x)＝＝＝－h(x)，所以h(x)图象关于点(0，0)对称，所以g(x)的图象关于(1，2)对称，所以B正确；将函数f(x)的图象向左平移一个单位长度得m(x)＝lg (－x)，因为m(－x)＋m(x)＝lg (＋x)＋lg (－x)＝lg 1＝0，即m(－x)＝－m(x)，所以函数m(x)为奇函数，所以函数f(x)关于(1，0)点对称，所以F(x)若在x＝1＋a处取得最大值，则F(x)在x＝1－a处取得最小值，则F(1＋a)＋F(1－a)＝f(1＋a)＋f(1－a)＋g(1＋a)＋g(1－a)＝0＋4＝4，所以C正确；由F(a)＋F(－2a＋1)>4，可得f(a)＋f(1－2a)＋g(a)＋g(1－2a)>4，由f(x)＝lg [－(x－1)]，设m(x)＝lg (－x)，t＝－x，可得t′＝－1<0，所以t＝－x为减函数，可得函数m(x)＝lg (－x)为减函数，所以函数f(x)＝lg [－(x－1)]为单调递减函数，又由g(x)＝＝1＋为减函数，所以F(x)为减函数，因为F(x)关于点(1，2)对称，所以F(a)＋F(－2a＋1)>4＝F(a)＋F(2－a)，即F(－2a＋1)>F(2－a)，即－2a＋1<2－a，解得a>－1，所以D正确．故选BCD.
12. ACD　解析：对选项A，函数f(x)定义域为R，f(－x)＝(1－)cos (－x)＝(1－)cos x＝(－1＋)cos x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故A正确；对选项B，因为f(0)＝0，f()＝0，所以函数f(x)在(0，)上不可能单调递增，故B错误；令g(x)＝1－，x∈(，π)，h(x)＝－cos x，x∈(，π)，则g(x)>0，h(x)>0，结合复合函数单调性知，y＝g(x)与y＝h(x)在x∈(，π)时均单调递增，所以y＝g(x)·h(x)在x∈(，π)时单调递增，故f(x)在x∈(，π)时单调递减，故C正确；对选项D，因为1＋ex>1，所以0<<1，所以－1<1－<1，又－1≤cos x≤1，所以－1<(1－)cos x<1，即f(x)的值域为(－1，1)，故D正确．故选ACD.
13. [－1，3]　解析：由题意得命题“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，
则命题“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”是真命题，
则需Δ≤0 (a－1)2－4≤0 －1≤a≤3.
14. 12　解析：由已知得512 022＋a＝(52－1)2 022＋a＝C522 022·(－1)0＋C522 021·(－1)1＋…＋C520(－1)2 022＋a＝C·522 022－C·522 021·(－1)1＋C·522 020－…－C·52＋1＋a，
即512 022＋a被13整除的余数为1＋a，而a∈Z，且0≤a<13，
若512 022＋a能被13整除，则1＋a＝13，即a＝12.
15. 2 345　解析：千位上是1时，有A＝24(个)，
千位上是2时，百位上是1时，有A＝6(个)，
千位上是2时，百位上是3时，十位上是1时，有A＝2(个)，
千位上是2时，百位上是3时，十位上是4时，有A＝2(个)，
分别为2 341，2 345，
所以按从小到大的顺序排列，其中第34个数是2 345.
16. (－∞，－1]　解析：g(x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)，则g(x)关于x轴对称的函数为y＝－ln x－，
则条件等价为f(x)＝ex－ex＋a＝－ln x－在(0，＋∞)上有解，
得a＝－ln x－－ex＋ex，
令h(x)＝－ln x－－ex＋ex，
则h′(x)＝－＋－ex＋e，
当x＝1时，h′(x)＝0，
当x>1时，h′(x)＝－(ex－e)<0，
当00，
所以h(x)在(1，＋∞)上单调递减，在(0，1)上单调递增，
h(x)max＝h(1)＝－ln 1－1－e＋e＝－1，
因为当x→＋∞时，h(x)→－∞，
所以当a≤－1时，直线y＝a与h(x)的图象有交点，即f(x)＝ex－ex＋a＝－ln x－在(0，＋∞)上有解，所以实数a的取值范围是(－∞，－1].
17. 解：(1) ∵ 3A－6A＝4C，
∴ 3n(n－1)(n－2)－6n(n－1)＝2n(n＋1)，即3n2－17n＋10＝0 (n≥3，n∈N*)，解得n＝5(n＝舍). (5分)
(2) 由题意得展开式中x3的系数为C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＝330.
∴ (1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)10展开式中x3的系数为330.(10分)
18. 解：(1) 因为x＋y≥2，又因为x＋y＋xy＝3，所以xy＋2≤3，解得－3≤≤1，
因为0<，所以0<≤1，所以0(2) 由＋，令t＝x－y，t>0，所以x＝t＋y，
＋＝＋＝ty＋＋2y2＋≥2＋2y2＋＝4y2＋≥2＝4；
当且仅当ty＝，且4y2＝，即x＝，y＝时等号成立，所以＋的最小值为4.(12分)
19. 解：(1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞).
又f′(x)＝2ax＋(a－2)－＝＝，
当a≤0时，在(0，＋∞)上，f′(x)＜0，f(x)是减函数；
当a＞0时，由f′(x)＝0得x＝或x＝－(舍)，
所以在(0，)上，f′(x)＜0，f(x)是减函数；
在(，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)是增函数．(4分)
(2) 对任意x＞0，都有f(x)≥0成立，即：在(0，＋∞)上f(x)min≥0，
由(1)知：当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
又f(1)＝2a－2＜0，不合题意；
当a＞0时，当x＝时，f(x)取得极小值也是最小值，
所以f(x)min＝f()＝1－＋ln a，
令u(a)＝f()＝1－＋ln a(a＞0)，
所以u′(a)＝＋，
在(0，＋∞)上，u′(a)＞0，u(a)是增函数，又u(1)＝0，
所以要使得f(x)min≥0，即u(a)≥0，即a≥1，
故a的取值范围是[1，＋∞).(12分)
20. 解：(1) 由f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0，
即log2(＋a)＝log2[(a－4)x＋2a－5]，
等价于
即
当a＝4时，x＝－1，经检验，满足题意．
当a＝3时，x1＝x2＝－1，经检验，满足题意．
当a≠3且a≠4时，x1＝，x2＝－1，x1≠x2.x1是原方程的解当且仅当＋a>0，
即a>2；x2是原方程的解当且仅当＋a>0，即a>1.于是满足题意的a∈(1，2].
综上，a的取值范围是(1，2]∪{3，4}．(6分)
(2) 当0＋a，log2(＋a)>log2(＋a)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t＋1).
f(t)－f(t＋1)＝log2(＋a)－log2(＋a)≤1，
即at2＋(a＋1)t－1≥0，
对任意t∈[，1]成立．因为a>0，
所以函数y＝at2＋(a＋1)t－1在区间[，1]上单调递增，t＝时，y有最小值a－，由a－≥0，得a≥.故a的取值范围是[，＋∞).(12分)
21. 解：(1) 由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1 000件的平均数为x－＝0.010×10×＋0.020×10×＋0.045×10×＋0.020×10×＋0.005×10×＝70，即μ≈x－＝70，
样本方差s2＝100，故σ≈＝10，所以X～N(70，102)，
则优等品为质量差在(μ－σ，μ＋σ)内，即(60，80)，
一等品为质量差在(μ＋σ，μ＋2σ)内，即(80，90)，
所以正品为质量差在(60，80)和(80，90)内，即(60，90)，
所以该企业生产的产品为正品的概率P＝P(60(2)①从n＋2件正品中任选两个，有C种选法，其中等级相同有C＋C种选法，
∴ 某箱产品抽检被记为B的概率为p＝1－ eq \f(C＋C,C) ＝1－＝.(6分)
②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f(p)＝Cp3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2)＝10(p3－2p4＋p5)，
所以f′(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2)＝10p2(p－1)(5p－3)，
所以当p∈(0，)时，f′(p)>0，函数f(p)单调递增，
当p∈(，1)时，f′(p)<0，函数f(p)单调递减，
所以当p＝时，f(p)取得最大值，最大值为f()＝C×()3×(1－)2＝.
此时p＝＝，解得n＝3，
∴ n＝3时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为.(12分)
22. 解：(1) f′(x)＝ln x－2ax＋2，
则f′(1)＝2－2a，即切线斜率为2－2a，
又f(1)＝1－a，
则切线l的方程为y－(1－a)＝(2－2a)(x－1)，
即y＝(2－2a)(x－)，
可得当x＝时，y＝0，故切线l恒过定点(，0).(4分)
(2) ∵ x1，x2是f(x)的零点，x2>2x1，且x1>0，x2>0，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1ln x1－ax＋x1＝0，,x2ln x2－ax＋x2＝0，)) 即
∴ a＝＝，
即ln x1x2＋2＝，
令t＝，则t>2，则ln x1x2＋2＝，
令g(t)＝，则g′(t)＝.
令h(t)＝t－－2ln t，则h′(t)＝>0，则h(t)单调递增，
∴ h(t)>h(2)＝－2ln 2>0，即g′(t)>0，则g(t)单调递增，
∴ g(t)>g(2)＝3ln 2，
∴ ln x1x2＋2>3ln 2，即ln x1x2>3ln 2－2＝ln ，即x1x2>，
则 eq \r(x＋x) >>(由于x1≠x2，故不取等号)，得证．(12分)
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