资源简介

专题突破1 二元一次方程组①——消元思想
1.用代入消元法解下列方程组.
2.用加减消元法解下列方程组.
3.用合适的方法解下列方程组.
专题突破2 二元一次方程组②————转化思想
类型一 利用二元一次方程 (组)的定义转化
1. 若 是二元一次方程, 则a= , b= .
类型二 利用二元一次方程 (组)的解的定义转化
2.如果 是方程组 的解，求代数式 2m-2n的值.
类型三 利用同类项的定义转化
3. 若 与 是同类项，则 的值为 .
类型四 利用平方根、立方根的定义转化
4. 已知 的平方根是±3, 3a+b-1的平方根是±4, 求a, b的值.
类型五 利用非负性转化
5. 已知 则 的值为 .
类型六 利用点的坐标特征转化
6.在平面直角坐标系中， 点A (2m-4n，4m-5n)在第二象限，到y轴和x轴的距离分别为4，1，求m, n的值.
类型七 利用待定系数法转化
7. 在代数式 ax+ by中, 当x=5, y=2时, 它的值是7; 当 x=3, y=1时, 它的值是4, 则a= ,b= .
类型八 利用新定义转化
8. 对于实数, 规定新运算: x*y= ax+ by, 其中a, b是常数. 已知2*1=7, - 1*1=1.
(1) 求a, b的值;
(2) 求1*5的值.
专题突破3 二元一次方程组③————整体代换思想
【例1】(2024黄冈期末)学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组 ①②让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法：
解: 将②变形为2(x+2y)+y=9, ③
把①代入③, 得10+y=9, 解得y=-1.
把y=-1代入①, 解得x=7.
∴方程组的解为
这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做 法.
请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 ①②
【变式】(2024福州期末)阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x, y满足5x-y=6①, 4x+2y=7②, 求x-3y和13x+3y的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值, 如由①-②可得x-3y=-1, 由①+②×2可得13x+3y=20. 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题：
(1)已知二元一次方程组 则x-y= , x+y= ;
(2)对于实数x,y,定义新运算: x*y= ax+ by+c,其中a,b,c是常数,等式右边是实数运算.已知3*5=15, 4*7=28, 求6*11的值.
类型一 利用加减消元法整体代换
【例2】已知关于x，y的方程组 的解满足x+y=-10，求代数式 的值.
【变式1】若关于x，y的二元一次方程组 的解 满足x+y=2, 则k的值为 .
【变式2】若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x-y=1, 则k的值为 .
【变式3】已知关于x，y的二元一次方程组 的解x与y互为相反数，则k的值为
类型二 整体代换实际运用
【例3】某校用一笔钱来购买A，B两种奖品，若购买24个A种奖品和14个B种奖品则差30元，若购买20个A种奖品和18个B种奖品则余20元，那么用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差 元.
【变式1】(2024江汉)甲、乙、丙三人到超市购零食.甲买薯片3包、饼干2袋、糖果1盒，花费24元；乙买薯片1包、饼干4袋、糖果2盒，花费23元.那么丙买薯片4包，花费 元.
【变式2】(2024汉阳)有甲、 乙、丙三种货物， 若购买甲3件、 乙7件、 丙1件， 共30元； 若购买甲4件、乙10件、丙1件，共35元，现在购买甲、乙、丙各1件，共需 元.
【变式3】某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中有2蓝牙耳机，4个多接口优盘，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱.经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为200元(每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和)，则C盒的成本为 元.
专题突破4 二元一次方程组④——换元思想
【例】(2024江岸月考)【阅读与思考】阅读下列材料，完成后面的任务.
善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法.
解：把 看成一个整体，设 原方程组可化为 解得原方程组的解为
【任务】
(1)方程组 的解是 则方程组 的解是 ;
(2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组
(3)已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 求关于x，y的方程组
的解.
类型一 换元法解二元一次方程组
1.利用换元法解下列方程组.
类型二 已知一个方程组的解求另一个方程组的解
2.(2024江夏期末)已知关于x，y的方程组 的解为 则关于m，n的方程组的解为 .
3.若关于x，y的二元一次方程组 的解为 则关于x，y的二元一次方程组 的解为 ( )
4.关于x，y的方程组 的解为 则方程组 的解是 ( )
5.(2024湖州期末)若关于x，y的二元一次方程组的解为 求关于x，y的二元一次方程组 的解.
专题突破5 二元一次方程的整数解
教材母题(七下第90页第5题改)把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有 种.
【变式1】(2024青山)七年级(6)班有50名学生参加军训.军训基地有6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则安排这个班的学生入住的方案共有( )种.
A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种
【变式2】(2024江岸)一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大63，这样的两位数是 .
【变式3】商店里甲商品每个5元，乙商品每个8元，丙商品每个1元.某顾客计划用200元购买这三种商品共127个，如果资金全部用完，则有 ( )种购买方案.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【变式4】现有1角，5角，1元硬币各10枚，从中共取出15枚且每种都有，共值7元.则5角硬币取出了 枚.
【变式5】(2024青山)一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团15人准备同时租用这三种客房共5间，如果每个房间都住满，租房方案有( )
A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种
【变式6】(2024硚口)我国古代的《张丘建算经》中有著名的“百鸡问题”，原文是：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡靠三值钱一， 凡百钱买鸡百只， 问鸡翁、母、雏各几何 ”意思是说“公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只 ”则此“百鸡问题”共有哪几种购买方案(每种鸡至少购买一只).
专题突破 6 含参二元一次方程组的解①——构建方程组
方法技巧：根据题意，把已知条件代入式子， 求出参数的值.
【例】 已知y= kx+b, 当x=2时, y=-3; 当x=-1时, y=3.
(1) 求k, b的值;
(2) 当x取何值时, y的值为-4
【变式1】在等式 中, 当x=-1时, y=6; 当x=2时, y=11.
(1) 求a, b的值;
(2) 当x=-3时, 求y的值.
【变式2】已知 是二元一次方程组 的解，求2m-n的算术平方根.
【变式3】对于实数a, b, 定义关于“ ”的一种运算: a b=2a+b, 例如
(1) 求4 (-3)的值;
(2) 若x (-y)=-2, (2y) x=-1, 求x+y的值.
专题突破 7 含参二元一次方程组的解②——遮挡、错解、同解问题
类型一 遮挡问题
方法技巧；将未被遮挡的解代入未被遮挡的方程，求出未知数的值或另一个解，然后再带入含有参数的方程， 求出参数.
【例1】(2024武汉三寄月考)已知 是一个被墨水污染的方程组.圆圆说：“这个方程组的解是 而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是 ”请你根据以上信息，把方程组复原出来.
【变式1】(2024福州期末)若方程组 的解为 小亮求解时不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了m和n两数，则这两数分别为( )
A. 6和4 B. 10和0 C. 2和-4 D. 4和2
【变式2】(2024长沙期末)小刚解出了方程组的解为 因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组和解中的两个数，则△、 □分别为( )
A. 17, 9 B. 16, 8 C. 23, 15 D. 15, 23
类型二 错解问题
方法技巧：把没看错的两个方程组组合在一起得到一个新的方程组，求出未知数的值，然后再带入含有参数的方程， 求出参数.
【例2】甲、乙两人解方程组 甲正确地解得 乙因为把c看错，误认为d，解得 求a, b, c, d.
【变式1】已知方程组 ①②甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为 乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为 则出
类型三 同解问题
方法技巧：将不含参数的两个方程进行结合求出未知数，再代入含参数的方程，求出参数值.
【例3】已知关于x，y的方程组 和 的解相同.
(1) 求这个相同的解; (2) 求a-b的值.
【变式1】方程组 与 有相同的解，求a，b及方程组的解.
【变式2】已知方程组 和方程组 的解相同，则(
专题突破1 二元一次方程组①——消元思想
1.用代入消元法解下列方程组.
解： 解：
解： 解：
2.用加减消元法解下列方程组.
解： 解：
解： 解：
3.用合适的方法解下列方程组.
解： 解：
解： 解：
专题突破2 二元一次方程组②——转化思想
类型一 利用二元一次方程(组)的定义转化
1. 若 是二元一次方程，则
类型二 利用二元一次方程 (组)的解的定义转化
2.如果 是方程组 的解，求代数式 2m-2n的值.
解： 由题可得
类型三 利用同类项的定义转化
3. 若 与 是同类项，则 的值为 2 .
解：由题可得 解得
类型四 利用平方根、立方根的定义转化
4. 已知 的平方根是±3, 3a+b-1的平方根是±4, 求a, b的值.
解： 由题可得 解得
类型五 利用非负性转化
5. 已知 则 的值为 1 .
类型六 利用点的坐标特征转化
6.在平面直角坐标系中， 点A (2m-4n，4m-5n)在第二象限，到y轴和x轴的距离分别为4，1，求m, n的值.
解： 由题可得解得
类型七 利用待定系数法转化
7. 在代数式 ax+ by中, 当x=5, y=2时, 它的值是7; 当 x=3, y=1时, 它的值是4, 则a= 1 ,b= 1 .
类型八 利用新定义转化
8. 对于实数, 规定新运算: x*y= ax+ by, 其中a, b是常数. 已知2*1=7, - 1*1=1.
(1) 求a, b的值;
(2) 求1*5的值.
解： (1)由题可得 解得
(2) 1*5=a+5b=2+5×3=17.
专题突破3 二元一次方程组③————整体代换思想
【例1】(2024黄冈期末)学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组 ①②让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法：
解: 将②变形为2(x+2y)+y=9, ③
把①代入③, 得10+y=9, 解得y=-1.
把y=-1代入①, 解得x=7.
∴方程组的解为
这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做 法.
请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 ①②
解：整体代换：
由②得: 3(x-2y)+y=8③,
把①代入③得: 9+y=8, 解得y=-1,
把y=-1 代入①得: x=1, ∴方程组的解为
【变式】(2024福州期末)阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x, y满足5x-y=6①, 4x+2y=7②, 求x-3y和13x+3y的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值, 如由①-②可得x-3y=-1, 由①+②×2可得13x+3y=20. 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题：
(1)已知二元一次方程组 则x-y= -1 , x+y= 3 ;
(2)对于实数x,y,定义新运算:x*y= ax+ by+c,其中a,b,c是常数,等式右边是实数运算.已知3*5=15, 4*7=28, 求6*11的值.
解: (1) ①-②得x-y=-1, ①+②得5x+5y=15, ∴x+y=3.
(2) ∵x*y= ax+ by+c, 3*5=15, 4*7=28, 则
由3×④-2×③可得: 3×(4a+7b+c)-2(3a+5b+c)=3×28-2×15 ,
即6a+11b+c=54, ∴6*11=6a+11b+c=54.
类型一 利用加减消元法整体代换
【例2】已知关于x，y的方程组 的解满足x+y=-10,求代数式 的值.
解： ①, ①×2-②×3得: y=4-m, 把y=4-m代入②得: x=2m-6.
代入x+y=-10得: 4-m+2m-6=-10, 解得: m=-8, 则原式
【变式1】若关于x，y的二元一次方程组 的解 满足x+y=2, 则k的值为 -3 .
【变式2】若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x-y=1, 则k的值为 1 .
【变式3】已知关于x，y的二元一次方程组 的解x与y互为相反数，则k的值为 -3 .
类型二 整体代换实际运用
【例3】某校用一笔钱来购买A，B两种奖品，若购买24个A种奖品和14个B种奖品则差30元，若购买20个A种奖品和18个B种奖品则余20元，那么用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差 80 元.
解：设A种奖品的单价为a元， B种奖品的单价为b元， 学校拿来购买奖品的钱数为c元，
依题意得： ①②,①×2-②将: 28a+10b=c+80.
∴用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差80元.
【变式1】(2024江汉)甲、乙、丙三人到超市购零食. 甲买薯片3包、饼干2袋、糖果1盒，花费24元；乙买薯片1包、饼干4袋、糖果2盒，花费23元.那么丙买薯片4包，花费 20 元.
解： 由题意， 设薯片1包x元、饼干1袋y元、糖果1盒z元， 则可得方程组 ①
∴①×2-②得, 5x=25, ∴x=5, ∴4x=20, ∴丙买薯片4包, 花费20元.
【变式2】(2024汉阳)有甲、 乙、丙三种货物， 若购买甲3件、 乙7件、 丙1件， 共30元； 若购买甲4件、乙10件、丙1件，共35元，现在购买甲、乙、丙各1件，共需 20 元.
解： 设购买甲、 乙、 丙各1件分别需要x，y， z元， 则依题意得 ①
①×3-②×2得, x+y+z=20, 即现在购买甲、 乙、 丙各1件, 共需20元.
【变式3】某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中有2蓝牙耳机，4个多接口优盘，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱.经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为200元(每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和)，则C盒的成本为 155 元.
解：设1个蓝牙耳机的价值为x元， 1个多接口优盘的价值为y元，
1个迷你音箱的价值为z元，依题意得 ①
②÷2得: x+2y+z=100③, ②-①得: y+z=55④, ③+④得: x+3y+2z=155, 即C盒的成本为155元.
专题突破4 二元一次方程组④——换元思想
【例】(2024江岸月考)【阅读与思考】阅读下列材料，完成后面的任务.
善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法.
解：把 看成一个整体，设 原方程组可化为 解得原方程组的解为
【任务】
(1)方程组 的解是 则方程组 的解是
(2)仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组
(3)已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 求关于x，y的方程组 的解.
解: (2) 对于 令 m=x+y, n=x-y,
则原方程组可化为 解得 解得
整理得
∵关于x， y的二元一次方程组 的解为
解得 故方程组的解为
类型一 换元法解二元一次方程组
1.利用换元法解下列方程组.
解： 解：
解： 解：
类型二 已知一个方程组的解求另一个方程组的解
2.(2024江夏期末)已知关于x，y的方程组 的解为 则关于m， n的方程组的解为
3.若关于x，y的二元一次方程组 的解为 则关于x，y的二元一次方程组 的解为 ( B )
4. 关于x，y的方程组 的解为 则方程组 的解是( B )
5.(2024湖州期末)若关于x，y的二元一次方程组的解为 求关于x，y的二元一次方程组 的解.
解: 令 m=x+1, n=-2y,
∵关于x， y的二元一次方程组的解为 则
∴关于 m， n的二元一次方程组 的解为
∴关于x， y的二元一次方程组 的解为
专题突破5 二元一次方程的整数解
教材母题(七下第90页第5题改)把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有 4 种.
解: 设某种截法中1m长的钢管有a根, 2m长的钢管有b根, 依题意, 得: a+2b=9, ∴a=9-2b.
∵a, b均为正整数, ∴当b=1 时, a=7; 当 b=2时, a=5; 当b=3时, a=3; 当 b=4时, a=1.
∴a的值可能有4种.
【变式1】(2024青山)七年级 (6)班有50名学生参加军训.军训基地有6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则安排这个班的学生入住的方案共有( C )种.
A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种
【变式2】(2024江岸)一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大63,这样的两位数是 29或 18 .
【变式3】商店里甲商品每个5元，乙商品每个8元，丙商品每个1元.某顾客计划用200元购买这三种商品共127个，如果资金全部用完，则有( C )种购买方案.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
解：设购买甲商品x件， 乙商品y件， 则丙商品 (127-x-y)件，
由题意得5x+8y+1·(127-x-y)=200, ∴y=7 -7x.
∵x, y为非负整数, ∴x=13时, y=3, x=6时, y=7, ∴有2种购买方案.
【变式4】现有1角，5角，1元硬币各10枚，从中共取出15枚且每种都有，共值7元.则5角硬币取出了 7 枚.
解: 设取出1角x枚, 5角y枚, 则1元 (15-x-y) 枚,
由题意得
∵x, y为正整数, ∴x=5时, y=7, ∴5角硬币取出了7枚.
【变式5】(2024青山)一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团15人准备同时租用这三种客房共5间，如果每个房间都住满，租房方案有( C )
A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种
解： 设租二人间x间， 三人间y间， 则四人间 (5-x-y) 间，
由题意得2x+3y+4(5-x-y)=15, ∴y=5-2x.
∵x, y为正整数, ∴x=1时, y=3, x=2时, y=1, 共2种方案.
【变式6】(2024硚口)我国古代的《张丘建算经》中有著名的“百鸡问题”，原文是：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡靠三值钱一，凡百钱买鸡百只， 问鸡翁、母、雏各几何 ”意思是说“公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只 ”则此“百鸡问题”共有哪几种购买方案(每种鸡至少购买一只).
解： 设公鸡买了x只， 母鸡买了y只， 则小鸡买了 (100-x-y)只，
依题意， 得：
∵x， y均为正整数， 或 或 ∴一共有3种购买方案.
专题突破 6 含参二元一次方程组的解①——构建方程组
方法技巧：根据题意，把已知条件代入式子，求出参数的值.
【例】 已知y= kx+b, 当x=2时, y=-3; 当x=-1时, y=3.
(1) 求k, b的值;
(2) 当x取何值时, y的值为-4
解：(1)由题意可得 可得
【变式1】在等式 中, 当x=-1时, y=6; 当x=2时, y=11.
(1) 求a, b的值;
(2) 当x=-3时, 求y的值.
解： (1)根据题意， 得 ①②, ①×2+②, 得6a+3=23, 解得 把 代入①，得 解得
当x=-3时,
【变式2】已知 是二元一次方程组 的解， 求2m-n的算术平方根.
解： 是二元一次方程组 的解， 解得
即 2m-n的算术平方根为2.
【变式3】对于实数a, b, 定义关于“ ”的一种运算: a b=2a+b, 例如1 3=2×1+3=5.
(1) 求4 (-3)的值;
(2) 若x (-y)=-2, (2y) x=-1, 求x+y的值.
解: (1) 根据题中的新定义得: 原式=2×4+(-3)=8-3=5.
(2)根据题中的新定义化简得： ②, ①+②得: 3x+3y=-3, 则x+y=-1.
专题突破 7 含参二元一次方程组的解②
——遮挡、错解、同解问题
类型一 遮挡问题
方法技巧；将未被遮挡的解代入未被遮挡的方程，求出未知数的值或另一个解，然后再带入含有参数的方程， 求出参数.
【例1】(2024武汉三寄月考)已知 是一个被墨水污染的方程组.圆圆说：“这个方程组的解是 而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是 ”请你根据以上信息，把方程组复原出来.
解： 设被墨水污染的三角形为a， 圆点为 b， 正方形为c，
∵这个方程组的解是
∵看错了第二个方程中的x的系数， 求出的解是
解得 ∴原方程组为
【变式1】(2024福州期末)若方程组 的解为 小亮求解时不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了m和n两数，则这两数分别为 ( C )
A. 6和4 B. 10和0 C. 2和-4 D. 4和2
【变式2】(2024长沙期末)小刚解出了方程组 的解为 因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组和解中的两个数，则△、□分别为( A )
A. 17, 9 B. 16, 8 C. 23, 15 D. 15, 23
类型二 错解问题
方法技巧：把没看错的两个方程组组合在一起得到一个新的方程组，求出未知数的值，然后再带入含有参数的方程，求出参数.
【例2】甲、乙两人解方程组 甲正确地解得 乙因为把c看错，误认为d，解得 求a, b, c, d.
解：把 代入 得：
再根据乙把c看错， 误认为 d， 解得 代入 得：
∴d=-11, ∴a=4, b=5, ∴a, b, c, d的值是: 4, 5, - 2, - 11.
【变式1】已知方程组 ①②甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为 乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为 则出 a= -1 , b= 10 .
解： 由题可得 解得
类型三 同解问题
方法技巧：将不含参数的两个方程进行结合求出未知数，再代入含参数的方程，求出参数值.
【例3】已知关于x，y的方程组 和 的解相同.
(1) 求这个相同的解; (2) 求a-b的值.
解： (1) ∵关于x， y的二元一次方程组 与方程组 的解相同，
∴可列方程组 解得 ∴这个相同的解为
(2) 由 (1)可得： 关于x，y的二元一次方程组
与方程组 有相同的解
∴可得方程组 解得
【变式1】方程组 与 有相同的解， 求a， b及方程组的解.
解： ∵方程组 与 有相同的解，
∴得方程组 解得方程组的解 解得
【变式2】已知方程组 和方程组 的解相同，则
解： 由题可得 解得 解得

展开更多......

收起↑