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湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·长沙期末）据教育部教育考试院官方微信消息，2024年全国高考报名人数达到1342万人，1342万这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1342万，
故选：D．
【分析】常用科学记数法把绝对值较大的数字表示成的形式，其中，n取这个数字整数，部分数字位数与1的差．
2．（2024八下·长沙期末）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
B、有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：C．
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．
3．（2024八下·长沙期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是菱形
【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，正确，故A是真命题，
有三个角是直角的四边形是矩形，故B是假命题，
四条边相等的四边形是菱形，故C是假命题，
对角线相等的平行四边形是矩形，故D是假命题，
故选：A．
【分析】菱形和矩形都是特殊的平行四边形，其中菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分；矩形的四个角相等都是直角，对角线互相平分且相等；正方形既是菱形也是矩形，因此它具有菱形和矩形的所有性质，反过来判定一个四边形是正方形时，可先证菱形，再证矩形或先证矩形，再证菱形．
4．（2024八下·长沙期末）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如下表所示：
　 甲 乙 丙 丁
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵，
∴甲、丁成绩更好，从中选择一人参加比赛，
∵，即甲的方差小，
∴甲发挥更稳定，
∴选择甲参加比赛，
故选：A．
【分析】方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定．
5．（2024八下·长沙期末）如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，
∵M，N分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
【分析】
由平行四边形的性质知，再在中，应用中位线定理即可得．
6．（2024八下·长沙期末）鞋店对5款运动鞋上周的销售数量进行了统计，如下表所示：
款式 A B C D E
数量（双） 12 23 50 14 3
鞋店老板决定在下一次进货中多进C款的鞋，影响他决策的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由于C款的鞋销量最多，因而影响鞋店这一决策的统计量是众数．
故选：C．
【分析】
由销售量统计图知，C款的鞋销量最多，因而应多进些．
7．（2024八下·长沙期末）抛物线通过平移变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（　　）
A．先向右平移1个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移3个单位
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，即可得到抛物线，
故选：B．
【分析】
平面直角坐标系上图形的平移特征是：左加右减、上加下减．
8．（2024八下·长沙期末）抛物线与x轴的两交点之间的距离是（　　）
A．1 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令得方程，，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点为：，
∴抛物线与x轴两交点之间的距离为：，
故选：C．
【分析】
令，得方程，可求出方程的两根，即为抛物线与x轴的交点，则两交点之间的距离可求．
9．（2024八下·长沙期末）一天早上，小南从家出发步行前往学校，途中在早餐店买了份早餐，之后便快步走到学校，这一过程小南走过的路程y（米）与出发后时间x（分钟）关系如图所示．下列说法正确的有（　　）个．
①小南家与学校距离为800米；
②小南在早餐店停留了5分钟；
③小南买早餐后快步走的速度是125米/分钟；
④如果小南不买早餐，一直按之前的速度步行到校，她会比实际情况早到学校．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由关系图可知，小南家与学校距离为800米，故①正确，
由关系图可知，分钟时，路程没有发生变化，小南在早餐店停留了5分钟，故②正确，
由关系图可知，小南买早餐后快步走的速度为：（米/分钟），故③正确，
小南之前的速度为：（米/分钟），如果小南不买早餐，预计到校时间为（分钟），小于分钟，她会比实际情况早到学校，故④正确，
故选：D．
【分析】
观察函数图象，可直接判断①②正确，由小南买早餐后的速度路程时间，可判断③正确，计算出小南不买早餐，预计到校时间与实际到校时间比较，即可判断④正确．
10．（2024八下·长沙期末）已知，，是抛物线上的点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，是抛物线上的点，
∴，
，
，
，
，
，
故选：A ．
【分析】直接将，，代入，求出、、的大小，再进行比较大小即可．
11．（2024八下·长沙期末）使函数有意义的的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意，得：
，
解得：．
故答案为：．
【分析】二次根式的被开方数是非负数，据此列出关于x的不等式，解不等式即可．
12．（2024八下·长沙期末）如图，把矩形沿折叠，使点点分别落在点、，若，则　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵把矩形沿折叠，使点点分别落在点、，，∴，，∴，
故答案为：．
【分析】由矩形的性质可得，根据折叠的性质，结合平角为，得等于等于等于，根据“两直线平行，同旁内角互补”，则等于即可．
13．（2024八下·长沙期末）学校组织了一场模拟招聘活动，招聘按照笔试成绩占、面试成绩占计算总成绩，小南笔试90分，面试88分，那么她的总成绩为　 　分．
【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意，
小南的总成绩为：
故答案为：．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
14．（2024八下·长沙期末）二次函数的顶点坐标为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：
，
∴二次函数的顶点坐标为，
故答案为：．
【分析】
利用配方法将二次函数解析式化成顶点式，得出顶点坐标即可．
15．（2024八下·长沙期末）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为　 　．
【答案】2024
【知识点】一元二次方程的根；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：∵m是方程的一个实数根，
，
，
．
故答案为：2024
【分析】
由方程解的概念可得，然后整体代入所求的式子当中求值即可．
16．（2024八下·长沙期末）二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②时，y随x的增大而增大；③；④不等式的解集是；其中正确的是　 　．（填序号）
【答案】①
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①中，因为抛物线图像开口向上，可得，
又因为对称轴在y轴右侧，所以a、b异号，可得，
由图知，所以，故①正确；
②由图知，当时，y随x的增大先减小后增大，故②错误；
③由图知时，，∴，故③错误；
④由图知或时，∴不等式的解集是或，
故④错误．
故答案为：①.
【分析】由抛物线图像开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点可确定a、b、c的符号，即可判断①；直接观察图像即可判断②；由图知时，，即可判断③；观察图像可得或时，即可判断④.
17．（2024八下·长沙期末）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
实数的混合运算，先计算乘方、绝对值、算术平方根、负整数指数幂，再去括号，最后加减计算即可．
18．（2024八下·长沙期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
，．
（2）解：，
，
，
，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
（1）解：，
，
，
，．
（2）解：，
，
，
，．
19．（2024八下·长沙期末）如图，平面直角坐标系中直线与直线相交于点A，与x轴交于点B．
（1）求A点坐标；
（2）O为坐标原点，求的面积．
【答案】（1）解：由，解得，
．
（2）解：由，得，
，
，
的面积为，
的面积为3．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）由于两直线交于点A，可联立和，解方程组，方程组的解即为A点坐标；
（2）令，可求出B点坐标，即可得的长，另由于点A的纵坐标即为OB上的高，再根据三角形面积公式即可求出的面积．
（1）解：由，解得，
．
（2）解：由，得，
，
，
的面积为，
的面积为3．
20．（2024八下·长沙期末）学校八年级开展了一次环保知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．现抽取部分学生的竞赛成绩整理并绘制成如下不完整统计图，请根据提供的信息解答下列问题：
（1）抽取了_________名学生的竞赛成绩，这些成绩的中位数为_________分；
（2）扇形图中D级对应扇形的圆心角为_________；
（3）该校八年级共有800人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有多少人？
【答案】（1）40，9
（2）36
（3）解：（人），∴估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）一共抽取了人，则中位数为第20位和第21位的平均数，
∵第20位和第21位的成绩都为9分，
∴中位数为分，
故答案为：40，9．
（2）D级所占的百分比为：，
∴D级对应扇形的圆心角为：，
故答案为：36．
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可根据A组人数除以A组所占的百分比即可求出抽取的学生总人数，即可得出C组人数；由于此时数据已按照从大到小的顺序排列，只需求出第20名和第21名学生的平均成绩即可得出中位数；
（2）先求出D级人数所占的百分比，再利用乘以这个百分比，即可求出D级对应扇形的圆心角的度数．
（3）根据总人数乘以优秀学生所占的百分比即可求出本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生人数．
（1）解：一共抽取了人，则中位数为第20位和第21位的平均数，
∵第20位和第21位的成绩都为9分，
∴中位数为分，
故答案为：40，9．
（2）解：D级所占的百分比为：，
∴D级对应扇形的圆心角为：，
故答案为：36．
（3）解：（人），
∴估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有人．
21．（2024八下·长沙期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）设方程的两根分别为，．若以，的值为对角线长的菱形面积为2，求m的值．
【答案】（1）证明：，
方程总有两个实数根．
（2）解：根据根与系数的关系可得，
∵菱形面积为，
∴，
解得，
所以m的值为3．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；菱形的性质
【解析】【分析】（1）直接利用一元二次方程根的判别式进行计算即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，又由菱形的面积为，即可求出m的值．
（1）证明：，
方程总有两个实数根．
（2）解：根据根与系数的关系可得，
∵菱形面积为，
∴，
解得，
所以m的值为3．
22．（2024八下·长沙期末）如图，矩形的对角线交于点G，过点B作交的延长线于点E．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）过点D作于F，连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵E点在的延长线上，
，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵四边形是矩形，∴，，，即点是中点，
∵，，
，
，
∵，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
（1）根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可．
（2）由“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可知FG等于BD的一半，再由矩形的对角线相等可知AC等于BD，再利用勾股定理求出AC即可．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵E点在的延长线上，
，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，即点是中点，
∵，，
，
，
∵，
，
．
23．（2024八下·长沙期末）某地年种植黄桃亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到今年种植了亩
（1）假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率；
（2）一水果店以每件元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如下表：
销售单价（元）
销售量（件）
①求与之间的函数关系式；（不需写出自变量的取值范围）
②若要使每天的销售利润为元，又要让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元？
【答案】（1）解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为，由题意得：，
∴，
∵增长率大于，
∴，
答：种植黄桃亩数的年平均增长率为；
（2）解：①∵黄桃每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系，∴设，
由表格得：当时，；当时，，
代入得：，
解得：，
∴；
②∵以每件元的价格购进该种黄桃销售，要使每天的销售利润为元，由①得，
∴，
整理得：，即，
∴或，
解得：，，
∵要让顾客得到实惠，，
∴，
答：销售单价应定为元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）平均增长率问题常用方程，其中分别代表起始数据和终止数据；
（2）①设，利用待定系数法求出与之间的函数关系式即可；
②根据等量关系“以每件元的价格购进该种黄桃销售，要使每天的销售利润为元”列方程并求解，再根据“要让顾客得到实惠”，对方程的根进行取舍即可．
（1）解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为，
由题意得：，
∴，
∵增长率大于，
∴，
答：种植黄桃亩数的年平均增长率为；
（2）解：①∵黄桃每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系，
∴设，
由表格得：当时，；当时，，
代入得：，
解得：，
∴；
②∵以每件元的价格购进该种黄桃销售，要使每天的销售利润为元，由①得，
∴，
整理得：，即，
∴或，
解得：，，
∵要让顾客得到实惠，，
∴，
答：销售单价应定为元．
24．（2024八下·长沙期末）定义：若一个函数图象与直线有交点，该函数就称为“零和函数”，两个函数图象的交点称为“零和点”，例如：图象与的交点是，则是“零和函数”，交点是“零和点”．
（1）以下两个函数：①，②，是“零和函数”的是_________（填写序号）；
（2）一个“零和函数”（均为常数）图象与x轴有交点，顶点恰好是“零和点”，求该二次函数的解析式；
（3）若二次函数（均为常数，且）的图象上有两个不同的“零和点”和，且，该二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是，若已知，求的取值范围．
【答案】（1）①
（2）解：的顶点恰好是“零和点”，
的顶点为，
，
（均为常数）图象与x轴有交点，
，
联立，则，即，解得或，
是“零和函数”，
或，
该二次函数的解析式或；
（3）解：二次函数（均为常数，且）的图象上有两个不同的“零和点”和，联立，则，即，
，，
，
，
二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是，
，则，
，
，对称轴为，
当时，随着的增大而增大，则，即的取值范围是．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：联立，解得，即函数的图象与直线有交点，为，
由“零和函数”定义可得①是“零和函数”；
联立，则，由，得方程组无解，即函数的图象与直线无交点，
由“零和函数”定义可得②不是“零和函数”；
故答案为：①；
【分析】（1）由“零和函数”的定义可与列方程组求解即可；
（2）先抛物线解析式的一般形式转化为顶点式，由于顶点恰好是“零和点”，则顶点的两坐标的和为0，即；再由二次函数图象上点的坐标特征可把点代入到抛物线解析式中得，联立方程组求解即可得到的值，即函数表达式可求；
（3）先由“零和函数”的定义联立方程组，即；由一元二次方程根与系数关系得：、；再由二次函数图象上点的坐标特征知；利用完全平方公式可得：，从而将化为，由于M是关于a的二次函数，对称轴为，二次项系数为负，则在对称轴的左侧，M随a的增大而增大，因为当a=0时，M＝5；由于a<0，所以M<5．
（1）解：联立，解得，即函数的图象与直线有交点，为，
由“零和函数”定义可得①是“零和函数”；
联立，则，由，得方程组无解，即函数的图象与直线无交点，
由“零和函数”定义可得②不是“零和函数”；
故答案为：①；
（2）解：的顶点恰好是“零和点”，
的顶点为，
，
（均为常数）图象与x轴有交点，
，
联立，则，即，解得或，
是“零和函数”，
或，
该二次函数的解析式或；
（3）解：二次函数（均为常数，且）的图象上有两个不同的“零和点”和，
联立，则，即，
，，
，
，
二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是，
，则，
，
，对称轴为，
当时，随着的增大而增大，则，即的取值范围是．
25．（2024八下·长沙期末）如图，抛物线与x轴交于A、B（A在B的左边），与y轴负半轴交于C，且．
（1）求a，c的值；
（2）如图1，点D是抛物线在第四象限内图像上一点，点P是y轴上一点，P点坐标是，点D是直线与该抛物线唯一的公共点，直线与该抛物线交于M，N两点，若，
①求出D点的坐标；
②求出t的值．
（3）在（2）的条件下，如图2，连接和，在抛物线上是否存在点Q使，若存在，求出Q点坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
把，分别代入中得，
，
解得：，．
（2）解：①∵，，∴抛物线的表达式为：．
设：，
联立，
则，
两个函数只有唯一公共点，
，
，
解得：或，
点在第四象限，
，
，
则，
解得，，则．
②过点作轴的平行线交于点，
，
点横坐标是2，
点坐标是，
，
设：，两点的横坐标是，，
联立，
得：，
则，，
，
，
，
，
两边平方得，
，．
（3）解：延长交轴于点，过D点作轴于H点，设与y轴的交点为G点．
将代入直线的解析式中得：，
得，
由得：，
，，
又，
，
，，
∵，且，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的表达式为：，
则，
解得，
∴直线的表达式为：，
联立，
得，，
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题
1 / 1湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·长沙期末）据教育部教育考试院官方微信消息，2024年全国高考报名人数达到1342万人，1342万这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·长沙期末）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·长沙期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是菱形
4．（2024八下·长沙期末）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如下表所示：
　 甲 乙 丙 丁
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2024八下·长沙期末）如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
6．（2024八下·长沙期末）鞋店对5款运动鞋上周的销售数量进行了统计，如下表所示：
款式 A B C D E
数量（双） 12 23 50 14 3
鞋店老板决定在下一次进货中多进C款的鞋，影响他决策的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．（2024八下·长沙期末）抛物线通过平移变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（　　）
A．先向右平移1个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移3个单位
8．（2024八下·长沙期末）抛物线与x轴的两交点之间的距离是（　　）
A．1 B．3 C．5 D．6
9．（2024八下·长沙期末）一天早上，小南从家出发步行前往学校，途中在早餐店买了份早餐，之后便快步走到学校，这一过程小南走过的路程y（米）与出发后时间x（分钟）关系如图所示．下列说法正确的有（　　）个．
①小南家与学校距离为800米；
②小南在早餐店停留了5分钟；
③小南买早餐后快步走的速度是125米/分钟；
④如果小南不买早餐，一直按之前的速度步行到校，她会比实际情况早到学校．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024八下·长沙期末）已知，，是抛物线上的点，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·长沙期末）使函数有意义的的取值范围是　 　．
12．（2024八下·长沙期末）如图，把矩形沿折叠，使点点分别落在点、，若，则　 　．
13．（2024八下·长沙期末）学校组织了一场模拟招聘活动，招聘按照笔试成绩占、面试成绩占计算总成绩，小南笔试90分，面试88分，那么她的总成绩为　 　分．
14．（2024八下·长沙期末）二次函数的顶点坐标为　 　．
15．（2024八下·长沙期末）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为　 　．
16．（2024八下·长沙期末）二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②时，y随x的增大而增大；③；④不等式的解集是；其中正确的是　 　．（填序号）
17．（2024八下·长沙期末）计算：．
18．（2024八下·长沙期末）解方程：
（1）；
（2）．
19．（2024八下·长沙期末）如图，平面直角坐标系中直线与直线相交于点A，与x轴交于点B．
（1）求A点坐标；
（2）O为坐标原点，求的面积．
20．（2024八下·长沙期末）学校八年级开展了一次环保知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．现抽取部分学生的竞赛成绩整理并绘制成如下不完整统计图，请根据提供的信息解答下列问题：
（1）抽取了_________名学生的竞赛成绩，这些成绩的中位数为_________分；
（2）扇形图中D级对应扇形的圆心角为_________；
（3）该校八年级共有800人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有多少人？
21．（2024八下·长沙期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）设方程的两根分别为，．若以，的值为对角线长的菱形面积为2，求m的值．
22．（2024八下·长沙期末）如图，矩形的对角线交于点G，过点B作交的延长线于点E．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）过点D作于F，连接，若，，求的长．
23．（2024八下·长沙期末）某地年种植黄桃亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到今年种植了亩
（1）假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率；
（2）一水果店以每件元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如下表：
销售单价（元）
销售量（件）
①求与之间的函数关系式；（不需写出自变量的取值范围）
②若要使每天的销售利润为元，又要让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元？
24．（2024八下·长沙期末）定义：若一个函数图象与直线有交点，该函数就称为“零和函数”，两个函数图象的交点称为“零和点”，例如：图象与的交点是，则是“零和函数”，交点是“零和点”．
（1）以下两个函数：①，②，是“零和函数”的是_________（填写序号）；
（2）一个“零和函数”（均为常数）图象与x轴有交点，顶点恰好是“零和点”，求该二次函数的解析式；
（3）若二次函数（均为常数，且）的图象上有两个不同的“零和点”和，且，该二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是，若已知，求的取值范围．
25．（2024八下·长沙期末）如图，抛物线与x轴交于A、B（A在B的左边），与y轴负半轴交于C，且．
（1）求a，c的值；
（2）如图1，点D是抛物线在第四象限内图像上一点，点P是y轴上一点，P点坐标是，点D是直线与该抛物线唯一的公共点，直线与该抛物线交于M，N两点，若，
①求出D点的坐标；
②求出t的值．
（3）在（2）的条件下，如图2，连接和，在抛物线上是否存在点Q使，若存在，求出Q点坐标，若不存在请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1342万，
故选：D．
【分析】常用科学记数法把绝对值较大的数字表示成的形式，其中，n取这个数字整数，部分数字位数与1的差．
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
B、有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：C．
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．
3．【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，正确，故A是真命题，
有三个角是直角的四边形是矩形，故B是假命题，
四条边相等的四边形是菱形，故C是假命题，
对角线相等的平行四边形是矩形，故D是假命题，
故选：A．
【分析】菱形和矩形都是特殊的平行四边形，其中菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分；矩形的四个角相等都是直角，对角线互相平分且相等；正方形既是菱形也是矩形，因此它具有菱形和矩形的所有性质，反过来判定一个四边形是正方形时，可先证菱形，再证矩形或先证矩形，再证菱形．
4．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵，
∴甲、丁成绩更好，从中选择一人参加比赛，
∵，即甲的方差小，
∴甲发挥更稳定，
∴选择甲参加比赛，
故选：A．
【分析】方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定．
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，
∵M，N分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
【分析】
由平行四边形的性质知，再在中，应用中位线定理即可得．
6．【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由于C款的鞋销量最多，因而影响鞋店这一决策的统计量是众数．
故选：C．
【分析】
由销售量统计图知，C款的鞋销量最多，因而应多进些．
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，即可得到抛物线，
故选：B．
【分析】
平面直角坐标系上图形的平移特征是：左加右减、上加下减．
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令得方程，，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点为：，
∴抛物线与x轴两交点之间的距离为：，
故选：C．
【分析】
令，得方程，可求出方程的两根，即为抛物线与x轴的交点，则两交点之间的距离可求．
9．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由关系图可知，小南家与学校距离为800米，故①正确，
由关系图可知，分钟时，路程没有发生变化，小南在早餐店停留了5分钟，故②正确，
由关系图可知，小南买早餐后快步走的速度为：（米/分钟），故③正确，
小南之前的速度为：（米/分钟），如果小南不买早餐，预计到校时间为（分钟），小于分钟，她会比实际情况早到学校，故④正确，
故选：D．
【分析】
观察函数图象，可直接判断①②正确，由小南买早餐后的速度路程时间，可判断③正确，计算出小南不买早餐，预计到校时间与实际到校时间比较，即可判断④正确．
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，是抛物线上的点，
∴，
，
，
，
，
，
故选：A ．
【分析】直接将，，代入，求出、、的大小，再进行比较大小即可．
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意，得：
，
解得：．
故答案为：．
【分析】二次根式的被开方数是非负数，据此列出关于x的不等式，解不等式即可．
12．【答案】
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵把矩形沿折叠，使点点分别落在点、，，∴，，∴，
故答案为：．
【分析】由矩形的性质可得，根据折叠的性质，结合平角为，得等于等于等于，根据“两直线平行，同旁内角互补”，则等于即可．
13．【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意，
小南的总成绩为：
故答案为：．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
14．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：
，
∴二次函数的顶点坐标为，
故答案为：．
【分析】
利用配方法将二次函数解析式化成顶点式，得出顶点坐标即可．
15．【答案】2024
【知识点】一元二次方程的根；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：∵m是方程的一个实数根，
，
，
．
故答案为：2024
【分析】
由方程解的概念可得，然后整体代入所求的式子当中求值即可．
16．【答案】①
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①中，因为抛物线图像开口向上，可得，
又因为对称轴在y轴右侧，所以a、b异号，可得，
由图知，所以，故①正确；
②由图知，当时，y随x的增大先减小后增大，故②错误；
③由图知时，，∴，故③错误；
④由图知或时，∴不等式的解集是或，
故④错误．
故答案为：①.
【分析】由抛物线图像开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点可确定a、b、c的符号，即可判断①；直接观察图像即可判断②；由图知时，，即可判断③；观察图像可得或时，即可判断④.
17．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
实数的混合运算，先计算乘方、绝对值、算术平方根、负整数指数幂，再去括号，最后加减计算即可．
18．【答案】（1）解：，
，
，
，．
（2）解：，
，
，
，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
（1）解：，
，
，
，．
（2）解：，
，
，
，．
19．【答案】（1）解：由，解得，
．
（2）解：由，得，
，
，
的面积为，
的面积为3．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）由于两直线交于点A，可联立和，解方程组，方程组的解即为A点坐标；
（2）令，可求出B点坐标，即可得的长，另由于点A的纵坐标即为OB上的高，再根据三角形面积公式即可求出的面积．
（1）解：由，解得，
．
（2）解：由，得，
，
，
的面积为，
的面积为3．
20．【答案】（1）40，9
（2）36
（3）解：（人），∴估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）一共抽取了人，则中位数为第20位和第21位的平均数，
∵第20位和第21位的成绩都为9分，
∴中位数为分，
故答案为：40，9．
（2）D级所占的百分比为：，
∴D级对应扇形的圆心角为：，
故答案为：36．
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可根据A组人数除以A组所占的百分比即可求出抽取的学生总人数，即可得出C组人数；由于此时数据已按照从大到小的顺序排列，只需求出第20名和第21名学生的平均成绩即可得出中位数；
（2）先求出D级人数所占的百分比，再利用乘以这个百分比，即可求出D级对应扇形的圆心角的度数．
（3）根据总人数乘以优秀学生所占的百分比即可求出本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生人数．
（1）解：一共抽取了人，则中位数为第20位和第21位的平均数，
∵第20位和第21位的成绩都为9分，
∴中位数为分，
故答案为：40，9．
（2）解：D级所占的百分比为：，
∴D级对应扇形的圆心角为：，
故答案为：36．
（3）解：（人），
∴估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有人．
21．【答案】（1）证明：，
方程总有两个实数根．
（2）解：根据根与系数的关系可得，
∵菱形面积为，
∴，
解得，
所以m的值为3．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；菱形的性质
【解析】【分析】（1）直接利用一元二次方程根的判别式进行计算即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，又由菱形的面积为，即可求出m的值．
（1）证明：，
方程总有两个实数根．
（2）解：根据根与系数的关系可得，
∵菱形面积为，
∴，
解得，
所以m的值为3．
22．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵E点在的延长线上，
，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵四边形是矩形，∴，，，即点是中点，
∵，，
，
，
∵，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
（1）根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可．
（2）由“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可知FG等于BD的一半，再由矩形的对角线相等可知AC等于BD，再利用勾股定理求出AC即可．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵E点在的延长线上，
，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，即点是中点，
∵，，
，
，
∵，
，
．
23．【答案】（1）解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为，由题意得：，
∴，
∵增长率大于，
∴，
答：种植黄桃亩数的年平均增长率为；
（2）解：①∵黄桃每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系，∴设，
由表格得：当时，；当时，，
代入得：，
解得：，
∴；
②∵以每件元的价格购进该种黄桃销售，要使每天的销售利润为元，由①得，
∴，
整理得：，即，
∴或，
解得：，，
∵要让顾客得到实惠，，
∴，
答：销售单价应定为元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）平均增长率问题常用方程，其中分别代表起始数据和终止数据；
（2）①设，利用待定系数法求出与之间的函数关系式即可；
②根据等量关系“以每件元的价格购进该种黄桃销售，要使每天的销售利润为元”列方程并求解，再根据“要让顾客得到实惠”，对方程的根进行取舍即可．
（1）解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为，
由题意得：，
∴，
∵增长率大于，
∴，
答：种植黄桃亩数的年平均增长率为；
（2）解：①∵黄桃每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系，
∴设，
由表格得：当时，；当时，，
代入得：，
解得：，
∴；
②∵以每件元的价格购进该种黄桃销售，要使每天的销售利润为元，由①得，
∴，
整理得：，即，
∴或，
解得：，，
∵要让顾客得到实惠，，
∴，
答：销售单价应定为元．
24．【答案】（1）①
（2）解：的顶点恰好是“零和点”，
的顶点为，
，
（均为常数）图象与x轴有交点，
，
联立，则，即，解得或，
是“零和函数”，
或，
该二次函数的解析式或；
（3）解：二次函数（均为常数，且）的图象上有两个不同的“零和点”和，联立，则，即，
，，
，
，
二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是，
，则，
，
，对称轴为，
当时，随着的增大而增大，则，即的取值范围是．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：联立，解得，即函数的图象与直线有交点，为，
由“零和函数”定义可得①是“零和函数”；
联立，则，由，得方程组无解，即函数的图象与直线无交点，
由“零和函数”定义可得②不是“零和函数”；
故答案为：①；
【分析】（1）由“零和函数”的定义可与列方程组求解即可；
（2）先抛物线解析式的一般形式转化为顶点式，由于顶点恰好是“零和点”，则顶点的两坐标的和为0，即；再由二次函数图象上点的坐标特征可把点代入到抛物线解析式中得，联立方程组求解即可得到的值，即函数表达式可求；
（3）先由“零和函数”的定义联立方程组，即；由一元二次方程根与系数关系得：、；再由二次函数图象上点的坐标特征知；利用完全平方公式可得：，从而将化为，由于M是关于a的二次函数，对称轴为，二次项系数为负，则在对称轴的左侧，M随a的增大而增大，因为当a=0时，M＝5；由于a<0，所以M<5．
（1）解：联立，解得，即函数的图象与直线有交点，为，
由“零和函数”定义可得①是“零和函数”；
联立，则，由，得方程组无解，即函数的图象与直线无交点，
由“零和函数”定义可得②不是“零和函数”；
故答案为：①；
（2）解：的顶点恰好是“零和点”，
的顶点为，
，
（均为常数）图象与x轴有交点，
，
联立，则，即，解得或，
是“零和函数”，
或，
该二次函数的解析式或；
（3）解：二次函数（均为常数，且）的图象上有两个不同的“零和点”和，
联立，则，即，
，，
，
，
二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是，
，则，
，
，对称轴为，
当时，随着的增大而增大，则，即的取值范围是．
25．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
把，分别代入中得，
，
解得：，．
（2）解：①∵，，∴抛物线的表达式为：．
设：，
联立，
则，
两个函数只有唯一公共点，
，
，
解得：或，
点在第四象限，
，
，
则，
解得，，则．
②过点作轴的平行线交于点，
，
点横坐标是2，
点坐标是，
，
设：，两点的横坐标是，，
联立，
得：，
则，，
，
，
，
，
两边平方得，
，．
（3）解：延长交轴于点，过D点作轴于H点，设与y轴的交点为G点．
将代入直线的解析式中得：，
得，
由得：，
，，
又，
，
，，
∵，且，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的表达式为：，
则，
解得，
∴直线的表达式为：，
联立，
得，，
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题
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