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专题突破 5 构造三线八角图证题
1. 如图, 求证： .(分别用三种方法证明)
2. 如图, ， 求证： .下面是3种添线方法，请任意选择一种完成证明过程.
3. 如图, 已知DE⊥BC于点E, FG⊥BC于点G, ∠1=∠2, 求证:
证明:延长HE,FG相交于点 Q,
∵DE⊥BC, FG⊥BC (已知),
∴DE∥ ( ),
∴∠1= .
又∠1=∠2 (已知),
∴.∠2= (等量代换),
∴EH∥AC ( ) .
4. 如图, 已知CD∥EF, ∠1+∠2=∠ABC, 求证: AB∥GF.
专题突破 6 平行线中的折叠问题
类型一 单折型
1.(2024重庆)如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点D与点B 重合， 点C落在点C'处， 折痕为EF, ∠ABE=20°, 那么∠EFC'的度数为 ( )
A. 125° B. 120° C. 115° D. 110°
2.(2024西安) 如图, 将长方形纸条ABCD折叠, 折痕为EF, 折叠后点C, D分别落在点C', D'处, D'E与BF 交于点G, 若∠BGD'=28°, 则∠FED'的度数是 ( )
A. 28° B. 62° C. 75° D. 76°
3.(2024江西) 如图,已知四边形纸片 ABCD中, AB∥CD, 点E, F分别在边AB,AD上, 将纸片沿着EF折叠,点A落在点G处,EG交CD于点 H. 若∠BEH比∠AEF的4倍多12°, 则∠CHG的大小是( )
A. 114° B. 124° C. 126° D. 134°
类型二 多折型
4. (2024沈阳) 如图, 已知长方形纸片ABCD, 点E, F在边AD上, 点G, H在边BC上, 分别沿EG, FH折叠, 使点D 和点A 都落在点 M处, 若α+β=118°, 则∠EMF的度数为( )
A. 59° B. 58° C. 57° D. 56°
5. (2024武汉) 已知长方形纸条ABCD, 点E, G在边AD上, 点 F, H在边BC上. 将纸条分别沿着EF, GH折叠, 如图, 点A, B分别折叠至点A', B', 点 C, D分别折叠至点C, D', 当DC恰好落在EA'上时， ∠1与∠2的数量关系是 ( )
A. ∠1+∠2=135° B. ∠2-∠1=15° C. ∠1+∠2=90° D. 2∠2-∠1=90°
6. (2025武汉外校)如图1所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，继续沿EF折叠成图4，按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，则图1中∠DEF的度数是 .
专题突破 7 平行线中的“拐点”问题①——单拐点
“M”型 “铅笔”型 “内勾”型 “外勾”型
1. (2024硚口) 如图, 直线AB∥CD, GE⊥EF于点E. 若∠BGE=60°, 则∠EFD的度数是 ( )
A. 60° B. 30° C. 40° D. 70°
2. 如图, AB∥CD, ∠B=50°, ∠D=70°, 则∠E= .
3. 如图, 直线AB∥CD, ∠B=70°, ∠C=25°, 则∠E= .
4. 如图, AB∥CD, AE⊥CE, ∠BAF=50°, 求∠1的度数.
5. (2024西安)【问题背景】如图, 已知AB∥DE, 点C在AB, DE之间, 连接BC, CD.
【问题发现】(1) 如图1, 过点C作CF∥AB, 若∠ABC=40°, ∠CDE=120°, 求∠BCD的度数;
【研究拓展】(2) 如图2, DG平分∠CDE, BF平分∠ABC, 延长FB交DG于点P, PD∥BC,设∠1=α, 过点 C作CM∥AB, 交DG于点 M.
①若α=30°, 求∠BCD的度数;
②∠BCD与α的数量关系是 .
专题突破 8 平行线中的“拐点”问题②——多拐点
基本图形： 基本结论： 结论：A F 方法：过拐点C，E向左作( 过拐点D 向右作
1. 如图, AB∥CD, 则∠1、 ∠2、 ∠3、 ∠4的关系是 ( )
A. ∠1-∠2+∠3+∠4=180° B. ∠1+∠2+∠3=∠4
C. ∠1+∠2-∠3+∠4=180° D. ∠2+∠3+∠4-∠1=180°
2. 下列结论: ①如图1, AB∥CD, 则∠A+∠E+∠C=180°; ②如图2, AB∥CD, 则∠E=∠A+∠C;③如图3, 若AB∥EF, 则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β; ④如图4, AB∥CD, 则∠A=∠C+∠P; ⑤如图5, 直线AB∥CD∥EF, 点O在直线EF上, 则∠α-∠β+∠γ=180°. 其中正确的是 .(填写序号)
3.(2024黄冈期中) 如图,AB∥CD, 则∠E+∠G与∠B+∠F+∠D有何数量关系 请说明理由.
4. 如图, 已知AB∥CD, ∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F.
(1) 如图1, 若∠BED=100°, 求∠BFD的度数;
(2)如图2,若BM, DM分别平分∠ABF与∠CDF, 写出∠BMD与∠BED之间的数量关系, 并说明理由.
专题突破9 相交线与平行线中的分类讨论
1. (2024呼和浩特)在同一个平面内， ∠A 比∠B的2倍少 ， 并且 t的两边分别与 的两边平行，则 的度数为 .
2. 如果两个角的两边分别垂直，且其中一个角比另一个角的4倍少 ，则这两个角为
3. 如图, 点E, F分别为AB, CD上的点, 点M在线段EF上(点M不与E,F重合),点N在直线 CD上 (点N与点 F不重合)， 求 的值.
4.(2024武汉二中周练)如图，已知直线AB，CD被直线AC所截， ，E是平面内任意一点(点 E 不在直线AB, CD, AC上), 设 . 下列各式: ①α+β, ②α-β, ③β-α, 的度数可能是 ( )
A. ②③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②③④
专题突破10 平移的应用
1.(2024邯郸)如图,将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF, 已知BE=6, EF=8,CG=3，则阴影部分的面积为 ( )
A. 36 B. 37 C. 38 D. 39
2.(2024青山) 如图,在三角形ABC中, ∠BAC=90°, AB=6, AC=8, BC=10, 将三角形ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到三角形DEF,连接AD, 则下列结论: ①AB∥DE, AB=DE;②ED⊥DF;③四边形ABFD的周长是27;④点B到直线DF的距离是7.8.其中正确的是 .(填写序号)
3.(2024广州期中)如图，直角三角形ABC的周长为100，在其内部有6个小直角三角形，则6个小直角三角形的周长之和为 .
4.在图1中，将线段A A 向右平移1个单位长度到B B ，得到封闭图形. (即阴影部分).在图2中，将折线A A A 向右平移1个单位长度到B B B ，得到封闭图形. (即阴影部分).
(1)在图3中，画出将折线A A A A 向右平移1个单位长度后的图形，并用阴影画出由这两条折线所围成的封闭图形；
(2)设上述三个图形中，长方形ABCD分别除去阴影部分后剩余部分的面积记为S ，S ，S ，则
(3)如图4，在一块长为a， 宽为b的长方形草地上，有两条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度)，猜想：草地部分的面积是 ；(用含a，b的代数式表示)
(4)如图5，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路(图中阴影部分)，余下部分绿化，小路的宽为3m，则绿化面积为 m .
专题突破 11 相交线、平行线大综合
1. (2024武珞路)
(1)问题提出: 如图1, AB∥CD, 点P在直线AB, CD之间, 且在直线MN的右侧, 点M, N在直线AB, CD上, 探究∠MPN, ∠BMP, ∠DNP的数量关系.
(2) 问题探究: ①先将问题特殊化,如图2,连MN, 当MP平分∠BMN, NP平分∠MND, 直接写出∠MPN的大小.
②再探究一般情况,如图1,当∠NMP=m∠BMP,∠MNP=m∠DNP, 求∠MPN的大小.(用含m的式子表示)
(3)问题拓展:如图3,点E 是射线NC上一动点,直线ME 上有一点Q,连NQ,当∠QMP=n∠BMP, ∠QNP=n∠DNP, 且∠MPN=α, ∠DNP-∠BMP=20°时,直接写出∠MQN的大小.(用含n，α的式子表示)(题中所有角都是大于0°且小于 180°的角)
专题突破12 镜面反射与三线八角
1.(2024汉阳期中)问题提出：射到平面镜上的光线 (入射光线)和变向后的光线 (反射光线)与平面镜所夹的角相等.如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为 ，反射光线OB 与水平镜面夹角为∠2, 则∠1=∠2.
(1) 若 则直接写出∠1的大小.
数学探究：如图2，有两块平面镜OM，ON，且( ，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD.
(2)完成如下问题：①若 ，直接写出∠4的度数；②求证：
拓展运用：有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线 CD，光线AB与CD相交于点E，如图3， 图4.若 ，直接写出m，n满足的数量关系.
综合与实践 (1) 用小木棍探究平行线中的角度问题
1.学校七年级数学兴趣小组的同学在学完第七章《相交线与平行线》后，开展了一次数学探究活动，他们用摆放小木棍的方式，进一步探索平行线中的有关角的知识.他们动手操作步骤如下：首先，用四根小木棍摆放成图1的样子，其中 ；然后，轻微移动调整原有的几根小木棍位置，并增加一根小木棍，摆放成图2的形状；最后，在图2的基础上，再增加两根小木棍，摆放上去，得到图3的形状.
兴趣小组的同学提出了下列问题，希望通过探究得到答案：
(1) 在图1中, 若 求 的度数；
(2) 在图2中, 若 那么 具有什么数量关系呢 探究并说明理由；
(3) 在(2) 的条件下, 如图3, 若 设 求 的度数 (用含α，β的式子表示).
综合与实践 (2) 三角板与平行线
1.(2024扬州)在综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动. 已知直线AB, CD, 直角三角板EFG,
(1)小明将三角板按如图1方式摆放，点G在CD上，边GF与AB交于点H，若 则
(2)小亮将三角板按如图2方式摆放，点F，G分别在AB，CD 上， 的角平分线与 的角平分线交于点 M，若 求 的度数；
(3)小颖将图2中的三角板进行适当转动，点F，G仍然分别在AB，CD上，如图3，再将 沿边GE翻折，边GD的对应边GN与AB交于点 N，小颖给出下列两个结论： 的值不变； 的值不变.其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的 请说明理由.
专题突破 5 ；构造三线八角图证题
1. 如图, ∠B+∠D=180°, ∠1=∠2, 求证: EF∥HG.(分别用三种方法证明)
方法1： 连接法： 证明： 连接EG，
∵∠B+∠D=180°,
∴AB∥CD, ∴∠BEG=∠CGE.
∵∠1=∠2, ∴∠BEG-∠1=∠CGE-∠2,即∠3=∠4, ∴EF∥HG.
方法2：延长法：证明：延长 EF 交 CD 的延长线于点 T，
∵∠B+∠D=180°, ∴AB∥CD, ∴∠1=∠3.
∵∠1=∠2, ∴∠2=∠3, ∴EF∥HG.
方法3: 平行法: 证明: 过点 D作 DS∥EF, 交AB于点 S, ∴∠1=∠3.
∵∠1=∠2, ∴∠2=∠3.
∵∠B+∠D=180°, ∴AB∥CD, ∴∠3=∠4, ∴∠2=∠4,
∴HG∥DS, 而 DS∥EF, ∴EF∥HG.
2. 如图, BE∥CD, ∠1=∠2, 求证: AB∥CF.下面是3种添线方法，请任意选择一种完成证明过程.
证明： 选择方法一. 如图， 连接 BC.
∵BE∥CD, ∴∠EBC=∠BCD.
又∵∠1=∠2, ∴∠EBC+∠1=∠BCD+∠2,即∠ABC=∠BCF. ∴AB∥CF.
3. 如图, 已知DE⊥BC于点E, FG⊥BC于点G, ∠1=∠2, 求证: EH∥AC.
证明： 延长HE，FG相交于点Q，
∵DE⊥BC, FG⊥BC(已知),
∴∠DEC=∠FGC= 90 °( 垂直的定义 );
∴DE∥ FG ( 同位角相等, 两直线平行 ),
∴∠1= ∠O .
又∠1=∠2 (已知),
∴∠2= ∠Q (等量代换),
∴EH∥AC ( 内错角相等, 两直线平行 ) .
4. 如图, 已知CD∥EF, ∠1+∠2=∠ABC, 求证: AB∥GF.
证明:过点 B 作 BH∥CD, 交GF的延长线于点 H.
∴∠2=∠3. ∵CD∥EF, ∴BH∥EF, ∴∠1=∠H.
∵∠1+∠2=∠ABC, ∴∠H+∠3=∠ABC,
而∠ABC=∠4+∠3, ∴∠H+∠3=∠4+∠3,
∴∠4=∠H, ∴AB∥GF.
专题突破 6 平行线中的折叠问题
类型一 单折型
1.(2024重庆)如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B 重合， 点C落在点C'处，折痕为EF, ∠ABE=20°, 那么∠EFC'的度数为 ( A )
A. 125° B. 120° C. 115° D. 110°
2.(2024西安) 如图, 将长方形纸条ABCD折叠, 折痕为EF, 折叠后点C, D分别落在点C', D'处, D'E与BF交于点 G, 若∠BGD'=28°, 则∠FED'的度数是 ( D )
A. 28° B. 62° C. 75° D. 76°
3.(2024江西)如图, 已知四边形纸片 ABCD中, AB∥CD, 点E, F分别在边AB,AD上,将纸片沿着EF折叠,点A落在点G处,EG交CD于点 H.若∠BEH比∠AEF的4倍多12°,则∠CHG的大小是( B )
A. 114° B. 124° C. 126° D. 134°
类型二 多折型
4. (2024沈阳) 如图, 已知长方形纸片ABCD, 点E, F在边AD上, 点G, H在边BC上, 分别沿EG, FH折叠, 使点D 和点A 都落在点 M处, 若α+β=118°, 则∠EMF的度数为( D )
A. 59° B. 58° C. 57° D. 56°
5. (2024武汉) 已知长方形纸条ABCD, 点E, G在边AD上, 点F, H在边BC上. 将纸条分别沿着EF, GH折叠, 如图, 点A, B分别折叠至点A', B', 点C, D分别折叠至点C' , D', 当DC恰好落在EA'上时， ∠1与∠2的数量关系是 ( A )
A. ∠1+∠2=135° B. ∠2-∠1=15° C. ∠1+∠2=90° D. 2∠2-∠1=90°
6.(2025武汉外校)如图1所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，继续沿EF折叠成图4，按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，则图1中∠DEF的度数是 18° .
专题突破 7 平行线中的“拐点”问题①——单拐点
“M”型 “铅笔”型 “内勾”型 “外勾”型
1. (2024硚口) 如图, 直线AB∥CD, GE⊥EF于点E. 若∠BGE=60°, 则∠EFD的度数是(B)
A. 60° B. 30° C. 40° D. 70°
2. 如图, AB∥CD, ∠B=50°, ∠D=70°, 则∠E= 20° .
3. 如图, 直线AB∥CD, ∠B=70°, ∠C=25°, 则∠E= 18° .
4. 如图, AB∥CD, AE⊥CE, ∠BAF=50°, 求∠1的度数.
解: 如图, 过点E 作EG∥AB, 则∠AEG=∠BAF=50°.
∵AE⊥CE, ∴∠AEC=90°, ∴∠CEG=∠AEC-∠AEG=90°-50°=40°.
∵AB∥CD, EG∥AB, ∴EG∥CD, ∴∠1+∠CEG=180°,
5. (2024西安)【问题背景】如图, 已知AB∥DE, 点C在AB, DE之间, 连接BC, CD.
【问题发现】(1) 如图1, 过点C作CF∥AB, 若∠ABC=40°, ∠CDE=120°, 求∠BCD的度数;
【研究拓展】(2)如图2, DG平分∠CDE, BF平分∠ABC, 延长FB交DG于点P, PD∥BC,设∠1=α, 过点 C作CM∥AB, 交DG于点 M.
①若α=30°, 求∠BCD 的度数;
②∠BCD与α的数量关系是 ∠BCD=180°-2α .
解: (1) ∵AB∥DE, CF∥AB, ∴DE∥CF,
∴∠BCF=∠ABC=40°, ∠DCF=180°-∠CDE=60°,
∴∠BCD=∠BCF+∠DCF=40°+60°=100°.
(2) ①∵PD∥BC, 且∠1=α=30°, ∴∠CBF=∠1=30°,∠BCM=∠CMD, ∠BCD+∠CDM=180°.∵BF平分∠ABC, ∴∠ABC=2∠CBF=60°.
∵CM∥AB, ∴∠BCM=∠ABC=60°, ∴∠CMD=∠BCM=60°.
∵AB∥DE, CM∥AB, ∴DE∥CM, ∴∠MDE=∠CMD=60°.
∵DG 平分∠CDE, ∴∠CDM=∠MDE=60°, ∴∠BCD=180°-∠CDM=180°-60°=120°.
②∵PD∥BC, 且∠1=α, ∴∠CBF=∠1=α, ∠BCM=∠CMD, ∠BCD+∠CDM=180°.
∵BF平分∠ABC, ∴∠ABC=2∠CBF=2a.∵CM∥AB, ∴∠BCM=∠ABC=2a, ∴∠CMD=∠BCM=2a.
∵AB∥DE, CM∥AB, ∴DE∥CM, ∴∠MDE=∠CMD=2α.
∵DG 平分∠CDE, ∴∠CDM=∠MDE=2α, ∴∠BCD=180°-∠CDM=180°-2α.
专题突破 8 平行线中的“拐点”问题②———多拐点
基本图形： 基本结论： 结论：A F 方法：过拐点 C，E向左作 过拐点 D 向右作 1
1. 如图, AB∥CD, 则∠1、∠2、 ∠3、∠4的关系是 ( A )
A. ∠1-∠2+∠3+∠4=180° B. ∠1+∠2+∠3=∠4
C. ∠1+∠2-∠3+∠4=180° D. ∠2+∠3+∠4-∠1=180°
2. 下列结论: ①如图1, AB∥CD, 则∠A+∠E+∠C=180°; ②如图2, AB∥CD, 则∠E=∠A+∠C;③如图3, 若AB∥EF, 则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β; ④如图4, AB∥CD, 则∠A=∠C+∠P; ⑤如图5, 直线AB∥CD∥EF, 点O在直线EF上, 则∠α-∠β+∠γ=180°. 其中正确的是②③④⑤.(填写序号)
3.(2024黄冈期中) 如图, AB∥CD, 则∠E+∠G与∠B+∠F+∠D有何数量关系 请说明理由.
解: 过点E作EM∥AB, 过点F作FN∥AB, 过点G作GH∥CD,
∵AB∥CD, ∴AB∥EM∥FN∥GH∥CD,
∴∠1=∠B, ∠2=∠3, ∠4=∠5, ∠6=∠D,
∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D,
即∠BEF+∠FGD=∠B+∠EFG+∠D.
4. 如图, 已知AB∥CD, ∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F.
(1) 如图1, 若∠BED=100°, 求∠BFD的度数;
(2)如图2, 若BM, DM分别平分∠ABF与∠CDF, 写出∠BMD与∠BED 之间的数量关系, 并说明理由.
解: (1) 过点E作EG∥AB, 过点F作FH∥AB,
∵∠BED=100°, ∴易得∠ABE+∠CDE=360°-100°=260°.
∴∠ABF+∠CDF=130°, ∴∠BFD=130°.
(2) 同 (1) 可得∠ABE+∠CDE+∠BED=360°,∠BMD=∠ABM+∠CDM.
∵BM平分∠ABF, DM平分∠CDF, ∴∠ABF=2∠ABM, ∠CDF=2∠CDM.
又∵BF平分∠ABE, DF平分∠CDE,
∴∠ABE=2∠ABF=4∠ABM, ∠CDE=2∠CDF=4∠CDM,
∴4∠ABM+4∠CDM+∠BED=360°, ∴4∠BMD+∠BED=360°.
专题突破9 相交线与平行线中的分类讨论
1. (2024呼和浩特)在同一个平面内， ∠A比∠B的2倍少15°，并且∠A的两边分别与∠B的两边平行, 则∠A的度数为 15°或 115° .
解: 设∠B=x, 则∠A=2x-15°, ∵∠A 两边分别与∠B的两边平行,
∴x=2x-15°或. , 解得x=15°或x=65°,
或
2.如果两个角的两边分别垂直，且其中一个角比另一个角的4倍少30°，则这两个角为 或10°, 10° .
解: 如图1, ∠1 与∠2两边分别垂直, ∠1+∠2=180°,如图2, ∠1 与∠2两边分别垂直, ∠1=∠2.
设另一个角为α， 则这个角是4α-30°，
或α=4α-30°, 解得α=42°或α=10°,
或 , 这两个角是138°, 42°或10°, 10°.
3. 如图, AB∥CD, 点E, F分别为AB, CD上的点, 点M在线段EF上(点 M不与E, F重合),点N在直线CD上(点N与点F不重合), ∠AEF=70°, 求∠FMN+∠FNM的值.
解：①当点 N在点 F 左侧时， 如图1，过点 M作SM∥CD, ∴∠SMN=∠FNM,
∵AB∥CD, SM∥CD, ∴AB∥SM, ∴∠SMF=∠AEF=70°, s.
∴∠FMN+∠FNM=∠FMN+∠SMN=∠SMF=70°;
②当点N在点F右侧时, 如图2, 过点 M作MT∥CD,可证∠FMN+∠FNM=∠FMT=∠BEF=180°-∠AEF=110°.综上所述, ∠FMN+∠FNM的值是 70°或 110°.
4. (2024武汉二中周练)如图， 已知直线AB， CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点(点E 不在直线AB,CD, AC上), 设∠BAE=α, ∠DCE=β. 下列各式: ①α+β, ②α-β, ③β-α,④360°-α-β, ∠AEC的度数可能是 ( D )
A. ②③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②③④
解：根据点E有6种可能位置， 分情况进行讨论，
如图1-4分别求得∠AEC的度数为β-α, α+β, α-β, 360°-α-β.
当点 E 在 CD的下方时, 同理可得, ∠AEC=α-β或β-α.
故∠AEC 的角度可能是①②③④.
专题突破10 平移的应用
1.(2024邯郸)如图,将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF, 已知BE=6, EF=8,CG=3，则阴影部分的面积为 ( D )
A. 36 B. 37 C. 38 D. 39
2.(2024青山) 如图,在三角形ABC中, ∠BAC=90°, AB=6, AC=8, BC=10, 将三角形ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到三角形DEF,连接AD, 则下列结论: ①AB∥DE, AB=DE;②ED⊥DF;③四边形ABFD的周长是27; ④点B 到直线DF的距离是7.8. 其中正确的是①②④.(填写序号)
3.(2024广州期中)如图，直角三角形ABC的周长为100，在其内部有6个小直角三角形，则6个小直角三角形的周长之和为 100 .
4.在图1中，将线段A A 向右平移1个单位长度到B B ，得到封闭图形 (即阴影部分).在图2中，将折线A A A 向右平移1个单位长度到B B B ，得到封闭图形. (即阴影部分).
(1)在图3中，画出将折线A A A A 向右平移1个单位长度后的图形，并用阴影画出由这两条折线所围成的封闭图形；
(2)设上述三个图形中，长方形ABCD分别除去阴影部分后剩余部分的面积记为S ，S ，S ，则
(3)如图4，在一块长为a，宽为b的长方形草地上，有两条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度)，猜想：草地部分的面积是(a-1)(b-1)；(用含a，b的代数式表示)
(4)如图5，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路(图中阴影部分)，余下部分绿化，小路的宽为3m，则绿化面积为 513 m .
解： (1)如图， 将折线 向右平移1个单位到 得到封图形. (即阴影部分).
专题突破 11 相交线、平行线大综合
1.(2024武珞路)
(1)问题提出: 如图1, AB∥CD, 点P在直线AB, CD之间, 且在直线MN的右侧, 点 M, N在直线AB, CD上, 探究∠MPN, ∠BMP, ∠DNP 的数量关系.
(2)问题探究: ①先将问题特殊化, 如图2,连MN, 当MP平分∠BMN, NP平分∠MND,直接写出∠MPN的大小.
②再探究一般情况,如图1,当∠NMP=m∠BMP,∠MNP=m∠DNP, 求∠MPN的大小.(用含 m的式子表示)
(3)问题拓展:如图3,点E是射线NC上一动点,直线ME 上有一点Q,连NQ,当∠QMP=n∠BMP, ∠QNP=n∠DNP, 且∠MPN=α, ∠DNP-∠BMP=20°时, 直接写出∠MQN的大小.(用含n，α的式子表示)(题中所有角都是大于0°且小于 180°的角)
解: (1) ∠MPN=∠BMP+∠DNP.
(2) ①∵AB∥CD, ∴∠BMN+∠MND=180°,
由 (1) 的结论得: ∠MPN=∠BMP+∠DNP=90°;
②设∠BMP=β, ∠DNP=θ, ∴∠NMP=mβ, ∠MNP=mθ, ∴∠BMN=(m+1)β, ∠MND=(m+1)θ,
(3)设∠BMP=β, ∠DNP=θ, 则∠QMP=nβ, ∠QNP=nθ, 由(1)得∠MPN=∠BMP+∠DNP, 即α=β+θ,根据∠DNP-∠BMP=20°, 得θ-β=20°, 可分为以下三种情况:
①如图4, 当点Q在线段ME上时, 过点Q 作QF∥AB, 则AB∥QF∥CD,由平行线的性质可得∠MQF+∠QMB=180°, ∠NQF+∠QND=180°,
∴∠MQF=180°-∠QMB=180°-(∠QMP+∠BMP)=180°-(nβ+β)=180°-(n+1)β,∠NQF=180°-∠QND=180°-(∠QNP+∠DNP)=180°-(nθ+θ)=180°-(n+1)θ,
∴∠MQN=∠MQF+∠NQF=[180°-(n+1)β]+[180°-(n+1)θ]=360°-(n+1)(β+θ)=360°-(n+1)α.
②如图5, 当点Q在线段EM的延长线上时, 过点Q作QF∥AB, 则QF∥AB∥CD,由平行线的性质可得∠MQF+∠QMB=180°, ∠NQF+∠QND=180°,
∴ -1)β,∠NOF=180°-∠QND=180°-(∠QNP+∠DNP)=180°-(nθ+θ)=180°-(n+1)θ,
.
=(n+1)θ-(n-1)β=n(θ-β)+β+θ=20n°+α.
③如图6, 当点Q在线段ME的延长线上时, 过点Q作QF∥AB, 则AB∥CD∥QF,由平行线的性质得∠MQF+∠QMB=180°, ∠NQF=∠ENQ,
∴∠MQF=180°-∠QMB=180°-(∠QMP+∠BMP)=180°-(nβ+β)=180°-(n+1)β,∠NQF=∠ENQ=∠QNP+∠DNP-180°=nθ+θ-180°=(n+1)θ-180°,
综上所述, ∠MQN的大小为360°-(n+1)α或
专题突破 12 镜面反射与三线八角
1.(2024汉阳期中)问题提出：射到平面镜上的光线(入射光线)和变向后的光线 (反射光线)与平面镜所夹的角相等.如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB 与水平镜面夹角为∠2, 则∠1=∠2.
(1) 若∠AOB=94°, 则直接写出∠1的大小.
数学探究：如图2，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD.
(2) 完成如下问题: ①若∠1=55°, 直接写出∠4的度数;②求证: AB∥CD;
拓展运用：有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD相交于点 E, 如图3, 图4. 若∠MON=m°, ∠AED=n°, 直接写出m, n满足的数量关系.
(1) 解: ∠1=43°. 提示: ∵∠1+∠2+∠AOB=180°, ∠1=∠2,
∴2∠1+∠AOB=180°, 即
(2) ①解: ∠4=35°. 提示: 如图, 过点O作FG∥BC, 则∠2=∠5, ∠3=∠6.
∵∠5+∠6+∠MON=180°, ∴∠2+∠3+∠MON=180°.
∵OM⊥ON, ∴∠MON=90°, ∴∠2+∠3=180°-∠MON=90°.
∵∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴∠1+∠4=90°, ∵∠1=55°, ∴∠4=∠90°-∠1=90°-55°=35°.
②证明: ∵∠ABC+∠1+∠2=180°, ∠1=∠2, ∴∠ABC+2∠2=180°, 即∠ABC=180°-2∠2,同理可得∠DCB=180°-2∠3, ∴∠ABC+∠DCB=360°-2(∠2+∠3).
∵∠2+∠3=90°, ∴∠ABC+∠DCB=360°-2×90°=180°, ∴AB∥CD.
拓展运用: 解: 图3中, m, n满足的数量关系为2m+n=180,图4中, m, n满足的数量关系为 n=2m.
提示: 在图3中, 同理可得: ∠ABC=180°-2∠2, ∠DCB=180°-2∠3,
同理可得: ∠ABC+∠DCB+∠CEB=180°, ∠2+∠3+∠MON=180°.
又∵∠CEB=∠AED=n°, ∠MON=m°, ∴∠ABC+∠DCB=180°-∠CEB=180°-n°,
∠2+∠3=180°-∠MON=180°-m°, ∴180°-n°=360°-2(180°-m°), 整理得: 2m+n=180;
在图4中, 同理可得: ∠AED+∠EBD+∠EDB=180°, ∠MON+∠4+∠ODC=180°.
又∵∠EDB=∠ODC, ∴∠AED+∠EBD=∠MON+∠4.
∵∠EBD=∠1=∠2, ∠MON=m°, ∠AED=n°, ∴n°+∠2=m°+∠4, ∴∠4-∠2=n°-m°.
∵∠BCO+∠MON+∠2=180°, ∴∠BCO+m°+∠2=180°.
∴ °,
整理得: n=2m.
综合与实践 (1) 用小木棍探究平行线中的角度问题
1.学校七年级数学兴趣小组的同学在学完第七章《相交线与平行线》后，开展了一次数学探究活动，他们用摆放小木棍的方式，进一步探索平行线中的有关角的知识.他们动手操作步骤如下：首先，用四根小木棍摆放成图1的样子，其中 ；然后，轻微移动调整原有的几根小木棍位置，并增加一根小木棍，摆放成图2的形状；最后，在图2的基础上，再增加两根小木棍，摆放上去，得到图3的形状.
兴趣小组的同学提出了下列问题，希望通过探究得到答案：
(1) 在图1中, 若∠B=2∠C, 求∠D的度数;
(2) 在图2中, 若AB∥EF, 那么 具有什么数量关系呢 探究并说明理由；
(3) 在(2) 的条件下, 如图3, 若 设 ， 求 的度数 (用含α，β的式子表示).
解: (1) ∵AB∥CD, ∴∠B+∠C=180°.
∵∠B=2∠C, ∴2∠C+∠C=180°, ∴∠C=60°.
∵BC∥DE, ∴∠C=∠D, ∴∠D=60°.
(2) ∠ABC+∠BCD=∠CDE+∠DEF, 理由如下:
过点D作DM∥AB, 过点C作CN∥AB, ∵AB∥EF, ∴DM∥AB∥CN∥EF,
∴∠ABC+∠BCN=180°, ∠DEF+∠EDM=180°, ∠CDM=∠DCN,
∴∠DCN=180°-(∠ABC+∠BCD), ∠CDM=180°-(∠CDE+∠DEF),
∴∠ABC+∠BCD=∠CDE+∠DEF.
(3) ∵∠C=α, ∠E=β, ∠ABC+∠BCD=∠CDE+∠DEF,
∴∠ABC+α=∠CDE+β, ∴∠ABC-∠CDE=β-α.
由 (2) 得: ∠ABG+∠G=∠EDG+∠E,
综合与实践 (2) 三角板与平行线
1.(2024扬州)在综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动. 已知直线AB, CD, 直角三角板EFG, AB∥CD, ∠FEG=90°, ∠EGF=60°.
(1)小明将三角板按如图1方式摆放，点G在CD上，边GF与AB交于点H，若 则
(2)小亮将三角板按如图2方式摆放，点F，G分别在AB，CD上，∠FEG的角平分线与 的角平分线交于点 M，若 求∠M的度数；
(3)小颖将图2中的三角板进行适当转动，点F，G仍然分别在AB，CD上，如图3，再将 沿边GE翻折，边GD的对应边GN与AB交于点N，小颖给出下列两个结论：( 的值不变； 的值不变.其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的 请说明理由.
解: (1) ∵∠FHA=80°, AB∥CD, ∴∠CGH=∠FHA=80°.
∵∠CGH+∠EGF+∠EGD=180°, ∴∠EGD=180°-∠CGH-∠EGF=180°-80°-60°=40°.
(2) 过E作EK∥AB, 而AB∥CD, ∴AB∥EK∥CD, ∴∠BFE=∠KEF, ∠EGD=∠KEG.
∵∠KEF+∠KEG=∠FEG=90°, ∴∠BFE+∠EGD=90°.
∵∠EGD=4∠BFE, ∴∠BFE=18°, ∠EGD=72°, ∴∠KEF=18°.
∵∠FGC+∠EGF+∠EGD=180°, ∴∠FGC=180°-∠EGF-∠EGD=180°-60°-72°=48°.
∵ME 平分∠FEG, MG 平分∠FGC,
∴∠KEM=∠FEM-∠KEF=45° 18°=27°, 同理可得:
的值不变， 理由如下： 设.
同理可得: ∠BFE+∠DGE=∠FEG=90°, ∴∠BFE=90°-x°,
∴①∠CGN+∠BFE 的值变化; 的值不变.

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