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7.3 定义、命题、定理
【基础过关】
知识点 1 命题的定义及结构
1.(2024长春)下列语句是命题的是 ( )
A.延长线段AB到C B. 用量角器画∠AOB=90°
C. 三角形的内角和是180° D.任意数的平方都不小于 0吗
2. (2024武汉二中周练)下列语句不是命题的是 ( )
A.对顶角相等 B.同旁内角互补
C.垂线段最短 D. 在线段AB上取点 C, 使CA=CB
3. 写出下列命题的题设和结论.
(1)两直线平行， 内错角相等，题设是 ， 结论是 .
(2)互为相反数的两个数的和为0，题设是 ，结论是 .
知识点2 真命题与假命题
4.(2024福州期中)下列命题中真命题的个数是 ( )
①两条直线被第三条直线所截， 同位角相等；
②对顶角相等；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；
⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. (2024南通期中)对于“两条直线被第三条直线所截， 同旁内角互补”，有两种不同的说法：甲： 它是假命题，所以不是命题； 乙： 它是命题， 并且是真命题.
下列判断正确的是 ( )
A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲乙都错 D. 甲乙都对
知识点3 定理与证明
6.对于命题“如果∠1与∠2互补，那么∠1=∠2”，能说明这个命题是假命题的反例是( )
A. ∠1=∠2=90° B. ∠1=∠2=45°
C. ∠1=60°, ∠2=120° D. ∠1=70°, ∠2=130°
7. 命题： 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.将命题的证明过程补充完整.
已知: 如图, 直线a⊥c, b⊥c.
求证: a∥b.
证明: ∵a⊥c, b⊥c (已知),
∴∠1=90°, ∠2=90° ( ),
∴∠1=∠ (等量代换),
∴a∥b ( ) .
易错点 未厘清题设和结论而改写出错
8.把命题“同角的余角相等”写成“如果…那么…”的形式为
【中档提升】
9. 命题: 若a>b, 则 请判断这个命题的真假.若是真命题请证明；若是假命题，①请举一个反例；②请你适当修改命题的题设使其成为一个真命题.
10.(2024黄石) 如图, 从①∠1=∠2, ②∠C=∠D, ③∠A=∠F三个条件中选出两个作为已知条件,另一个作为结论，可以组成3个命题.
(1)这三个命题中，真命题的个数为 ；
(2)选择一个真命题，并且证明.(要求写出每一步的依据)
已知： 如图， ，
求证: .
证明：
【综合拓展】
11.已知命题“如果两条射线是两条平行线被第三条直线所截得到的一对内错角的平分线，那么这两条射线互相平行”.
(1)写出命题的题设和结论；
(2)画出图形，并用数学符号叙述这个命题；
(3)用推理证明的方法说明这个命题是真命题.
7.3 定义、命题、定理
【基础过关】
知识点 1 命题的定义及结构
1. (2024长春)下列语句是命题的是 ( C )
A.延长线段AB到C B. 用量角器画∠AOB=90°
C.三角形的内角和是180° D.任意数的平方都不小于 0吗
2. (2024武汉二中周练)下列语句不是命题的是 ( D )
A.对顶角相等 B. 同旁内角互补
C.垂线段最短 D. 在线段AB 上取点 C, 使 CA=CB
3.写出下列命题的题设和结论.
(1)两直线平行， 内错角相等，题设是 两条直线平行 ，结论是 内错角相等 .
(2)互为相反数的两个数的和为0，题设是 两个数互为相反数 ，结论是 这两个数的和为0 .
知识点2 真命题与假命题
4.(2024福州期中)下列命题中真命题的个数是 ( B )
①两条直线被第三条直线所截， 同位角相等；
②对顶角相等；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；
⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. (2024南通期中)对于“两条直线被第三条直线所截， 同旁内角互补”，有两种不同的说法：甲：它是假命题，所以不是命题；乙：它是命题，并且是真命题.
下列判断正确的是 ( C )
A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲乙都错 D. 甲乙都对
知识点3 定理与证明
6.对于命题“如果∠1与∠2互补，那么∠1=∠2”，能说明这个命题是假命题的反例是 ( C )
A. ∠1=∠2=90° B. ∠1=∠2=45°
C. ∠1=60°, ∠2=120° D. ∠1=70°, ∠2=130°
7. 命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.将命题的证明过程补充完整.
已知: 如图, 直线a⊥c, b⊥c.
求证: a∥b.
证明: ∵a⊥c, b⊥c(已知),
∴∠1=90°, ∠2=90°( 垂直的定义 ),
∴∠1=∠ 2 (等量代换),
∴a∥b( 同位角相等，两直线平行 ).
易错点 未厘清题设和结论而改写出错
8.把命题“同角的余角相等”写成“如果…那么…”的形式为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 .
【中档提升】
9. 命题: 若a>b, 则 请判断这个命题的真假.若是真命题请证明；若是假命题，①请举一个反例；②请你适当修改命题的题设使其成为一个真命题.
解：这个命题是假命题.
①如a=1, b=-2符合a>b, 但不满足
②改成: 若a>b>0, 则
10.(2024黄石) 如图, 从①∠1=∠2, ②∠C=∠D, ③∠A=∠F三个条件中选出两个作为已知条件,另一个作为结论，可以组成3个命题.
(1)这三个命题中，真命题的个数为 3 ；
(2)选择一个真命题，并且证明.(要求写出每一步的依据)
已知: 如图, ∠1=∠2, ∠C=∠D ,
求证: ∠A=∠F(答案不唯一) .
证明: ∵∠1=∠2, ∠1=∠3 (已知),
∴∠3=∠2 (等量代换),
∴DB∥EC (同位角相等, 两直线平行),
∴∠D=∠4 (两直线平行, 同位角相等),
∵∠C=∠D (已知),
∴∠4=∠C (等量代换),
∴DF∥AC (内错角相等, 两直线平行),
∴∠A=∠F (两直线平行, 内错角相等).
【综合拓展】
11.已知命题“如果两条射线是两条平行线被第三条直线所截得到的一对内错角的平分线，那么这两条射线互相平行”.
(1)写出命题的题设和结论；
(2)画出图形，并用数学符号叙述这个命题；
(3)用推理证明的方法说明这个命题是真命题.
解：(1)题设：两条射线是两条平行线被第三条直线所截得到的一对内错角的平分线；
结论：这两条射线互相平行.
(2) 如图, 如果AB∥CD, 直线AB, CD 被直线EF 所截,EG 平分∠AEF, FH平分∠EFD, 那么 EG∥FH.
(3) 证明: ∵EG平分∠AEF, FH平分∠EFD,
∵AB∥CD, ∴∠AEF=∠EFD, ∴∠GEF=∠EFH, ∴EG∥FH.

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