资源简介

8.1 平方根
第1课时 算术平方根
【基础过关】
知识点1 算术平方根的概念
1. (2024南充) 4 的算术平方根是 ( )
A. ±2 B. - 2 C. 2 D.
2.下列计算正确的是 ( )
3.下列说法正确的是 ()
A. 8是64的算术平方根 B. ±9是81的算术平方根
C. - 6是(-6) 的算术平方根 D. 0.02是0.4的算术平方根
知识点2 算术平方根的求法
4.(-3) 的算术平方根是 ；0的算术平方根是 ；6 的算术平方根是 .
5.求下列各数的算术平方根.
(1) 225; (3) (-5) ; (4) 0.0009.
6.写出下列各式的值：
7. 若 的值是0，则(
8. 已知2a+1的算术平方根是3， 3a+b-3的算术平方根是4，求 的值.
易错点 求带根号的数的算术平方根时，注意被开方数
9 的算术平方根 .
【中档提升】
10.若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是 ( )
A. 1 B. - 1 C. 0 D. 0或1
11. 若 为整数，则使得 为最大正整数的x的最小正整数是 .
12. 已知n是正整数， 是整数，则n的最小值是 .
13. 若实数x, y, z满足 求x+y+z的算术平方根.
14.有一张面积为 的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为5∶3，面积为 能将这张贺卡不折叠地放入此信封吗 请通过计算说明你的判断.
【综合拓展】
15.找规律并解决问题.
(1)填写下表：
a 0.0001 0.01 1 100 10000
上表中已知数a的小数点，向左(或向右)每移动两个数位，它的算术平方根 的小数点相应向左(或向右)移动 .
(2)利用规律计算：
①已知 用含k的代数式分别表示a，b；
②已知 则
(3) 如果 是 的100倍, 则x的值 .
第2课时 平方根
【基础过关】
知识点 1 平方根的概念
1. (2024南京) 9的平方根是 ( )
A. ±3 B. 3 D.
2. 求 的平方根，下列式子正确的是 ( )
3. 若a =1, b =9, 且 ab<0, 则a-b的值为 ( )
A. 2 B. ±4 C. 2 D. - 2
知识点 2 平方根的性质
4.下列说法正确的是 ( )
A. -7是49的一个平方根 B. 16的平方根4
C. 25的平方根是-5 D. - 9的平方根是±3
5.(1) 49的平方根等于 ;(2) (3) 的平方根是 的平方根是 ；——
6.若a是(-3) 的平方根，b的一个平方根是2， 则a+b的值为 .
7. 若 的平方根是±4, 则a= .
知识点3 平方根的表示
8.求下列各数的平方根.
( 1) 196; (4) (-4) .
9.求下列各式的值.
10.求下列各式中x的值.
易错点 忽视一个正数的平方根有两个
11. 若x+3是4的平方根, 则x= .
【中档提升】
12.如果一个数的平方根是±a(a≥0)， 那么下一个自然数的平方根为( )
A. ±(a+1) B. ±a+1
13.下列一定有平方根的是 ( )
A. x B. - 2x+10
14.若实数a，b是同一个数的两个不同的平方根，则( )
A. a-b=0 B. a+b=0 C. a-b=1 D. a+b=1
15. 已知 则
16. 若 则x= .
17. 如果a, b是2025的两个不同的平方根, 则a+b-ab的值为 .
18.已知一个正数的两个不同的平方根分别是a-6与2a-9.
(1)求a的值及这个正数；
(2) 已知 求x的值.
19.小明的爸爸打算用如图一块面积为900cm 的正方形木板，沿着边的方向裁出一个面积为( 的长方形桌面.
(1)求正方形木板的边长；
(2)若要求裁出的桌面的长宽之比为3：2，你认为小明的爸爸能做到吗 如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由.
【综合拓展】
20. 已知正实数x的平方根是2m和m+b.
(1) 当b=9时, 求m;
(2) 若 求x的值.
第3课时 区分平方根、算术平方根
【基础过关】
知识点 1 算术平方根、平方根区别与联系
1. 16的平方根是( )
A. 8 B. 4 C. ±4 D. ±2
2. 的算术平方根是( )
A. ±3 B. 3 D.
3.下列说法正确的是 ( )
A. 的平方根是±4 表示6的算术平方根的相反数
C. 任何数都有平方根 一定没有平方根
4.9的算术平方根是 ；4的平方根是 .
5. 一个数x的两个平方根分别是 a+1和a-1, 则a= , x= .
6.求下列各式的值.
知识点2 算术平方根估算、大小比较
7. 估计 的大小应在 ( )
A. 7~8之间 B. 8.0~8.5之间 C. 8.5~9.0之间 D. 9~10之间
8. 已知 则
9.绝对值小于 的所有整数是 .
10. 比较大小 (用“>”“<”或“=”连接):
易错点 对带根号的数求平方根，注意被开方数
11. 的平方根是 .
【中档提升】
12. 的整数部分是a，小数部分是b，则a-b的值是 ( )
13. 估计 的值在( )
A. - 2到-1之间 B. - 1到0之间 C. 0到1之间 D. 1到2之间
14. 若a, b是实数, 且 时，a+b的平方根是 .
15.一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬1个单位长度到达点B，点A表示 设点B所表示的数为p.
(1) 则p的值为 ;
(2)若p的小数部分为k，求 的值.
16.已知x，y是有理数，并且满足 求9x-y的平方根.
【综合拓展】
17.任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：m(1)无理数 的“美好区间”是 ；
(2)实数x，y，m满足如下关系式： 求m的算术平方根的“美好区间”.
8.1 平方根
第1课时 算术平方根
【基础过关】
知识点1 算术平方根的概念
1. (2024南充) 4的算术平方根是 ( C )
A. ±2 B. - 2 C. 2 D.
2.下列计算正确的是 ( B )
3.下列说法正确的是 ( A )
A.8是64的算术平方根 B. ±9是81的算术平方根
C. - 6是(-6) 的算术平方根 D. 0.02是0.4的算术平方根
知识点2 算术平方根的求法
4. (-3) 的算术平方根是 3 ; 0的算术平方根是 0 ;6 的算术平方根是
5.求下列各数的算术平方根.
(1) 225; (3) (-5) ; (4) 0.0009.
解: 15; 解： 解: 5; 解: 0.03.
6.写出下列各式的值：
7. 若 的值是0，则(
8. 已知2a+1的算术平方根是3， 3a+b-3的算术平方根是4， 求 的值.
解: ∵2a+1的算术平方根为3, 3a+b-3算术平方根为4,
∴2a+1=9, 3a+b-3=16, ∴a=4, b=7,
易错点 求带根号的数的算术平方根时，注意被开方数
9. 的算术平方根 .
【中档提升】
10.若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是( D )
A. 1 B. - 1 C. 0 D. 0或1
11. 若 为整数，则使得 为最大正整数的x的最小正整数是 5 .
12. 已知n是正整数， 是整数， 则n的最小值是 3 .
13. 若实数x, y, z满足 求x+y+z的算术平方根.
解： 且
∴x=2, y=-1, z=3, x+y+z=2+(-1)+3=4, ∴x+y+z的算术平方根为2.
14.有一张面积为100cm 的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为5∶3，面积为150cm ，能将这张贺卡不折叠地放入此信封吗 请通过计算说明你的判断.
解: 设长方形信封的长为 5x cm, 宽为3x cm,
由题意得: 5x·3x=150, 解得. (负值舍去)，
∴长方形信封的宽为：
∴正方形贺卡的边长为10cm.
而90<100, ∴3 <10.
答：不能将这张贺卡不折叠的放入此信封中.
【综合拓展】
15.找规律并解决问题.
(1)填写下表：
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 0.1 1 10 100
上表中已知数a的小数点，向左(或向右)每移动两个数位，它的算术平方根 的小数点相应向左 (或向右)移动 一位 .
(2)利用规律计算：
①已知 用含k的代数式分别表示a， b；
②已知 则
(3) 如果 的100倍, 则x的值
解：
第2课时 平方根
【基础过关】
知识点1 平方根的概念
1. (2024南京) 9的平方根是 ( A )
A. ±3 B. 3 D.
2.求 的平方根，下列式子正确的是 (B)
3. 若a =1, b =9, 且 ab<0, 则a-b的值为( B )
A. 2 B. ±4 C. 2 D. - 2
知识点2 平方根的性质
4.下列说法正确的是 (A)
A. -7是49的一个平方根 B. 16的平方根4
C. 25的平方根是-5 D. - 9的平方根是±3
5. (1) 49的平方根等于 ±7 ; (2) 6 的平方根是± (3) 的平方根是 ±
6. 若a是(-3) 的平方根, b的一个平方根是2, 则a+b的值为 7或1 .
7. 若 的平方根是±4, 则a= 256 .
知识点3 平方根的表示
8.求下列各数的平方根.
(1) 196; (4) (-4) .
解: ±14; 解： 解： 解: ±4.
9.求下列各式的值.
解: ±20; 解: - 1.4; 解： 解: 0.3;
解: 15; 解： 解： 解: 4.
10. 求下列各式中x的值.
解： 解： 解: x=±1.4; 解： 或
易错点 忽视一个正数的平方根有两个
11. 若x+3是4的平方根, 则x= -1或-5 .
【中档提升】
12.如果一个数的平方根是±a(a≥0)，那么下一个自然数的平方根为( C )
A. ±(a+1) B. ±a+1
13.下列一定有平方根的是 ( D )
A. x B. - 2x+10
14.若实数a，b是同一个数的两个不同的平方根，则( B )
A. a-b=0 B. a+b=0 C. a-b=1 D. a+b=1
15. 已知 则
16. 若 则x= 8 或-7 .
17. 如果a, b是2025的两个不同的平方根, 则a+b-ab 的值为 2025 .
18.已知一个正数的两个不同的平方根分别是 a-6与2a-9.
(1)求a的值及这个正数；
(2) 已知 求x的值.
解: (1) a=5, 这个正数是 1; (2) x=±5.
19.小明的爸爸打算用如图一块面积为900cm 的正方形木板，沿着边的方向裁出一个面积为 的长方形桌面.
(1)求正方形木板的边长；
(2)若要求裁出的桌面的长宽之比为3∶2，你认为小明的爸爸能做到吗 如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由.
解: (1) 正方形的边长为30cm.
(2) 设长方形桌面的长为 3x cm, 宽为 2x cm.
由题意得: 3x·2x=600, 解得x=10 (负值舍去)
∴长方形桌面的长为： 3x=30， 正方形贺卡的边长为 30cm.
∴小明爸爸可以做到.
【综合拓展】
20. 已知正实数x的平方根是2m和m+b.
(1) 当b=9时, 求m;
(2) 若 求x的值.
解: (1) ∵2m+m+b=0, b=9, ∴m=-3.
∴原方程可化为： ∵x为正实数，
第3课时 区分平方根、算术平方根
【基础过关】
知识点1 算术平方根、平方根区别与联系
1. 16的平方根是( C )
A. 8 B. 4 C. ±4 D. ±2
2. 的算术平方根是( D )
A. ±3 B. 3 D.
3.下列说法正确的是 ( B )
A. 的平方根是±4 表示6的算术平方根的相反数
C. 任何数都有平方根 一定没有平方根
4. 9的算术平方根是 3 ; 4的平方根是 ±2 .
5. 一个数x的两个平方根分别是 a+1和a-1, 则a= 0 , x= 1 .
6.求下列各式的值.
解： 解： 解：
解: 0.17; 解: 25; 解: 1;
解： 解: 0.3.
知识点2 算术平方根估算、大小比较
7. 估计 的大小应在 ( C )
A. 7~8之间 B. 8.0~8.5之间 C. 8.5~9.0之间 D. 9~10之间
8. 已知 则
9.绝对值小于 的所有整数是 ±4, ±3, ±2, ±1, 0 .
10. 比较大小 (用“>”“<”或“=”连接):
易错点 对带根号的数求平方根，注意被开方数
11. 的平方根是
【中档提升】
12. 的整数部分是a，小数部分是b，则a-b的值是( C )
13. 估计 的值在( C )
A. - 2到-1之间 B. - 1到0之间 C. 0到1之间 D. 1到2之间
14. 若a, b是实数, 且 时，a+b的平方根是
15.一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬1个单位长度到达点B，点A表示 设点B所表示的数为p.
(1) 则p的值为
(2)若p的小数部分为k，求 的值.
解：
16.已知x，y是有理数，并且满足 求9x-y的平方根.
解：原方程可化为： ∵x, y是有理数, ∴x=3, y=18, 9x-y=9, ∴9x-y的平方根为±3, 即
【综合拓展】
17.任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：m(1)无理数 的“美好区间”是(-4,-3) ;
(2)实数x，y，m满足如下关系式： 求m的算术平方根的“美好区间”.
解： ,
x+y-2024≥0, 2024-x-y≥0, ∴x+y-2024=2024-x-y=0, ∴x+y=2024.
, ,
∵(2x+3y+m) ≥0, (3x+2y-3m) ≥0, ∴2x+3y+m=0①, 3x+2y-3m=0②,
①+②得: 5x+5y-2m=0, 5(x+y)-2m=0, 解得m=5060,
即
∴m的算术平方根的“美好区间”为 (71, 72).

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