资源简介

7.2 平行线
第1 课时 平行线的概念
【基础过关】
知识点1 平行线的概念
1.(2024广州期中)在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交 C.平行或相交 D.平行或垂直
2.(2024宜昌月考)在同一平面内，直线L 与L 满足下列条件：
(1) L 与L 没有公共点, 则L 与L ;
(2) L 与L 有且只有一个公共点, 则L 与L ;
(3) L 与L 有两个公共点, 则L 与L .
3.(2024武汉外校单元考)下列说法正确的是 ( )
A.同一平面内没有公共点的两条线段平行 B.两条不相交的直线是平行线
C.同一平面内没有公共点的两条直线平行 D.同一平面内没有公共点的两条射线平行
知识点2 平行公理及其推论
4.下列说法中不正确的有 ()
①过任意一点P可作已知直线l的一条平行线；②同一平面内的两条不相交的直线是平行线；
③过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行；④平行于同一直线的两条直线平行.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
5. 如图, MC∥AB, NC∥AB, 则点M, C, N在同一条直线上, 理由是
6.如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是( )
A. 平行 B. 垂直 C.平行或垂直 D.无法确定
知识点3· 平行线的画法
7. 画图题：
(1)在如图所示的方格纸中，经过线段AB外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段AB的垂线CE 和平行线CH;
(2) 判断CE, CH的位置关系是 ;
(3)连接AC和BC，若小正方形的边长为a， 则三角形ABC的面积是 .(用含a的代数式表示)
易错点 未注意平行公理中“过直线外一点”的前提条件而致错
8.如图，在平面内经过一点作已知直线m的平行线，可作平行线的条数有( )
A. 0条 B. 1条 C. 0条或1条 D.无数条
【中档提升】
9.观察如图所示的长方体.
(1)用符号表示下列两棱的位置关系：
AB EF, DA AB, HE HG, AD BC;(填∥或者⊥)
(2)EF与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们 平行线(填“是”或“不是”)，由此可知，在 内，两条不相交的直线才能叫做平行线.
10.如图，网格中小正方形的边长都为1，小正方形的顶点称为格点.点A，B，C，M都是格点.试在网格中完成下列画图.要求：仅用无刻度直尺，不写画法，并在图中标出有关字母.
(1)过点C画直线AB的平行线CE(其中E为格点)；
(2)过点A 画直线AB的垂线AF (其中F为格点);
(3)过点 M画直线AB的垂线 MN(其中N为格点);
(4)点A 到直线BC 的距离为 个单位.
11.完成推理并在括号内填上理由.
解: (1) 如图1, ∵AB∥CD, EF∥CD,∴AB EF ( );
(2) 如图2, 过点F可画EF∥AB( ),又∵AB∥CD,∴EF CD ( ) .
【综合拓展】
12.(1)在同一平面内有三条直线a，b，c，试探究这三条直线交点的个数(请画图说明)；
(2)请你画图说明同一平面内的五条直线最多有几个交点；
(3)平面内的五条直线能有4个交点吗 如果能，请你画出符合条件的图形(只画出一个即可)；如果不能，请说明理由.
第2课时 平行线的判定
【基础过关】
知识点 1 同位角相等，两直线平行
1.(2024福州期中)如图，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，直线AB与直线 CD的位置关系为 ，得到这个结论的理由是 .
2. 如图, 将木条a, b与c钉在一起, ∠1=70°, ∠2=50°, 在同一平面内, 要使木条a与b平行,木条a需绕着固定点顺时针旋转的最小度数是 .
3. 如图, AF与BD相交于点C,∠B=∠ACB, 且CD平分∠ECF. 判断直线AB, CE是否平行 并说明理由.
知识点2 内错角相等，两直线平行
4.两个同样的直角三角尺按如图所示摆放，使点F，B，E，C在一条直线上，则有AB∥DE，DF∥AC，理由是 .
5. 如图, 若∠1=∠2, 则 ∥ , 若∠2=∠3, 则 ∥ .
6.(2025杭州月考)如图1是生活中常见的晾衣架，将其侧面抽象成平面图形，如图2所示，则使EG∥BH成立的条件是( )
A. ∠1=∠5 B. ∠1=∠2
C. ∠3=∠4 D. ∠4=∠5
知识点3 同旁内角互补，两直线平行
7. 如图， 点A， B，E在同一条直线上.
(1) 当∠C+ =180°时, AD∥BC, 理由是 ;
(2)若∠D=120°, 当∠A= 时, AB∥CD.
易错点 同位角数量关系不清楚而主观臆断两直线平行
8.两直线被第三条直线所截， ∠1与∠2是同位角，则这两条直线( )
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D.无法确定
【中档提升】
9.(2024莆田期中)如图,下列条件中, 能判定AB∥CD的是( )
A. ∠1=∠4 B. ∠1=∠3
C. ∠5=∠ADC D. ∠2=∠4
10.(2024广州期中)在图1至图4所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带的两条边a，b互相平行的是 ( )
A. 如图1, 展开后测得∠1=∠2
B. 如图2, 展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C. 如图3, 展开后测得∠1=∠2
D.如图4，展开后测得
11. 如图, 下列条件: ①∠1=∠2; ②∠3+∠4=180°;
③∠5+∠6=180°; ④∠2=∠3; ⑤∠7=∠2+∠3;
⑥∠7+∠4-∠1=180°中, 能判断直线a∥b的有 ( )
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个
12. 如图, AB⊥BC, BC⊥CD, 且∠1=∠2, 试说明:
13. 如图, 直线EF分别交AB, CD于点 E, F, EG平分 ,FG平分 . 若 试说明: AB∥CD.
【综合拓展】
14. 如图， 将一副三角尺中的两个直角顶点C叠放在一起， 其中
(1) 若 CE平分. 求证：
(2)若按住三角尺ABC不动，绕顶点C转动三角尺DCE， 则当 的度数为 时，CE∥AB.
专题突破3 平行线的判定的综合应用
基本图形： 基本结论： ①点 P为CD外一点，过P有且只有一条直线与 CD 平行； ②若 (平行公理的推论)； (同位角相等，两直线平行)； )(内错角相等，两直线平行)； (同旁内角互补，两直线平行).
类型一 推理填空
1. 如图, AC平分∠DAB, 且∠1=∠2, 求证: DC∥AB.
证明: ∵AC平分∠DAB (已知),
∴∠1=∠ ( ) .
∵∠1=∠2 (已知),
∴∠ =∠2(等量代换),
∴DC∥AB ( ) .
2. 如图, ∠1=∠5, ∠1+∠2=180°, 证明AB∥CD, BE∥DF.
证明: ∵∠1+∠2=180°(已知),
∴AB∥CD ( ) .
又∵∠4=∠ ( ),
∴∠1+∠4=180°( ) .
又∠1=∠5 (已知),
∴∠5+∠ =180°(等量代换),
∴BE∥DF ( ) .
3. 如图, ∠2+∠D=180°, ∠1=∠B, 求证: AB∥EF.
证明: ∵∠2+∠D=180°(已知),
∴EF∥ ( ) .
∵∠1=∠B (已知),
∴ ∥CD ( ),
∴AB∥EF( ) .
类型二 利用角度关系证平行
4. 如图, 已知AB⊥BC, 若∠C+∠D=90°, 且∠2=∠D, 求证: BE∥DC.
5. 如图, .试判断直线AB与 DC的位置关系，并说明理由.
6.如图，点 C 在射线上，CE平分 已知 试问：AB 与EF 平行吗 为什么
7. 如图, 点B， C ，D在同一直线上，
(1) 试说明:
(2)判断直线AB与DE有什么位置关系 并说明理由.
8.(1)光线从空气射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线AB从空气射入水中，再从水中射入空气中，形成光线CD，根据光学知识有 请判断直线AB 与直线CD 是否平行，并说明理由；
(2)结合光线、舞美等效果可以打造不一样的视觉体验，如图2，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB, CD, 射线AB,CD分别绕点A,点 C以 和4°/s的速度同时顺时针转动，设时间为 ts，在射线CD转动一周的时间内，当 时, CD∥AB.
第3课时 平行线的性质
【基础过关】
知识点1 两直线平行，同位角相等
1. 如图, 直线a, b被直线c所截, a∥b, ∠1=60°, 则∠2的度数是 .
2. (2024°上海) 如图, 已知AB∥CD, ∠1=(4x-25)°, ∠2=(85-x)°, ∠1的度数为 .
3.将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为 .
4. 如图, AC∥BD, AE∥BF. 请问∠A与∠B的关系如何, 并说明理由.
知识点2 两直线平行，内错角相等
5. (2024黄冈期中)如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A=130°，那么∠B的度数是 .
6. 如图, 已知∠AOB=72°, OC平分∠AOB, DC∥OB, 则∠C的度数为 .
7. (2024洪山期中)一杆古秤在称物时的状态如图所示， 已知∠1=80°，则∠2=( )
A. 20° B. 80° C. 100° D. 120°
知识点3 两直线平行，同旁内角互补
8.(2024杭州期中)如图，一条公路的两侧铺设了AB，CD两条平行管道，并有纵向管道AC连通，若∠1=120°, 则∠2的度数是 ( )
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
9. 如图, AB∥CD, BC∥DE, 若∠B=50°, 求∠D 的度数.
易错点 未分类讨论而漏解
10.(2024江门)若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少60°，则这两个角的度数分别为 .
【中档提升】
11.(2024福州期中)五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，AB和CD 是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD 之间的一条平行线上，若∠1=120°，∠2=30°, 则∠BEC的度数是 .
12.(2025南宁)如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点 P，点F为焦点.若 ，则∠2的度数为 .
13.如图，C岛在A 岛的北偏东 方向，C岛在 B 岛的北偏西 方向,则∠ACB的度数是 ()
A. 90° B. 85° C. 80° D. 75°
14. 如图, 已知AB∥CD, 直线EF分别交直线AB, CD于点 E, F, ∠EFB=∠B, FH⊥FB.
(1) 若∠B=20°, 求∠DFH 的度数;
(2) 求证: FH平分∠GFD.
【综合拓展】
15.(2024汉阳期中)【猜想】(1)如图1,AB∥CD,点E在直线AB,CD之间,连BE,ED,若∠B=25°,∠D=40°, 则∠BED 的大小为 °.
【探究】(2)如图2, AB∥CD, BE, CE交于点 E, 探究∠ABE, ∠BEC, ∠ECD(均为小于180°的角)之间的数量关系，并说明理由.
【拓展】(3) 如图3, AB∥CD, ∠ABE的平分线BF与∠ECD的平分线CG的反向延长线交于点F, 且∠BFG-2∠BEC=57°, 直接写出∠BEC 的大小为 °.
专题突破4平行线的判定与性质
基本图形： 基本结论：
类型一 推理填空
1. (2024重庆) 如图, 已知 ，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从点D 引一条射线DE, 若∠1=∠2, 求证:
证明: ∵∠1=∠2 (已知),
且∠1= ( ),
∴BC∥ ( ),
又∵AB∥CD(已知),
∴∠B= ( ),
∴∠B+∠CDE=180°.
2. (2024宜昌)根据条件进行推理，得出结论， 并在括号内注明理由.
如图, ∠1+∠2=180°, ∠B=∠DEF. 求证: DE∥BC.
证明: ∵∠1+∠2=180°(已知),
∠2=∠3 ( ),
∴∠1+∠3=180°,
∴ ( ∥ ) .
∴∠B= ( ) .
∵∠B=∠DEF(已知),
∴∠DEF= (等量代换) .
∴DE∥BC ( ) .
3. 如图, 在△ABC中, EF∥AD, ∠1=∠2, ∠BAC=70°. 将求∠AGD的过程填写完整.
解: ∵EF∥AD(已知),
∴∠2=∠3 ( ) .
又∵∠1=∠2 (已知),
∴∠1= (等量代换),
∴AB∥ ( ),
∴∠BAC+ =180° ( ) .
又∵∠BAC=70°(已知),
类型二 计算与证明
4. (2024江汉期中) 如图, 已知AD⊥BC于点 D, EG⊥BC于点G, ∠E=∠1. 试说明: AD平分∠BAC.
5. (2024长沙期中) 如图, 已知AB∥DE, ∠B+∠E=180°.
(1) 求证: BC∥EF;
(2) 若∠BHE=60°, 射线HG平分∠BHE, 求∠HGE的度数.
6. (2024广州期中) 如图, 已知∠1=∠BDC, ∠2+∠3=180°.
(1)请你判断AD与EC的位置关系，并说明理由；
(2) 若 DA平分∠BDC, CE⊥AE 于点E, ∠1=70°, 试求∠FAB的度数.
7.生活中常见的一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形, 如图2所示, BA 垂直于地面AE于点A, CD平行于地面AE, 求∠ABC+∠BCD的度数.
7.2 平行线
第1课时 平行线的概念
【基础过关】
知识点1 平行线的概念
1.(2024广州期中)在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是( C )
A. 平行 B. 相交 C.平行或相交 D.平行或垂直
2.(2024宜昌月考)在同一平面内，直线L 与L 满足下列条件：
(1) L 与L 没有公共点, 则L 与L 平行 ;
(2)L 与L 有且只有一个公共点，则L 与L 相交 ；
(3) L 与L 有两个公共点, 则L 与L 重合 .
3.(2024武汉外校单元考)下列说法正确的是 ( C )
A.同一平面内没有公共点的两条线段平行 B.两条不相交的直线是平行线
C.同一平面内没有公共点的两条直线平行 D.同一平面内没有公共点的两条射线平行
知识点2 平行公理及其推论
4.下列说法中不正确的有 ( B )
①过任意一点 P可作已知直线l的一条平行线；②同一平面内的两条不相交的直线是平行线；
③过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行；④平行于同一直线的两条直线平行.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
5.如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 .
6.如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是 ( A )
A. 平行 B. 垂直 C.平行或垂直 D.无法确定
知识点3· 平行线的画法
7. 画图题：
(1)在如图所示的方格纸中，经过线段AB外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段AB 的垂线CE 和平行线 CH;
(2) 判断CE, CH的位置关系是 CE⊥CH ;
(3)连接AC和BC，若小正方形的边长为a，则三角形ABC的面积是 10a .(用含a的代数式表示)
易错点 未注意平行公理中“过直线外一点”的前提条件而致错
8.如图，在平面内经过一点作已知直线m的平行线，可作平行线的条数有( C )
A. 0条 B. 1条 C. 0条或1条 D.无数条
【中档提升】
9.观察如图所示的长方体.
(1)用符号表示下列两棱的位置关系：
AB // EF, DA ⊥ AB, HE ⊥ HG, AD // BC;(填∥或者⊥)
(2)EF与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们 不是 平行线(填“是”或“不是”)，由此可知，在 同一平面 内，两条不相交的直线才能叫做平行线.
10.如图，网格中小正方形的边长都为1，小正方形的顶点称为格点.点A，B，C，M都是格点.试在网格中完成下列画图.要求：仅用无刻度直尺，不写画法，并在图中标出有关字母.
(1)过点C画直线AB的平行线CE (其中E为格点)；
(2)过点A 画直线AB的垂线AF (其中F为格点);
(3)过点 M画直线AB的垂线 MN(其中N为格点);
(4)点A 到直线BC的距离为 3 个单位.
解: (1) 如图, OE 即为所求; (2) 如图, AF即为所求(F点不唯一);
(3)如图， MN即为所求 (答案不唯一).
11.完成推理并在括号内填上理由.
解: (1) 如图1, ∵AB∥CD, EF∥CD,
∴AB // EF ( 平行于同一条直线的两条直线互相平行 )；
(2) 如图2, 过点 F可画EF∥AB
( 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 )，又∵AB∥CD,
∴EF ∥ CD ( 平行于同一条直线的两条直线互相平行 ).
【综合拓展】
12.(1)在同一平面内有三条直线a， b， c，试探究这三条直线交点的个数(请画图说明)；
(2)请你画图说明同一平面内的五条直线最多有几个交点；
(3)平面内的五条直线能有4个交点吗 如果能，请你画出符合条件的图形(只画出一个即可)；如果不能，请说明理由.
解：(1)同一平面内，三条直线的交点个数是0个或1个或2个或3个(如图1—图4).
(2) 同一平面内的五条直线最多有10个交点， 如图5所示.
(3)能， 如图6所示 (答案不唯一).
第2课时平行线的判定
【基础过关】
知识点1 同位角相等，两直线平行
1.(2024福州期中)如图，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，直线AB与直线 CD的位置关系为 AB∥CD ，得到这个结论的理由是 同位角相等，两直线平行 .
2. 如图, 将木条a, b与c钉在一起, ∠1=70°, ∠2=50°, 在同一平面内, 要使木条a与b平行,木条a需绕着固定点顺时针旋转的最小度数是 20° .
3. 如图,AF与BD相交于点C, ∠B=∠ACB, 且CD平分∠ECF. 判断直线AB, CE是否平行 并说明理由.
解: AB∥CE, 理由如下: ∵CD 平分∠ECF, ∴∠ECD=∠FCD.
∵∠ACB=∠FCD, ∴∠ECD=∠ACB.
∵∠B=∠ACB, ∴∠B=∠ECD, ∴AB∥CE.
知识点2 内错角相等，两直线平行
4.两个同样的直角三角尺按如图所示摆放，使点F，B，E，C在一条直线上，则有AB∥DE，DF∥AC，理由是 内错角相等，两直线平行 .
5. 如图, 若∠1=∠2, 则 AB ∥ DE , 若∠2=∠3, 则 BC ∥ EF .
6.(2025杭州月考)如图1是生活中常见的晾衣架，将其侧面抽象成平面图形，如图2所示，则使EG∥BH成立的条件是( B )
A. ∠1=∠5 B. ∠1=∠2
C. ∠3=∠4 D. ∠4=∠5
知识点3 同旁内角互补，两直线平行
7. 如图， 点A， B， E在同一条直线上.
(1) 当∠C+ ∠D =180°时, AD∥BC, 理由是同旁内角互补, 两直线平行;
(2)若∠D=120°, 当∠A= 60° 时, AB∥CD.
易错点 同位角数量关系不清楚而主观臆断两直线平行
8.两直线被第三条直线所截， ∠1与∠2是同位角，则这两条直线( D )
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 无法确定
【中档提升】
9.(2024莆田期中)如图,下列条件中, 能判定AB∥CD的是( B )
A. ∠1=∠4 B. ∠1=∠3
C. ∠5=∠ADC D. ∠2=∠4
10.(2024广州期中)在图1至图4所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带的两条边a，b互相平行的是 (C)
A. 如图1, 展开后测得∠1=∠2
B. 如图2, 展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C. 如图3, 展开后测得∠1=∠2
D. 如图4, 展开后测得∠1+∠2=180°
11. 如图, 下列条件: ①∠1=∠2; ②∠3+∠4=180°;
③∠5+∠6=180°; ④∠2=∠3; ⑤∠7=∠2+∠3;
⑥∠7+∠4-∠1=180°中, 能判断直线a∥b的有 ( C )
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个
12. 如图, AB⊥BC, BC⊥CD, 且∠1=∠2, 试说明: BE∥CF.
解: ∵AB⊥BC, BC⊥CD (已知),
∴∠ABC=∠BCD=90° (垂直的定义) .
∵∠1=∠2 (已知),
∴∠ABC-∠1=∠BCD-∠2 (等式性质),
即∠EBC=∠BCF,
∴BE∥CF (内错角相等, 两直线平行).
13. 如图, 直线EF分别交AB, CD于点E, F, EG平分∠FEB, FG平分∠EFD. 若∠1+∠2=90°,试说明: AB∥CD.
证明: ∵EG平分∠FEB, FG平分∠EFD (已知),
∴∠1=∠BEG, ∠2=∠DFG (角平分线的定义) .
∵∠1+∠2=90° (已知),
∴∠BEG+∠DFG=90° (等量代换),
∴∠BEG+∠DFG+∠1+∠2=180°(等式的性质),即∠FEB+∠EFD=180°,
∴AB∥CD (同旁内角互补， 两直线平行).
【综合拓展】
14. 如图, 将一副三角尺中的两个直角顶点C叠放在一起, 其中∠A=30°, ∠B=60°, ∠D=∠E=45°.
(1) 若 CE平分∠ACB, 求证: BC∥DE;
(2)若按住三角尺ABC不动，绕顶点C转动三角尺DCE， 则当 的度数为120°或60°时,CE∥AB.
(1) 证明: ∵CE 平分∠ACB
∵∠E=45°, ∴∠E=∠BCE. ∴BC∥DE.
(2) 解: 当∠ACD 等于 120°或 60°时, CE∥AB.
专题突破3 平行线的判定的综合应用
基本图形： 基本结论： ①点P为CD外一点，过P有且只有一条直线与 CD 平行； ②若 (平行公理的推论)； (同位角相等，两直线平行)； (内错角相等，两直线平行)； (同旁内角互补，两直线平行).
类型一 推理填空
1. 如图, AC平分∠DAB, 且. 求证：
证明： ∵AC平分 (已知),
∴∠1=∠ 3 ( 角平分线的定义 ) .
∵∠1=∠2 (已知),
∴∠ 3 =∠2(等量代换),
∴DC∥AB ( 内错角相等, 两直线平行 ) .
2. 如图, ∠1=∠5, ∠1+∠2=180°, 证明.
证明: ∵∠1+∠2=180°(已知),
∴AB∥CD ( 同旁内角互补, 两直线平行 ) .
又∵∠4=∠ 2 ( 对顶角相等 ),
∴∠1+∠4=180°( 等量代换 ) .
又∠1=∠5 (已知),
(等量代换)，
∴BE∥DF ( 同旁内角互补, 两直线平行 ) .
3. 如图, ∠2+∠D=180°, ∠1=∠B, 求证: AB∥EF.
证明: ∵∠2+∠D=180°(已知),
∴EF∥ CD ( 同旁内角互补, 两直线平行 ) .
∵∠1=∠B (已知),
∴ AB ∥CD ( 同位角相等, 两直线平行 ),
∴AB∥EF( 平行于同一直线的两条直线互相平行 ).
类型二 利用角度关系证平行
4. 如图, 已知AB⊥BC, 若∠C+∠D=90°, 且∠2=∠D, 求证: BE∥DC.
证明: ∵AB⊥BC, ∴∠ABC=90°, ∴∠1+∠2=90°.
又∵∠C+∠D=90°, 且∠2=∠D, ∴∠1=∠C, ∴BE∥DC.
5. 如图, ∠BAF=38°, DC⊥CE, ∠ACE=128°. 试判断直线AB与DC的位置关系, 并说明理由.
解: AB∥DC, 理由如下:
∵∠BAF=38°, ∠BAF+∠CAB=180°, ∴∠CAB=142°.
∵DC⊥CE, ∴∠DCE=90°.
又∵∠DCE+∠ACE+∠DCA=360°, ∠ACE=128°,
∴∠DCA=142°, ∴∠DCA=∠CAB, ∴AB∥DC.
6. 如图, 点 C在射线上, CE平分∠BCD, 已知 试问：AB与EF平行吗 为什么
解: AB∥EF, 理由如下: ∵CE平分∠BCD, ∴∠DCE=∠BCE,
∵∠1∶∠BCE=4∶7, ∴∠1∶∠DCE∶∠BCE=4∶7∶7,
∵∠B=140°, ∴∠BCD=∠B, ∴AB∥CD.
∵∠E=110°, ∴∠DCE+∠E=180°, ∴CD∥EF, ∴AB∥EF.
7. 如图, AC⊥EC, 点B, C, D在同一直线上, ∠A=∠1, ∠E=∠2.
(1) 试说明: ∠A+∠E=90°;
(2)判断直线AB与DE有什么位置关系 并说明理由.
解: (1) ∵AC⊥EC, ∴∠ACE=90°, ∴∠1+∠2=180°-∠ACE=180°-90°=90°.
∵∠A=∠1, ∠E=∠2, ∴∠A+∠E=90°.
(2) AB∥DE. 理由如下: 作∠3=∠A, ∴AB∥CF.
∵∠A=∠1, ∴∠1=∠3,
∵∠3+∠4=90°, ∴∠1+∠2=90°, ∴∠4=∠2.
∵∠E=∠2, ∴∠4=∠E, ∴CF∥DE, ∴AB∥DE.
8.(1)光线从空气射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线AB从空气射入水中，再从水中射入空气中，形成光线CD，根据光学知识有 请判断直线AB 与直线 CD 是否平行，并说明理由；
(2)结合光线、舞美等效果可以打造不一样的视觉体验，如图2，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB, CD, ∠BAF=110°, ∠DCF=40°, 射线 AB, CD分别绕点A, 点C以1°/s和4°/s的速度同时顺时针转动，设时间为 ts，在射线 CD转动一周的时间内，当t=10或70s时, CD∥AB.
解: (1) AB∥CD, 理由如下:
∵∠3=∠4, ∠3+∠5=180°, ∠4+∠6=180°,
∴∠5=∠6.
∵∠1=∠2, ∴∠1+∠5=∠2+∠6,即∠ABC=∠BCD, ∴AB∥CD.
(2)分下列三种情况讨论，其中第三种情况不存在.
第3课时 平行线的性质
【基础过关】
知识点 1 两直线平行，同位角相等
1. 如图, 直线a, b被直线c所截, a∥b, ∠1=60°, 则∠2的度数是 60° .
2. (2024°上海) 如图, 已知AB∥CD, ∠1=(4x-25)°, ∠2=(85-x)°, ∠1的度数为 135° .
3.将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为 15° .
4. 如图, AC∥BD, AE∥BF. 请问∠A与∠B的关系如何, 并说明理由.
解: ∠A=∠B. 理由如下: ∵AC∥BD, ∴∠A=∠DOE.
∵AE∥BF, ∴∠DOE=∠B, ∴∠A=∠B.
知识点2 两直线平行，内错角相等
5. (2024黄冈期中)如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A=130°，那么∠B的度数是 130° .
6. 如图, 已知∠AOB=72°, OC平分∠AOB, DC∥OB, 则∠C的度数为 36° .
7. (2024洪山期中)一杆古秤在称物时的状态如图所示， 已知∠1=80°， 则∠2=( C )
A. 20° B. 80° C. 100° D. 120°
知识点3 两直线平行，同旁内角互补
8.(2024杭州期中)如图，一条公路的两侧铺设了AB，CD两条平行管道，并有纵向管道AC连通，若∠1=120°, 则∠2的度数是 ( B )
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
9. 如图, AB∥CD, BC∥DE, 若∠B=50°, 求∠D 的度数.
解: ∵AB∥CD, ∴∠C=∠B=50°,
∵BC∥DE, ∴∠C+∠D=180°, ∴∠D=180°-∠C=180°-50°=130°.
易错点 未分类讨论而漏解
10.(2024江门)若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少60°，则这两个角的度数分别为 60°, 60°或 80°, 100° .
【中档提升】
11.(2024福州期中)五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，AB和CD 是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若∠1=120°，∠2=30°, 则∠BEC的度数是 90° .
12.(2025南宁)如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点 P, 点F为焦点. 若∠1=145°, ∠3=60°, 则∠2的度数为 25° .
13.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B 岛的北偏西35°方向，则∠ACB的度数是 (B)
A. 90° B. 85° C. 80° D. 75°
14. 如图, 已知AB∥CD, 直线EF分别交直线AB, CD于点 E, F, ∠EFB=∠B, FH⊥FB.
(1) 若∠B=20°, 求∠DFH的度数;
(2) 求证: FH平分∠GFD.
解: (1) ∵AB∥CD, ∠B=20°, ∴∠B=∠BFD=20°.
∵FH⊥FB, ∴∠BFH=90°, ∴∠DFH=∠BFH-∠BFD=90°-20°=70°.
(2) ∵AB∥CD, ∴∠B=∠BFD, ∵∠EFB=∠B, ∴∠EFB=∠BFD,
∵∠BFH=90°, ∴∠BFD+∠DFH=90°, ∠GFH+∠EFB=90°,
∴∠DFH=∠GFH, ∴FH 平分∠GFD.
【综合拓展】
15.(2024汉阳期中)【猜想】(1)如图1,AB∥CD,点E在直线AB,CD之间,连BE,ED,若∠B=25°,∠D=40°, 则∠BED 的大小为 65 °.
【探究】(2)如图2, AB∥CD, BE, CE交于点E, 探究∠ABE, ∠BEC, ∠ECD(均为小于180°的角)之间的数量关系，并说明理由.
【拓展】(3) 如图3, AB∥CD, ∠ABE的平分线BF与∠ECD的平分线CG的反向延长线交于点F, 且∠BFG-2∠BEC=57°, 直接写出∠BEC 的大小为 22 °.
解: (2) 过点E 作EN∥AB,
∵AB∥CD, ∴EN∥CD,
∴∠ABE+∠BEN=180°, ∠CEN=∠ECD,
∴∠B+∠BEN+∠CEN=180°+∠ECD.
∵∠BEC=∠BEN+∠CEN,
∴∠ABE+∠BEC=180°+∠ECD,即∠ABE+∠BEC-∠ECD=180°.
(3) 设∠ABF=∠FBE=α, ∠DCG=∠ECG=β, 则∠BEK=2α, ∠CEK=180°-2β,
∴∠BEC=∠BEK-∠CEK=2α+2β-180°, ∠BFG=∠BFH+∠HFC=∠ABF+∠DCG=α+β.
∵∠BFG-2∠BEC=57°, ∴α+β=101°, ∴∠BEC=22°.
专题突破4 平行线的判定与性质
基本图形： 基本结论：
类型一 推理填空
1. (2024重庆) 如图, 已知 ，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从点D 引一条射线DE, 若∠1=∠2, 求证:
证明: ∵∠1=∠2 (已知),
且∠1= ∠BFD ( 对顶角相等 ),
∴∠2= ∠BFD ( 等量代换 ),
∴BC∥ ED ( 同位角相等, 两直线平行 ),
∴∠C+ ∠CDE =180°( 两直线平行, 同旁内角互补 ) .
又∵AB∥CD (已知),
∴∠B= ∠C ( 两直线平行, 内错角相等 ),
∴∠B+∠CDE=180°.
2. (2024宜昌)根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由.
如图, ∠1+∠2=180°, ∠B=∠DEF. 求证: DE∥BC.
证明: ∵∠1+∠2=180°(已知),
∠2=∠3 ( 对顶角相等 ),
∴∠1+∠3=180°,
∴ AB ∥ EF ( 同旁内角互补, 两直线平行 ) .
∴∠B= ∠EFC ( 两直线平行, 同位角相等 ) .
∵∠B=∠DEF(已知),
∴∠DEF= ∠EFC (等量代换) .
∴DE∥BC( 内错角相等, 两直线平行 ) .
3. 如图, 在△ABC中, EF∥AD, ∠1=∠2, ∠BAC=70°. 将求∠AGD的过程填写完整.
解: ∵EF∥AD(已知),
∴∠2=∠3 ( 两直线平行, 同位角相等 ) .
又∵∠1=∠2 (已知),
∴∠1= ∠3 (等量代换),
∴AB∥ DG ( 内错角相等, 两直线平行 ),
∴∠BAC+ ∠AGD =180°( 两直线平行, 同旁内角互补 ) .
又∵∠BAC=70°(已知),
类型二 计算与证明
4.(2024江汉期中) 如图, 已知AD⊥BC于点D, EG⊥BC于点 G, .试说明：AD平分∠BAC.
解: ∵AD⊥BC于 D, EG⊥BC于 G,∴∠ADC=∠EGC=90°, ∴AD∥EG, ∴∠E=∠3, ∠1=∠2.又∵∠E=∠1, ∴∠2=∠3, ∴AD平分∠BAC.
5. (2024长沙期中) 如图, 已知AB∥DE, ∠B+∠E=180°.
(1) 求证: BC∥EF;
(2) 若∠BHE=60°, 射线HG平分∠BHE, 求∠HGE的度数.
(1) 证明: ∵AB∥DE, ∴∠B+∠BHD=180°.
∵∠B+∠E=180°, ∴∠E=∠BHD, ∴BC∥EF.
(2) 解: ∵HG 平分∠BHE, ∠BHE=60°, ∴∠BHG= ∠BHE=30°.∵BC∥EF, ∴∠HGE=∠BHG=30°.
6. (2024广州期中) 如图, 已知∠1=∠BDC, ∠2+∠3=180°.
(1)请你判断AD与EC的位置关系，并说明理由；
(2) 若 DA平分∠BDC, CE⊥AE 于点E, ∠1=70°, 试求∠FAB的度数.
解: (1) AD∥EC, 理由如下: ∵∠1=∠BDC, ∴AB∥CD, ∴∠2=∠ADC.
又∵∠2+∠3=180°, ∴∠ADC+∠3=180°, ∴AD∥EC.
(2) ∵DA平分∠BDC, ∠1=∠BDC,
∵AB∥CD, ∴∠2=∠ADC=35°, ∵CE⊥AE, ∴∠AEC=90°.
∵AD∥EC, ∴∠FAD=∠AEC, ∴∠FAD=90°,
∴∠FAB=∠FAD-∠2=90°-35°=55°.
7.生活中常见的一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，BA 垂直于地面AE于点A，CD平行于地面AE，求 的度数.
解: 过点 B作BF∥AE, ∵CD∥AE,
∴ BF∥CD, ∴∠CBF+∠BCD=180°.
∵AB⊥AE, ∴∠EAB=90°,
∵BF∥AE, ∴ ∠ABF+∠EAB=180°,
∴∠ABF=180°-∠EAB=180°-90°=90°,
∴∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD=90°+180°=270°.

展开更多......

收起↑