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2024-2025年度八年级下册数学期末考试模拟（1）
（考试时间：120分钟，分值：120分）
一、单选题（共36分）
1．（本题3分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解．
【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（本题3分）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，因式分解是将多项式表示为几个整式的乘积形式．根据因式分解的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：选项A：右边不是整式乘积的形式，不是因式分解；
选项B：，原分解错误；
选项C：属于整式乘法，不是因式分解．
选项D：符合因式分解定义．
故选：D．
3．（本题3分）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，10 D．7，24，26
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理逐项进行判断即可．
【详解】解：A.，
∴该选项三个数据不能构成直角三角形，故不符合题意；
B. ，
∴该选项三个数据不能构成直角三角形，故不符合题意；
C. ，
∴该选项三个数据能构成直角三角形，故符合题意；
D. ，
∴该选项三个数据不不能构成直角三角形，故不符合题意；
故选：C．
4．（本题3分）若一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了多边形内角和与外角和综合，设这个多边形的边数是，根据多边形的内角和定理，外角和定理列出方程，然后解方程即可，掌握相关知识的应用是解题的关键．
【详解】解：设这个多边形的边数是，
根据题意得：，
解得：，
故选：．
5．（本题3分）如图，在四边形中，对角线和相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、∵，
∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
C、∵，，
∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、∵，，
∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故该选项符合题意；
故选：D．
6．（本题3分）已知，，分别是的三边长，若，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边的关系，根据，可推出，由三角形三边的关系可得，则，即，则是等腰三角形．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵a，b，c分别是的三边长，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故选：A．
7．（本题3分）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点、，N的对应点，求N的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了点的坐标的平移，先由题意得出平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，再由次计算即可得解，正确得出平移的方式是解此题的关键．
【详解】解：∵线段是由线段经过平移得到的，已知点、，
∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，
∵N的对应点，
∴N的坐标为，即，
故选：A．
8．（本题3分）把分式中的和都扩大2倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．扩大4倍
【答案】A
【分析】本题考查了分式的基本性质．依题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解：分别用和去代换原分式中的和，
得，
∴把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值不变，
故选：A．
9．（本题3分）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，的平分线交于点，为的中点，连接．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，中位线定理，等角对等边等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
由四边形是平行四边形，则，，，，所以，通过角平分线定义可得，则有，所以，然后通过中位线定理可得，最后由线段和差即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，，即为的中点，
∴为中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
10．（本题3分）如图，一次函数的图象过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【详解】解：由函数图象可知，
当时，一次函数的图象在直线的上方，即，
所以不等式的解集为．
故选：A．
11．（本题3分）已知关于x 的不等式组至少有2个整数解，则a 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．首先解不等式组得到，再根据不等式组至少有2个整数解即可解答．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∵关于的不等式组至少有2个整数解，
，
，
故选：B．
12．（本题3分）如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形性质及构造等腰三角形的方法．根据等腰三角形性质，结合构造等腰三角形的方法，分三种情况：①构造中垂线；②以为圆心，长为半径作圆；③以为圆心，长为半径作圆；他们与直线或射线的交点即是点，从而得到结论
【详解】解：分三种情况：
①构造中垂线，、即为所求，如图所示：
②以为圆心，长为半径作圆，、即为所求，如图所示：
③以为圆心，长为半径作圆，即为所求，如图所示：
综上所述，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，符合条件的点有、、、、共5个，
故选：B．
二、填空题（共18分）
13．（本题3分）因式分解：
【答案】
【分析】本题考查了分解因式，掌握分解因式的方法是关键；先提公因式a，然后根据平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
14．（本题3分）若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键；
根据不等式的性质即可求解；
【详解】解：，
；
故答案为：
15．（本题3分）如图，边长为的等边内有一点，，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查旋转、等边三角形的性质、勾股定理,运用旋转的方法将绕点A按逆时针方向旋转60°是解题的关键．
将绕点A按逆时针方向旋转，得到，只要证明，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：将绕点A按逆时针方向旋转，得到，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴（负值舍去），
∴，
∴；
故答案为：．
16．（本题3分）如图，在平行四边形中，于E，，则的大小是 ．
【答案】37
【分析】本题主要考查的是平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
先根据平行四边形的性质求出的度数，再由直角三角形的两锐角互余即可解答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：37．
17．（本题3分），则 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的求值，异分母分式的加减法，条件式变形得到，整体代入法，求值即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
18．（本题3分）如图，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．
【详解】解：连接，
∵，
∴垂直平分，
，
，
∵两点之间线段最短，且垂线段最短，
∴当、、三点共线，且时，最小，
过点作于点交于点，如图所示：
∴当点在点处，点Q在点E处时，取最小值，且最小值为的长，
，
，
即的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）（1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
（2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．
【答案】（1），见解析；（2），当时，原式为
【分析】本题考查的是分式的化简求值和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和掌握分式的混合运算顺序与运算法则是解答此题的关键．
（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值代入计算即可．
【详解】解：（1）解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为.
其解集在数轴上表示为：如图所示.
（2）
，
由题意得：且，
当时，原式，
当时，原式．
20．（本题4分）如图，在中，，，．
(1)尺规作图：作的平分线交于D（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）利用尺规基本作图，作出的角平分线即可．
（2）作，垂足为E．设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解：如图所示：就是所求．
（2）解：在中，由勾股定理得：，
过点D作，垂足为E．
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中由勾股定理得：，
解方程得，
∴．
【点睛】本题考查尺规基本作图—作角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（本题6分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上，
(1)将向右平移2个单位，再向下平移4个单位，请在网格内画出平移后的；
(2)将以点B为中心，顺时针旋转90°，请在网格图中画出旋转后的；
(3)请仅用无刻度直尺在线段上确定一点P，使（保留作图痕迹，不需要证明）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了平移变换、旋转变换、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据平移的性质确定点的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平移的性质确定点的位置，然后顺次连接即可；
（3）连接，由旋转的性质可得，，易得，即可获得答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）如图，点P即为所求．
22．（本题6分）两地相距，一辆公共汽车和一辆小汽车同时从地出发驶往地，小汽车的平均速度是公共汽车的倍，小汽车比公共汽车早到达地．求两车的平均速度．
【答案】公共汽车的平均速度是，小汽车的平均速度是
【分析】本题考查了分式方程的应用，设公共汽车的平均速度为，则小汽车的平均速度为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设公共汽车的平均速度为，则小汽车的平均速度为，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，符合题意，
∴，
答：公共汽车的平均速度是，小汽车的平均速度是．
23．（本题8分）如图，在中，是边上一点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形即可；
（2）直接根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：，，，，
，
是直角三角形，且，
；
（2）解：由（1）知，，
，
，，
．
24．（本题6分）图中所给的直线是一次函数的图象．
(1)请直接在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的图象；
(2)求出两条直线的交点的坐标，并在图中标出点的位置；
(3)根据图象，当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)图象见解析
(2)，图见解析
(3)
【分析】本题考查的是一次函数与方程和不等式的关系，解二元一次方程组，直接利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
（1）根据题意画出函数的图象即可；
（2）解方程组即可得到结论；
（3）根据函数的图象即可得到结论．
【详解】（1）解：一次函数的图象如图所示，
（2）解：由题意得：，
解得：，
∴点的坐标为，
点的坐标如图所示．
（3）解：由图象可知，当时，的取值范围为．
25．（本题8分）如图，平行四边形的对角线、相交于点O，E、F是直线上的两点，并且，连接、、、
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)14
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
（1）先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证；
（2）过点作，交延长线于点，先求出，的值，再利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∴与互相平分，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图，过点作，交延长线于点，
由（1）已证：四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，，
∴．
26．（本题10分）2025年春节档电影《哪旺2：魔童闹海》惊艳世界，创造了中国影视票房记录，某商家看准商机，推出了A、B两种类型的哪吒纪念娃娃，其进价和售价如下表所示：
进价（元/个） 售价（元/个）
A种类型 50 80
B种类型 60 100
(1)该商家计划购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃共1000个，且A种类型的哪吒纪念娃娃的数量不超过B种类型的哪吒纪念娃娃数量的1.5倍，总成本不超过54100元，一共有多少种满足条件的方案？
(2)在（1）的条件下，设售出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃的总利润为W元，请写出W（元）与A种类型哪吒纪念娃娃的数量（个）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总利润W最大，并求出W的最大值．
【答案】(1)共有11种满足条件的方案
(2)购买种590个，售出种410个，最大收益为34100元
【分析】本题考查一元一次不等式组解决实际问题，一次函数解决实际问题，分析得到题意中各量的数量关系是解题的关键．
（1）设购买A种纪念娃娃x个，则购买B种纪念娃娃个，根据“A种类型的哪吒纪念娃娃的数量不超过B种类型的哪吒纪念娃娃数量的1.5倍，总成本不超过54100元”列出不等式组，求解方程组，找出其整数解即可解答；
（2）列出总利润W关于A种纪念娃娃数量x之间的函数关系式，根据一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：设购买A种纪念娃娃x个，则购买B种纪念娃娃个，根据题意得，
，
解得：，
∵x为正整数，
∴，
即x的取值共有11个整数，
∴共有11种满足条件的方案；
（2）解：总利润，
由可知W随的增大而减小，
当时，W取得最大值，最大值为34100（元），
此时
答：购买种590个，售出种410个，最大收益为34100元．
27．（本题10分）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材121页有“阅读与思考”：
根据多项式的乘法法则，可知．
那么，反过来，也有
这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式．
例如，因式分解．这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．
这样，我们也可以得到．
利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式：
（1）分解因式：
① ；
② ；
【知识应用】
（2）请用上述方法，因式分解：；
【拓展提升】
（3）因式分解：．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）
【分析】（1）仿照阅读材料中的方法将原式分解即可；
（2）两次利用材料中的方法将原式分解即可；
（3）原式利用分组分解法即可．
此题考查了因式分解—十字相乘法和分组分解法，弄清题中因式分解的方法是解答本题的关键．
【详解】解：（1）依题意，①；
②；
故答案为：①；②；
（2）依题意，
；
（3）依题意，
．
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2024-2025年度八年级下册数学期末考试模拟（1）
（考试时间：120分钟，分值：120分）
一、单选题（共36分）
1．（本题3分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，8，10 D．7，24，26
4．（本题3分）若一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，在四边形中，对角线和相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
6．（本题3分）已知，，分别是的三边长，若，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
7．（本题3分）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点、，N的对应点，求N的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）把分式中的和都扩大2倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．扩大4倍
9．（本题3分）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，的平分线交于点，为的中点，连接．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，一次函数的图象过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
11．（本题3分）已知关于x 的不等式组至少有2个整数解，则a 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（本题3分）如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
二、填空题（共18分）
13．（本题3分）因式分解：
14．（本题3分）若，则 ．
15．（本题3分）如图，边长为的等边内有一点，，，则的面积为 ．
16．（本题3分）如图，在平行四边形中，于E，，则的大小是 ．
17．（本题3分），则 ．
18．（本题3分）如图，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）（1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
（2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．
20．（本题4分）如图，在中，，，．
(1)尺规作图：作的平分线交于D（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求的长．
21．（本题6分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上，
(1)将向右平移2个单位，再向下平移4个单位，请在网格内画出平移后的；
(2)将以点B为中心，顺时针旋转90°，请在网格图中画出旋转后的；
(3)请仅用无刻度直尺在线段上确定一点P，使（保留作图痕迹，不需要证明）．
22．（本题6分）两地相距，一辆公共汽车和一辆小汽车同时从地出发驶往地，小汽车的平均速度是公共汽车的倍，小汽车比公共汽车早到达地．求两车的平均速度．
23．（本题8分）如图，在中，是边上一点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
24．（本题6分）图中所给的直线是一次函数的图象．
(1)请直接在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的图象；
(2)求出两条直线的交点的坐标，并在图中标出点的位置；
(3)根据图象，当时，直接写出的取值范围．
25．（本题8分）如图，平行四边形的对角线、相交于点O，E、F是直线上的两点，并且，连接、、、
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求的长．
26．（本题10分）2025年春节档电影《哪旺2：魔童闹海》惊艳世界，创造了中国影视票房记录，某商家看准商机，推出了A、B两种类型的哪吒纪念娃娃，其进价和售价如下表所示：
进价（元/个） 售价（元/个）
A种类型 50 80
B种类型 60 100
(1)该商家计划购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃共1000个，且A种类型的哪吒纪念娃娃的数量不超过B种类型的哪吒纪念娃娃数量的1.5倍，总成本不超过54100元，一共有多少种满足条件的方案？
(2)在（1）的条件下，设售出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃的总利润为W元，请写出W（元）与A种类型哪吒纪念娃娃的数量（个）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总利润W最大，并求出W的最大值．
27．（本题10分）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材121页有“阅读与思考”：
根据多项式的乘法法则，可知．
那么，反过来，也有
这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式．
例如，因式分解．这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．
这样，我们也可以得到．
利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式：
（1）分解因式：
① ；
② ；
【知识应用】
（2）请用上述方法，因式分解：；
【拓展提升】
（3）因式分解：．
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2024-2025年度八年级下册数学期末考试模拟（2）
（考试时间：120分钟，分值：120分）
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查不等式的性质．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、∵ ∴，故本选项不符合题意；
B、∵，∴，故本选项不符合题意；
C、∵，∴，故本选项不符合题意；
D、∵，∴，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（本题3分）如果一个边形的内角和为，那么的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了边形的内角和公式，依题意，列式进行计算，即可作答．
【详解】解：∵一个边形的内角和是，
∴，
解得，
故选：C．
3．（本题3分）如图，在四边形中，下列条件能判断它是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，平行四边形的判定定理①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，依此判断即可．
【详解】解：A、根据，，得出四边形是平行四边形，故本选项正确；
B、根据，不能判断四边形是平行四边形，故本选项错误；
C、根据，，不能判断四边形是平行四边形，故本选项错误；
D、根据，不能判断四边形是平行四边形，故本选项错误；
故选：A．
4．（本题3分）一项工程，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，甲、乙两人合做需要的天数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式除法的应用，把工作总量看做单位“1”，那么甲的工作效率为，乙的工作效率为，再用工作总量除以甲、乙两人的工作效率之和即可得到答案．
【详解】解：由题意得，甲、乙两人合做需要的天数为，
故选；D．
5．（本题3分）若多项式能因式分解为，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．6
【答案】C
【分析】本题考查因式分解，多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则，将展开，利用恒等式对应项相同，求出的值，进而求出代数式的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选C．
6．（本题3分）下列叙述正确的语句是（ ）
A．三角形的三条高线交于一点
B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
C．等腰三角形的对称轴是底边上的高线
D．全等三角形的对应角平分线相等
【答案】D
【分析】根据三角形高线性质、等腰三角形三线合一性质、等腰三角形对称性、全等三角形性质等知识逐项判定即可得到答案．
【详解】解：A、三角形的三条高线所在的直线交于一点，原说法错误，不符合题意；
B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，原说法错误，不符合题意；
C、等腰三角形的对称轴是底边上的高线所在的直线，原说法错误，不符合题意；
D、全等三角形的对应角平分线相等，说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查三角形高线性质、等腰三角形三线合一性质、等腰三角形对称性、全等三角形性质等知识．熟记相关几何性质是解决问题的关键．
7．（本题3分）若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组只有3个整数解求解即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组的整数解共有3个，
∴，
故选：B．
8．（本题3分）如图，在钝角中，，将其绕点逆时针方向旋转得到，连接．当时，旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，平行线的性质．根据旋转，得到，，由平行线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理结合等边对等角求出的度数即可．
【详解】解：∵旋转，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴旋转角的度数是；
故选：C．
9．（本题3分）已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．底与腰不相等的等腰三角形
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理和非负数的性质，几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此可得，则，进而可证明，则该三角形是直角三角形．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴该三角形是直角三角形，
故选：A．
10．（本题3分）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，是直线上不重合的两点．则；③；④；⑤当时，．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③④ C．①④⑤ D．③④⑤
【答案】B
【分析】本题主要考查的是一次函数的图象与性质、利用两直线的交点坐标确定不等式的解集等知识点，灵活利用数形结合的方法解题是关键．
根据一次函数过一、二、四象限，可得、，则，故①符合题意；由，可得y随x增大而减小，故②不符合题意；当、、，结合函数图象可得：，故③符合题意；由函数图象可得，两函数的交点的横坐标为3，当时，，即，故④符合题意；由函数图象可得：当时，可得，故⑤不符合题意．
【详解】解：∵一次函数过一，二，四象限，
∴、，
∴，故①符合题意；
∵，
∴y随x增大而减小，
∵，是直线上不重合的两点，
当，则，则；当，则，则，故②不符合题意；
当、、，
结合函数图象可得：，故③符合题意；
由函数图象可得，两函数的交点的横坐标为3，
∴当时，，即，故④符合题意；
由函数图象可得：当时，，故⑤不符合题意；
综上，①③④正确．
故选：B．
二、填空题（共18分）
11．（本题3分）据气象台报道，2024年6月28日双流区的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了列不等式，根据题意列出不等式即可求出答案，解题的关键是正确理解不等式的定义．
【详解】由于最高气温是，最低气温是，
∴，
故答案为：．
12．（本题3分）如图，D、E分别是边的中点，连接．若，，则BD的长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得，证明得出
【详解】解：∵D、E分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
故答案为：6．
13．（本题3分）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B的坐标．
【详解】解：∵点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点B，
∴点B的坐标为，即．
故答案为：．
14．（本题3分）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质，得到，再根据线段的和差关系求出的长即可．
【详解】解：∵平分，，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：6．
15．（本题3分）如图，在中，，，平分，交边于点，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得，再证明为等腰三角形，易得，然后由求解即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．（本题3分）若分式的值为正数，则x的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】此题考查分式的值、解不等式组等知识，根据分式的值为正数得到或，解不等式组即可．
【详解】解：由题意可知：或，
解得，或，
故本题答案为：或．
三、解答题（共72分）
17．（本题7分）（1）解不等式组：，并在如图所示的数轴上表示出其解集．
（2）因式分解：．
【答案】（1），数轴表示见解析；（2）
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，因式分解，在数轴上表示不等式组的解集，熟知解一元一次不等式组和因式分解的方法是解题的关键．
（1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可；
（2）先提取公因数3，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：（1）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
（2）
．
18．（本题5分）先化简：，然后从，0，1，2中选取一个你喜欢的值代入求值．
【答案】；，原式或，原式
【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号里面的通分，再把除法转化为乘法约分化简，最后选取使分式有意义的x的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式，
∵，0，1，2，
当，1时，分式无意义．
当 时，原式．
或当时，原式．
19．（本题6分）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题．
(1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？
(2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度．
(3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数．
【答案】(1)①20；②小东求的是8边形内角和；
(2)这个正多边形的一个内角是；
(3)
【分析】本题考查了多边形的内角和定理．
（1）①由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，用，得到的余数即为多加的锐角的度数；②由题意知，，计算求解即可；
（2）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可；
（3）根据多边形的内角和，分别得出，，再根据三角形的内角和算出，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，
，
∴这个“多加的锐角”是，
故答案为：20；
由题意知，，
解得，，
∴小东求的是8边形内角和；
（2）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是，
∴这个正多边形的一个内角是；
（3）解：由多边形的内角和可得，
，
，
，
，
由三角形的内角和得：
，
．
20．（本题7分）如图，在平行四边形中，平分交于点平分交于点F．
(1)已知，求的度数；
(2)请你判断与的数量关系并证明．
【答案】(1)
(2)与相等，证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，掌握平行四边形的性质，角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得，则，根据平分得，再根据平行四边形的性质即可求解；
（2）平行四边形的性质结合角平分线的定义可得，根据平行四边形的性质可得，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
在平行四边形中，
；
（2）解：与相等，证明如下：
∵四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
同理，
在平行四边形中，，
．
21．（本题8分）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时．
(1)求人工每人每小时分拣多少件；
(2)若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样的分拣机．
【答案】(1)人工每人每小时分拣60件
(2)至少需要安排5台这样的分拣机
【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出分式方程和一元一次不等式，是解题的关键：
（1）设人工每人每小时分拣x件，根据由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时，列出方程进行求解即可；
（2）设需要安排y台分拣机，根据题意，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设人工每人每小时分拣x件，则每台机器每小时分拣20x件，
根据题意得，，解得，
检验：当时，，
∴是方程的解，且符合题意，
答：人工每人每小时分拣60件．
（2）解：设需要安排y台分拣机，
由题意，得：，解得，
∵y为正整数，
∴y的最小值为5，
答：至少需要安排5台这样的分拣机．
22．（本题8分）如图，在中，，是边的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接，且平分．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、直角三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角结合角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理计算即可得解；
（2）由直角三角形的性质得出，从而可得，即可得解．
【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线，
∴，
∴，
∵平分．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∴．
23．（本题9分）如图，一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数（k为常数，）的图象与x轴以及的图象分别交于点B、C，且点C的坐标为．
(1)求m、k的值与点B坐标；
(2)若函数的值大于函数的值，则x的取值范围是___________；
(3)在y轴上是否存在点P，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)， ，点B坐标为
(2)
(3)存在，或或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，待定系数法求一次函数，一次函数与不等式，熟练利用分类讨论思想是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可解答；
（2）根据图象即可解答；
（3）分类讨论，即两种情况，分别计算即可．
【详解】（1）解：把代入，
可得，
，
把代入，
可得，
解得，
∴一次函数的解析式为，
令，
解得，
；
（2）解：根据图象可得，
当函数的值大于函数的值，，
故答案为：；
（3）解：把代入，可得，
，
根据勾股定理可得，
当时，如图，
，
当时，如图，
，
，
，
综上所述，的坐标为或或．
24．（本题10分）2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．
(1)烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？
(2)烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
【答案】(1)120米
(2)需要，封锁的公路长为100米，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质及三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键；
（1）过C作，由勾股定理得逆定理得是直角三角形，且，再由三角形面积求的得长即可；
（2）过C作，以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，根据，判断有危险，再根据勾股定理求出，进而求出即可．
【详解】（1）解：由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米；
（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
25．（本题12分）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为（，设线段与相交于点，线段分别交，于点，．
特例分析：（1）如图2，当旋转到时，旋转角 ；线段与的数量关系是 ．
探究规律：（2）如图3，在绕点逆时针旋转过程中，线段与线段的数量关系是否仍然成立，请说明理由．
拓展延伸：（3）①请写出当是等腰三角形时旋转角的度数，简要说明理由．
②在图3中，作直线，交于点，请直接写出当是直角三角形时旋转角的度数．
【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3）①或；理由见解析 ②
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及旋转的性质，解决问题的关键是画出图形，正确分类．
（1）根据三角形的内角和定理可求出，由等腰三角形的性质可得，由旋转可得：，，，推出，，证明，根据全等三角形的性质即可判断线段与线段的数量关系；
（2）根据等腰三角形的性质和旋转的性质证明，从而得出结论；
（3）①分成，及，根据，利用旋转的性质、等腰三角形的性质，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果；②根据旋转的性质进行计算即可．
【详解】解：（1），
，
，
，即旋转角，
，，
，
由旋转可得：，，，
，，
，
，
故答案为：，；
（2）成立，理由如下：
，
，
由旋转可得：，，，
，，
，
；
（3）解：①如图1，
当时，，
，，
，
；
如图2，
当时，，
；
如图3，
当时，，
，此时和重合，这种情形不存在．
综上所述：的度数为或．
②如图，当时，
，
，
由旋转知，，
是等边三角形，
，
旋转角为．
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2024-2025年度八年级下册数学期末考试模拟（2）
（考试时间：120分钟，分值：120分）
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）如果一个边形的内角和为，那么的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（本题3分）如图，在四边形中，下列条件能判断它是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（本题3分）一项工程，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，甲、乙两人合做需要的天数为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）若多项式能因式分解为，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．6
6．（本题3分）下列叙述正确的语句是（ ）
A．三角形的三条高线交于一点
B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
C．等腰三角形的对称轴是底边上的高线
D．全等三角形的对应角平分线相等
7．（本题3分）若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，在钝角中，，将其绕点逆时针方向旋转得到，连接．当时，旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．底与腰不相等的等腰三角形
10．（本题3分）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，是直线上不重合的两点．则；③；④；⑤当时，．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③④ C．①④⑤ D．③④⑤
二、填空题（共18分）
11．（本题3分）据气象台报道，2024年6月28日双流区的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是 ．
12．（本题3分）如图，D、E分别是边的中点，连接．若，，则BD的长为 ．
13．（本题3分）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为 ．
14．（本题3分）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为 ．
15．（本题3分）如图，在中，，，平分，交边于点，则 ．
16．（本题3分）若分式的值为正数，则x的取值范围为 ．
三、解答题（共72分）
17．（本题7分）（1）解不等式组：，并在如图所示的数轴上表示出其解集．
（2）因式分解：．
18．（本题5分）先化简：，然后从，0，1，2中选取一个你喜欢的值代入求值．
19．（本题6分）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题．
(1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？
(2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度．
(3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数．
20．（本题7分）如图，在平行四边形中，平分交于点平分交于点F．
(1)已知，求的度数；
(2)请你判断与的数量关系并证明．
21．（本题8分）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时．
(1)求人工每人每小时分拣多少件；
(2)若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样的分拣机．
22．（本题8分）如图，在中，，是边的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接，且平分．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
23．（本题9分）如图，一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数（k为常数，）的图象与x轴以及的图象分别交于点B、C，且点C的坐标为．
(1)求m、k的值与点B坐标；
(2)若函数的值大于函数的值，则x的取值范围是___________；
(3)在y轴上是否存在点P，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
24．（本题10分）2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．
(1)烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？
(2)烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
25．（本题12分）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为（，设线段与相交于点，线段分别交，于点，．
特例分析：（1）如图2，当旋转到时，旋转角 ；线段与的数量关系是 ．
探究规律：（2）如图3，在绕点逆时针旋转过程中，线段与线段的数量关系是否仍然成立，请说明理由．
拓展延伸：（3）①请写出当是等腰三角形时旋转角的度数，简要说明理由．
②在图3中，作直线，交于点，请直接写出当是直角三角形时旋转角的度数．
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2024-2025年度八年级下册数学期末考试模拟（3）
（考试时间：120分钟，分值：120分）
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列哪个图形可以通过平移得到（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查图形的平移，根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，结合图形，对选项进行一一分析，即可求解．
【详解】解：由平移知，B选项可以通过平移得到，其余选项都不可以通过平移得到，
故选：B．
2．（本题3分）已知是关于x的一元一次不等式，则k的值是（　　）
A．3 B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，且含有未知数的项的次数为1的不等式叫做一元一次不等式，据此求解即可．
【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴，
∴，
故选：A．
3．（本题3分）如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形中“三线合一”是解题关键．由三线合一知，由等腰三角形两底角相等即可求解．
【详解】解：∵，是的中点，，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
4．（本题3分）下列分式中，与的值相等的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变，根据分式的性质解答即可．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：B．
5．（本题3分）如图，、两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小强通过下面的方法估测出、间的距离：先在外选一点，然后步测出、的中点、，并且步测出长，由此知道长．若步测长为，则，间的距离是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中位线定理的运用，由，分别是边，的中点，首先判定是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得的值即可．
【详解】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
根据三角形的中位线定理，得：．
故选：D．
6．（本题3分）如图，与关于点A成中心对称，若，，，则的长为（ ）

A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了中心对称的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握中心对称的两个三角形是全等三角形成为解题的关键．
由中心对称的性质可得得到，即，然后运用勾股定理求得的长即可．
【详解】解：∵与关于点A成中心对称，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
故选C．
7．（本题3分）已知边长为、的矩形的周长为14，面积为10，则的值为（ ）
A．70 B．60 C．35 D．24
【答案】A
【分析】本题主要考查了因式分解，代数式求值等知识点，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和整体代入的数学思想．
利用矩形的面积和周长公式求出代数式和的值，对原式进行因式分解，然后整体代入即可求出结果．
【详解】解：根据矩形的周长为14得：，所以，
根据矩形的面积为10得：，
∴
将，代入上式得
原式
故选：A．
8．（本题3分）如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N．且分别交于点D，E．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和等知识点，灵活运用等边对等角成为解题的关键．
由线段垂直平分线的性质得，则，再由三角形内角和定理得，进而完成解答．
【详解】解：∵分别垂直平分和，
∴，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
9．（本题3分）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集．
【详解】解：观察函数图象可知：当时，一次函数的图象在的图象的下方，
∴关于的不等式的解集是．
故选D．
10．（本题3分）如图1，在四边形中，，，，M是对角线的中点，点N从点C出发沿方向匀速运动，到达点A时停止．设点N的运动路程为x，的面积为y，y与x的大致图象如图2所示，则的长为（　　）
A． B． C．12 D．
【答案】D
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质与判定，勾股定理；过点作于点，根据题意得出四边形是平行四边形，根据得出，，进而根据图2得出，，根据三角形中线的性质以及三角形的面积公式得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据图2可得，当时，的面积最大，
∴当重合时，，
又∵是对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
二、填空题（共18分）
11．（本题3分）利用不等式的性质，填空．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式的性质．熟练掌握不等式的两边同乘同一个负数，不等号的方向发生改变解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
故答案为：．
12．（本题3分）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，解不等式，设多边形的边数是n（，且n为整数），根据多边形内角和定理列出不等式，进而求出，再计算出该多边形内角和即可得到答案．
【详解】解：设多边形的边数是n（，且n为整数），
依题意得，
解得．
∵少算一个内角，且该内角小于，
∴．
∴多边形的内角和是，
∴少算的这个内角的度数为，
故答案为：．
13．（本题3分）若多项式因式分解的结果为，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据因式分解的结果求参数，根据题意可得，根据多项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开即可求出m、n的值，进而可求出答案．
【详解】解：∵多项式因式分解的结果为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．（本题3分）如图，在中，，，，则的面积为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴是直角三角形，且，
∴的面积为，
故答案为：6．
15．（本题3分）若方程有增根，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的增根，将分式方程去分母得，由分式方程的增根是，代入计算即可．理解增根的定义以及产生增根的原因是解题关键．
【详解】解：，
在分式方程两边同乘以，得：
，
∵当时，，
∴方程的增根为，
将代入，
得：，
解得：．
故答案为：．
16．（本题3分）如图，将绕点C顺时针旋转得到，旋转角为其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上，若，则旋转角的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．利用旋转的性质得到，结合，求出，结合等边对等角，得到，再根据三角形内角和求出的度数即可．
【详解】解： 将绕点C顺时针旋转得到，旋转角为，根据旋转的性质，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题（共72分）
17．（本题8分）解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)（增根），原方程无解
(2)
【分析】本题考查分式方程的解法．正确运用解法，先转化成整式方程，再解，切记要检验．
（1）先把方程两边乘，去分母得一整式方程解出即可，
（2）方程两边同乘，得整式方程再解出即可．
【详解】（1）解：
方程两边同乘，得，
移项、合并同类项得，
解得，
检验：当时，，
所以是原分式方程的增根，
所以原分式方程无解．
（2）解：
方程两边同乘，得，
去括号得，
移项、合并同类项得，
解得，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
18．（本题6分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】；数轴见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式或不等式组的解集的应用，能求出不等式的解集和不等式组的解集是解此题的关键．
先求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
将解集表示在数轴上，如图所示：
所以原不等式组的解集为．
19．（本题6分）如图，已知的三个顶点坐标分别是，，．
(1)将向上平移4个单位长度，得到，请画出；
(2)求的面积．
(3)若D点坐标为，在y轴上是否存在点P，使的面积为6？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)1．5
(3)存在，或
【分析】本题考查了作图 平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
（1）根据点平移的坐标变化规律描出点，然后连线即可；
（2）用梯形的面积减去两个小三角形的面积即可；
（3）设的高为h，根据的面积为6，列方程求解即可．
【详解】（1）解：向上平移4个单位长度，
∴根据图形平移的规律，如图所示，
∴即为所求图形．
（2）解：如图所示，将补成梯形，
∴，，，，，
∴，
，
，
∴．
（3）解：存在，理由如下：
∵，，
∴，
设的高为h，则．
∴，
∴或．
20．（本题6分）已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证：
(1)；
(2)是的垂直平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的判定是解答的关键．
（1）先根据角平分线的性质得到，再证明，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论；
（2）利用线段垂直平分线的判定可得结论．
【详解】（1）证明：∵是平分线上的一点，，，
∴，，又，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴点O、P在线段的垂直平分线上，
即是的垂直平分线；
21．（本题8分）先阅读材料，再回答问题：
分解因式：
解：将“”看成整体，令、则原式 再将还原， 得到：原式上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题：
(1)因式分解： ．
(2)因式分解： ．
(3)知识运用：已知长方形的两邻边长分别为，，且满足，求该长方形的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了因式分解的应用，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）模仿题干解题的过程，即可作答．
（2）先整理原式，再模仿题干解题的过程，即可作答．
（3）先整理原式为，再模仿题干解题的过程，得，再根据周长公式列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴将“”看成整体，令，
则
再将还原，得到原式；
故答案为：；
（2）解：依题意，，
∴将“”看成整体，令，
则，
再将还原，得到原式；
故答案为：；
（3）解：依题意，，
∴将“”看成整体，令，
则，
再将还原，得到原式；
∴，
∴，
∵长方形的两邻边长分别为，，
∴长方形的周长为．
22．（本题8分）已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，，，，，
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理：
（1）先证，再证即可；
（2）根据可得，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：，，
和是直角三角形，
，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
23．（本题8分）2025年4月23日是第30个“世界读书日”，学校为给师生提供更加良好的阅读环境，决定购进A、B两种书桌共200张供师生阅读时使用，A种书桌数量不少于B种书桌数量的，A种书桌的单价比B种书桌单价高；用1800元购买A种书桌的数量比用900元购买B种书桌的数量多6张；
(1)求出A，B两种书桌的单价；
(2)设购买a张A种书桌，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出总费用最少时的购买方案；
【答案】(1)A种书桌的单价为120元，B种书桌的单价为100元
(2)，购买方案为：A种书桌50张，B种书桌150张
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
（1）设B种书桌的单价为x元，则A种书桌的单价为元，根据用1800元购买A种书桌的数量比用900元购买B种书桌的数量多6张，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进a个A种书桌，则购进个B种书桌，根据购进A种书桌数量不少于B种书桌数量的，列出一元一次不等式，解得，再设购买总费用为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设B种书桌的单价为x元，则A种书桌的单价为元，
根据题意得：
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：A种书桌的单价为120元，B种书桌的单价为100元．
（2）解：购进a个A种书桌，则购进个B种书桌，
根据题意得：，
解得：，
设购买总费用为w元，
由题意得：
∵随着a增大，w增大，
∴当a取50时，w最小为21000元.，
购买方案为：A种书桌50张，B种书桌150张
24．（本题10分）如图，E、F是四边形的对角线上的两点．

(1)若，只添加一个条件：　 ，使四边形为平行四边形．
(2)在（1）的条件下，若，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的判定方法解答即可；
（2）由，得，再证明得，进而即可得到结论．
【详解】（1）或（填写一个答案即可），
当添加时，
∵，
∴四边形为平行四边形．
当添加时，
∵，
∴四边形为平行四边形．
故答案为：或（填写一个答案即可）
（2）如图，连接，，

∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
25．（本题12分）一天，某水果店老板到水果批发市场批发某品牌新鲜苹果和品牌新鲜葡萄，已知这两种水果的批发价和零售价如下表所示：
品名 鲜苹果 鲜葡萄
批发价/（元/） 6 10
零售价/（元/） 10 16
(1)若他批发这两种水果共花1100元．求批发这两种水果各多少千克？（列方程或方程组求解）
(2)若他批发这两种水果共，设批发苹果，卖完这两种水果获利m元，求m与n的函数关系式；
(3)根据销售经验，当天批发的鲜水果当天卖完不会使利益受损，通常情况下，该水果店一天销售这种葡萄的千克数在80到100之间（含80和100），在（2）的条件下，他批发这种苹果多少千克时获得利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)批发苹果，葡萄
(2)
(3)他批发苹果时获利最大，最大利润1400元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，读懂题意是题解的关键．
（1）设批发这种苹果，葡萄，根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案．
（2）设批发这种苹果，葡萄，根据利润等于每千克的利润乘以总的数量表示出来即可．
（3）依题意得得出n的取值范围，再结合一次函数的图像和性质求解即可．
【详解】（1）解：设批发这种苹果，葡萄，
由题意得：，
解得：，
葡萄为：．
答：故批发苹果，葡萄．
（2）解：设批发这种苹果，葡萄，
由题意得：．
答：m与n的函数关系为：．
（3）解∶依题意得，
解得．
∵，，m随n的增大而减小，
∴当时，m最大，
此时（元）．
答：他批发苹果时获利最大，最大利润1400元
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2024-2025年度八年级下册数学期末考试模拟（3）
（考试时间：120分钟，分值：120分）
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列哪个图形可以通过平移得到（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）已知是关于x的一元一次不等式，则k的值是（　　）
A．3 B． C． D．无法确定
3．（本题3分）如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）下列分式中，与的值相等的是（　　）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，、两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小强通过下面的方法估测出、间的距离：先在外选一点，然后步测出、的中点、，并且步测出长，由此知道长．若步测长为，则，间的距离是（ ）

A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，与关于点A成中心对称，若，，，则的长为（ ）

A．6 B．4 C．3 D．2
7．（本题3分）已知边长为、的矩形的周长为14，面积为10，则的值为（ ）
A．70 B．60 C．35 D．24
8．（本题3分）如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N．且分别交于点D，E．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图1，在四边形中，，，，M是对角线的中点，点N从点C出发沿方向匀速运动，到达点A时停止．设点N的运动路程为x，的面积为y，y与x的大致图象如图2所示，则的长为（　　）
A． B． C．12 D．
二、填空题（共18分）
11．（本题3分）利用不等式的性质，填空．若，，则 ．
12．（本题3分）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ．
13．（本题3分）若多项式因式分解的结果为，则 ．
14．（本题3分）如图，在中，，，，则的面积为 ．
15．（本题3分）若方程有增根，则的值是 ．
16．（本题3分）如图，将绕点C顺时针旋转得到，旋转角为其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上，若，则旋转角的度数为 ．
三、解答题（共72分）
17．（本题8分）解分式方程：
(1)；
(2)．
18．（本题6分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．（本题6分）如图，已知的三个顶点坐标分别是，，．
(1)将向上平移4个单位长度，得到，请画出；
(2)求的面积．
(3)若D点坐标为，在y轴上是否存在点P，使的面积为6？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（本题6分）已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证：
(1)；
(2)是的垂直平分线．
21．（本题8分）先阅读材料，再回答问题：
分解因式：
解：将“”看成整体，令、则原式 再将还原， 得到：原式上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题：
(1)因式分解： ．
(2)因式分解： ．
(3)知识运用：已知长方形的两邻边长分别为，，且满足，求该长方形的周长．
22．（本题8分）已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，，，，，
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
23．（本题8分）2025年4月23日是第30个“世界读书日”，学校为给师生提供更加良好的阅读环境，决定购进A、B两种书桌共200张供师生阅读时使用，A种书桌数量不少于B种书桌数量的，A种书桌的单价比B种书桌单价高；用1800元购买A种书桌的数量比用900元购买B种书桌的数量多6张；
(1)求出A，B两种书桌的单价；
(2)设购买a张A种书桌，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出总费用最少时的购买方案；
24．（本题10分）如图，E、F是四边形的对角线上的两点．

(1)若，只添加一个条件：　 ，使四边形为平行四边形．
(2)在（1）的条件下，若，，求证：四边形是平行四边形．
25．（本题12分）一天，某水果店老板到水果批发市场批发某品牌新鲜苹果和品牌新鲜葡萄，已知这两种水果的批发价和零售价如下表所示：
品名 鲜苹果 鲜葡萄
批发价/（元/） 6 10
零售价/（元/） 10 16
(1)若他批发这两种水果共花1100元．求批发这两种水果各多少千克？（列方程或方程组求解）
(2)若他批发这两种水果共，设批发苹果，卖完这两种水果获利m元，求m与n的函数关系式；
(3)根据销售经验，当天批发的鲜水果当天卖完不会使利益受损，通常情况下，该水果店一天销售这种葡萄的千克数在80到100之间（含80和100），在（2）的条件下，他批发这种苹果多少千克时获得利润最大？最大利润是多少元？
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