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四川省成都市郫都区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·郫都期末）下列数学曲线（不含x轴、y轴），既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是轴对称图形，但它不是中心对称图形，∴此选项不符合题意；
B、图案是轴对称图形，但它不是中心对称图形，∴此选项不符合题意；
C、图案是轴对称图形，也是中心对称图形，∴此选项符合题意；
D、图案是轴对称图形，但它不是中心对称图形，∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某一个点旋转，若旋转后的图形与原来的图形能够完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；根据定义并结合各选项即可判断求解．
2．（2024八下·郫都期末）若，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，正确，
∴此选项不符合题意；
B、∵a＞b，
∴，正确，
∴此选项不符合题意；
C、a＞b，
∴，正确，
∴此选项不符合题意；
D、当时，，
则，
∴，
∴此选项不一定正确，符合题意；
故答案为：D ．
【分析】根据不等式的性质“不等式性质1：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变；不等式性质2：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式性质3：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；”依次判断即可求解.
3．（2024八下·郫都期末）若，，则的值为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】观察多项式可知，每一项都含有公因式ab，将提取公因式，然后将已知条件整体代入计算即可求解．
4．（2024八下·郫都期末）函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
A、本选项符合题意；
B、表示的解集为，∴此选项不符合题意；
C、表示的解集为，∴此选项不符合题意；
D、表示的解集为，∴此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式，解不等式可求得x的范围，根据“≥”实心向右将不等式的解集在数轴上的表示出来即可.
5．（2024八下·郫都期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，不能用平方差公式进行分解因式，此选项不符合题意；
B、，不能用平方差公式进行分解因式，此选项不符合题意；
C、，不能用平方差公式进行分解因式，此选项不符合题意；
D、，能用平方差公式进行分解因式，此选项符合题意；
故答案为：D ．
【分析】根据平方差公式依次判断即可求解．
6．（2024八下·郫都期末）限高标志牌是指禁止装载高度超过标志所示数值的车辆通行．如图所示是某桥洞的限高标志牌，则下列装载高度的车辆不能通过此桥洞的是（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：根据题意，限高标志牌的意义为不超过5米，即小于等于5米，
∴超过5米的不能通过，
故答案为： A．
【分析】根据图示可得限高标志牌的意义是不超过5米，结合各选项即可求解.
7．（2024八下·郫都期末）如图，根据图象，可得关于x的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据图象，可得：
不等式的解集为：．
故答案为：D．
【分析】根据图象，不等式的解集就是直线y=kx高于直线y=-2x+4所对应的x的取值范围，结合图象中两直线的交点的横坐标即可求解．
8．（2024八下·郫都期末）如图，中，，点为的中点，连接．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据题意，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
故答案为：B ．
【分析】根据勾股定理可得，由完全平方公式可将变形求得的值，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
9．（2024八下·郫都期末）分解因式： =　 　．
【答案】a（b+1）（b﹣1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式= =a（b+1）（b﹣1），
故答案为：a（b+1）（b﹣1）．
【分析】先用提公因式法、再用公式法因式分解。
10．（2024八下·郫都期末）若当时，分式无意义，则a的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵当时，分式无意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据分式无意义的条件"分母为0"可得关于a的方程，解方程即可求解．
11．（2024八下·郫都期末）如图，在中，，，绕点按顺时针方向旋转得，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵绕点顺时针旋转，即，
∴，
故答案为： ．
【分析】根据三角形内角和定理可求得的度数，由旋转的性质可得∠BAD的度数，然后根据角的和差即可求解．
12．（2024八下·郫都期末）如图， 已知点A， B的坐标分别为， ，将沿x轴向右平移，使点B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：，
，
，
，
即沿轴正方向平移2个单位长度得到，
，
点的坐标为．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，解题关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．根据得出，求出，则沿轴正方向平移2个单位长度得到，即可求解．
13．（2024八下·郫都期末）已知中，D为的中点．按以下步骤作图：①分别以点A、点C圆心，以大于长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交于点；③连接．若的周长为，则的周长为　 　．
【答案】
【知识点】尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据作图可知：垂直平分，
∴E为的中点，
∵D为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴的周长为周长的2倍，
∵的周长为，
∴的周长为．
故答案为：．
【分析】根据中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”得，然后根据的周长为即可求解．
14．（2024八下·郫都期末）（）解不等式组：；
（）解分式方程：．
【答案】解：（）由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为；
（）方程两边都乘以最简公分母得，
，
解得：，
经检：把代入最简公分母得，，
∴是原方程的解．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”即可求得不等式组的解集．
（）按照解分式方程的步骤“去分母化分式方程为整式方程，解整式方程，检验”计算即可求解.
15．（2024八下·郫都期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
∴当时，原式．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再把m的值的代入化简后的分式计算可求解.
16．（2024八下·郫都期末）在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为、0、1，卡片除了数字不同外，其余都相同．
（1）从盒子中随机抽取一张卡片，抽中负数的概率是多少？
（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，卡片不放回，再随机抽取一张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求出两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率．
【答案】（1）解：总共有3种等可能事件，其中抽中负数有，1种情况，
∴从盒子中随机抽取一张卡片，抽中负数的概率是；
（2）解：方法1：画树状图如下：
共有6种等可能的结果：
、、、、、
乘积分别为：0，，0，0，，0
所以两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的有4种，
则两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率为．
方法2：列表如下：
第1张 第2张 0 1
—— 0， 1，
0 ，0 —— 1，0
1 ，1 0，1 ——
共有6种等可能的结果：
、、、、、
乘积分别为：0，，0，0，，0
所以两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的有4种，
则两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率为．
【知识点】实数的概念与分类；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】
（1）找出三种卡片中负数卡片的个数，再根据概率公式计算即可求解；
（2）用列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出抽取的卡片上的数字之积为有理数的情况数，再根据概率公式计算即可求解．
（1）解：总共有3种等可能事件，其中抽中负数有，1种情况，
故从盒子中随机抽取一张卡片，抽中负数的概率是；
（2）解：方法1：画树状图如下：
共有6种等可能的结果：
、、、、、
乘积分别为：0，，0，0，，0
所以两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的有4种，
则两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率为．
方法2：列表如下：
第1张 第2张 0 1
—— 0， 1，
0 ，0 —— 1，0
1 ，1 0，1 ——
共有6种等可能的结果：
、、、、、
乘积分别为：0，，0，0，，0
所以两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的有4种，
则两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率为．
17．（2024八下·郫都期末）如图，在中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，直接写出的长．
【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】
（1）由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠FEC=∠ADC，结合已知，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得，再由平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可求解；
（2）由平行四边形的对边相等可得，再由等腰三角形的三线合一可得，则，在Rt△DEF中，由勾股定理计算即可求解．
（1）证明：，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
18．（2024八下·郫都期末）如图，四边形中，，，并且平分，，．点是上的动点，点在射线上．
（1）如图1，求证：四边形为菱形；
（2）如图2，连接，若，求的度数；
（3）如图3，若，连接，求的最小值．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，即，
∴，
∴，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：连接，
∵四边形为菱形，
∴，
在△ADP和△CDP中
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
答：∠CPE的度数为120°；
（3）解：∵四边形是菱形，，是对角线，
∴，
则，
如图所示，过点作，且取，连接，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，则，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由得，
∴的最小值为．
答：CP+CE的最小值为.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形为平行四边形，根据角平分线的定义可得，结合平行四边形的性质可得，由等角对等边可得AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断求解；
（2）连接，由菱形可得DA=DC，∠ADP=∠CDP，结合已知用边角边可证△ADP≌△CDP，由全等三角形的对应边（角）相等可得，，由三角形的内角和定理可得，，，
可得，然后根据平行四边形的性质可求解；
（3）过点作，且取，连接，，，结合已知用边角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，根据菱形的性质可得，由有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可得是等腰直角三角形，则，再根据三角形三边关系可求解．
（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，即，
∴，
∴，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：连接，
∵四边形为菱形，
∴，是公共边，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵四边形是菱形，，是对角线，
∴，则，
如图所示，过点作，且取，连接，，，
在，中，
，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，则，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由得，
∴的最小值为．
19．（2024八下·郫都期末）若，则的值为　 　．
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】用完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”展开，然后根据恒等式的意义可求得m、n的值，代入所求代数式计算即可求解．
20．（2024八下·郫都期末）如图，四边形是平行四边形．已知四个条件：①；②；③；④，从中任选一个，可判定是矩形的概率是　 　．
【答案】
【知识点】矩形的判定；概率公式
【解析】【解答】解：①四边形是平行四边形
又
是矩形；
②四边形是平行四边形，且，
是矩形；
③四边形是平行四边形，且，
是菱形，不可判定为矩形；
④四边形是平行四边形，且，
是菱形，不可判定为矩形；
故选到能够判定是矩形的有①、②，2种结果，
选到能够判定是矩形的概率是.
故答案为：．
【分析】①由题意，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得平行四边形ABCD是矩形；
②由题意，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得平行四边形ABCD是矩形；
③由题意，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得平行四边形ABCD是菱形；
④由题意，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形ABCD是菱形；然后根据概率公式计算即可求解．
21．（2024八下·郫都期末）如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：设，则，
，，
，
在中，，
即，
解得：，
即．
故答案为：．
【分析】根据折叠可得，在直角中，设，则，根据可得，可以根据勾股定理列关于x的方程，解方程即可求解．
22．（2024八下·郫都期末）若整数x使仅有5个整数解，且使关于y的方程有整数解，则a的值为　 　．
【答案】6
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由等式组得，
由仅有5个整数解，知，
从而，
解得，
从而整数；
解关于y的分式方程，得，
∵关于y的方程有整数解，
∴，
当时，，
经检验，是分式方程的解，
∴．
故答案为：6．
【分析】解关于x的不等式组，根据不等式组仅有5个整数解可得关于a的不等式组，解不等式组求出a的范围，然后可得a的整数值；再解关于y的分式方程，得，根据关于y的方程有整数解即可求解．
23．（2024八下·郫都期末）如图，与相交于点，若，，，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，沿方向平移得，连接，，作于点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，，
∴在中，，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，且，
∴的最小值为，即的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】如图，沿方向平移得，连接，，作于点，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，在中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AG=AB，用勾股定理求得BG的值，根据线段的和差求得FG的值，在Rt△BFG中，根据勾股定理可求得的长度，在△BD发中，根据三角形任意两边之和大于第三边可求解．
24．（2024八下·郫都期末）郫县豆瓣是川菜之魂、回锅肉的灵魂伴侣．某商场从厂家用元购进甲种郫县豆瓣和用元购进乙种郫县豆瓣的千克数相同．已知每千克乙种郫县豆瓣价格比每千克甲种郫县豆瓣的价格多元．
（1）求甲、乙两种郫县豆瓣每千克的进货价格；
（2）因两种郫县豆瓣销售都好，商场决定再购进这两种郫县豆瓣共千克，且乙种郫县豆瓣的数量不超过甲种郫县豆瓣数量的倍，甲种郫县豆瓣以元/千克销售，乙种郫县豆瓣以元/千克销售，请问甲、乙两种郫县豆瓣各进货多少千克时获得利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设每千克甲种郫县豆瓣的进货价格是元，则每千克乙种郫县豆瓣的进货价格是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，从而，
答：每千克甲种豆瓣的进货价格是元，每千克乙种豆瓣的进货价格是元；
（2）解：设购进甲种豆瓣千克，则购进乙种豆瓣千克，
根据题意得：，
解得：，
设再次购进的两种豆瓣全部售出后获得的总利润为元，
则，即，
由，得随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，最大值，
此时，
答：当购进甲种豆瓣千克，乙种豆瓣千克时，获得最大利润是元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设每千克甲种郫县豆瓣的进货价格是元，则每千克乙种郫县豆瓣的进货价格是元，根据相等关系“用24000元购进甲种郫县豆瓣的千克数=用26000元购进乙种郫县豆瓣的千克数”列关于x的分式方程，解分式方程并检验即可求解；
（2）设购进甲种豆瓣千克，则购进乙种豆瓣千克，总利润为元，根据题意可得，结合一次函数图象的性质即可求解．
（1）解：设每千克甲种郫县豆瓣的进货价格是元，则每千克乙种郫县豆瓣的进货价格是元，根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，从而，
答：每千克甲种豆瓣的进货价格是元，每千克乙种豆瓣的进货价格是元；
（2）解：设购进甲种豆瓣千克，则购进乙种豆瓣千克，
根据题意得：，
解得：，
设再次购进的两种豆瓣全部售出后获得的总利润为元，
则，即，
由，得随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，最大值，
此时，
答：当购进甲种豆瓣千克，乙种豆瓣千克时，获得最大利润是元．
25．（2024八下·郫都期末）如图，在矩形中，，，四边形的三个顶点E、F、H分别在矩形边上，且．
（1）如图1，当四边形为正方形时，
（i）求证：；
（ii）求的面积；
（2）如图2，当四边形为菱形时，设，的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）解：如图1，过点G作，垂足为M，
由矩形ABCD可知：.
由正方形EFGH可知：，.
∴，
∵，
∴.
在△AEH和△BFE中
∴（AAS）；
（ii）∵
∴.
同理可证：
∴，
∴.
又∵，
∴.
（2）如图2，过点G作，垂足为M，连接.
由矩形得：，
∴
由菱形得：，.
∴
∴
在△AEH和△MGF中
∴，
∴
又∵，
∴
∴
即：，
∵，，，
∴
∴
∵H在上
∴
∴
解得
∵F在BC上
∴即
∴
∴定义域：
答：，取值范围：．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
（1）（i）过点G作，垂足为M，由同角的余角相等可得∠3=∠2，结合已知，用角角边可证；
（ii）.同理可证，则，由全等三角形的对应边相等可得，由线段的和差求出Fc的值，然后根据三角形的面积公式计算即可求解；
（2）过点G作，垂足为M，连接，同理可证，由全等三角形的对应边相等，根据三角形的面积公式得可求解.
（1）解：如图1，过点G作，垂足为M.
由矩形ABCD可知：.
由正方形EFGH可知：，.
∴，
∵，
∴.
∴.
（ii）∵
∴.
同理可证：
∴，
∴.
又∵，
∴.
（2）如图2，过点G作，垂足为M，连接.
由矩形得：，
∴
由菱形得：，.
∴
∴
又∵，，
∴
∴
又∵，
∴
∴
即：，
∵，，，
∴
∴
∵H在上
∴
∴
解得
∵F在BC上
∴即
∴
∴定义域：
26．（2024八下·郫都期末）探究学习是课程学习的一种重要方式．请依次解答下列问题：
【初步感知】（1）如图1，、均为顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？
【深入探究】（2）如图2，为等边三角形，点为边上一点（不与点重合），于点．将绕点顺时针旋转后得到．连接并延长交于点．补全图形，并说明点是的中点．
【解决问题】（3）如图3，点在等边外部，已知，，连接，求的取值范围，并直接写出取最值时的度数．
【答案】解：（1）已知，、均为顶角为的等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
在△BAD和△CAE中
∴，
∴将绕着点逆时针旋转得到或将绕着点顺时针旋转得到；
（2）根据题意，补全图形如下，过点作，交延长线于点，
∴，，
∵绕点顺时针旋转得，
∴，，
∴是等边三角形，则，
∵，
∴，
∴，，
∴，，即，
∴是等腰三角形，即，
∴，
在△BEF和△CGF中
∴，
∴，即点是的中点；
（3）∵是等边三角形，
∴，
如图所示，将绕点顺时针旋转，则点与点重合，连接，
∴，
∴是等边三角形，即，
∴，
∴，
在△TCB和△DCA中
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
当取最小值时，如图所示，
点落在线段上，；
当取最大值时，如图所示，
点落在的延长线上，；
综上可得，，当 取最小值时，点落在线段上，；当 取最大值时，点落在BD的延长线上，．
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】
（1）根据等腰三角形的性质，结合角的和差可得∠BAD=∠CAE，用边角边可证；
（2）根据旋转的性质即可作图，过点作，交延长线于点，根据旋转的性质并结合等边三角形的判定“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”可得是等边三角形，结合垂直的性质可得是等腰三角形，用角边角证可求解；
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，结合已知，用边角边可证△TCB ≌△DCA ，根据全等三角形的性质可证，在△BDT中，根据三角形三边关系定理可得AD的范围；当AD去最小值时，点t落在线段BD上；当AD取最大值时，点T落在BD的延长线上，结合这两种情况即可求解．
1 / 1四川省成都市郫都区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·郫都期末）下列数学曲线（不含x轴、y轴），既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·郫都期末）若，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·郫都期末）若，，则的值为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
4．（2024八下·郫都期末）函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·郫都期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·郫都期末）限高标志牌是指禁止装载高度超过标志所示数值的车辆通行．如图所示是某桥洞的限高标志牌，则下列装载高度的车辆不能通过此桥洞的是（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．（2024八下·郫都期末）如图，根据图象，可得关于x的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·郫都期末）如图，中，，点为的中点，连接．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·郫都期末）分解因式： =　 　．
10．（2024八下·郫都期末）若当时，分式无意义，则a的值为　 　．
11．（2024八下·郫都期末）如图，在中，，，绕点按顺时针方向旋转得，则的度数为　 　．
12．（2024八下·郫都期末）如图， 已知点A， B的坐标分别为， ，将沿x轴向右平移，使点B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为　 　．
13．（2024八下·郫都期末）已知中，D为的中点．按以下步骤作图：①分别以点A、点C圆心，以大于长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交于点；③连接．若的周长为，则的周长为　 　．
14．（2024八下·郫都期末）（）解不等式组：；
（）解分式方程：．
15．（2024八下·郫都期末）先化简，再求值：，其中．
16．（2024八下·郫都期末）在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为、0、1，卡片除了数字不同外，其余都相同．
（1）从盒子中随机抽取一张卡片，抽中负数的概率是多少？
（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，卡片不放回，再随机抽取一张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求出两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率．
17．（2024八下·郫都期末）如图，在中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，直接写出的长．
18．（2024八下·郫都期末）如图，四边形中，，，并且平分，，．点是上的动点，点在射线上．
（1）如图1，求证：四边形为菱形；
（2）如图2，连接，若，求的度数；
（3）如图3，若，连接，求的最小值．
19．（2024八下·郫都期末）若，则的值为　 　．
20．（2024八下·郫都期末）如图，四边形是平行四边形．已知四个条件：①；②；③；④，从中任选一个，可判定是矩形的概率是　 　．
21．（2024八下·郫都期末）如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长是　 　．
22．（2024八下·郫都期末）若整数x使仅有5个整数解，且使关于y的方程有整数解，则a的值为　 　．
23．（2024八下·郫都期末）如图，与相交于点，若，，，则的最小值为　 　．
24．（2024八下·郫都期末）郫县豆瓣是川菜之魂、回锅肉的灵魂伴侣．某商场从厂家用元购进甲种郫县豆瓣和用元购进乙种郫县豆瓣的千克数相同．已知每千克乙种郫县豆瓣价格比每千克甲种郫县豆瓣的价格多元．
（1）求甲、乙两种郫县豆瓣每千克的进货价格；
（2）因两种郫县豆瓣销售都好，商场决定再购进这两种郫县豆瓣共千克，且乙种郫县豆瓣的数量不超过甲种郫县豆瓣数量的倍，甲种郫县豆瓣以元/千克销售，乙种郫县豆瓣以元/千克销售，请问甲、乙两种郫县豆瓣各进货多少千克时获得利润最大？最大利润是多少元？
25．（2024八下·郫都期末）如图，在矩形中，，，四边形的三个顶点E、F、H分别在矩形边上，且．
（1）如图1，当四边形为正方形时，
（i）求证：；
（ii）求的面积；
（2）如图2，当四边形为菱形时，设，的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
26．（2024八下·郫都期末）探究学习是课程学习的一种重要方式．请依次解答下列问题：
【初步感知】（1）如图1，、均为顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？
【深入探究】（2）如图2，为等边三角形，点为边上一点（不与点重合），于点．将绕点顺时针旋转后得到．连接并延长交于点．补全图形，并说明点是的中点．
【解决问题】（3）如图3，点在等边外部，已知，，连接，求的取值范围，并直接写出取最值时的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是轴对称图形，但它不是中心对称图形，∴此选项不符合题意；
B、图案是轴对称图形，但它不是中心对称图形，∴此选项不符合题意；
C、图案是轴对称图形，也是中心对称图形，∴此选项符合题意；
D、图案是轴对称图形，但它不是中心对称图形，∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某一个点旋转，若旋转后的图形与原来的图形能够完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；根据定义并结合各选项即可判断求解．
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，正确，
∴此选项不符合题意；
B、∵a＞b，
∴，正确，
∴此选项不符合题意；
C、a＞b，
∴，正确，
∴此选项不符合题意；
D、当时，，
则，
∴，
∴此选项不一定正确，符合题意；
故答案为：D ．
【分析】根据不等式的性质“不等式性质1：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变；不等式性质2：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式性质3：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；”依次判断即可求解.
3．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】观察多项式可知，每一项都含有公因式ab，将提取公因式，然后将已知条件整体代入计算即可求解．
4．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
A、本选项符合题意；
B、表示的解集为，∴此选项不符合题意；
C、表示的解集为，∴此选项不符合题意；
D、表示的解集为，∴此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式，解不等式可求得x的范围，根据“≥”实心向右将不等式的解集在数轴上的表示出来即可.
5．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，不能用平方差公式进行分解因式，此选项不符合题意；
B、，不能用平方差公式进行分解因式，此选项不符合题意；
C、，不能用平方差公式进行分解因式，此选项不符合题意；
D、，能用平方差公式进行分解因式，此选项符合题意；
故答案为：D ．
【分析】根据平方差公式依次判断即可求解．
6．【答案】A
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：根据题意，限高标志牌的意义为不超过5米，即小于等于5米，
∴超过5米的不能通过，
故答案为： A．
【分析】根据图示可得限高标志牌的意义是不超过5米，结合各选项即可求解.
7．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据图象，可得：
不等式的解集为：．
故答案为：D．
【分析】根据图象，不等式的解集就是直线y=kx高于直线y=-2x+4所对应的x的取值范围，结合图象中两直线的交点的横坐标即可求解．
8．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据题意，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
故答案为：B ．
【分析】根据勾股定理可得，由完全平方公式可将变形求得的值，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
9．【答案】a（b+1）（b﹣1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式= =a（b+1）（b﹣1），
故答案为：a（b+1）（b﹣1）．
【分析】先用提公因式法、再用公式法因式分解。
10．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵当时，分式无意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据分式无意义的条件"分母为0"可得关于a的方程，解方程即可求解．
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵绕点顺时针旋转，即，
∴，
故答案为： ．
【分析】根据三角形内角和定理可求得的度数，由旋转的性质可得∠BAD的度数，然后根据角的和差即可求解．
12．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：，
，
，
，
即沿轴正方向平移2个单位长度得到，
，
点的坐标为．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，解题关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．根据得出，求出，则沿轴正方向平移2个单位长度得到，即可求解．
13．【答案】
【知识点】尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据作图可知：垂直平分，
∴E为的中点，
∵D为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴的周长为周长的2倍，
∵的周长为，
∴的周长为．
故答案为：．
【分析】根据中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”得，然后根据的周长为即可求解．
14．【答案】解：（）由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为；
（）方程两边都乘以最简公分母得，
，
解得：，
经检：把代入最简公分母得，，
∴是原方程的解．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”即可求得不等式组的解集．
（）按照解分式方程的步骤“去分母化分式方程为整式方程，解整式方程，检验”计算即可求解.
15．【答案】解：
，
∴当时，原式．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再把m的值的代入化简后的分式计算可求解.
16．【答案】（1）解：总共有3种等可能事件，其中抽中负数有，1种情况，
∴从盒子中随机抽取一张卡片，抽中负数的概率是；
（2）解：方法1：画树状图如下：
共有6种等可能的结果：
、、、、、
乘积分别为：0，，0，0，，0
所以两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的有4种，
则两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率为．
方法2：列表如下：
第1张 第2张 0 1
—— 0， 1，
0 ，0 —— 1，0
1 ，1 0，1 ——
共有6种等可能的结果：
、、、、、
乘积分别为：0，，0，0，，0
所以两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的有4种，
则两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率为．
【知识点】实数的概念与分类；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】
（1）找出三种卡片中负数卡片的个数，再根据概率公式计算即可求解；
（2）用列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出抽取的卡片上的数字之积为有理数的情况数，再根据概率公式计算即可求解．
（1）解：总共有3种等可能事件，其中抽中负数有，1种情况，
故从盒子中随机抽取一张卡片，抽中负数的概率是；
（2）解：方法1：画树状图如下：
共有6种等可能的结果：
、、、、、
乘积分别为：0，，0，0，，0
所以两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的有4种，
则两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率为．
方法2：列表如下：
第1张 第2张 0 1
—— 0， 1，
0 ，0 —— 1，0
1 ，1 0，1 ——
共有6种等可能的结果：
、、、、、
乘积分别为：0，，0，0，，0
所以两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的有4种，
则两次抽取的卡片上的数字之积为有理数的概率为．
17．【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】
（1）由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠FEC=∠ADC，结合已知，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得，再由平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可求解；
（2）由平行四边形的对边相等可得，再由等腰三角形的三线合一可得，则，在Rt△DEF中，由勾股定理计算即可求解．
（1）证明：，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
18．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，即，
∴，
∴，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：连接，
∵四边形为菱形，
∴，
在△ADP和△CDP中
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
答：∠CPE的度数为120°；
（3）解：∵四边形是菱形，，是对角线，
∴，
则，
如图所示，过点作，且取，连接，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，则，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由得，
∴的最小值为．
答：CP+CE的最小值为.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形为平行四边形，根据角平分线的定义可得，结合平行四边形的性质可得，由等角对等边可得AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断求解；
（2）连接，由菱形可得DA=DC，∠ADP=∠CDP，结合已知用边角边可证△ADP≌△CDP，由全等三角形的对应边（角）相等可得，，由三角形的内角和定理可得，，，
可得，然后根据平行四边形的性质可求解；
（3）过点作，且取，连接，，，结合已知用边角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，根据菱形的性质可得，由有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可得是等腰直角三角形，则，再根据三角形三边关系可求解．
（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，即，
∴，
∴，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：连接，
∵四边形为菱形，
∴，是公共边，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵四边形是菱形，，是对角线，
∴，则，
如图所示，过点作，且取，连接，，，
在，中，
，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，则，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由得，
∴的最小值为．
19．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】用完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”展开，然后根据恒等式的意义可求得m、n的值，代入所求代数式计算即可求解．
20．【答案】
【知识点】矩形的判定；概率公式
【解析】【解答】解：①四边形是平行四边形
又
是矩形；
②四边形是平行四边形，且，
是矩形；
③四边形是平行四边形，且，
是菱形，不可判定为矩形；
④四边形是平行四边形，且，
是菱形，不可判定为矩形；
故选到能够判定是矩形的有①、②，2种结果，
选到能够判定是矩形的概率是.
故答案为：．
【分析】①由题意，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得平行四边形ABCD是矩形；
②由题意，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得平行四边形ABCD是矩形；
③由题意，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得平行四边形ABCD是菱形；
④由题意，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形ABCD是菱形；然后根据概率公式计算即可求解．
21．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：设，则，
，，
，
在中，，
即，
解得：，
即．
故答案为：．
【分析】根据折叠可得，在直角中，设，则，根据可得，可以根据勾股定理列关于x的方程，解方程即可求解．
22．【答案】6
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由等式组得，
由仅有5个整数解，知，
从而，
解得，
从而整数；
解关于y的分式方程，得，
∵关于y的方程有整数解，
∴，
当时，，
经检验，是分式方程的解，
∴．
故答案为：6．
【分析】解关于x的不等式组，根据不等式组仅有5个整数解可得关于a的不等式组，解不等式组求出a的范围，然后可得a的整数值；再解关于y的分式方程，得，根据关于y的方程有整数解即可求解．
23．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，沿方向平移得，连接，，作于点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，，
∴在中，，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，且，
∴的最小值为，即的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】如图，沿方向平移得，连接，，作于点，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，在中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AG=AB，用勾股定理求得BG的值，根据线段的和差求得FG的值，在Rt△BFG中，根据勾股定理可求得的长度，在△BD发中，根据三角形任意两边之和大于第三边可求解．
24．【答案】（1）解：设每千克甲种郫县豆瓣的进货价格是元，则每千克乙种郫县豆瓣的进货价格是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，从而，
答：每千克甲种豆瓣的进货价格是元，每千克乙种豆瓣的进货价格是元；
（2）解：设购进甲种豆瓣千克，则购进乙种豆瓣千克，
根据题意得：，
解得：，
设再次购进的两种豆瓣全部售出后获得的总利润为元，
则，即，
由，得随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，最大值，
此时，
答：当购进甲种豆瓣千克，乙种豆瓣千克时，获得最大利润是元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设每千克甲种郫县豆瓣的进货价格是元，则每千克乙种郫县豆瓣的进货价格是元，根据相等关系“用24000元购进甲种郫县豆瓣的千克数=用26000元购进乙种郫县豆瓣的千克数”列关于x的分式方程，解分式方程并检验即可求解；
（2）设购进甲种豆瓣千克，则购进乙种豆瓣千克，总利润为元，根据题意可得，结合一次函数图象的性质即可求解．
（1）解：设每千克甲种郫县豆瓣的进货价格是元，则每千克乙种郫县豆瓣的进货价格是元，根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，从而，
答：每千克甲种豆瓣的进货价格是元，每千克乙种豆瓣的进货价格是元；
（2）解：设购进甲种豆瓣千克，则购进乙种豆瓣千克，
根据题意得：，
解得：，
设再次购进的两种豆瓣全部售出后获得的总利润为元，
则，即，
由，得随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，最大值，
此时，
答：当购进甲种豆瓣千克，乙种豆瓣千克时，获得最大利润是元．
25．【答案】（1）解：如图1，过点G作，垂足为M，
由矩形ABCD可知：.
由正方形EFGH可知：，.
∴，
∵，
∴.
在△AEH和△BFE中
∴（AAS）；
（ii）∵
∴.
同理可证：
∴，
∴.
又∵，
∴.
（2）如图2，过点G作，垂足为M，连接.
由矩形得：，
∴
由菱形得：，.
∴
∴
在△AEH和△MGF中
∴，
∴
又∵，
∴
∴
即：，
∵，，，
∴
∴
∵H在上
∴
∴
解得
∵F在BC上
∴即
∴
∴定义域：
答：，取值范围：．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
（1）（i）过点G作，垂足为M，由同角的余角相等可得∠3=∠2，结合已知，用角角边可证；
（ii）.同理可证，则，由全等三角形的对应边相等可得，由线段的和差求出Fc的值，然后根据三角形的面积公式计算即可求解；
（2）过点G作，垂足为M，连接，同理可证，由全等三角形的对应边相等，根据三角形的面积公式得可求解.
（1）解：如图1，过点G作，垂足为M.
由矩形ABCD可知：.
由正方形EFGH可知：，.
∴，
∵，
∴.
∴.
（ii）∵
∴.
同理可证：
∴，
∴.
又∵，
∴.
（2）如图2，过点G作，垂足为M，连接.
由矩形得：，
∴
由菱形得：，.
∴
∴
又∵，，
∴
∴
又∵，
∴
∴
即：，
∵，，，
∴
∴
∵H在上
∴
∴
解得
∵F在BC上
∴即
∴
∴定义域：
26．【答案】解：（1）已知，、均为顶角为的等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
在△BAD和△CAE中
∴，
∴将绕着点逆时针旋转得到或将绕着点顺时针旋转得到；
（2）根据题意，补全图形如下，过点作，交延长线于点，
∴，，
∵绕点顺时针旋转得，
∴，，
∴是等边三角形，则，
∵，
∴，
∴，，
∴，，即，
∴是等腰三角形，即，
∴，
在△BEF和△CGF中
∴，
∴，即点是的中点；
（3）∵是等边三角形，
∴，
如图所示，将绕点顺时针旋转，则点与点重合，连接，
∴，
∴是等边三角形，即，
∴，
∴，
在△TCB和△DCA中
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
当取最小值时，如图所示，
点落在线段上，；
当取最大值时，如图所示，
点落在的延长线上，；
综上可得，，当 取最小值时，点落在线段上，；当 取最大值时，点落在BD的延长线上，．
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】
（1）根据等腰三角形的性质，结合角的和差可得∠BAD=∠CAE，用边角边可证；
（2）根据旋转的性质即可作图，过点作，交延长线于点，根据旋转的性质并结合等边三角形的判定“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”可得是等边三角形，结合垂直的性质可得是等腰三角形，用角边角证可求解；
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，结合已知，用边角边可证△TCB ≌△DCA ，根据全等三角形的性质可证，在△BDT中，根据三角形三边关系定理可得AD的范围；当AD去最小值时，点t落在线段BD上；当AD取最大值时，点T落在BD的延长线上，结合这两种情况即可求解．
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