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浙江省杭州市文海中学2023-2024学年七年级下学期期末数学模拟试题
1.(2024七下·杭州期末)下列是二元一次方程的是( )
A. B. C. D.
2.(2024七下·杭州期末)在日本核电站排放核废水期间,我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘-131,其浓度为0.0000963贝克/立方米.数据“0.0000963”用科学记数法可表示为( )
A. B.
C. D.
3.(2024七下·杭州期末)下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.(2024七下·杭州期末)如图.已知直线,将一块含角的直角三角板按如图方式放置()其中点A,B分别落在直线a、b上.若,则的度数为( )
A. B. C. D.
5.(2024七下·杭州期末)已知是方程的一组解,那么的值是( )
A. B. C. D.
6.(2024七下·杭州期末)如图所示,块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形,若其中每一个小长方形的长为,宽为,则依据题意可得二元一次方程组为( )
A. B.
C. D.
7.(2024七下·杭州期末)已知,则的值为( )
A. B. C. D.
8.(2024七下·杭州期末)若,,则的值为( )
A.4 B.6 C.9 D.18
9.(2024七下·杭州期末)如图,下列条件中不能判定的是( )
A. B.
C. D.
10.(2024七下·杭州期末)设n为某一自然数,代入代数式计算其值时,四个学生算出了下列四个结果.其中正确的结果是( )
A.521 B.1413 C.3721 D.1716
11.(2024七下·杭州期末)分解因式: .
12.(2024七下·杭州期末)如图所示,数学拓展课上,小聪将直角三角形纸片沿向下折叠,点A落在点处,当时, 度.
13.(2024七下·杭州期末)若是关于x、y的方程和的公共解,则 .
14.(2024七下·杭州期末)如图所示,的一边为平面镜,,一束光线(与水平线平行)从点射入经平面镜上的点后,反射光线落在上的点处,且,则的度数是 .
15.(2024七下·杭州期末)已知,则 .
16.(2024七下·杭州期末)关于,的二元一次方程组的解是,则关于,的二元一次方程组的解是 .
17.(2024七下·杭州期末)计算:
(1);
(2).
18.(2024七下·杭州期末)解方程组:
(1)
(2)
19.(2024七下·杭州期末)先化简;,再从,,,1,3中选择一个你喜欢的值代入求值.
20.(2024七下·杭州期末)请将下列证明过程补充完整.
如图,已知,.
求证:.
证明:∵( ),
∴ (同旁内角互补,两直线平行).
∴( ).
又∵(已知),
∴(等量代换).
∴(内错角相等,两直线平行),
∴( ).
21.(2024七下·杭州期末)已知关于x的分式方程.
(1)当时,求这个分式方程的解;
(2)若此分式方程无解,求的值.
22.(2024七下·杭州期末)阅读材料:若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0,求m、n的值.
解:∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0,∴(m2﹣2mn+n2)+(n2﹣8n+16)=0
∴(m﹣n)2+(n﹣4)2=0,∴(m﹣n)2=0,(n﹣4)2=0,∴n=4,m=4.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求2x+y的值;
(2)已知a﹣b=4,ab+c2﹣6c+13=0,求a+b+c的值.
23.(2024七下·杭州期末)一直以来汽油价格总是波动调整,因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高,低碳绿色出行方式受到肯定,加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持,今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势.某汽车销售公司为提升业绩,计划购进一批新能源汽车进行销售,据了解2辆A型汽车,3辆B型汽车的进价共计95万元:3辆A型汽车,2辆B型汽车的进价共计105万元.
(1)若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油,且两次汽油单价不同,现有两种加油方式:
①每次所加的油量固定;②每次加油的付款额固定.若平均单价越低则该加油方式越划算,不考虑其他因素影响,则 .
A.按方式①加油更划算; B.按方式②加油更划算;
C.两种加油方式一样划算; D.无法比较哪种加油方式更划算.
(2)求A,B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元?
(3)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均有购买),请你通过计算写出所有购买方案.
24.(2024七下·杭州期末)综合与实践
【探索发现】(1)已知:如图1,,点在,之间,连接,.
易证:.
下面是两位同学添加辅助线的方法:
小刚:如图2,过点作. 小红:如图3,延长交于点.
请你选择一位同学的方法,并进行证明:
【深入思考】(2)如图4,点,分别是射线,上一点,点是线段上一点,连接并延长,交直线于点,连接,,若,求证:;
【拓展延伸】如图5,在(2)的条件下,,平分,平分,与交点,若,,.求的度数.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解:A.方程只有一个未知数,是一元一次方程,不是二元一次方程,A不符合题意;
B.方程是分式方程,不是二元一次方程,B不符合题意;
C.方程中有两个未知数但未知数的最高次数是2,因此不是二元一次方程,C不符合题意;
D.方程有两个未知数,且未知数的次数为1,是二元一次方程,D符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据二元一次方程的定义: 含有两个未知数,并且未知数的项的次数都是1 ,逐一进行判断即可.
2.【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】根据题意
0.0000963=9.6310-5
故选:C
【分析】 用科学记数法表示一个绝对值小于1的数,把它写成a10n的形式,1≤a<10,小数点向右移动几位到第一位数字后面n就等于负几。
3.【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法;合并同类项法则及应用;积的乘方运算;幂的乘方运算
【解析】【解答】解:A、,A错误;
B、,B错误;
C、,C正确;
D、,D错误;
故选:C.
【分析】根据同底数幂乘法计算,积的乘方计算,幂的乘方计算,合并同类项进行判断即可.
4.【答案】B
【知识点】两直线平行,同位角相等
【解析】【解答】解:如图所示,
根据题意可知:,(已知),
∴∠1+∠3=90°,
∵,
∴,
∵(已知),
∴(两直线平行,同位角相等),
故答案为:B.
【分析】根据平角的定义求出,然后利用两直线平行,同位角相等,得出∠2=∠3,即可得出答案.
5.【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
6.【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题;列二元一次方程组
【解析】【解答】解:依题意,得:.
故答案为:A.
【分析】根据大长方形的宽为和小长方形的长与宽之间的关系列方程即可.
7.【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法;求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解:,
,
,
,
∵,
∴=8
故答案为:C.
【分析】先把化为,再把代入进行计算即可.
8.【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法;求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解:将进行因式分解得,
∵,
∴=32=9,
故答案为:C.
【分析】先运用完全平方公式法对进行因式分解再将代入求解即可.
9.【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解:A、∵,
∴,不能判定,则此项符合题意;
B、∵,
∴(内错角相等,两直线平行),则此项不符合题意;
C、∵,
∴(同旁内角互补,两直线平行),则此项不符合题意;
D、∵,
∴(同位角相等,两直线平行),则此项不符合题意;
故答案为:A.
【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可求出答案.
10.【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解:,
n-1、n、n+1是三个连续的自然数,且
∴必是偶数,
即是一个偶数.
故答案为:D.
【分析】先将因式分解得到,表示三个连续正整数的积,n-1、n、n+1其中一个数必为偶数,可知必是偶数,即可得出答案.
11.【答案】
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解:
,
,
故答案为:.
【分析】运用提取公因式的方法进行因式分解即可,因式分解常用的方法有:①提公因式法;②公式法;③十字相乘法;④分组分解法.因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
12.【答案】70
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:如图所示:
∵,
∴,∠B=∠2,
∵∠B=65°,
∴∠2=65°,
由折叠可知:==45°,
∴∠1=180°-∠A'ED-∠2=180°-45°-65°=70°,
故答案为:70.
【分析】根据易得,∠B=∠2,然后根据折叠可知:=45°,最后利用三角形内角和即可求出∠1.
13.【答案】7
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解:将代入方程,得:,
解得:m=4,
将代入方程,得:,
解得:n=3,
∴,
故答案为:7.
【分析】把x与y的值分别代入方程和计算出m与n的值,打入计算即可求出m+n的值.
14.【答案】
【知识点】两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补
【解析】【解答】解:(已知),
(两直线平行,同位角相等),(两直线平行,同旁内角互补),
∵(已知),
∴∠CDB=36°(等量代换),
∴(反射角相等),
∵(平角定义),
.
故答案为:.
【分析】由“两直线平行,同位角相等”得,由“两直线平行,同旁内角互补”得,再根据平角定义求出,即可求得结果.
15.【答案】12
【知识点】负整数指数幂;已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解:∵(x-3)(x+4)=x2+x-12,
又,
∴,
∴m=-1,n=-12,
∴ [(-1)÷(-12)]-1==12.
故答案为:12.
【分析】先根据多项式乘多项式法则计算(x-3)(x+4),即可得出,求得m与n的值,再将其代入计算即可.
16.【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解:方程组可变形为.
关于,的二元一次方程组的解是,
关于,的二元一次方程组的解是,
,
关于,的二元一次方程组的解是.
故答案为:.
【分析】由题意可得:方程组的解为m-1=1、n+3=-1,求解可得m、n的值.
17.【答案】(1)解:原式=3-(-3)+3-1
=8;
(2)解:原式=()-()-()
=
=
=-1.
【知识点】整式的混合运算;实数的混合运算(含开方)
【解析】【分析】(1)先分别求出算数平方根、立方根、绝对值、幂的乘方,再进行加减计算即可;
(2)先根据多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则算出整式的乘积,再去括号,合并同类项即可求得结果.
(1)解:,
,
,
;
(2)解:,
,
,
.
18.【答案】(1)解:,
由①得,y=x-1③,
将③代入②得,2x+x-1=2,
即3x-1=2,
解得,x=1,
将代入③得,
∴方程组的解为;
(2)解:
由①得,x=2y③,
将③代入②得,,
即6y-6=0,
解得,
将代入③得,,
∴方程组的解为.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据代入消元法求解即可.
(1)解:,
得,,解得,
将代入①得,
∴方程组的解为;
(2)解:,即,
将①代入②得,,解得,
将代入①得,,
∴方程组的解为.
19.【答案】解:原式
,
若分式有意义,则x+1、x-1、x+2、x-3不能为0,
即x的值不等于-1、1、-2、3,
∴这组数据中,x的值为-3,
当时,原式.
【知识点】分式有无意义的条件;分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将分式进行化简,再结合分式有意义的条件,取合适的值代入计算即可.
20.【答案】已知;;两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】证明:∵(已知),
∴(同旁内角互补,两直线平行).
∴(两直线平行,同位角相等).
又∵(已知),
∴(等量代换).
∴(内错角相等,两直线平行),
∴(两直线平行,内错角相等).
故答案为:已知;;两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等.
【分析】根据平行线的判定和性质进行填空即可解决问题.
21.【答案】(1)解:当m=-1时,
原方程为:
方程两边同乘(1-x),得:2=x-2(1-x),
去括号,得:,
移项、合并同类项,得:,
解得:,
检验:将代入(1-x)得:,
是原分式方程的解;
(2)解:
方程两边同乘(1-x),得:2=-mx-2(1-x),
整理得:(2-m)x=4,
∴当2-m=0时,即m=2时,原分式方程无解,
当2-m≠0时,即m≠2时,原分式方程无解,
则x-1=0,即x=1,
此时,m=-2,
综上所述,当m=2或m=-2时,原分式方程无解.
【知识点】分式方程的增根;去分母法解分式方程
【解析】【分析】(1)利用去分母将分式方程转化为整式方程,求出的值后进行检验即;
(2)用去分母将分式方程转化为整式方程,然后根据分式方程无解进行分类讨论即可.
(1)解:把代入分式方程得:,
整理得:,
去分母,得:,
去括号,得:,
移项、合并同类项,得:,
解得:,
检验:把代入得:,
是分式方程的解;
(2)分式方程变形得:,
去分母,得:,即,
若,即时,此方程无解,即分式方程无解;
若,即时,
分式方程无解,
,即,
把代入整式方程得:,
综上所述,或.
22.【答案】解:(1)∵ x2+2xy+2y2+2y+1=0,
∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0,
∴(x+y)2+(y+1)2=0,
∴(x+y)2=0,(y+1)2=0,
∴x+y=0,y+1=0,
∴2(x+y)-(y+1)=2x+y-1=0,
∴2x+y=1;
(2)根据 a﹣b=4可得b=a-4,
把b=a-4打入 ab+c2﹣6c+13=0, 得:a(a-4)+c2﹣6c+13=0,
∴(a2-4a+4)+(c2 6c+9)=0,
∴(a-2)2+(c 3)2=0,
∴a-2=0,c 3=0,
解得:a=2,c=3,
∴b=a-4=2-4=-2,
∴a+b+c=2 2+3=3.
【知识点】因式分解﹣添(拆)项法;整体思想
【解析】【分析】(1)根据题意,仿照材料中的解题方式求解 x2+2xy+2y2+2y+1=0,从而可以得到x、y的值,即可解决问题;
(2)根据a-b=4,得出b=a-4,将其代入ab+c2-6c+13=0,整理成(a2-4a+4)+(c2 6c+9)=0,进而可以求得a、b、c的值,即可解决问题.
23.【答案】(1)B
(2)解:设A种型号的汽车每辆进价为a万元,B种型号的汽车每辆进价为b万元,
根据题意可列二元一次方程组为:,
解这个方程组,得:,
答:A种型号的汽车每辆进价为25万元,B种型号的汽车每辆进价为15万元;
(3)解:设购进A型汽车m辆,购进B型汽车n辆,
根据题意可列方程为:,
整理得:,
由题意可知,m、n均为正整数,
∴或或,
∴共有3种购买方案:
①购进B型号汽车5辆,A型号汽车7辆;
②购进B型号汽车10辆,A型号汽车4辆;
③购进B型号汽车15辆,A型号汽车1辆.
答:共有3种购买方案:①购进B型号汽车5辆,A型号汽车7辆;②购进B型号汽车10辆,A型号汽车4辆;③购进B型号汽车15辆,A型号汽车1辆.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题;二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解:(1)设两次汽油单价分别为x元,y元(x≠y),
①若每次所加的油量固定为M升,则平均单价==,
②若每次加油的付款额固定为N元,则平均单价==,
∵当x≠y时,(x+y)2>4ab,且a,b均为正数,
∴>
∴方式②平均油价更低.
故答案为:B.
【分析】(1)设两次汽油单价分别为x元,y元(x≠y),分别求出①②两次的平均单价,然后作差比较即可;
(2)设A型汽车每辆的进价为a万元,b型汽车每辆的进价为y万元,根据“ 2辆A型汽车,3辆B型汽车的进价共计95万元:3辆A型汽车,2辆B型汽车的进价共计105万元 ”列出二元一次方程组求解即可;
(3)设购进A型汽车m辆,购进B型汽车n辆,根据“ 正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均有购买) ”列出二元一次方程,化简方程,寻找正整数解即可.
(1)设两次汽油单价分别为a元,b元(),
记①中每次所加的油量固定为A升,②中每次加油的付款额固定为B元,
则①中平均单价为(元),
②中平均单价为(元),
当时,
∴,即,
∴方式②平均油价更低.
故选:B.
(2)设A种型号的汽车每辆进价为x万元,B种型号的汽车每辆进价为y万元,
由题意得:,
解得:,
答:A种型号的汽车每辆进价为25万元,B种型号的汽车每辆进价为15万元;
(3)设购进A型汽车m辆,购进B型汽车n辆,
由题意得:,
整理得:,
∵m、n均为正整数,
∴,,,
∴共有3种购买方案:
①购进A型号汽车7辆,B型号汽车5辆;
②购进A型号汽车4辆,B型号汽车10辆;
③购进A型号汽车1辆,B型号汽车15辆.
24.【答案】解:(1)小刚的证明过程如下:
如图2,
过点作,
∵,
∴PQ∥CD,
∴∠CPQ=∠PCD,
∵,
∴∠BAP=∠APQ,
∵∠ACP=∠CPQ+∠APQ
∴∠ACP=∠BAP+∠PCD
小红的证明过程如下:
如图3,
延长交于点,
∵,
∴∠BAP=∠AMC,
∵∠APC=∠AMC+∠PCD,
∴∠APC=∠BAP+∠PCD;
(2)证明:
∵∠AGE=∠GEP+∠APE,
又∵,
∴∠APE=∠PAC,
∴AC∥EF;
【拓展延伸】解:设HF与GP相交于点T,如图5所示,
平分,
∴,,
∵AC∥EF,
∴∠PAC=∠GPF=50°,
∵.∠PGE=180°-∠GPF-∠PEG,
∴50°+3∠PEG=180°-50°-∠PEG,
∴∠PEG=20°,
∴∠PGE=110°,
设∠PFC=2n,
平分,
,
,
,∠AEG=∠EGF,
∴∠AEG=∠AEF-∠PEG=2n-20°,
∴∠EGF=2n-20°,
∴∠PGF=∠PGE-∠EGF=110°-(2n-20°)=130°-2n,
∵∠AHF=∠AEG,
∴∠AHF=2n-20°,
∵∠GTF=180°-∠TGF-∠GFT=180°-(130°-2n)-n=50°+n,∠GTF=∠AHF+∠HAG=2n-20°+25°=2n+5°,
∴50°+n=2n+5°,
∴n=45°,
∴∠PFC=90°.
【知识点】平行线的判定与性质;三角形的外角性质;角平分线的性质;猪蹄模型
【解析】【分析】探索发现(1):小刚的证明方法:先证,根据平行线的性质得,∠BAP=∠APQ,即可得出结论;小红的证明方法:根据得,再根据三角形的外角定理得,即可得出结论;
深入思考(2):根据三角形的外角定理得,再根据已知条件可得,即可得出结论;
拓展延伸:设HF与GP相交于点T,根据,∠PGE=180°-∠GPF-∠PEG,可求得∠PEG=20°,设∠PFC=2n,结合∠GTF=180°-∠TGF-∠GFT,∠GTF=∠AHF+∠HAG即可求得答案.
1 / 1浙江省杭州市文海中学2023-2024学年七年级下学期期末数学模拟试题
1.(2024七下·杭州期末)下列是二元一次方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解:A.方程只有一个未知数,是一元一次方程,不是二元一次方程,A不符合题意;
B.方程是分式方程,不是二元一次方程,B不符合题意;
C.方程中有两个未知数但未知数的最高次数是2,因此不是二元一次方程,C不符合题意;
D.方程有两个未知数,且未知数的次数为1,是二元一次方程,D符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据二元一次方程的定义: 含有两个未知数,并且未知数的项的次数都是1 ,逐一进行判断即可.
2.(2024七下·杭州期末)在日本核电站排放核废水期间,我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘-131,其浓度为0.0000963贝克/立方米.数据“0.0000963”用科学记数法可表示为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】根据题意
0.0000963=9.6310-5
故选:C
【分析】 用科学记数法表示一个绝对值小于1的数,把它写成a10n的形式,1≤a<10,小数点向右移动几位到第一位数字后面n就等于负几。
3.(2024七下·杭州期末)下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法;合并同类项法则及应用;积的乘方运算;幂的乘方运算
【解析】【解答】解:A、,A错误;
B、,B错误;
C、,C正确;
D、,D错误;
故选:C.
【分析】根据同底数幂乘法计算,积的乘方计算,幂的乘方计算,合并同类项进行判断即可.
4.(2024七下·杭州期末)如图.已知直线,将一块含角的直角三角板按如图方式放置()其中点A,B分别落在直线a、b上.若,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】两直线平行,同位角相等
【解析】【解答】解:如图所示,
根据题意可知:,(已知),
∴∠1+∠3=90°,
∵,
∴,
∵(已知),
∴(两直线平行,同位角相等),
故答案为:B.
【分析】根据平角的定义求出,然后利用两直线平行,同位角相等,得出∠2=∠3,即可得出答案.
5.(2024七下·杭州期末)已知是方程的一组解,那么的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
6.(2024七下·杭州期末)如图所示,块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形,若其中每一个小长方形的长为,宽为,则依据题意可得二元一次方程组为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题;列二元一次方程组
【解析】【解答】解:依题意,得:.
故答案为:A.
【分析】根据大长方形的宽为和小长方形的长与宽之间的关系列方程即可.
7.(2024七下·杭州期末)已知,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法;求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解:,
,
,
,
∵,
∴=8
故答案为:C.
【分析】先把化为,再把代入进行计算即可.
8.(2024七下·杭州期末)若,,则的值为( )
A.4 B.6 C.9 D.18
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法;求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解:将进行因式分解得,
∵,
∴=32=9,
故答案为:C.
【分析】先运用完全平方公式法对进行因式分解再将代入求解即可.
9.(2024七下·杭州期末)如图,下列条件中不能判定的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解:A、∵,
∴,不能判定,则此项符合题意;
B、∵,
∴(内错角相等,两直线平行),则此项不符合题意;
C、∵,
∴(同旁内角互补,两直线平行),则此项不符合题意;
D、∵,
∴(同位角相等,两直线平行),则此项不符合题意;
故答案为:A.
【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可求出答案.
10.(2024七下·杭州期末)设n为某一自然数,代入代数式计算其值时,四个学生算出了下列四个结果.其中正确的结果是( )
A.521 B.1413 C.3721 D.1716
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解:,
n-1、n、n+1是三个连续的自然数,且
∴必是偶数,
即是一个偶数.
故答案为:D.
【分析】先将因式分解得到,表示三个连续正整数的积,n-1、n、n+1其中一个数必为偶数,可知必是偶数,即可得出答案.
11.(2024七下·杭州期末)分解因式: .
【答案】
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解:
,
,
故答案为:.
【分析】运用提取公因式的方法进行因式分解即可,因式分解常用的方法有:①提公因式法;②公式法;③十字相乘法;④分组分解法.因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
12.(2024七下·杭州期末)如图所示,数学拓展课上,小聪将直角三角形纸片沿向下折叠,点A落在点处,当时, 度.
【答案】70
【知识点】平行线的性质;三角形内角和定理;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:如图所示:
∵,
∴,∠B=∠2,
∵∠B=65°,
∴∠2=65°,
由折叠可知:==45°,
∴∠1=180°-∠A'ED-∠2=180°-45°-65°=70°,
故答案为:70.
【分析】根据易得,∠B=∠2,然后根据折叠可知:=45°,最后利用三角形内角和即可求出∠1.
13.(2024七下·杭州期末)若是关于x、y的方程和的公共解,则 .
【答案】7
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解:将代入方程,得:,
解得:m=4,
将代入方程,得:,
解得:n=3,
∴,
故答案为:7.
【分析】把x与y的值分别代入方程和计算出m与n的值,打入计算即可求出m+n的值.
14.(2024七下·杭州期末)如图所示,的一边为平面镜,,一束光线(与水平线平行)从点射入经平面镜上的点后,反射光线落在上的点处,且,则的度数是 .
【答案】
【知识点】两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补
【解析】【解答】解:(已知),
(两直线平行,同位角相等),(两直线平行,同旁内角互补),
∵(已知),
∴∠CDB=36°(等量代换),
∴(反射角相等),
∵(平角定义),
.
故答案为:.
【分析】由“两直线平行,同位角相等”得,由“两直线平行,同旁内角互补”得,再根据平角定义求出,即可求得结果.
15.(2024七下·杭州期末)已知,则 .
【答案】12
【知识点】负整数指数幂;已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解:∵(x-3)(x+4)=x2+x-12,
又,
∴,
∴m=-1,n=-12,
∴ [(-1)÷(-12)]-1==12.
故答案为:12.
【分析】先根据多项式乘多项式法则计算(x-3)(x+4),即可得出,求得m与n的值,再将其代入计算即可.
16.(2024七下·杭州期末)关于,的二元一次方程组的解是,则关于,的二元一次方程组的解是 .
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解:方程组可变形为.
关于,的二元一次方程组的解是,
关于,的二元一次方程组的解是,
,
关于,的二元一次方程组的解是.
故答案为:.
【分析】由题意可得:方程组的解为m-1=1、n+3=-1,求解可得m、n的值.
17.(2024七下·杭州期末)计算:
(1);
(2).
【答案】(1)解:原式=3-(-3)+3-1
=8;
(2)解:原式=()-()-()
=
=
=-1.
【知识点】整式的混合运算;实数的混合运算(含开方)
【解析】【分析】(1)先分别求出算数平方根、立方根、绝对值、幂的乘方,再进行加减计算即可;
(2)先根据多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则算出整式的乘积,再去括号,合并同类项即可求得结果.
(1)解:,
,
,
;
(2)解:,
,
,
.
18.(2024七下·杭州期末)解方程组:
(1)
(2)
【答案】(1)解:,
由①得,y=x-1③,
将③代入②得,2x+x-1=2,
即3x-1=2,
解得,x=1,
将代入③得,
∴方程组的解为;
(2)解:
由①得,x=2y③,
将③代入②得,,
即6y-6=0,
解得,
将代入③得,,
∴方程组的解为.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据代入消元法求解即可.
(1)解:,
得,,解得,
将代入①得,
∴方程组的解为;
(2)解:,即,
将①代入②得,,解得,
将代入①得,,
∴方程组的解为.
19.(2024七下·杭州期末)先化简;,再从,,,1,3中选择一个你喜欢的值代入求值.
【答案】解:原式
,
若分式有意义,则x+1、x-1、x+2、x-3不能为0,
即x的值不等于-1、1、-2、3,
∴这组数据中,x的值为-3,
当时,原式.
【知识点】分式有无意义的条件;分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将分式进行化简,再结合分式有意义的条件,取合适的值代入计算即可.
20.(2024七下·杭州期末)请将下列证明过程补充完整.
如图,已知,.
求证:.
证明:∵( ),
∴ (同旁内角互补,两直线平行).
∴( ).
又∵(已知),
∴(等量代换).
∴(内错角相等,两直线平行),
∴( ).
【答案】已知;;两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】证明:∵(已知),
∴(同旁内角互补,两直线平行).
∴(两直线平行,同位角相等).
又∵(已知),
∴(等量代换).
∴(内错角相等,两直线平行),
∴(两直线平行,内错角相等).
故答案为:已知;;两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等.
【分析】根据平行线的判定和性质进行填空即可解决问题.
21.(2024七下·杭州期末)已知关于x的分式方程.
(1)当时,求这个分式方程的解;
(2)若此分式方程无解,求的值.
【答案】(1)解:当m=-1时,
原方程为:
方程两边同乘(1-x),得:2=x-2(1-x),
去括号,得:,
移项、合并同类项,得:,
解得:,
检验:将代入(1-x)得:,
是原分式方程的解;
(2)解:
方程两边同乘(1-x),得:2=-mx-2(1-x),
整理得:(2-m)x=4,
∴当2-m=0时,即m=2时,原分式方程无解,
当2-m≠0时,即m≠2时,原分式方程无解,
则x-1=0,即x=1,
此时,m=-2,
综上所述,当m=2或m=-2时,原分式方程无解.
【知识点】分式方程的增根;去分母法解分式方程
【解析】【分析】(1)利用去分母将分式方程转化为整式方程,求出的值后进行检验即;
(2)用去分母将分式方程转化为整式方程,然后根据分式方程无解进行分类讨论即可.
(1)解:把代入分式方程得:,
整理得:,
去分母,得:,
去括号,得:,
移项、合并同类项,得:,
解得:,
检验:把代入得:,
是分式方程的解;
(2)分式方程变形得:,
去分母,得:,即,
若,即时,此方程无解,即分式方程无解;
若,即时,
分式方程无解,
,即,
把代入整式方程得:,
综上所述,或.
22.(2024七下·杭州期末)阅读材料:若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0,求m、n的值.
解:∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0,∴(m2﹣2mn+n2)+(n2﹣8n+16)=0
∴(m﹣n)2+(n﹣4)2=0,∴(m﹣n)2=0,(n﹣4)2=0,∴n=4,m=4.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求2x+y的值;
(2)已知a﹣b=4,ab+c2﹣6c+13=0,求a+b+c的值.
【答案】解:(1)∵ x2+2xy+2y2+2y+1=0,
∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0,
∴(x+y)2+(y+1)2=0,
∴(x+y)2=0,(y+1)2=0,
∴x+y=0,y+1=0,
∴2(x+y)-(y+1)=2x+y-1=0,
∴2x+y=1;
(2)根据 a﹣b=4可得b=a-4,
把b=a-4打入 ab+c2﹣6c+13=0, 得:a(a-4)+c2﹣6c+13=0,
∴(a2-4a+4)+(c2 6c+9)=0,
∴(a-2)2+(c 3)2=0,
∴a-2=0,c 3=0,
解得:a=2,c=3,
∴b=a-4=2-4=-2,
∴a+b+c=2 2+3=3.
【知识点】因式分解﹣添(拆)项法;整体思想
【解析】【分析】(1)根据题意,仿照材料中的解题方式求解 x2+2xy+2y2+2y+1=0,从而可以得到x、y的值,即可解决问题;
(2)根据a-b=4,得出b=a-4,将其代入ab+c2-6c+13=0,整理成(a2-4a+4)+(c2 6c+9)=0,进而可以求得a、b、c的值,即可解决问题.
23.(2024七下·杭州期末)一直以来汽油价格总是波动调整,因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高,低碳绿色出行方式受到肯定,加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持,今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势.某汽车销售公司为提升业绩,计划购进一批新能源汽车进行销售,据了解2辆A型汽车,3辆B型汽车的进价共计95万元:3辆A型汽车,2辆B型汽车的进价共计105万元.
(1)若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油,且两次汽油单价不同,现有两种加油方式:
①每次所加的油量固定;②每次加油的付款额固定.若平均单价越低则该加油方式越划算,不考虑其他因素影响,则 .
A.按方式①加油更划算; B.按方式②加油更划算;
C.两种加油方式一样划算; D.无法比较哪种加油方式更划算.
(2)求A,B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元?
(3)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均有购买),请你通过计算写出所有购买方案.
【答案】(1)B
(2)解:设A种型号的汽车每辆进价为a万元,B种型号的汽车每辆进价为b万元,
根据题意可列二元一次方程组为:,
解这个方程组,得:,
答:A种型号的汽车每辆进价为25万元,B种型号的汽车每辆进价为15万元;
(3)解:设购进A型汽车m辆,购进B型汽车n辆,
根据题意可列方程为:,
整理得:,
由题意可知,m、n均为正整数,
∴或或,
∴共有3种购买方案:
①购进B型号汽车5辆,A型号汽车7辆;
②购进B型号汽车10辆,A型号汽车4辆;
③购进B型号汽车15辆,A型号汽车1辆.
答:共有3种购买方案:①购进B型号汽车5辆,A型号汽车7辆;②购进B型号汽车10辆,A型号汽车4辆;③购进B型号汽车15辆,A型号汽车1辆.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题;二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解:(1)设两次汽油单价分别为x元,y元(x≠y),
①若每次所加的油量固定为M升,则平均单价==,
②若每次加油的付款额固定为N元,则平均单价==,
∵当x≠y时,(x+y)2>4ab,且a,b均为正数,
∴>
∴方式②平均油价更低.
故答案为:B.
【分析】(1)设两次汽油单价分别为x元,y元(x≠y),分别求出①②两次的平均单价,然后作差比较即可;
(2)设A型汽车每辆的进价为a万元,b型汽车每辆的进价为y万元,根据“ 2辆A型汽车,3辆B型汽车的进价共计95万元:3辆A型汽车,2辆B型汽车的进价共计105万元 ”列出二元一次方程组求解即可;
(3)设购进A型汽车m辆,购进B型汽车n辆,根据“ 正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均有购买) ”列出二元一次方程,化简方程,寻找正整数解即可.
(1)设两次汽油单价分别为a元,b元(),
记①中每次所加的油量固定为A升,②中每次加油的付款额固定为B元,
则①中平均单价为(元),
②中平均单价为(元),
当时,
∴,即,
∴方式②平均油价更低.
故选:B.
(2)设A种型号的汽车每辆进价为x万元,B种型号的汽车每辆进价为y万元,
由题意得:,
解得:,
答:A种型号的汽车每辆进价为25万元,B种型号的汽车每辆进价为15万元;
(3)设购进A型汽车m辆,购进B型汽车n辆,
由题意得:,
整理得:,
∵m、n均为正整数,
∴,,,
∴共有3种购买方案:
①购进A型号汽车7辆,B型号汽车5辆;
②购进A型号汽车4辆,B型号汽车10辆;
③购进A型号汽车1辆,B型号汽车15辆.
24.(2024七下·杭州期末)综合与实践
【探索发现】(1)已知:如图1,,点在,之间,连接,.
易证:.
下面是两位同学添加辅助线的方法:
小刚:如图2,过点作. 小红:如图3,延长交于点.
请你选择一位同学的方法,并进行证明:
【深入思考】(2)如图4,点,分别是射线,上一点,点是线段上一点,连接并延长,交直线于点,连接,,若,求证:;
【拓展延伸】如图5,在(2)的条件下,,平分,平分,与交点,若,,.求的度数.
【答案】解:(1)小刚的证明过程如下:
如图2,
过点作,
∵,
∴PQ∥CD,
∴∠CPQ=∠PCD,
∵,
∴∠BAP=∠APQ,
∵∠ACP=∠CPQ+∠APQ
∴∠ACP=∠BAP+∠PCD
小红的证明过程如下:
如图3,
延长交于点,
∵,
∴∠BAP=∠AMC,
∵∠APC=∠AMC+∠PCD,
∴∠APC=∠BAP+∠PCD;
(2)证明:
∵∠AGE=∠GEP+∠APE,
又∵,
∴∠APE=∠PAC,
∴AC∥EF;
【拓展延伸】解:设HF与GP相交于点T,如图5所示,
平分,
∴,,
∵AC∥EF,
∴∠PAC=∠GPF=50°,
∵.∠PGE=180°-∠GPF-∠PEG,
∴50°+3∠PEG=180°-50°-∠PEG,
∴∠PEG=20°,
∴∠PGE=110°,
设∠PFC=2n,
平分,
,
,
,∠AEG=∠EGF,
∴∠AEG=∠AEF-∠PEG=2n-20°,
∴∠EGF=2n-20°,
∴∠PGF=∠PGE-∠EGF=110°-(2n-20°)=130°-2n,
∵∠AHF=∠AEG,
∴∠AHF=2n-20°,
∵∠GTF=180°-∠TGF-∠GFT=180°-(130°-2n)-n=50°+n,∠GTF=∠AHF+∠HAG=2n-20°+25°=2n+5°,
∴50°+n=2n+5°,
∴n=45°,
∴∠PFC=90°.
【知识点】平行线的判定与性质;三角形的外角性质;角平分线的性质;猪蹄模型
【解析】【分析】探索发现(1):小刚的证明方法:先证,根据平行线的性质得,∠BAP=∠APQ,即可得出结论;小红的证明方法:根据得,再根据三角形的外角定理得,即可得出结论;
深入思考(2):根据三角形的外角定理得,再根据已知条件可得,即可得出结论;
拓展延伸:设HF与GP相交于点T,根据,∠PGE=180°-∠GPF-∠PEG,可求得∠PEG=20°,设∠PFC=2n,结合∠GTF=180°-∠TGF-∠GFT,∠GTF=∠AHF+∠HAG即可求得答案.
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