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浙江省杭州市文海中学2023-2024学年七年级下学期期末数学模拟试题
1．（2024七下·杭州期末）下列是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·杭州期末）在日本核电站排放核废水期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘-131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·杭州期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·杭州期末）如图．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置（）其中点A，B分别落在直线a、b上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·杭州期末）已知是方程的一组解，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七下·杭州期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024七下·杭州期末）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·杭州期末）若，，则的值为（　　）
A．4 B．6 C．9 D．18
9．（2024七下·杭州期末）如图，下列条件中不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024七下·杭州期末）设n为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是（　　）
A．521 B．1413 C．3721 D．1716
11．（2024七下·杭州期末）分解因式：　 　．
12．（2024七下·杭州期末）如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片沿向下折叠，点A落在点处，当时，　 　度．
13．（2024七下·杭州期末）若是关于x、y的方程和的公共解，则　 　．
14．（2024七下·杭州期末）如图所示，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点射入经平面镜上的点后，反射光线落在上的点处，且，则的度数是　 　．
15．（2024七下·杭州期末）已知，则　 　．
16．（2024七下·杭州期末）关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是　 　 .
17．（2024七下·杭州期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024七下·杭州期末）解方程组：
（1）
（2）
19．（2024七下·杭州期末）先化简；，再从，，，1，3中选择一个你喜欢的值代入求值．
20．（2024七下·杭州期末）请将下列证明过程补充完整．
如图，已知，．
求证：．
证明：∵（ ），
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
∴（ ）．
又∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（ ）．
21．（2024七下·杭州期末）已知关于x的分式方程．
（1）当时，求这个分式方程的解；
（2）若此分式方程无解，求的值．
22．（2024七下·杭州期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值．
23．（2024七下·杭州期末）一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元．
（1）若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式：
①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 ．
A．按方式①加油更划算； B．按方式②加油更划算；
C．两种加油方式一样划算； D．无法比较哪种加油方式更划算．
（2）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（3）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案．
24．（2024七下·杭州期末）综合与实践
【探索发现】（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，．
易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图2，过点作. 小红：如图3，延长交于点.
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】（2）如图4，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A．方程只有一个未知数，是一元一次方程，不是二元一次方程，A不符合题意；
B．方程是分式方程，不是二元一次方程，B不符合题意；
C．方程中有两个未知数但未知数的最高次数是2，因此不是二元一次方程，C不符合题意；
D．方程有两个未知数，且未知数的次数为1，是二元一次方程，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二元一次方程的定义： 含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1 ，逐一进行判断即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】根据题意
0.0000963=9.6310-5
故选：C
【分析】 用科学记数法表示一个绝对值小于1的数，把它写成a10n的形式，1≤a<10，小数点向右移动几位到第一位数字后面n就等于负几。
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C正确；
D、，D错误；
故选：C．
【分析】根据同底数幂乘法计算，积的乘方计算，幂的乘方计算，合并同类项进行判断即可.
4．【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
根据题意可知：，（已知），
∴∠1+∠3=90°，
∵，
∴，
∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等），
故答案为：B．
【分析】根据平角的定义求出，然后利用两直线平行，同位角相等，得出∠2=∠3，即可得出答案．
5．【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
6．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意，得：．
故答案为：A．
【分析】根据大长方形的宽为和小长方形的长与宽之间的关系列方程即可．
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
∵，
∴=8
故答案为：C．
【分析】先把化为，再把代入进行计算即可．
8．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：将进行因式分解得，
∵，
∴=32=9，
故答案为：C．
【分析】先运用完全平方公式法对进行因式分解再将代入求解即可．
9．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，不能判定，则此项符合题意；
B、∵，
∴（内错角相等，两直线平行），则此项不符合题意；
C、∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行），则此项不符合题意；
D、∵，
∴（同位角相等，两直线平行），则此项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，
n-1、n、n+1是三个连续的自然数，且
∴必是偶数，
即是一个偶数．
故答案为：D．
【分析】先将因式分解得到，表示三个连续正整数的积，n-1、n、n+1其中一个数必为偶数，可知必是偶数，即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：
，
，
故答案为：．
【分析】运用提取公因式的方法进行因式分解即可，因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
12．【答案】70
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，
∴，∠B=∠2，
∵∠B=65°，
∴∠2=65°，
由折叠可知：==45°，
∴∠1=180°-∠A'ED-∠2=180°-45°-65°=70°，
故答案为：70．
【分析】根据易得，∠B=∠2，然后根据折叠可知：＝45°，最后利用三角形内角和即可求出∠1.
13．【答案】7
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入方程，得：，
解得：m=4，
将代入方程，得：，
解得：n=3，
∴，
故答案为：7．
【分析】把x与y的值分别代入方程和计算出m与n的值，打入计算即可求出m+n的值.
14．【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：（已知），
（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴∠CDB=36°（等量代换），
∴（反射角相等），
∵（平角定义），
．
故答案为：．
【分析】由“两直线平行，同位角相等”得，由“两直线平行，同旁内角互补”得，再根据平角定义求出，即可求得结果.
15．【答案】12
【知识点】负整数指数幂；已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵（x-3）（x+4）=x2+x-12，
又，
∴，
∴m=-1，n=-12，
∴ [（-1）÷（-12）]-1==12．
故答案为：12．
【分析】先根据多项式乘多项式法则计算（x-3）（x+4），即可得出，求得m与n的值，再将其代入计算即可．
16．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：方程组可变形为.
关于，的二元一次方程组的解是，
关于，的二元一次方程组的解是，
，
关于，的二元一次方程组的解是.
故答案为：.
【分析】由题意可得：方程组的解为m-1=1、n+3=-1，求解可得m、n的值.
17．【答案】（1）解：原式=3-（-3）+3-1
=8；
（2）解：原式=（）-（）-（）
=
=
=-1.
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先分别求出算数平方根、立方根、绝对值、幂的乘方，再进行加减计算即可；
（2）先根据多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则算出整式的乘积，再去括号，合并同类项即可求得结果．
（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
．
18．【答案】（1）解：，
由①得，y=x-1③，
将③代入②得，2x+x-1=2，
即3x-1=2，
解得，x=1，
将代入③得，
∴方程组的解为；
（2）解：
由①得，x=2y③，
将③代入②得，，
即6y-6=0，
解得，
将代入③得，，
∴方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据代入消元法求解即可．
（1）解：，
得，，解得，
将代入①得，
∴方程组的解为；
（2）解：，即，
将①代入②得，，解得，
将代入①得，，
∴方程组的解为．
19．【答案】解：原式
，
若分式有意义，则x+1、x-1、x+2、x-3不能为0，
即x的值不等于-1、1、-2、3，
∴这组数据中，x的值为-3，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将分式进行化简，再结合分式有意义的条件，取合适的值代入计算即可.
20．【答案】已知；；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】证明：∵（已知），
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
又∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：已知；；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
【分析】根据平行线的判定和性质进行填空即可解决问题.
21．【答案】（1）解：当m=-1时，
原方程为：
方程两边同乘（1-x），得：2=x-2（1-x），
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
解得：，
检验：将代入（1-x）得：，
是原分式方程的解；
（2）解：
方程两边同乘（1-x），得：2=-mx-2（1-x），
整理得：（2-m）x=4，
∴当2-m=0时，即m=2时，原分式方程无解，
当2-m≠0时，即m≠2时，原分式方程无解，
则x-1=0，即x=1，
此时，m=-2，
综上所述，当m=2或m=-2时，原分式方程无解.
【知识点】分式方程的增根；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）利用去分母将分式方程转化为整式方程，求出的值后进行检验即；
（2）用去分母将分式方程转化为整式方程，然后根据分式方程无解进行分类讨论即可.
（1）解：把代入分式方程得：，
整理得：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是分式方程的解；
（2）分式方程变形得：，
去分母，得：，即，
若，即时，此方程无解，即分式方程无解；
若，即时，
分式方程无解，
，即，
把代入整式方程得：，
综上所述，或．
22．【答案】解：（1）∵ x2+2xy+2y2+2y+1=0，
∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0，
∴(x+y)2+(y+1)2=0，
∴(x+y)2=0，(y+1)2=0，
∴x+y=0，y+1=0，
∴2（x+y）-（y+1）=2x+y-1=0，
∴2x+y=1；
（2）根据 a﹣b=4可得b=a-4，
把b=a-4打入 ab+c2﹣6c+13=0， 得：a（a-4）+c2﹣6c+13=0，
∴(a2-4a+4)+(c2 6c+9)=0，
∴(a-2)2+(c 3)2=0，
∴a-2=0，c 3=0，
解得：a=2，c=3，
∴b=a-4=2-4=-2，
∴a+b+c=2 2+3=3．
【知识点】因式分解﹣添（拆）项法；整体思想
【解析】【分析】（1）根据题意，仿照材料中的解题方式求解 x2+2xy+2y2+2y+1=0，从而可以得到x、y的值，即可解决问题；
（2）根据a-b=4，得出b=a-4，将其代入ab+c2-6c+13=0，整理成(a2-4a+4)+(c2 6c+9)=0，进而可以求得a、b、c的值，即可解决问题.
23．【答案】（1）B
（2）解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，
根据题意可列二元一次方程组为：，
解这个方程组，得：，
答：A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元；
（3）解：设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
根据题意可列方程为：，
整理得：，
由题意可知，m、n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案：
①购进B型号汽车5辆，A型号汽车7辆；
②购进B型号汽车10辆，A型号汽车4辆；
③购进B型号汽车15辆，A型号汽车1辆．
答：共有3种购买方案：①购进B型号汽车5辆，A型号汽车7辆；②购进B型号汽车10辆，A型号汽车4辆；③购进B型号汽车15辆，A型号汽车1辆．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：（1）设两次汽油单价分别为x元，y元（x≠y），
①若每次所加的油量固定为M升，则平均单价==，
②若每次加油的付款额固定为N元，则平均单价==，
∵当x≠y时，（x+y）2＞4ab，且a，b均为正数，
∴＞
∴方式②平均油价更低．
故答案为：B．
【分析】（1）设两次汽油单价分别为x元，y元（x≠y），分别求出①②两次的平均单价，然后作差比较即可；
（2）设A型汽车每辆的进价为a万元，b型汽车每辆的进价为y万元，根据“ 2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元 ”列出二元一次方程组求解即可；
（3）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据“ 正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买） ”列出二元一次方程，化简方程，寻找正整数解即可．
（1）设两次汽油单价分别为a元，b元（），
记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元，
则①中平均单价为（元），
②中平均单价为（元），
当时，
∴，即，
∴方式②平均油价更低．
故选：B．
（2）设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元，
由题意得：，
解得：，
答：A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元；
（3）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
由题意得：，
整理得：，
∵m、n均为正整数，
∴，，，
∴共有3种购买方案：
①购进A型号汽车7辆，B型号汽车5辆；
②购进A型号汽车4辆，B型号汽车10辆；
③购进A型号汽车1辆，B型号汽车15辆．
24．【答案】解：（1）小刚的证明过程如下：
如图2，
过点作，
∵，
∴PQ∥CD，
∴∠CPQ=∠PCD，
∵，
∴∠BAP=∠APQ，
∵∠ACP=∠CPQ+∠APQ
∴∠ACP=∠BAP+∠PCD
小红的证明过程如下：
如图3，
延长交于点，
∵，
∴∠BAP=∠AMC，
∵∠APC=∠AMC+∠PCD，
∴∠APC=∠BAP+∠PCD；
（2）证明：
∵∠AGE=∠GEP+∠APE，
又∵，
∴∠APE=∠PAC，
∴AC∥EF；
【拓展延伸】解：设HF与GP相交于点T，如图5所示，
平分，
∴，，
∵AC∥EF，
∴∠PAC=∠GPF=50°，
∵．∠PGE=180°-∠GPF-∠PEG，
∴50°+3∠PEG=180°-50°-∠PEG，
∴∠PEG=20°，
∴∠PGE=110°，
设∠PFC=2n，
平分，
，
，
，∠AEG=∠EGF，
∴∠AEG=∠AEF-∠PEG=2n-20°，
∴∠EGF=2n-20°，
∴∠PGF=∠PGE-∠EGF=110°-（2n-20°）=130°-2n，
∵∠AHF=∠AEG，
∴∠AHF=2n-20°，
∵∠GTF=180°-∠TGF-∠GFT=180°-（130°-2n）-n=50°+n，∠GTF=∠AHF+∠HAG=2n-20°+25°=2n+5°，
∴50°+n=2n+5°，
∴n=45°，
∴∠PFC=90°.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的性质；猪蹄模型
【解析】【分析】探索发现（1）：小刚的证明方法：先证，根据平行线的性质得，∠BAP=∠APQ，即可得出结论；小红的证明方法：根据得，再根据三角形的外角定理得，即可得出结论；
深入思考（2）：根据三角形的外角定理得，再根据已知条件可得，即可得出结论；
拓展延伸：设HF与GP相交于点T，根据，∠PGE=180°-∠GPF-∠PEG，可求得∠PEG=20°，设∠PFC=2n，结合∠GTF=180°-∠TGF-∠GFT，∠GTF=∠AHF+∠HAG即可求得答案.
1 / 1浙江省杭州市文海中学2023-2024学年七年级下学期期末数学模拟试题
1．（2024七下·杭州期末）下列是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A．方程只有一个未知数，是一元一次方程，不是二元一次方程，A不符合题意；
B．方程是分式方程，不是二元一次方程，B不符合题意；
C．方程中有两个未知数但未知数的最高次数是2，因此不是二元一次方程，C不符合题意；
D．方程有两个未知数，且未知数的次数为1，是二元一次方程，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二元一次方程的定义： 含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1 ，逐一进行判断即可.
2．（2024七下·杭州期末）在日本核电站排放核废水期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘-131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】根据题意
0.0000963=9.6310-5
故选：C
【分析】 用科学记数法表示一个绝对值小于1的数，把它写成a10n的形式，1≤a<10，小数点向右移动几位到第一位数字后面n就等于负几。
3．（2024七下·杭州期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C正确；
D、，D错误；
故选：C．
【分析】根据同底数幂乘法计算，积的乘方计算，幂的乘方计算，合并同类项进行判断即可.
4．（2024七下·杭州期末）如图．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置（）其中点A，B分别落在直线a、b上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
根据题意可知：，（已知），
∴∠1+∠3=90°，
∵，
∴，
∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等），
故答案为：B．
【分析】根据平角的定义求出，然后利用两直线平行，同位角相等，得出∠2=∠3，即可得出答案．
5．（2024七下·杭州期末）已知是方程的一组解，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
6．（2024七下·杭州期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意，得：．
故答案为：A．
【分析】根据大长方形的宽为和小长方形的长与宽之间的关系列方程即可．
7．（2024七下·杭州期末）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
∵，
∴=8
故答案为：C．
【分析】先把化为，再把代入进行计算即可．
8．（2024七下·杭州期末）若，，则的值为（　　）
A．4 B．6 C．9 D．18
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：将进行因式分解得，
∵，
∴=32=9，
故答案为：C．
【分析】先运用完全平方公式法对进行因式分解再将代入求解即可．
9．（2024七下·杭州期末）如图，下列条件中不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，不能判定，则此项符合题意；
B、∵，
∴（内错角相等，两直线平行），则此项不符合题意；
C、∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行），则此项不符合题意；
D、∵，
∴（同位角相等，两直线平行），则此项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可求出答案.
10．（2024七下·杭州期末）设n为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是（　　）
A．521 B．1413 C．3721 D．1716
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，
n-1、n、n+1是三个连续的自然数，且
∴必是偶数，
即是一个偶数．
故答案为：D．
【分析】先将因式分解得到，表示三个连续正整数的积，n-1、n、n+1其中一个数必为偶数，可知必是偶数，即可得出答案.
11．（2024七下·杭州期末）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：
，
，
故答案为：．
【分析】运用提取公因式的方法进行因式分解即可，因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
12．（2024七下·杭州期末）如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片沿向下折叠，点A落在点处，当时，　 　度．
【答案】70
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，
∴，∠B=∠2，
∵∠B=65°，
∴∠2=65°，
由折叠可知：==45°，
∴∠1=180°-∠A'ED-∠2=180°-45°-65°=70°，
故答案为：70．
【分析】根据易得，∠B=∠2，然后根据折叠可知：＝45°，最后利用三角形内角和即可求出∠1.
13．（2024七下·杭州期末）若是关于x、y的方程和的公共解，则　 　．
【答案】7
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入方程，得：，
解得：m=4，
将代入方程，得：，
解得：n=3，
∴，
故答案为：7．
【分析】把x与y的值分别代入方程和计算出m与n的值，打入计算即可求出m+n的值.
14．（2024七下·杭州期末）如图所示，的一边为平面镜，，一束光线（与水平线平行）从点射入经平面镜上的点后，反射光线落在上的点处，且，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：（已知），
（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴∠CDB=36°（等量代换），
∴（反射角相等），
∵（平角定义），
．
故答案为：．
【分析】由“两直线平行，同位角相等”得，由“两直线平行，同旁内角互补”得，再根据平角定义求出，即可求得结果.
15．（2024七下·杭州期末）已知，则　 　．
【答案】12
【知识点】负整数指数幂；已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵（x-3）（x+4）=x2+x-12，
又，
∴，
∴m=-1，n=-12，
∴ [（-1）÷（-12）]-1==12．
故答案为：12．
【分析】先根据多项式乘多项式法则计算（x-3）（x+4），即可得出，求得m与n的值，再将其代入计算即可．
16．（2024七下·杭州期末）关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是　 　 .
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：方程组可变形为.
关于，的二元一次方程组的解是，
关于，的二元一次方程组的解是，
，
关于，的二元一次方程组的解是.
故答案为：.
【分析】由题意可得：方程组的解为m-1=1、n+3=-1，求解可得m、n的值.
17．（2024七下·杭州期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式=3-（-3）+3-1
=8；
（2）解：原式=（）-（）-（）
=
=
=-1.
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先分别求出算数平方根、立方根、绝对值、幂的乘方，再进行加减计算即可；
（2）先根据多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则算出整式的乘积，再去括号，合并同类项即可求得结果．
（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
．
18．（2024七下·杭州期末）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
由①得，y=x-1③，
将③代入②得，2x+x-1=2，
即3x-1=2，
解得，x=1，
将代入③得，
∴方程组的解为；
（2）解：
由①得，x=2y③，
将③代入②得，，
即6y-6=0，
解得，
将代入③得，，
∴方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据代入消元法求解即可．
（1）解：，
得，，解得，
将代入①得，
∴方程组的解为；
（2）解：，即，
将①代入②得，，解得，
将代入①得，，
∴方程组的解为．
19．（2024七下·杭州期末）先化简；，再从，，，1，3中选择一个你喜欢的值代入求值．
【答案】解：原式
，
若分式有意义，则x+1、x-1、x+2、x-3不能为0，
即x的值不等于-1、1、-2、3，
∴这组数据中，x的值为-3，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将分式进行化简，再结合分式有意义的条件，取合适的值代入计算即可.
20．（2024七下·杭州期末）请将下列证明过程补充完整．
如图，已知，．
求证：．
证明：∵（ ），
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
∴（ ）．
又∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（ ）．
【答案】已知；；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】证明：∵（已知），
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
又∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：已知；；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
【分析】根据平行线的判定和性质进行填空即可解决问题.
21．（2024七下·杭州期末）已知关于x的分式方程．
（1）当时，求这个分式方程的解；
（2）若此分式方程无解，求的值．
【答案】（1）解：当m=-1时，
原方程为：
方程两边同乘（1-x），得：2=x-2（1-x），
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
解得：，
检验：将代入（1-x）得：，
是原分式方程的解；
（2）解：
方程两边同乘（1-x），得：2=-mx-2（1-x），
整理得：（2-m）x=4，
∴当2-m=0时，即m=2时，原分式方程无解，
当2-m≠0时，即m≠2时，原分式方程无解，
则x-1=0，即x=1，
此时，m=-2，
综上所述，当m=2或m=-2时，原分式方程无解.
【知识点】分式方程的增根；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）利用去分母将分式方程转化为整式方程，求出的值后进行检验即；
（2）用去分母将分式方程转化为整式方程，然后根据分式方程无解进行分类讨论即可.
（1）解：把代入分式方程得：，
整理得：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是分式方程的解；
（2）分式方程变形得：，
去分母，得：，即，
若，即时，此方程无解，即分式方程无解；
若，即时，
分式方程无解，
，即，
把代入整式方程得：，
综上所述，或．
22．（2024七下·杭州期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值．
【答案】解：（1）∵ x2+2xy+2y2+2y+1=0，
∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0，
∴(x+y)2+(y+1)2=0，
∴(x+y)2=0，(y+1)2=0，
∴x+y=0，y+1=0，
∴2（x+y）-（y+1）=2x+y-1=0，
∴2x+y=1；
（2）根据 a﹣b=4可得b=a-4，
把b=a-4打入 ab+c2﹣6c+13=0， 得：a（a-4）+c2﹣6c+13=0，
∴(a2-4a+4)+(c2 6c+9)=0，
∴(a-2)2+(c 3)2=0，
∴a-2=0，c 3=0，
解得：a=2，c=3，
∴b=a-4=2-4=-2，
∴a+b+c=2 2+3=3．
【知识点】因式分解﹣添（拆）项法；整体思想
【解析】【分析】（1）根据题意，仿照材料中的解题方式求解 x2+2xy+2y2+2y+1=0，从而可以得到x、y的值，即可解决问题；
（2）根据a-b=4，得出b=a-4，将其代入ab+c2-6c+13=0，整理成(a2-4a+4)+(c2 6c+9)=0，进而可以求得a、b、c的值，即可解决问题.
23．（2024七下·杭州期末）一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元．
（1）若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式：
①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 ．
A．按方式①加油更划算； B．按方式②加油更划算；
C．两种加油方式一样划算； D．无法比较哪种加油方式更划算．
（2）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（3）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案．
【答案】（1）B
（2）解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，
根据题意可列二元一次方程组为：，
解这个方程组，得：，
答：A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元；
（3）解：设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
根据题意可列方程为：，
整理得：，
由题意可知，m、n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案：
①购进B型号汽车5辆，A型号汽车7辆；
②购进B型号汽车10辆，A型号汽车4辆；
③购进B型号汽车15辆，A型号汽车1辆．
答：共有3种购买方案：①购进B型号汽车5辆，A型号汽车7辆；②购进B型号汽车10辆，A型号汽车4辆；③购进B型号汽车15辆，A型号汽车1辆．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：（1）设两次汽油单价分别为x元，y元（x≠y），
①若每次所加的油量固定为M升，则平均单价==，
②若每次加油的付款额固定为N元，则平均单价==，
∵当x≠y时，（x+y）2＞4ab，且a，b均为正数，
∴＞
∴方式②平均油价更低．
故答案为：B．
【分析】（1）设两次汽油单价分别为x元，y元（x≠y），分别求出①②两次的平均单价，然后作差比较即可；
（2）设A型汽车每辆的进价为a万元，b型汽车每辆的进价为y万元，根据“ 2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元 ”列出二元一次方程组求解即可；
（3）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据“ 正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买） ”列出二元一次方程，化简方程，寻找正整数解即可．
（1）设两次汽油单价分别为a元，b元（），
记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元，
则①中平均单价为（元），
②中平均单价为（元），
当时，
∴，即，
∴方式②平均油价更低．
故选：B．
（2）设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元，
由题意得：，
解得：，
答：A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元；
（3）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
由题意得：，
整理得：，
∵m、n均为正整数，
∴，，，
∴共有3种购买方案：
①购进A型号汽车7辆，B型号汽车5辆；
②购进A型号汽车4辆，B型号汽车10辆；
③购进A型号汽车1辆，B型号汽车15辆．
24．（2024七下·杭州期末）综合与实践
【探索发现】（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，．
易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图2，过点作. 小红：如图3，延长交于点.
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】（2）如图4，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数．
【答案】解：（1）小刚的证明过程如下：
如图2，
过点作，
∵，
∴PQ∥CD，
∴∠CPQ=∠PCD，
∵，
∴∠BAP=∠APQ，
∵∠ACP=∠CPQ+∠APQ
∴∠ACP=∠BAP+∠PCD
小红的证明过程如下：
如图3，
延长交于点，
∵，
∴∠BAP=∠AMC，
∵∠APC=∠AMC+∠PCD，
∴∠APC=∠BAP+∠PCD；
（2）证明：
∵∠AGE=∠GEP+∠APE，
又∵，
∴∠APE=∠PAC，
∴AC∥EF；
【拓展延伸】解：设HF与GP相交于点T，如图5所示，
平分，
∴，，
∵AC∥EF，
∴∠PAC=∠GPF=50°，
∵．∠PGE=180°-∠GPF-∠PEG，
∴50°+3∠PEG=180°-50°-∠PEG，
∴∠PEG=20°，
∴∠PGE=110°，
设∠PFC=2n，
平分，
，
，
，∠AEG=∠EGF，
∴∠AEG=∠AEF-∠PEG=2n-20°，
∴∠EGF=2n-20°，
∴∠PGF=∠PGE-∠EGF=110°-（2n-20°）=130°-2n，
∵∠AHF=∠AEG，
∴∠AHF=2n-20°，
∵∠GTF=180°-∠TGF-∠GFT=180°-（130°-2n）-n=50°+n，∠GTF=∠AHF+∠HAG=2n-20°+25°=2n+5°，
∴50°+n=2n+5°，
∴n=45°，
∴∠PFC=90°.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的性质；猪蹄模型
【解析】【分析】探索发现（1）：小刚的证明方法：先证，根据平行线的性质得，∠BAP=∠APQ，即可得出结论；小红的证明方法：根据得，再根据三角形的外角定理得，即可得出结论；
深入思考（2）：根据三角形的外角定理得，再根据已知条件可得，即可得出结论；
拓展延伸：设HF与GP相交于点T，根据，∠PGE=180°-∠GPF-∠PEG，可求得∠PEG=20°，设∠PFC=2n，结合∠GTF=180°-∠TGF-∠GFT，∠GTF=∠AHF+∠HAG即可求得答案.
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