资源简介

专题突破 10 三元一次方程组①——消元法、设参法、换元法
类型一 用消元法解三元一次方程组
1. 解下列三元一次方程组.
类型二 用设参法、换元法解三元一次方程组
2.(2024武汉二中周练)完成下面的探索过程：
给定方程组 如果令 则方程组变成 .
解出这个新方程组,得出A,B,C的值,从而得到:x= ;y= ;z= .这样的方法称为“换元法”.请写出方程组的过程.
3.解方程组 请你将步骤补充完整.
解：由①设
代入②, 得 ,
∴k= ,
∴x= , z= , y= ,
∴方程组的解为
4. 若x+y+z≠0且 则k的值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.用合适的方法解下列三元一次方程组.
专题突破 11 三元一次方程组②——转化思想、整体思想
类型一 利用转化思想构建三元一次方程组
1. 已知 与 的和还是单项式，则(
2. 已知 当x=-2时, ; 当x=0时, ; 当x=2时, y=5, 求a, b, c的值.
类型二 用整体思想解三元一次方程组
3.在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易.
例： 已知 求 ①② 的值.
解： 得
②-③, 得
的值为2.
(1) 已知 求 的值；
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买40本笔记本、20支签字笔、4支记号笔需要488元.通过还价，班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔，只花了732元，请问比原价购买节省了多少钱
4. 若2x+3y+4z=10且y+2z=2, 求x+y+z的值.
5.阅读下列材料，然后解答后面的问题.
已知方程组 求x+y+z的值.
解：将原方程组整理， 得)
②-①, 得x+3y=7, ③
把③代入①, 得x+y+z=6.
仿照上述解法，解决下面问题.
已知方程组 求x+2y-z的值.
6.(1)已知二元一次方程组 则
(2)某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元
(3)对于实数x, y, 定义新运算: x*y= ax+ by+c, 其中a, b, c是常数, 等式右边是通常的加法和乘法运算. 已知3*5=16, 2*3=12, 求5*9的值.
专题突破12 三元一次方程组③——实际问题
1.若一个三角形的周长为24，其中两条边的长度之和比第三条边多4，而它们的差是第三条边的 设其中两条边的长度分别为x，y，求三角形中最短的一条边的边长.
2.汽车在平路上每小时行驶30km，上坡时每小时行驶28km， 下坡时每小时行驶35km，去时行驶142km的路程用4小时30分钟，原路回来时用4小时42分钟，平路有多少千米 去时上、下坡路各有多少千米
3.某次智力竞赛共有3题：第一题30分，第二题30分，第三题40分.每题只有两种情况：答对得满分，答错得0分.结束后统计如下：
(1)答对3题的有4人，答对2题的有17人，3题全错的有5人；
(2)答对第一题与答对第二题的人数之和是44，答对第二题与答对第三题的人数之和是36，答对第一题与答对第三题的人数之和是40.求这次智力竞赛的平均成绩.
4.小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法
专题突破 13 二元一次方程组与坐标系
1. (2024江汉改编) 已知点A(a, 0), 点B (0, b), 且a, b满足
(1) 求出点A, B的坐标;
(2) 已知点P (m, n) 满足 ，且三角形 PAB 的面积为5 (即 求点 P 的坐标；
(3) 点 M (x, y) 为线段AB 上一点, 求. 的值.
专题突破14 二元一次方程组与面积、平移
1. (2024青山期末改编)如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A(a，0), B (0, b), C(2, 4), 且
(1) 求a, b的值;
(2) 点D (t, 0) 为x轴上一点, 且 求t的值；
(3) 平移三角形ABC到三角形EFG(其中点A,B, C的对应点分别为点E, F, G), 设E(m,n), F (p, q), 且满足 请直接写出点G的坐标.
综合与实践 设计剪裁问题
1.下表是某工厂设计玩具的裁剪方案.
课题 设计裁剪方案
素材1 如图1 所示是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成.如图②所示，制作一个豌豆所需布料的尺寸是 如图3所示，制作一个豌豆荚所需布料的尺寸是 .三个豌豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具.
素材2 某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批8 的布料，于是厂家准备将这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸.(不计剪裁时的损耗)
我是裁剪师 任务一 拟定裁剪方案 若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整. 方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 方案二：裁剪8张豌豆的布料和______张豌豆荚的布料； 方案三：裁剪______张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料.
任务二 解决实际问题 若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓库拿几张布料
专题突破 10 三元一次方程组①——消元法、设参法、换元法
类型一 用消元法解三元一次方程组
1. 解下列三元一次方程组.
解： 解：
解： 解；
2.(2024武汉二中周练)完成下面的探索过程：
给定方程组 如果令 则方程组变成 .
解出这个新方程组,得出A,B,C的值,从而得到:x= ;y= ;z= .这样的方法称为“换元法”.请写出方程组的过程.
①解：令 则方程组丁变为 ,①+②+③得A+B+C=4④,
④-①得: C=3, ④-②得: A=2, ④-③得: 解得
3.解方程组 ①②请你将步骤补充完整.
解：由①设
代入②, 得 3k+4-2(4k-1)+3(5k-2)=30 ,
∴k= 3 ,
∴x= 13 , y= 11 , z= 13 ,
∴方程组的解为
4. 若x+y+z≠0且 则k的值为( C )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解：
①+②+③得3(x+y+z)=k(x+y+z), ∵x+y+z≠0, ∴k=3.
5.用合适的方法解下列三元一次方程组.
解： 解：
解： 解：
专题突破 11 三元一次方程组②——转化思想、整体思想
类型一 利用转化思想构建三元一次方程组
1. 已知 与 的和还是单项式, 则a= 5 , b= 6 , c= -27 .
2. 已知 当x=-2时, y=9; 当x=0时, y=3; 当x=2时, y=5, 求a, b, c的值.解: 当x=-2时, y=9, ∴9=4a-2b+c; 当x=0时, y=3, ∴3=c;
当x=2时, y=5, ∴5=4a+2b+c, 解得
类型二 用整体思想解三元一次方程组
3.在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易.
例： 已知 ①②求x+y+z的值.
解: ①×2, 得6x+4y+2z=8③
②-③, 得x+y+z=2
∴x+y+z的值为2.
(1) 已知 求3x+4y+5z的值;
(2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买40本笔记本、20支签字笔、4支记号笔需要488元.通过还价，班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔，只花了732元，请问比原价购买节省了多少钱
解： ①①+②得: 6x+8y+10z=36, 则 3x+4y+5z=18.②’
(2)设笔记本、 签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，根据题意得: 40x+20y+4z=488, ∴80x+40y+8z=488×2=976,976-732=244 (元), 则比原价购买节省了244元.
4. 若2x+3y+4z=10且y+2z=2, 求x+y+z的值.
解： ②·①-②得, 2x+2y+2z-8, ∴x+y+z=4.
5.阅读下列材料，然后解答后面的问题.
已知方程组 求x+y+z的值.
解：将原方程组整理，得
②-①, 得x+3y=7, ③
把③代入①, 得x+y+z=6.
仿照上述解法，解决下面问题.
已知方程组 求x+2y-z的值.
解：将原方程组整理，得 ,
②×2得-6(x+2y-z)+2(2x+z)=-2③, ①-③得8(x+2y-z)=24, 解得x+2y-z=3.
6.(1)已知二元一次方程组 则x-y= 4 , x+y= 2 ;
(2)某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元
(3)对于实数x, y, 定义新运算: x*y= ax+ by+c, 其中a, b,c是常数, 等式右边是通常的加法和乘法运算. 已知3*5=16, 2*3=12, 求5*9的值.
解： (2)设购买1支铅笔x元、 1块橡皮y元、 1本日记本z元，
根据题意得： ①②, ①×2-②得: x+y+z=7, ∴3x+3y+3z=21.
答： 购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需21元.
(3) ∵3*5=16, 2*3=12, . ①
①-②得a+2b=4, ②×3-①×2得5a+9b+c=24, ∴5*9=5a+9b+c=24.
专题突破12 三元一次方程组③——实际问题
1.若一个三角形的周长为24，其中两条边的长度之和比第三条边多4，而它们的差是第三条边的 设其中两条边的长度分别为x，y，求三角形中最短的一条边的边长.
解：设其中两条边的长度分别为x、y，另一条边的长度为z，根据题意： 解得
答： 三角形中最短的一条边为6.
2.汽车在平路上每小时行驶30km， 上坡时每小时行驶28km， 下坡时每小时行驶35km，去时行驶142km的路程用4小时30分钟，原路回来时用4小时42分钟，平路有多少千米 去时上、下坡路各有多少千米
解：设去时上坡路有x千米，平路有y千米， 下坡路有z千米，
由题意得： 解得
答： 平路有30千米， 去时上坡路有42千米， 下坡路有 70千米.
3.某次智力竞赛共有3题：第一题30分，第二题30分，第三题40分.每题只有两种情况：答对得满分，答错得0分.结束后统计如下：
(1)答对3题的有4人，答对2题的有17人，3题全错的有5人；
(2)答对第一题与答对第二题的人数之和是44，答对第二题与答对第三题的人数之和是36，答对第一题与答对第三题的人数之和是40.求这次智力竞赛的平均成绩.
解： 设答对第一题， 第二题， 第三题的人数分别为x， y， z， 则 解得x=24, y=20, z=16.
∵3题全答对的只有4人， 答对两题的有17人， 3题全错的有5人，
∴参赛总人数为: 24+20+16-17-4×2+5=40人, 平均得分为: (30×24+30×20+40×16)÷40=49分.
答：这次竞赛的平均得分为49分.
4.小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法
解： 设分别购买单价为2元、4元、6元得到学习用品x件、y件、z件，
根据题意可得： ①②’
(①-②)×2得: x+y+z=12 ③, ①÷2得: x+2y+3z=28 ④, ④-③得: . ∵x, y, z都是正整数, ∴当y=2 时, z=7, x=3; 当 y=4时, z=6, x=2; 当 y=6时, z=6, x=1.
答： 小明妈妈有三种不同的购买方法.
专题突破 13 二元一次方程组与坐标系
1. (2024江汉改编) 已知点A(a, 0), 点B (0, b), 且a, b满足
(1) 求出点A, B的坐标;
(2) 已知点 P (m, n) 满足2m+n=0, 且三角形PAB的面积为5 (即 ，求点 P的坐标；
(3) 点 M (x, y) 为线段AB上一点, 求x+2y的值.
解: (1 ,
解得 ∴A (4, 0), B (0, 2) .
(2) ∵2m+n=0, ∴n=-2m, ∴P (m, - 2m) .
①当 P在AB上方时, 过 P作 PK⊥x轴于 K,
解得m=-3,∴P (-3, 6);
②当 P在AB下方时, 连接OP, 解得 综上所述，P的坐标为 (-3，6)或
(3) 连OM, 由A (4, 0), B (0, 2), ∵M (x, y) 为线段AB上一点,
专题突破14 二元一次方程组与面积、平移
1. (2024青山期末改编)如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A(a，0), B (0, b), C (2, 4), 且
(1) 求a, b的值;
(2) 点D (t, 0) 为x轴上一点, 且 求t的值；
(3) 平移三角形ABC到三角形EFG(其中点A,B, C的对应点分别为点E, F, G), 设E(m,n), F (p, q), 且满足 请直接写出点G的坐标.
解: (
解得
∴a的值为-4, b的值为-2.
(2) 过点A 作 MN∥y轴, 过点 C 作 CM∥MN于点 M,
过点 B 作NP⊥MN于点 N, 过点C作CP⊥NP 于点 P,
由 (1) 可知A (-4, 0), B (0, - 2), C (2, 4), AD=|t+4|,
∴M (-4, 4), N (-4, - 2), P (2, - 2),
解得 或
(3) ∵A (-4, 0), B (0, - 2), C (2, 4), E (m, n), F (p, q),∴m-(-4)=p-0, n-0=q-(-2), 即 m+4=p, n=q+2,
解得 [p= ,],= , ∴E (2, 6) .
由A (-4, 0) 平移到 E (2, 6),
可知三角形向右平移6个单位， 向上平移6个单位， ∴G (8， 10).
综合与实践 设计剪裁问题
1.下表是某工厂设计玩具的裁剪方案.
课题 设计裁剪方案
素材1 如图1 所示是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成.如图②所示，制作一个豌豆所需布料的尺寸是 ；如图3所示，制作一个豌豆荚所需布料的尺寸是 .三个豌豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具.
素材2 某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批8 的布料，于是厂家准备将这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸.(不计剪裁时的损耗)
我是裁剪师 任务一 拟定裁剪方案 若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整. 方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 方案二：裁剪8张豌豆的布料和______张豌豆荚的布料； 方案三：裁剪______张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料.
任务二 解决实际问题 若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓库拿几张布料
解：任务一： 设一张该布料裁剪m张豌豆的布料和n张豌豆荚的布料，根据布料尺寸为 80cm×1000cm, 豌豆所需布料的尺寸是 40cm×40cm,豌豆荚所需布料的尺寸是40cm×140cm，
因此可以先将原始布料对半裁剪， 即得到2块40cm×1000 cm的布料，然后裁剪所需布料的长度即可.
根据裁剪前后布料长度相等, 可得: 40m+140n=2000, 即2m+7n=100, 其中m， n为正整数，
当 m=50， n=0， 即为方案一： 裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料；
当 m=8，n=12， 即为方案二： 裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；
当 n=4， m=36， 即为方案三： 裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料.
任务二：设用x张布料按方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；
用y张布料按方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料.
则 解得
∵50+50=100, ∴还需从仓库拿 100张布料.
答：在没有布料浪费的条件下，还需从仓库拿 100张布料.

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