资源简介

7.1 相交线
第1课时 两条直线相交
【基础过关】
知识点1 邻补角及其性质
1.(2024七一中学月考)下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是 ( )
2.如图, 直线a,b相交于点 O.
(1) ∠1的邻补角是 ;
(2) ∵∠1+∠2= , ∠1+∠4= , ∴∠2= , 理由是 .
3. 如图,直线AB, CD相交于点O, 且∠AOC:∠AOD=1∶3, 则∠BOD的度数是( )
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
知识点2 对顶角及其性质
4.(2024武汉二中周练)下列工具中，有对顶角的是 ( )
5. (2024武汉三寄月考)下列各组角中， ∠1 和∠2是对顶角的是( )
6. (2024北京期中) 如图, 若∠1+∠2=260°, 则∠3 的度数为 .
7. (2024重庆)如图, 直线a, b, c交于点 O, ∠1=32°, ∠2=48°, 则∠3= .
8. (2024福州期中) 如图, 两条直线a, b相交.
(1) 如果∠1=50°, 求∠2的度数;
(2) 如果∠2=3∠1, 求∠3 的度数.
易错点 未给出图形，考虑不周全致错
9.两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是((7x-80)°和(100-2x)°, 则x= .
【中档提升】
10. 如图, 直线AB和CD交于点 O, ∠AOC=70°, ∠BOC=2∠EOB, 则∠DOE的度数为 .
11.(2024台州期中) 如图, 三条直线l , l , l 相交于一点, 则∠1+∠2+∠3= .
12.如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则图中共有 对邻补角，共有 对对顶角.
13.(2024黄冈期中) 如图, 直线a, b相交于点O,
(1) ∠3的对顶角是 ;
(2) ∠5的邻补角是 ;
(3) 若∠1与∠4的度数之比为1∶4, 求∠3.
14. 如图, 直线AB 和 CD 相交于点 O, OE把. 分成两部分， 且 , OF平分∠BOE.
(1) 若∠BOD=72°, 求∠BOE;
(2) 若∠BOF=2∠AOE+15°, 求∠COF.
【综合拓展】
15. 平面内两条直线AB, CD 相交于点O, ∠EOF=90°, OB平分∠COF.
(1) 如图1, ①若. 则
②请写出∠DOF 和∠AOE的数量关系，并说明理由.
(2) 如图2, ∠DOF 与∠AOE 的数量关系是 .
第2课时 两条直线垂直
【基础过关】
知识点1 垂线及其性质
1. 如图, 直线AB, CD 相交于点O, OE⊥AB于点O, ∠DOB=43°, ∠COE的度数是( )
A. 43° B. 137° C. 57° D. 47°
2.(2024广州)如图，已知直线AB 与直线CD相交于点O，下列条件中不能说明AB⊥CD的是( )
A. ∠AOC=90° B. ∠AOC=∠BOC C. ∠AOC=∠BOD D. ∠AOC+∠BOD=180°
3. (2024武昌月考)下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是( )
4. (1)如图1, 点P在直线l外, 过点 P 可作 条l的垂线;如图2， 点P在直线l上，过点 P 可作 条l的垂线.
(2)如图3，在平面内可作 条已知直线m的垂线.
5. 画图: 已知一点M及∠AOB, 过M点作OA, OB的垂线, 垂足分别为E, F.
知识点2 垂线段及其性质
6.如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点 ， 依据是 .
7.如图是某同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是( )
A. BC的长 B. BQ 的长 C. AP 的长 D. CP 的长
8. 如图,AC⊥BC, CD⊥AB,下列结论: ①线段CD的长度是点C到AB的距离; ②线段AC的长度是点A到BC的距离; ③AB>AC>CD. 其中正确的结论有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
易错点 未分类讨论导致漏解
9.(2024南通) 已知∠A 的两边与∠B 的两边分别垂直, 且∠A 比∠B的3倍少 40°, 则∠A=
【中档提升】
10. (2024武珞路中学周练) 直线l外有一点 P, 直线l上有三点A, B, C, 若 PA=4cm,PB=2cm,PC=3cm, 那么点 P 到直线l的距离( )
A. 不小于2cm B. 大于2cm C. 不大于2cm D. 小于2cm
11. (2024深圳) 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, AC=3, BC=4, AB=5, P为直线AB 上一动点，连接PC，则线段 PC的最小值 .
12.如图，平原上有A， B， C， D四个村庄，为解决当地缺水问题， 政府准备投资修建一个蓄水池.
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据.
13. (2024大连) 如图, 直线AB, CD 相交于点O, OM⊥AB于点O.
(1) 若∠1=∠2, 求证: ON⊥CD;
(2) 若∠BOC=4∠1, 求∠AOC, ∠MOD 的度数.
【综合拓展】
14. 如图, 直线AB, CD相交于点O, 已知∠AOC=80°, 射线OE把∠BOD分成两个角, 且∠BOE:∠EOD=3:5.
(1) 求∠EOB的度数;
(2) 过点O作射线 OF⊥OE, 求∠BOF的度数.
第3课时 两条直线被第三条直线所截
【基础过关】
知识点 1 同位角
1.(2024温州期中)如图，属于同位角的是 ( )
A. ∠1和∠2 B. ∠1和∠3 C. ∠1和∠4 D. ∠2和∠3
2.如图，∠1和∠2是直线 和 被直线 所截形成的，∠1和∠2是 角.
知识点2 内错角
3.(2024江夏期中)如图，请指出图中与∠B是内错角的是 ( )
A. ∠C B. ∠EAC C. ∠BAC D. ∠DAB
4.如图， 下列各组角中，互为内错角的是 ( )
A. ∠1与∠3 B. ∠2与∠5 C. ∠3与∠5 D. ∠4与∠5
知识点3 同旁内角
5.(2024福州期中)如图，与∠D是同旁内角的是 ( )
A. ∠1 B. ∠2
C. ∠3 D. ∠4
6.如图，在图中和∠B是同旁内角的个数为( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
7.阳江风筝，流传于广东省阳江市的传统手工技艺，已有1400余年的历史.如图所示的风筝骨架中，与∠3构成同旁内角的是 ( )
A. ∠1 B. ∠2 C. ∠4 D. ∠5
易错点 忽视截线导致找错位置角
8.(2024七一中学月考)下列所示的四个图形中，∠1和∠2不是同位角的是( )
【中档提升】
9.“三线八角”模型：如图，两条直线被第三条直线所截，构成了8个角，它们之间有多种位置关系.
(1)同位角：一线同侧，两线同方，形如字母“F”，例如图中的∠1和 , ∠4和 ;
(2) 内错角： 一线异侧， 两线之间， 形如字母“Z”，例如图中的 和∠5, ∠4和 ;
(3)同旁内角： 一线同侧，两线之间， 形如字母“U”，例如图中的∠4和 , 和∠6.
10.数学课上老师用双手表示了“三线八角”图形，如图所示(两大拇指代表被截直线，食指代表截线).从左至右依次表示( )
A.同旁内角、同位角、内错角 B. 同位角、内错角、同旁内角
C.内错角、同旁内角、同位角 D. 内错角、同位角、同旁内角
11.(2024宜昌期中)如图，按各组角的位置， 说法正确的是 ( )
A.∠1与∠4是同旁内角 B. ∠3与∠4是内错角
C.∠5与∠6是同旁内角 D. ∠2与∠5是同位角
12.如图，点D是BC上一点， ∠C=65°，则图中与∠C构成同旁内角的角有 个，这些角的度数和为 °.
13. 如图, 已知直线EF与AB交于点 M, 与CD交于点O, OG平分∠DOF, 若∠COM=120°,
(1) ∠FOG 的度数是 ;
(2)写出一个与∠FOG互为同位角的角： ；
(3) 求∠AMO的度数.
【综合拓展】
14.如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角.跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上.例如：从起始位置∠1跳到终点位置∠3，写出其中两种不同路径，路径1: ∠1 同旁内角→∠9 内错角→∠3 .路径2：
试一试：(1)从起始角∠1跳到终点角∠8；
(2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点角∠8
专题突破 1 与相交线有关的计算
基本图形： 基本结论： 与 与 是对顶角； 与 与 与 与 4是邻补角； (对顶角相等)； 0°(邻补角互补).
类型一 运用对顶角及邻补角的性质计算
1. 如图, 直线AB和CD交于点 O, ∠COE=90°, OD 平分
(1) 求∠AOC的度数;
(2) 求∠EOF的度数.
2. 如图, 直线AB, CD相交于点 O, OA 平分∠EOC.
(1) 若∠EOC=80°, 则∠BOD 的度数为 ;
(2) 若∠EOC:∠EOD=4:5, 求∠BOD的度数.
类型二 运用方程思想及整体代换计算
3. 如图, 已知直线AB, CD 交于点O, OE平分∠BOD, OF平分∠COE,∠AOD:∠BOE=4∶1, 则∠AOF的度数为 .
4. 如图, 直线AB与CD相交于点 O, ∠AOC=α.
(1) 如图1, OE平分∠AOD, ∠EOF=90°, ∠α=30°, 则∠BOF的度数为 ;
(2) 如图2, ∠AOD=3∠DOE, ∠EOF=60°, ∠α=30°, 则∠BOF的度数为 ;
(3) 如图3, ∠DOE:∠AOD=1∶4, ∠EOF=45°, 则 的值为 .
专题突破2 与垂线有关的计算
基本图形： 基本结论： ①若 - ②若 → 基本图形： 基本结论： 于点D,. 于点E； ②点C到AB的距离为CD的长度； (垂线段最短).
类型一 利用垂直的定义计算
1.(2024武汉二中周练) 如图, 直线AB, CD相交于点O, OE⊥AB, OF平分∠AOD. .
(1) 若∠BOD=40°, 求∠COF 的度数;
(2) 若∠AOC:∠COE=2∶3, 求∠DOF的度数.
类型二 垂直的判定
2.(2024盐城) 如图, 直线AB, CD 相交于点O, OC平分∠BOE, ∠AOE=2∠FOD.
(1) 若∠FOD=21°, 求∠AOD的度数;
(2)猜想OE与OF之间的位置关系，并说明理由.
类型三 运用垂线段的性质解题
3. (2024黄冈期中) 如图,在直角三角形ABC中, ∠C=90°, BC=4cm, AC=3cm, AB=5cm.
(1) 点B到AC的距离是 cm; 点A 到BC的距离是 cm;
(2)画出表示点C到AB的垂线段CD，并求出CD的长；
(3) AC CD (填“>”“<”或“=”), 理由是 .
A
7.1 相交线
第1课时 两条直线相交
【基础过关】
知识点1 邻补角及其性质
1.(2024七一中学月考)下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是 ( A )
2. 如图， 直线a， b相交于点O.
(1) ∠1的邻补角是 ∠2和∠4 ;
(2) ∵∠1+∠2= 180° , ∠1+∠4= 180° , ∴∠2= ∠4 , 理由是 同角的补角相等 .
3. 如图, 直线AB, CD相交于点O, 且∠AOC:∠AOD=1∶3, 则∠BOD的度数是( A )
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
知识点2 对顶角及其性质
4.(2024武汉二中周练)下列工具中，有对顶角的是 ((C )
5.(2024武汉三寄月考)下列各组角中，∠1 和∠2是对顶角的是( D )
6. (2024北京期中) 如图, 若∠1+∠2=260°, 则∠3 的度数为 50° .
7. (2024重庆)如图, 直线a, b, c交于点 O, ∠1=32°, ∠2=48°, 则∠3= 100°.
8. (2024福州期中) 如图, 两条直线a, b相交.
(1) 如果∠1=50°, 求∠2的度数;
(2) 如果∠2=3∠1, 求∠3 的度数.
解: (1) ∵∠1+∠2=180°, ∴∠2=180°-∠1=180°-50°=130°.
(2) ∵∠2+∠1=180°, ∠2=3∠1, ∴3∠1+∠1=180°, ∴∠1=45°.
∵∠2=∠3, ∴∠3=∠2=3×45°=135°.
易错点 未给出图形，考虑不周全致错
9. 两条直线相交所成的四个角中, 有两个角分别是(7x-80)°和(100-2x)°, 则x= 20或32 .
【中档提升】
10. 如图, 直线AB和CD交于点 O, ∠AOC=70°, ∠BOC=2∠EOB, 则∠DOE的度数为 15° .
11.(2024台州期中) 如图, 三条直线l , l , l 相交于一点, 则∠1+∠2+∠3= 180° .
12. 如图, 直线AB, CD, EF相交于点O, 则图中共有 12 对邻补角, 共有 16 对对顶角.
13.(2024黄冈期中) 如图, 直线a, b 相交于点O, ∠1=∠2.
(1) ∠3的对顶角是 ∠2 ;
(2) ∠5的邻补角是 ∠3 和∠2 ;
(3) 若∠1与∠4的度数之比为1∶4, 求∠3.
解: (3) 设∠1=x°, 则∠4=4x°, ∠3=∠2=∠1=x°,∴x+4x+x=180, ∴x=30, ∴∠3=30°.
14. 如图, 直线AB和CD相交于点 O, OE 把∠AOC分成两部分, 且∠AOE:∠EOC=3∶5, OF平分∠BOE.
(1) 若∠BOD=72°, 求∠BOE;
(2) 若∠BOF=2∠AOE+15°, 求∠COF.
解: (1) 设∠AOE=3x, ∵∠AOE: ∠EOC=3∶5, ∴∠EOC=5x, ∠AOC=8x.
∵∠AOC=∠BOD=72°, ∴8x=72°, ∴x=9°, ∴∠AOE=27°,
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-27°=153°.
(2) ∵OF 平分∠BOE, ∠BOF=2∠AOE+15°, ∴∠BOE=2∠BOF=4∠AOE+30°.
∵∠BOE+∠AOE=180°, ∴4∠AOE+30°+∠AOE=180°, 解得∠AOE=30°,
∴∠EOC=50°, ∠EOF=∠BOF=75°, ∴∠COF=∠EOF-∠EOC=75°-50°=25°.
【综合拓展】
15. 平面内两条直线AB, CD 相交于点O, ∠EOF=90°, OB 平分∠COF.
(1) 如图1, ①若∠AOE=20°, 则∠DOF= 40 °;
②请写出∠DOF 和∠AOE的数量关系，并说明理由.
(2) 如图2, ∠DOF与∠AOE 的数量关系是 ∠DOF=2∠AOE .
解: (1) ②∠DOF=2∠AOE. 理由如下:
设∠AOE=x, ∵∠EOF=90°,
∵OB 平分∠COF, ∴∠COF=2∠BOF=180°-2x,
∴∠DOF=180°-∠COF=2x, ∴∠DOF=2∠AOE.
第2课时 两条直线垂直
【基础过关】
知识点1 垂线及其性质
1. 如图, 直线AB, CD 相交于点O, OE⊥AB于点O, ∠DOB=43°, ∠COE的度数是 ( D )
A. 43° B. 137° C. 57° D. 47°
2.(2024广州)如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，下列条件中不能说明AB⊥CD的是(C)
A. ∠AOC=90° B. ∠AOC=∠BOC C. ∠AOC=∠BOD
3. (2024武昌月考)下列选项中，过点P画AB的垂线CD， 三角板放法正确的是( (C )
4. (1) 如图1, 点P在直线l外, 过点 P 可作 1 条l的垂线;
如图2， 点P在直线l上，过点 P 可作 1 条l的垂线.
(2)如图3，在平面内可作 无数 条已知直线m的垂线.
5. 画图: 已知一点M及∠AOB, 过M点作OA, OB的垂线, 垂足分别为E, F.
解： 如图所示.
知识点2 垂线段及其性质
6.如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点 C ， 依据是 垂线段最短 .
7.如图是某同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是( C )
A. BC的长 B. BQ的长 C. AP的长 D. CP的长
8. 如图,AC⊥BC, CD⊥AB, 下列结论: ①线段CD的长度是点C到AB的距离; ②线段AC的长度是点A到BC的距离; ③AB>AC>CD. 其中正确的结论有( D )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
易错点 未分类讨论导致漏解
9.(2024南通) 已知∠A 的两边与∠B的两边分别垂直, 且∠A 比∠B的3倍少40°, 则∠A= 125°或20° .
【中档提升】
10. (2024武珞路中学周练) 直线l外有一点 P, 直线l上有三点A, B, C, 若PA=4cm,PB=2cm,PC=3cm, 那么点 P 到直线l的距离 ( C )
A. 不小于2cm B. 大于2cm C. 不大于2cm D. 小于 2cm
11. (2024深圳) 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, AC=3, BC=4, AB=5, P为直线AB 上一动点,连接PC,则线段 PC的最小值 2.4 .
12.如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池.
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据.
解: (1) ∵两点之间线段最短, ∴连接AD, BC交于 H,则H为蓄水池位置， 它到四个村庄距离之和最小.
(2) 过 H作 HG⊥EF, 垂足为 G.
“过直线外一点与直线上各点的连线中，
垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据.
13.(2024大连) 如图, 直线AB, CD 相交于点O, OM⊥AB于点O.
(1) 若∠1=∠2, 求证: ON⊥CD;
(2) 若∠BOC=4∠1, 求∠AOC, ∠MOD 的度数.
(1) 证明: ∵OM⊥AB, ∴∠AOM=90°, ∴∠AOC+∠1=90°.
∵∠1=∠2, ∴∠AOC+∠2=90°, 即∠NOC=90°, ∴ON⊥CD.
(2) 解: ∵OM⊥AB, ∴∠BOM=∠AOM=90°.
∵∠BOC=4∠1, ∴∠BOM+∠1=4∠1, 即 解得∠1=30°,
∴∠AOC=∠AOM-∠1=90°-30°=60°, ∠MOD=180°-∠1=180°-30°=150°.
【综合拓展】
14. 如图, 直线AB, CD 相交于点O, 已知∠AOC=80°, 射线OE把∠BOD分成两个角, 且∠BOE:∠EOD=3:5.
(1) 求∠EOB的度数;
(2) 过点O作射线 OF⊥OE, 求∠BOF的度数.
解: (1) ∵∠AOC=80°, ∠BOD=∠AOC, ∴∠BOD=80°.
(2) ∵OF⊥OE, ∴∠EOF=90°,
当OF在∠AOD的内部时, 如图1, ∠BOF=∠EOF+∠BOE=90°+30°=120°;
当OF在∠BOC 的内部时, 如图2, ∠BOF=∠EOF-∠BOE=90°-30°=60°.
综上所述∠BOF的度数为 60°或 120°.
第3课时 两条直线被第三条直线所截
【基础过关】
知识点 1 同位角
1.(2024温州期中)如图，属于同位角的是( C )
A. ∠1和∠2 B. ∠1和∠3 C. ∠1和∠4 D. ∠2和∠3
2. 如图, ∠1和∠2是直线 AC 和 BC 被直线 AB 所截形成的, ∠1和∠2是 同位 角.
知识点2 内错角
3.(2024江夏期中)如图，请指出图中与∠B是内错角的是( D )
A. ∠C B. ∠EAC C. ∠BAC D. ∠DAB
4. 如图， 下列各组角中，互为内错角的是( C )
A. ∠1与∠3 B. ∠2与∠5 C. ∠3与∠5 D. ∠4与∠5
知识点3 同旁内角
5.(2024福州期中)如图,与∠D是同旁内角的是 ( D )
A. ∠1 B. ∠2
C. ∠3 D. ∠4
6.如图，在图中和∠B 是同旁内角的个数为( C )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
7.阳江风筝，流传于广东省阳江市的传统手工技艺，已有1400余年的历史.如图所示的风筝骨架中，与∠3构成同旁内角的是 ( A )
A. ∠1 B. ∠2 C. ∠4 D. ∠5
易错点 忽视截线导致找错位置角
8.(2024七一中学月考)下列所示的四个图形中，∠1和∠2不是同位角的是( C )
【中档提升】
9.“三线八角”模型：如图，两条直线被第三条直线所截，构成了8个角，它们之间有多种位置关系.
(1)同位角：一线同侧，两线同方，形如字母“F”，例如图中的∠1和 ∠5 , ∠4 和 ∠8 ;
(2)内错角：一线异侧，两线之间，形如字母“Z”，例如图中的 ∠3 和∠5, ∠4和 ∠6 ;
(3)同旁内角：一线同侧，两线之间，形如字母“U”，例如图中的∠4和 ∠5 , ∠3 和∠6.
10.数学课上老师用双手表示了“三线八角”图形，如图所示(两大拇指代表被截直线，食指代表截线).从左至右依次表示( D )
A.同旁内角、同位角、内错角 B. 同位角、内错角、同旁内角
C. 内错角、同旁内角、同位角 D. 内错角、同位角、同旁内角
11.(2024宜昌期中)如图，按各组角的位置， 说法正确的是 ( B )
A.∠1与∠4是同旁内角 B. ∠3与∠4是内错角
C.∠5与∠6是同旁内角 D. ∠2与∠5是同位角
12.如图，点D是BC上一点，∠C=65°，则图中与∠C构成同旁内角的角有 4 个，这些角的度数和为 230 °.
13. 如图, 已知直线EF与AB交于点 M, 与CD交于点O, OG平分∠DOF, 若∠COM=120°,
(1) ∠FOG的度数是 60° ;
(2) 写出一个与∠FOG互为同位角的角: ∠BMF ;
(3) 求∠AMO 的度数.
解: (3) ∵∠COM=120°, ∴∠COF=180°-∠COM=60°.
∵∠AMO=∠EMB, ∴∠AMO=30°.
【综合拓展】
14.如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角.跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上.例如：从起始位置∠1跳到终点位置∠3，写出其中两种不同路径，路径1: ∠I 同旁内角 →∠9 内错角 →∠3 .路径2：
试一试：(1)从起始角∠1跳到终点角∠8；
(2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点角∠8
解: (1) 路径: ∠1 内错角 →∠12 同旁内角 →∠8.
(2)从起始角∠1依次按同位角、 内错角、 同旁内角的顺序跳，能跳到终点角∠8，
其路径为：
专题突破 1 与相交线有关的计算
基本图形： 基本结论： 与 与 是对顶角； 与 与 与 与 是邻补角； (对顶角相等)； 0°(邻补角互补).
类型一 运用对顶角及邻补角的性质计算
1. 如图, 直线AB和CD交于点 O, ∠COE=90°, OD 平分
(1) 求∠AOC的度数;
(2) 求∠EOF的度数.
解: (1) ∵∠BOE=55°, ∠COE=90°,而∠AOC+∠COE+∠BOE=180°, ∴∠AOC=180°-55°-90°=35°.
(2) ∵∠COE+∠DOE=180°, ∠COE=90°, ∴∠DOE=180°-∠COE=180°-90°=90°.
∴∠BOD=∠DOE-∠BOE=90°-55°=35°.
又∵OD 平分∠BOF, ∴∠BOD=∠DOF=35°, ∴∠EOF=∠DOE+∠DOF=90°+35°=125°.
2. 如图, 直线AB, CD 相交于点 O, OA 平分∠EOC.
(1) 若∠EOC=80°, 则∠BOD 的度数为 40° ;
(2) 若∠EOC:∠EOD=4:5, 求∠BOD的度数.
解: (2) ∵∠EOC:∠EOD=4:5, ∠EOC+∠EOD=180°, 又∵OA平分∠EOC
类型二 运用方程思想及整体代换计算
3. 如图, 已知直线AB, CD 交于点O, OE 平分∠BOD, OF平分∠COE,∠AOD:∠BOE=4∶1, 则∠AOF的度数为 135° .
4. 如图, 直线AB与CD相交于点 O, ∠AOC=α.
(1) 如图1, OE 平分∠AOD, ∠EOF=90°, ∠α=30°, 则∠BOF的度数为 15° ;
(2) 如图2, ∠AOD=3∠DOE, ∠EOF=60°, ∠α=30°, 则∠BOF的度数为 20° ;
(3) 如图3, ∠DOE:∠AOD=1∶4, ∠EOF=45°, 则 的值为
解: (3) ∵∠AOC=α,
∵∠DOE: ∠AOD=1∶4,
专题突破2 与垂线有关的计算
基本图形： 基本结论： ①若 — ②若 → 基本图形： 基本结论： 于点 D,. 于点E； ②点C到AB的距离为CD的长度； (垂线段最短).
类型一 利用垂直的定义计算
1.(2024武汉二中周练) 如图, 直线AB, CD相交于点O, OE⊥AB, OF平分∠AOD. .
(1) 若∠BOD=40°, 求∠COF 的度数;
(2) 若∠AOC:∠COE=2∶3, 求∠DOF的度数.
解: (1) ∵∠BOD=40°, ∴∠AOD=180°-∠BOD=140°.
∵OF 平分∠AOD, ∴∠DOF= ∠AOD=70°, ∴∠COF=180°-∠DOF=110°.
(2) ∵OE⊥AB, ∴∠AOE=90°. ∵∠AOC:∠COE=2∶3,
∵OF平分∠A
类型二 垂直的判定
2.(2024盐城) 如图, 直线AB, CD 相交于点O, OC平分∠BOE, ∠AOE=2∠FOD.
(1) 若∠FOD=21°, 求∠AOD 的度数;
(2)猜想OE与OF之间的位置关系，并说明理由.
解: (1) ∵∠FOD=21°, ∠AOE=2∠FOD, ∴∠AOE=42°,
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-42°=138°.
∵OC 平分∠BOE, ∴∠COB= ∠BOE=69°, ∴∠AOD=∠COB=69°.
(2) OE⊥OF, 理由如下: 设∠FOD=x, ∠COE=y, 则∠AOE=2x, ∠BOE=2y.
∵∠AOE+∠BOE=180°, ∴2x+2y=180°, ∴x+y=90°, 即∠FOD+∠COE=90°.
∵∠EOF+∠FOD+∠COE=180°, ∴∠EOF=90°, ∴OE⊥OF.
类型三 运用垂线段的性质解题
3. (2024黄冈期中) 如图,在直角三角形ABC中, ∠C=90°,BC=4cm, AC=3cm, AB=5cm.
(1) 点B到AC的距离是 4 cm; 点A到BC的距离是 3 cm;
(2)画出表示点C到AB的垂线段CD，并求出CD的长；
(3) AC > CD (填“>”“<”或“=”), 理由是 垂线段最短 .
解： 三角形ABC ,

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