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专题突破1 已知点的坐标求面积
类型一 有一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)的三角形的面积
1. 如图, 在平面直角坐标系中, 点A(-5, 1), B (2, 1), C(4, 7), 求三角形ABC的面积.
类型二 有一边在坐标轴上 (或平行于坐标轴)的四边形的面积
2. 如图, 在平面直角坐标系中, 四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0,0), A(0,12), B(-10,8), C (-14, 0), 求四边形 OABC 的面积.
类型三 三边均不与坐标轴平行的三角形的面积
3. 如图, 在三角形AOB中, A,B两点坐标分别为(2, 4),(6, 3), 求三角形AOB的面积.
4. 已知在坐标平面内三点A，B，C的坐标如图所示，求三角形ABC的面积.
专题突破2 已知面积求点的坐标
类型一 已知三角形的面积求坐标轴上的点的坐标
1.在平面直角坐标系中， 点A (1， 0)，B (3， 0)， C是y轴正半轴上一点， 且三角形ABC的面积为3，则点 C 的坐标是 .
2. 已知点A (0, 2), 点B (0, - 3), 点P是x轴上一动点, 若三角形ABP的面积为5, 则点P的坐标为 .
3.如图，在平面直角坐标系中， 点A(-3b，0)为x轴负半轴上一点， 点B(0，4b)为y轴正半轴上一点, 其中b满足方程3(b+1)=6.
(1) 求点A, B的坐标;
(2)点C为y轴负半轴上一点，且三角形ABC的面积为12， 求点C的坐标.
4. 如图, 在平面直角坐标系中, A (-1, 0), B (3, 0), C(0, 2).
(1)求三角形ABC的面积；
(2)若点P从点 B 出发沿射线 BA的方向匀速移动，速度为1个单位长度/秒，设移动时间为 ts，当t为何值时，三角形PAC 的面积等于三角形BOC的面积.
5.已知三角形的三个顶点都在以下表格的交点上，其中A (3，3)，B(3，5)，请在表格中确立C点的位置，使 这样的点C有多少个，请分别表示出来.
类型二 理解坐标与线段的关系，把面积转化为线段关系
6.如图，在平面直角坐标系中， ，求三角形ABC三个顶点的坐标.
7. 如图, 已知点A (-4, 0), B(6, 0), C (2, 4), D(-3, 2).
(1) 求四边形ABCD 的面积;
(2)在y轴上找一点P， 使三角形APB的面积等于四边形ABCD面积的一半， 求点P 的坐标.
8. 如图, 三角形ABO中, 三角形 是三角形ABO平移之后得到的图形,并且O 的对应点 O'的坐标为 (5,4).
(1)作出三角形ABO平移之后的图形三角形. ，并写出 A'，B'两点的坐标分别为A' ，
(2)P (x ,y )为三角形ABO中任意一点. 则平移后对应点 P'的坐标为 ;
(3)求三角形ABO的面积；
(4)x轴上有一点Q，使三角形AOQ的面积与三角形AOB相同，求点Q 的坐标.
专题突破3 点的坐标与方程
1.如图， 直线AB经过原点O， 点C在y轴上，D为线段AB上一动点，若A (2, m), B(-3, n), C (0, - 2), AB=10, 则CD长度的最小值为 .
2. 已知点O (0, 0), B (1, 2), 点A 在坐标轴上, 且 求满足条件的点A的坐标.
3.在平面直角坐标系中, 已知点A (2,0),B(0,3),点P(m,n)为第三象限内一点,若三角形 PAB的面积为18， 则m， n满足的数量关系式为 .
4. 已知点A (a, 0), 点B (0, b), 且 a, b满足
(1)直接写出点A，B的坐标；
(2)已知点 P在y轴上，且三角形 PAB 面积为6(即 求点 P 的坐标；
(3) 点 M(x, y)为线段AB上一点, 求x, y满足的关系式.
5. 在平面直角坐标系中, A (a, 1), B (b, 3) 满足
(1) 直接写出a, b的值:
(2)如图, 若点P (3, n)满足三角形ABP的面积等于6, 求n的值.
综合与实践 (1) 折线距离探究
1. 问题情境：在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点 和点 ，小明在学习中发现，若 则 轴，且线段AB的长度为| 若 则 轴，且线段AB的长度为
【应用】
(1) 若点A (-1, 1), B (2, 1), 则. 轴，AB的长度为 .
(2) 若点C (1, 0), 且 轴，且 ，则点 D 的坐标为 .
【拓展】 我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点 之间的折线距离为 例如： 图1中，点 与点 之间的折线距离为 解决下列问题：
(3) 如图2, 已知E (2, 0), 若 则
(4) 如图2, 已知E(2, 0), H (1, t), 若 求t的值；
(5)如图3, 已知P(3, 3), 点Q在x轴上, 且三角形OPQ的面积为3,求d(P, Q) 的值.
综合与实践 (2) 中心平移点
1.(2024江汉期末) 定义: 在平面直角坐标系中, 已知点M(a, b), N(c, d), 可以得到MN的中点P 的坐标为 当 时，将点 P 向上平移d个单位长度，得到点 Q； 当d<0时，将点 P向下平移|d|个单位长度，得到点Q，我们称点Q为M关于N的中心平移点.例如: M(1,2), N(2,3), MN的中点P的坐标为(1.5, 2.5), M关于N的中心平移点Q的坐标为(1.5, 5.5).
(1) 已知A(-3, 1), B(1, 3), C(-5, - 5), 直接写出A关于B的中心平移点D及A关于C的中心平移点 E 的坐标；
(2) 已知 位于x轴的同侧，F关于G的中心平移点为H，若三角形OHG的面积比三角形OHF 的面积大6，求 m的值；
(3) 已知R(n, n), S(0, 2n)(n≠0), 将点S向下平移1个单位长度得到点T, 将点S向上平移6个单位长度得到点 U，分别过点S与点 U作x轴的平行线 与 .若点 V在线段ST上，且V关于R 的中心平移点在l 与l 之间(不含 ， 直接写出n的取值范围.
专题突破 1 已知点的坐标求面积
类型一 有一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)的三角形的面积
1. 如图, 在平面直角坐标系中, 点A(-5, 1), B (2, 1), C(4, 7), 求三角形ABC的面积.解: ∵A (-5, 1), B (2, 1), ∴AB∥x轴, AB=2-(-5)=7.
∵C (4, 7), ∴C 点到 AB 的距离为
类型二 有一边在坐标轴上 (或平行于坐标轴)的四边形的面积
2. 如图, 在平面直角坐标系中, 四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0,0), A(0, 12), B(-10,8), C (-14, 0), 求四边形OABC的面积.
解: 连OB, 则
类型三 三边均不与坐标轴平行的三角形的面积
3. 如图, 在三角形AOB中, A, B两点坐标分别为(2, 4), (6, 3), 求三角形AOB的面积.
解：如图， 过A作水平线l交y轴于点E，
过B作x轴垂线， 交直线l于点 C， 交x轴于点D，
4. 已知在坐标平面内三点A，B， C的坐标如图所示， 求三角形ABC的面积.
解：如图， 分别过A， B两点作x轴的平行线，
过C点作y轴的平行线， 交于E，F点，构成直角梯形ABEF，
专题突破2 已知面积求点的坐标
类型一 已知三角形的面积求坐标轴上的点的坐标
1.在平面直角坐标系中， 点A (1， 0)，B (3， 0)， C是y轴正半轴上一点， 且三角形ABC的面积为3, 则点 C的坐标是 (0, 3) .
2. 已知点A (0, 2), 点B (0, - 3), 点P是x轴上一动点, 若三角形ABP的面积为5, 则点P的坐标为 (2, 0) 或 (-2, 0) .
3.如图，在平面直角坐标系中， 点A(-3b，0)为x轴负半轴上一点， 点B(0，4b)为y轴正半轴上一点, 其中b 满足方程3(b+1)=6.
(1) 求点 A, B的坐标;
(2)点C为y轴负半轴上一点，且三角形ABC的面积为12， 求点C的坐标.
解: (1) 解方程3(b+1)=6, 得到b=1, ∴A (-3, 0), B (0, 4) .
(2) ∵A (-3, 0), B (0, 4), ∴OA=3, OB=4.
∵点C 在y轴的负半轴上, ∴OC=4, ∴C (0, - 4) .
4. 如图, 在平面直角坐标系中, A (-1, 0), B (3, 0), C(0, 2) .
(1)求三角形ABC的面积；
(2)若点P从点 B 出发沿射线 BA的方向匀速移动，速度为1个单位长度/秒，设移动时间为 ts，当t为何值时，三角形PAC 的面积等于三角形BOC的面积.
解: (1) ∵A (-1, 0), B (3, 0), C (0, 2), ∴AB=4, OC=2,
即三角形ABC的面积是4.
(2)由题意得：
即AP=OB=3.
当点 P 在点A 的右边时, AP=3, 则 BP=1, ∴t=1;
当点 P 在点A 的左边时, AP=3, 则 BP=7, ∴t=7.
故当 t=1 或7时， 三角形 PAC的面积等于三角形 BOC的面积.
5. 已知三角形的三个顶点都在以下表格的交点上，其中A(3， 3)， B(3， 5)， 请在表格中确立C点的位置，使S 三角形ABC=2,这样的点 C有多少个，请分别表示出来.
解:设点 C 到直线 AB 的距离为 h.
如图, ∵A (3, 3), B (3, 5), ∴AB=2, 且AB⊥水平线,
解得 h=2, 即点 C 到直线 AB的距离是 2.
∴点C是与AB平行且距离为2的直线l与表格格点(即表格的交点)的交点，如图所示, 符合条件的点 C 有 6×2=12 (个).
类型二 理解坐标与线段的关系，把面积转化为线段关系
6.如图，在平面直角坐标系中，S三角形ABC=24, OA=OB, BC=12, 求三角形ABC三个顶点的坐标.解：
解得OA=4, ∴OB=OA=4, ∴OC=BC-OB=12-4=8,∴A (0, 4), B (-4, 0), C (8, 0) .
7. 如图, 已知点A (-4, 0), B (6, 0), C (2, 4), D(-3, 2) .
(1) 求四边形ABCD的面积;
(2)在y轴上找一点P，使三角形APB的面积等于四边形ABCD面积的一半，求点P的坐标.
解： (1)分别过C，D两点作x轴的垂线， 垂足分别为E，F，则
(2) 设三角形 APB 的 AB 边上高为 h,
由 得 解得h=2.4.
又∵P点在y轴上, ∴P (0, 2.4) 或 (0, - 2.4) .
8. 如图, 三角形ABO中, A(-2, - 3), B (2, - 1), 三角形A'B'O'是三角形ABO平移之后得到的图形，并且O的对应点 O'的坐标为 (5，4).
(1)作出三角形ABO平移之后的图形三角形A'B'O'，并写出A'，B'两点的坐标分别为A'(3，1)，B'(7, 3);
(2)P (x ，y )为三角形ABO中任意一点.则平移后对应点 P'的坐标为 (x +5, y +4);
(3)求三角形ABO的面积；
(4)x轴上有一点Q，使三角形AOQ的面积与三角形AOB相同，求点Q的坐标.
解：
(4) 设Q (m, 0), 则有
或
专题突破3 点的坐标与方程
1.如图， 直线AB经过原点O， 点C在y轴上，D为线段AB上一动点，若A (2, m), B(-3, n), C (0, - 2), AB=10, 则CD长度的最小值为 1 .
2. 已知点O (0, 0), B (1, 2), 点A 在坐标轴上, 且S三角形OAB=2,求满足条件的点A的坐标.
解: 当点A在x轴上时, 点A的坐标为 (2, 0) 或 (-2, 0) .
当点A在y轴上时, 点A 的坐标为 (0, 4) 或 (0, - 4) .
3.在平面直角坐标系中, 已知点A(2, 0), B(0, 3), 点P (m, n)为第三象限内一点, 若三角形 PAB的面积为18, 则m, n满足的数量关系式为 3m+2n=-30 .
4. 已知点A (a, 0), 点B (0, b), 且 a, b满足
(1)直接写出点A，B的坐标；
(2)已知点 P在y轴上，且三角形 PAB面积为6(即 求点 P的坐标；
(3) 点M(x, y) 为线段AB上一点, 求x, y满足的关系式.
解: (1) 根据 得 解得 ∴A (4, 0), B (0, 2) .
设P (0, y), 则|y-2|=3,解得y=-1或y=5, ∴点 P的坐标为 (0, - 1) 或 (0, 5) .
(3) 连接OM, ∵ OA=4, OB=2, ∴x+2y=4 (0≤x≤4) .
5. 在平面直角坐标系中, A (a, 1), B (b, 3) 满足
(1) 直接写出a, b的值: a= -1 , b= 2 ;
(2)如图, 若点P (3, n)满足三角形ABP的面积等于6, 求n的值.
解： (2)过P作直线l垂直于x轴， 延长AB交直线l于点Q， 设Q的坐标为 (3， m)，过A作AH⊥l交直线l于点H, 连接BH, AP, BP, AP', BP',
解得
又∵点P (3, n)满足三角形 ABP 的面积等于6, 解得 或
综合与实践 (1) 折线距离探究
1.问题情境：在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A (x ，y )和点. ，小明在学习中发现, 若x =x , 则AB∥y轴, 且线段AB的长度为|y -y |; 若y =y , 则AB∥x轴, 且线段AB的长度为
【应用】
(1) 若点A (-1, 1), B (2, 1), 则AB∥x轴, AB的长度为 3 .
(2) 若点C(1, 0),且CD∥y轴,且CD=2, 则点D的坐标为(1, 2) 或 (1, - 2).
【拓展】 我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点 M(x ，y )，N(x ，y )之间的折线距离为 例如: 图1中, 点 M(-1, 1) 与点 N (1, - 2)之间的折线距离为d (M, N) =|-1-1|+|1-(-2)|=2+3=5.解决下列问题：
(3) 如图2, 已知E(2, 0), 若F(-1, - 2), 则d(E, F)= 5 ;
(4) 如图2, 已知E(2, 0), H (1, t), 若d(E, H) =3, 求t的值;
(5)如图3, 已知P(3,3), 点Q在x轴上, 且三角形OPQ的面积为3, 求d(P, Q) 的值.
解: (1) AB 的长度为|-1-2|=3.
(2) 由CD∥y轴, 可设点D的坐标为 (1, m) .
∵CD=2, ∴|0-m|=2, 解得m=±2, ∴点D的坐标为 (1, 2) 或 (1, - 2) .
(3) d (E, F) =|2-(-1)|+|0-(-2)|=3+2=5.
(4) ∵E (2, 0), H (1, t), d (E, H) =3, ∴|2-1|+|0-t|=3,解得t=±2.
(5) 由点Q在x轴上, 可设点Q的坐标为 (x, 0),
∵三角形OPQ 的面积为3，
当点Q 的坐标为 (2, 0) 时, d (P, Q) =|3-2|+|3-0|=1+3=4;
当点Q的坐标为 (-2, 0) 时, d (P, Q) =|3-(-2)|+|3-0|=5+3=8.
综上所述, d (P, Q) 的值是4或8.
综合与实践 (2) 中心平移点
1.(2024江汉期末) 定义: 在平面直角坐标系中, 已知点M(a, b), N(c, d), 可以得到MN的中点 P的坐标为 当d≥0时，将点 P向上平移d个单位长度，得到点Q； 当d<0时，将点 P向下平移|d|个单位长度，得到点 Q，我们称点Q为M关于N的中心平移点.例如: M(1,2), N(2, 3), MN的中点P的坐标为(1.5,2.5), M关于N的中心平移点Q的坐标为 (1.5, 5.5) .
(1) 已知A(-3, 1), B(1,3), C(-5, - 5), 直接写出A关于B的中心平移点D及A关于C的中心平移点E的坐标；
(2) 已知F(-3, m), G(5, m+2) 位于x轴的同侧, F关于G的中心平移点为H, 若三角形OHG的面积比三角形OHF 的面积大6，求 m的值；
(3) 已知R (n, n), S(0, 2n)(n≠0), 将点S向下平移1个单位长度得到点T, 将点S向上平移6个单位长度得到点 U，分别过点S与点U作x轴的平行线l 与l .若点V在线段ST上，且V关于R的中心平移点在l 与l 之间(不含l ，l )，直接写出n的取值范围.
解: (1) D (-1, 5), E (-4, - 7) .
(2) 如图, 取 FG 的中点 P, 连接PH, OP, 则 PH=\m+2|,
∵F (-3, m), G (5, m+2),
∴FG的中点 P的坐标为 即 P (1, m+1), ∴H (1, 2m+3) .
∵点P 为 FG 的中点,
∵三角形 OHG 的面积比三角形 OHF 的面积大 6，
解得m=-8或4.
(3) ∵S (0, 2n) (n≠0), 将点 S向下平移1个单位得到 T,将点S向上平移6个单位得到 U, ∴点 T (0, 2n-1), U (0, 2m+6),设点V的坐标为 (0, y), ∵点V在线段ST上, ∴2n-1≤y≤2n.
∵R (n， n)， ∴V关于R的中心平移点的坐标为
∵V关于R的中心平移点在 l 与l 之间 (不含l , l ), 解得1

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