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专题突破 1 解一元一次不等式
类型一 解一元一次不等式——移项、合并同类项
1.解不等式，并把解集在数轴上表示出来.
(1) 2x+3≥-5; (2) 8-8x≤21-5x;
(3) 2x+27<7x+12; (4) 8-3x≥10-5x.
类型二 解一元一次不等式——去括号
2.解不等式，并把解集在数轴上表示出来.
(1) 2(2x+3)≤5(x+1); (2) 2(x+2)-3(x-1)<8;
(3) 3(x+3)+6>4(2x+5); (4) 3(x+1)-6<6x-2(2x+3).
类型三 解一元一次不等式——去分母
3.解不等式，并把解集在数轴上表示出来.
专题突破2 含字母系数的一元一次不等式
类型一 根据不等式的解集确定参数
1.若关于x的不等式3m-x<6的解集是x>3，求实数m的值.
类型二 根据不等式的整数解确定参数
2. (2024浙江)关于x的不等式x-a>1有且只有三个负整数解， 求a的取值范围.
3.若关于x的不等式. 的最小整数解是2，求实数m的取值范围.
类型三 已知不等式无解求字母的取值范围
4. (2024北京) 若关于x的不等式. 的每一个解都能使. 成立，求m的取值范围.
类型四 解系数含参的不等式
5.关于x的不等式 的解集是 , 求不等式 bx-a>2a的解集.
6. 若x=2是不等式 ax-a-1>0的解, 但不是不等式 ax-3a+4<0的解, 求实数a的取值范围.
专题突破3 解一元一次不等式组
1.解下列不等式组：
专题突破4 解有条件的一元一次不等式组
类型一 一元一次不等式组的整数解
1.(2024武汉模拟)求出不等式组 的整数解.
2.若关于x的不等式组 的整数解共有2个，求m的取值范围.
类型二 一元一次不等式组有解、无解
3.(2024四川成都)已知关于x的不等式组 有解，求m的取值范围.
4.(2024四川内江)已知不等式组 无解，求a的取值范围.
5.关于x的不等式组有解， 且其解都是不等式3x≤15的解，求a的取值范围.
专题突破5 一元一次不等式与方程(组)
类型一 已知方程组的解的情况求字母系数的取值范围
1. 已知二元一次方程x-2y=7， 当x>1时， 求y的取值范围.
2. 已知关于x，y的二元一次方程组的解 满足x>y，求k的取值范围.
类型二 根据方程组解的关系确定参数
3. 已知关于x，y的方程组 (m为常数).
(1) 若x+y=3, 求m的值;
(2) 若x-y<3, 求m的取值范围.
4.解关于x，y的方程组时，珍珍发现方程组 的解和方程组 的解相同.
(1)求方程组的解；
(2)求关于t的不等式 at-b>0的最小整数解.
专题突破6 方程 (组)与一元一次不等式组
类型一 根据方程解的条件求取值范围
1.若x，y满足方程y-x=3和不等式组 则x的范围是 ( )
A. - 12.如果关于x的方程 ax-3(x+1)=1-x有整数解，且关于y的不等式组 有解，那么符合条件的所有整数a的个数为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
类型二 根据方程组解的条件求参数的取值范围
3. 已知关于x，y的方程组 的解x+y>0，则m的取值范围是多少
4.若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组 的解满足x+y≤1，且让不等式组 只有3个整数解，求满足条件的所有整数m的和.
5. 已知关于a，b的方程组 中，a为负数，b为非正数.
(1)求m的取值范围；
(2) 在m的取值范围内, 当m为何整数时, 不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1.
专题突破 7 解含绝对值的一元一次不等式 (组)
类型一 根据绝对值的定义解不等式
1.小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.
求绝对值不等式|x|>2的解集.
小明同学的思路如下：
先根据绝对值的定义，求出|x|=2时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示，观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B 右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论: 不等式|x|>2的解集为x<-2或x>2.
【迁移应用】
(1)请直接写出下列绝对值不等式的解集：
①|x|>5的解集是 ; 的解集是 ；
(2) 求绝对值不等式|x+3|-4>12的解集;
2.(2024赣州)阅读理解：请阅读下面求含绝对值的不等式|x|<3和|x|>3的解集过程.
对于含绝对值的不等式|x|<3，从图1的数轴上看：大于-3而小于3的数的绝对值小于3，所以|x|<3的解集-33，从图2的数轴上看：小于-3或大于3的数的绝对值大于3, 所以|x|>3的解集为x<-3或x>3.
问题解决：
(1)含绝对值的不等式|x|>4的解集为 ；
(2)已知关于x,y的二元一次方程x+y=-m-1的解满足|x+y|≤2, 其中m是正数,求m的取值范围.
3.解下列含绝对值的不等式.
(1) |2x-1|<3;
类型二 利用数轴上两点间的距离解不等式
4.认真阅读下面的材料，完成有关问题.
材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么点A，B之间的距离可表示为|a-b|.例如：数轴上-1与3 对应的点之间的距离为|
(1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，-2，1，那么点C到点B的距离为 ，点A到点B的距离与点A 到点 C的距离之和可表示为 (用含绝对值的式子表示)；
(2)利用数轴探究：当x取何值时，|x-3|+|x-2|有最小值，最小值是多少
(3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由图可得出：绝对值不等式 的解集是 或. ；绝对值不等式 的解集，是 ，则不等式|x|≥4的解集是 ；
②利用数轴解不等式 并加以说明.
5.【阅读材料】
我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如 表示数轴上表示x这个数的点到原点的距离，那么式子|x-1|可理解为：数轴上表示x这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式|x-1|≤2则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在-1和3之间(包含-1和3两个点)，这样我们就可以得到不等式|x-1|≤2的解集为：
【解决问题】
参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题：
(1) 不等式|x|≤5的解集为 ;
(2) 不等式|x-2|≥2的解集为 ;
(3)不等式2|x+1|-3<5的解集为 ;
(4) 不等式|x-3|+|x+4|<8的解集为 ；
(5) 对于任意数x, 若不等式|x+3|+|x-2|≥a恒成立, 求a的取值范围.
专题突破8 一元一次不等式组的应用①——方案设计
1. (2024山东)为贯彻执行“德，智，体，美， 劳”五育并举的教育方针，某市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动，在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带，若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生，现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量/(人/辆) 35 30
租金/(元/辆) 400 320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000 元.
(1)参加此次劳动实践活动的老师和同学各有多少
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案
2.(2024重庆)为改善校园环境，提升办学品质，重庆市鲁能巴蜀中学计划拆除网球场，新建综合大楼.已知2辆甲型除渣车和3辆乙型除渣车每天可以除渣170t3辆甲型除渣车和2辆乙型除渣车每天可以除渣 180t.
(1)求甲、乙两种型号的除渣车每辆每天分别可以除渣多少吨
(2)施工期间，学校决定租赁甲、乙两种型号的除渣车共20辆，已知每辆甲型除渣车租赁价格为15万元，每辆乙型除渣车租赁价格为12万元，要想使租赁除渣车的总费用不超过261万元，且每天除渣总量又不低于650t，请你求出所有的租赁方案.
专题突破9 一元一次不等式组的应用②——最优方案问题
1.水是生命的源泉，是人类赖以生存和发展的不可缺少的重要的物质资源之一，为更好地治理水质，保护环境，市污水处理办公室预购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中价格及污水处理量如下表：
A型 B型
价格/万元 12 10
处理污水量/(t/月) 240 200
(1)市污水处理办公室为了节约开支，计划购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为有几种购买方案
(2)在(1)的情况下，若每月污水处理量要求不低于2040t，为节约资金，请你帮市污水处理办公室选取一种最省钱的方案.
2.某水产品市场管理部门规划建造面积为 的集贸大棚，大棚内设A种类型和B 种类型的店面共80间，每间A种类型的店面的平均面积为 月租为400元，每间B 种类型的店面的平均面积为 月租为360元，全部店面的建造面积不低于大棚总面积的80%，又不能超过大棚总面积的85%.
(1)试确定 A种类型的店面的数量范围；
(2)通过了解业主的租赁意向得知，A种类型店面的出租率为75%，B种类型店面的出租率为90%，为使店面的总月租最高，应建造A种类型的店面多少间 并求出最高租金.
专题突破 10 一元一次不等式组的应用③——不空不满问题
1.(2024杭州)若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则空一间还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为 ( )
2.某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，求每组预定的学生人数.
3.(2024浙江金华)八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学有植树但植树棵数不到3棵，求该小组同学人数.
4.某公司组织员工去公园划船，报名人数不足50，在安排乘船时发现，若每只船坐6人，则有18人无船可坐；若每只船坐10人，则其余的船坐满后有一只船不空也不满，求参加划船的员工共有多少人
综合与实践 研学租车方案
1. (2024深圳福田)
生活中的数学 某学校组织七、八年级学生进行研学活动，由学生会通过调研获取信息供学校参考制定出行方案.经学生会调查，得到以下信息.
信息1 某旅游公司只有60座客车14辆，45座客车25辆可供租用 60座客车 60 300
45 座客车
载客量/(人/辆) 45
租金/(元/辆) 250
信息2 七年级若每位老师带40名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带41名学生，则恰好完成分配.
信息3 八年级师生如果租用45座的客车n辆，那么还有30人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满.
任务1 (1)参加此次活动的七年级师生共有_______人；
任务2 (2)求参加此次活动的八年级师生共有多少人；
任务3 (3)学校计划此次研学活动由七八年级师生共同租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，总费用不超过4800元，你能得出哪几种不同的租车方案 请直接写出具体的租车方案.
专题突破 1 解一元一次不等式
类型一 解一元一次不等式——移项、合并同类项
1.解不等式，并把解集在数轴上表示出来.
(1) 2x+3≥-5; (2) 8-8x≤21-5x;
解: x≥-4; 解：
(3) 2x+27<7x+12; (4) 8-3x≥10-5x.
解: x>3; 解: x≥1.
类型二 解一元一次不等式——去括号
2.解不等式，并把解集在数轴上表示出来.
(1) 2(2x+3)≤5(x+1); (2) 2(x+2)-3(x-1)<8;
解: x≥1; 解: x>-1;
(3) 3(x+3)+6>4(2x+5); (4) 3(x+1)-6<6x-2(2x+3).
解: x<-1; 解: x<-3.
类型三 解一元一次不等式——去分母
3.解不等式，并把解集在数轴上表示出来.
解: x>-2; 解: x≤-1;
解: x≤2; 解: x≤3.
专题突破2 含字母系数的一元一次不等式
类型一 根据不等式的解集确定参数
1. 若关于x的不等式3m-x<6的解集是x>3， 求实数m的值.
解: 解不等式3m-x<6, 得x>3m-6,
又∵此不等式的解集是x>3, ∴3m-6=3, ∴m=3.
类型二 根据不等式的整数解确定参数
2.(2024浙江)关于x的不等式x-a>1有且只有三个负整数解，求a的取值范围.
解: ∵x-a>1, ∴x>a+1,
∵关于x的不等式x-a>1有且只有三个负整数解，
∴x的负整数解有: - 1, - 2, - 3, ∴-4≤a+1<-3, 解得: - 5≤a<-4.
3.若关于x的不等式x-m>1的最小整数解是2，求实数m的取值范围.
解: ∵x-m>1, 解得: x>m+1, ∵关于x的不等式x-m>1的最小整数解是2,∴1≤m+1<2, ∴0≤m<1.
类型三 已知不等式无解求字母的取值范围
4. (2024北京)若关于x的不等式x-2m>0的每一个解都能使x-6+m>0成立，求m的取值范围.
解: 由x-2m>0得: x>2m, 由x-6+m>0得x>6-m,
∵关于x的不等式x-2m>0的每一个解都能使x-6+m>0成立，
∴2m≥6-m, 解得m≥2.
类型四 解系数含参的不等式
5. 关于x的不等式 ax-b>2b的解集是x<1, 求不等式 bx-a>2a的解集.
解: ax-b>2b的解集是
6. 若x=2是不等式 ax-a-1>0的解, 但不是不等式 ax-3a+4<0的解, 求实数a的取值范围.
解: ∵x=2是不等式 ax-a-1>0的解, ∴2a-a-1>0, 解得: a>1.
∵x=2不是不等式 ax-3a+4<0的解, ∴2a-3a+4≥0, 解得: a≤4, ∴1专题突破3 解一元一次不等式组
1.解下列不等式组：
解: x>2; 解: - 2解: - 1≤x<1; 解: - 3解: 1解： 解： 该不等式组无解.
专题突破4 解有条件的一元一次不等式组
类型一 一元一次不等式组的整数解
1.(2024武汉模拟)求出不等式组 的整数解.
解： 解不等式①得, x≥-2, 解不等式②得, x≤2,
∴不等式组的解集为-2≤x≤2, ∴不等式组的整数解为: - 2, - 1, 0, 1, 2.
2.若关于x的不等式组 的整数解共有2个，求m的取值范围.
解：不等式组整理得： 即3≤x∵不等式组的整数解共有2个， ∴不等式组的整数解为3，4，
∴m的取值范围为: 4类型二 一元一次不等式组有解、无解
3. (2024四川成都)已知关于x的不等式组 有解，求m的取值范围.
解: 解不等式2x-1<5, 得: x<3, ∵不等式组有解, ∴m<3.
4.(2024四川内江)已知不等式组 无解，求a的取值范围.
解: 由4x-a<0, 得 由x-3≥-2x+9, 得x≥4,
∵不等式组 无解， 解得: a≤16.
5. 关于x的不等式组有解，且其解都是不等式3x≤15的解，求a的取值范围.解：解不等式组， 得 解不等式3x≤15, 得x≤5,根据题意，得 解得：
专题突破5 一元一次不等式与方程(组)
类型一 已知方程组的解的情况求字母系数的取值范围
1. 已知二元一次方程x-2y=7， 当x>1时， 求y的取值范围.
解: ∵x-2y=7, ∴x=2y+7, ∵x>1, ∴2y+7>1, ∴2y>-6, 解得: y>-3.
2. 已知关于x，y的二元一次方程组的解 满足x>y，求k的取值范围.
解： 由②得: x=2y+k ③,
将③代入①得: 2(2y+k)-3y=3, 4y+2k-3y=3, y=3-2k, ∴x=2y+k=2(3-2k)+k=6-3k.
∵x>y, ∴6-3k>3-2k, 解得: k<3.
类型二 根据方程组解的关系确定参数
3. 已知关于x，y的方程组 (m为常数).
(1) 若x+y=3, 求m的值;
(2) 若x-y<3, 求m的取值范围.
解： ①+②, 得: 3x+3y=9m, 故x+y=3m, 又由x+y=3, 则3m=3, 得m=1.
①-②, 得: x-y=m-2, 又由x-y<3, 得m-2<3, 解得m<5.
4.解关于x，y的方程组时，珍珍发现方程组 的解和方程组 的解相同.
(1)求方程组的解；
(2)求关于t的不等式 at-b>0的最小整数解.
解: (1) 由 解得：
(2) 把 分别代入 ax+ by=2 和5x+2y=b, 得 解得
∴at-b>0, 即 9t-5>0, ∴t> ∴最小整数解为 t=1.
专题突破6 方程 (组)与一元一次不等式组
类型一 根据方程解的条件求取值范围
1.若x,y满足方程y-x=3 和不等式组 则x的范围是 ( A )
A. - 12.如果关于x的方程 ax-3(x+1)=1-x有整数解，且关于y的不等式组 有解，那么符合条件的所有整数a的个数为 ( C )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
类型二 根据方程组解的条件求参数的取值范围
3. 已知关于x，y的方程组 的解x+y>0，则m的取值范围是多少
解： ①-②, 得x+y=5-m, ∵x+y>0, ∴5-m>0, ∴m<5.
4.若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组 的解满足x+y≤1，且让不等式组 只有3个整数解，求满足条件的所有整数m的和.
解：②, 得:7x+7y=7m+14, ∴x+y=m+2.
∵x+y≤1, ∴m+2≤1, 解得: m≤-1,
解不等式5x-m>0, 得: 解不等式x-4<-1， 得：x<3， 故不等式组的解集是：
∵不等式组只有3个整数解， ∴整数解为0， 1， 2， 解得-5≤m<0, ∴-5≤m≤-1,
∴符合条件的整数m的值的和为-5-4-3-2-1=-15.
5. 已知关于a， b的方程组 中，a为负数，b为非正数.
(1)求m的取值范围；
(2) 在m的取值范围内, 当m为何整数时, 不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1.
解： (1)解方程组 得：
∵a为负数， b为非正数， 解得: - 2≤m<3.
(2) 解不等式2mx+x<2m+1 得(2m+1)x<2m+1, ∵x>1, ∴2m+1<0, ∴m<- , ∴-2≤m<- ∵m为整数, ∴m=-1 或 m=-2.
专题突破 7 解含绝对值的一元一次不等式 (组)
类型一 根据绝对值的定义解不等式
1.小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.
求绝对值不等式|x|>2的解集.
小明同学的思路如下：
先根据绝对值的定义，求出|x|=2时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示，观察数轴发现， 以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A 左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B 右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论: 不等式|x|>2的解集为x<-2或x>2.
【迁移应用】
(1)请直接写出下列绝对值不等式的解集：
①|x|>5的解集是 x<-5或x>5 ; 的解集是
(2) 求绝对值不等式|x+3|-4>12的解集;
解: (2) ∵|x+3|-4>12, ∴|x+3|>16,
∴x+3>16或x+3<-16, 解得x>13或x<-19.
2.(2024赣州)阅读理解：请阅读下面求含绝对值的不等式|x|<3和|x|>3的解集过程.
对于含绝对值的不等式|x|<3，从图1的数轴上看：大于-3而小于3的数的绝对值小于3，所以|x|<3的解集-33，从图2的数轴上看：小于-3或大于3的数的绝对值大于3, 所以|x|>3的解集为x<-3或x>3.
问题解决：
(1) 含绝对值的不等式|x|>4的解集为 x>4或x<-4 ;
(2)已知关于x,y的二元一次方程x+y=-m-1的解满足|x+y|≤2, 其中m是正数,求m的取值范围.
解: (2) ∵|x+y|≤2, ∴-2≤x+y≤2, ∵x+y=-m-1, ∴-2≤-m-1≤2,解得-3≤m≤1, 又m是正数, ∴03.解下列含绝对值的不等式.
(1) |2x-1|<3;
解: (1) ∵|2x-1|<3, ∴-3<2x-1<3, 解得-1或 解得不等式解集为 或
(3) 由 得|1-3x|<3, ∴-3<1-3x<3, 解得不等式解集为
类型二 利用数轴上两点间的距离解不等式
4.认真阅读下面的材料，完成有关问题.
材料：在学习绝对值时，一般地， 点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么点A，B之间的距离可表示为|a-b|. 例如： 数轴上-1与3对应的点之间的距离为|-1-3|=4.
(1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，-2，1，那么点C到点B的距离为 3 ，点A到点 B的距离与点A 到点 C的距离之和可表示为 (用含绝对值的式子表示)；
(2)利用数轴探究： 当x取何值时，|x-3|+|x-2|有最小值， 最小值是多少
(3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由图可得出：绝对值不等式|x|>1的解集是x<-1或x>1；绝对值不等式|x|≤3的解集，是-3≤x≤3, 则不等式|x|≥4的解集是x≤-4或x≥4 ;
②利用数轴解不等式|x+1|+|x-3|>4, 并加以说明.
解： (2)|x-3|+|x-2|的几何意义是数轴上x对应的点分别到2和3对应点的距离之和，∴当2≤x≤3时, |x-3|+|x-2|有最小值, 最小值是1.
(3)②根据绝对值的几何意义，不等式|x+1|+|x-3|>4的解集在数轴上表示如图，解集为x<-1或x>3.
理由如下： ∵|x+1|+|x-3|>4的几何意义是数轴上x对应的点
分别到-1和3对应的点的距离之和大于4， 而且-1与3对应两点之间的距离为4，∴|x+1|+|x-3|>4的解集为x<-1或x>3.
5.【阅读材料】
我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如|x|=|x-0|表示数轴上表示x这个数的点到原点的距离，那么式子|x-1|可理解为：数轴上表示x这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式|x-1|≤2则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在-1和3之间(包含-1和3两个点)，这样我们就可以得到不等式|x-1|≤2的解集为：-1≤x≤3.
【解决问题】
参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题：
(1) 不等式|x|≤5的解集为 -5≤x≤5 ;
(2) 不等式|x-2|≥2的解集为 x≤0或x≥4 ;
(3)不等式2|x+1|-3<5的解集为 -5(4) 不等式|x-3|+|x+4|<8的解集为 -4.5(5) 对于任意数x, 若不等式|x+3|+|x-2|≥a恒成立, 求a的取值范围.
解：(5)|x+3|+|x-2|表示数轴上表示x这个数的点到表示-3和2这两个数的点的距离之和，当-3≤x≤2时, 两距离之和最小为5, ∴|x+3|+|x-2|≥5, ∴a≤5.
专题突破 8 一元一次不等式组的应用①——方案设计
1. (2024山东)为贯彻执行“德，智，体，美，劳”五育并举的教育方针，某市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动，在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带，若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生，现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量/(人/辆) 35 30
租金/(元/辆) 400 320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元.
(1)参加此次劳动实践活动的老师和同学各有多少
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案
解：(1)设参加此次劳动实践活动的老师有x位，则参加此次劳动实践活动的学生有 (30x+7)名，根据题意得: 30x+7=31x-1, 解得: x=8, ∴30x+7=30×8+7=247 (名) .
答：参加此次劳动实践活动的老师有8位， 学生有247名.
(2)设租用m辆甲型客车， 则租用 (8-m)辆乙型客车，
根据题意得： 解得：
又∵m为整数， ∴m可以为3， 4， 5， ∴共有3种租车方案.
方案1：租用3辆甲型客车， 5辆乙型客车；
方案2：租用4辆甲型客车，4辆乙型客车；
方案3：租用5辆甲型客车， 3辆乙型客车.
2.(2024重庆)为改善校园环境，提升办学品质，重庆市鲁能巴蜀中学计划拆除网球场，新建综合大楼.已知2辆甲型除渣车和3辆乙型除渣车每天可以除渣170t3辆甲型除渣车和2辆乙型除渣车每天可以除渣 180t.
(1)求甲、乙两种型号的除渣车每辆每天分别可以除渣多少吨
(2)施工期间，学校决定租赁甲、乙两种型号的除渣车共20辆，已知每辆甲型除渣车租赁价格为15万元，每辆乙型除渣车租赁价格为12万元，要想使租赁除渣车的总费用不超过261万元，且每天除渣总量又不低于650t，请你求出所有的租赁方案.
解： (1)设甲型除渣车每辆每天可以除渣x吨， 乙型除渣车每辆每天可以除渣y吨，
根据题意得： 解得：
答： 甲型除渣车每辆每天可以除渣40吨， 乙型除渣车每辆每天可以除渣30吨.
(2)设租赁 m辆甲型除渣车， 则租赁 (20-m)辆乙型除渣车，
根据题意得： 解得: 5≤m≤7.
又∵m为正整数， ∴m可以为5， 6， 7， ∴学校共有3种租赁方案，
方案1：租赁5辆甲型除渣车， 15辆乙型除渣车；
方案2：租赁6辆甲型除渣车， 14辆乙型除渣车；
方案3：租赁7辆甲型除渣车， 13辆乙型除渣车.
专题突破9 一元一次不等式组的应用②——最优方案问题
1.水是生命的源泉，是人类赖以生存和发展的不可缺少的重要的物质资源之一，为更好地治理水质，保护环境，市污水处理办公室预购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中价格及污水处理量如下表：
A型 B型
价格/万元 12 10
处理污水量/(t/月) 240 200
(1)市污水处理办公室为了节约开支，计划购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为有几种购买方案
(2)在(1)的情况下，若每月污水处理量要求不低于2040t，为节约资金，请你帮市污水处理办公室选取一种最省钱的方案.
解： (1)设购买A型号的污水处理设备x台， 则购买B型号的污水处理设备 (10-x) 台，
根据题意得： 解得: 0≤x≤2.5.
∵x取整数, ∴x可以为0, 1, 2.
答：共有3种购买方案：购买A型号的污水处理设备0台， 则购买B型号的污水处理设备10台；
购买A 型号的污水处理设备1台， 则购买B型号的污水处理设备9台；
购买A 型号的污水处理设备2台，则购买B型号的污水处理设备8台.
(2) 由题可得240x+200(10-x)≥2040, 解得x≥1.
由 (1) 得0≤x≤2.5, ∴1≤x≤2.5 且为整数, ∴x=1 或2.
所需资金为 12x+10(10-x)=2x+100, 当x=1 时, 2x+100=102, 当x=2 时, 2x+100=104.
∵102<104，∴购买A 型号的污水处理设备1台， 购买 B 型号的污水处理设备9台最省钱.
2.某水产品市场管理部门规划建造面积为2400m 的集贸大棚，大棚内设A种类型和B种类型的店面共80间，每间A种类型的店面的平均面积为28m ，月租为400元，每间B种类型的店面的平均面积为20m ，月租为360元，全部店面的建造面积不低于大棚总面积的80%，又不能超过大棚总面积的85%.
(1)试确定 A种类型的店面的数量范围；
(2)通过了解业主的租赁意向得知，A种类型店面的出租率为75%，B种类型店面的出租率为90%，为使店面的总月租最高，应建造A种类型的店面多少间 并求出最高租金.
解： (1)设A种类型店面的数量为x间， 则B种类型店面的数量为(80-x)间，根据题意得 解得
∴A种类型店面的数量为40≤x≤55， 且x为整数.
(2)设应建造A种类型的店面x间， 则店面的月租费为：
W=400×75%·x+360×90%·(80-x)=300x+25920-324x=-24x+25920.
又∵40≤x≤55, ∴x=40时, Wmax=-24×40+25920=24960,
∴为使店面的月租费最高， 应建造 A种类型的店面40间， 最高租金为24960元.
专题突破 10 一元一次不等式组的应用③——不空不满问题
1. (2024杭州)若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则空一间还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为( C )
2.某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，求每组预定的学生人数.
解：设每组预定的学生数为x人， 由题意得， 解得
∵x是正整数, ∴x=22.
答：每组预定的学生人数是22人.
3.(2024浙江金华)八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学有植树但植树棵数不到3棵，求该小组同学人数.
解：设同学人数为x人， 植树的棵数为 (7x+9)棵，
∵有1位同学有植树但植树的棵数不到3棵，植树的总棵数为 (7x+9)棵，
∴可列不等式组为1≤(7x+9)-9(x-1)<3, 解不等式组得:
∵x是正整数, ∴x=8.
答： 该小组有8名学生.
4.某公司组织员工去公园划船，报名人数不足50，在安排乘船时发现，若每只船坐6人，则有18人无船可坐；若每只船坐10人，则其余的船坐满后有一只船不空也不满，求参加划船的员工共有多少人
解：设共安排x艘船， 根据题意得：
∴不等式组的解集为： 且x为整数, ∴x=5,
∴划船员工数为: 6x+18=48 (人) .
答： 参加划船的员工共有48人.
综合与实践 研学租车方案
1. (2024深圳福田)
生活中的数学 某学校组织七、八年级学生进行研学活动，由学生会通过调研获取信息供学校参考制定出行方案.经学生会调查，得到以下信息.
信息1 某旅游公司只有60座客车14辆，45座客车25辆可供租用 45座客车 60座客车 载客量/(人/辆) 45 60 租金/(元/辆) 250 300
信息2 七年级若每位老师带40名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带41名学生，则恰好完成分配.
信息3 八年级师生如果租用45座的客车n辆，那么还有30人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满.
任务1 (1)参加此次活动的七年级师生共有_______人；
任务2 (2)求参加此次活动的八年级师生共有多少人；
任务3 (3)学校计划此次研学活动由七八年级师生共同租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，总费用不超过4800元，你能得出哪几种不同的租车方案 请直接写出具体的租车方案.
解: (1) 设参加此次活动的七年级教师有x人, 根据题意得: 40x+10=41x, 解得: x=10,
∴x+41x=10+41×10=420, ∴参加此次活动的七年级师生共有420人. 故答案为: 420.
(2) 根据题意得: 45n+30=60(n-2), 解得: n=10, ∴60(n-2)=60×(10-2)=480.
答：参加此次活动的八年级师生共有480人.
(3)设租用y辆45座客车， 则租用 辆60座客车，
根据题意得： 解得：
又∵y, 均为非负整数， ∴y可以为4， 8， 12， ∴共有3种租车方案.
方案1：租用4辆45座客车， 12辆60座客车；
方案2：租用8辆45座客车，9辆60座客车；
方案3：租用12辆45座客车， 6辆60座客车.

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