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期末热点专题复习
期末专题 (1) 相交线、平行线中的角度问题
类型一 对顶角、邻补角
1.(2025哈尔滨)下列各图中,∠1 与∠2是对顶角的是 ( )
2. (2024广东) 如图, 直线a, b相交, ∠1=40°, 则∠2-∠3等于 ( )
A. 40° B. 80° C. 100° D. 120°
3. (2024江岸) 如图, 直线AB, CD相交于点O, EO⊥CD于点 O. 若∠BOD:∠BOC=2∶7, 则∠AOE 的度数为 .
类型二 利用平行线的判定与性质求角度
4.(2024硚口)光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，水面与杯底互相平行，∠1=45°, ∠2=120°, 则∠3+∠4= ( )
A. 165° B. 155° C. 105° D. 90°
5. (2024青山)如图， 一公路修到湖边时， 需拐弯绕湖通过. 第一个拐角∠A=90°， 第二个拐角∠B=165°.如果道路CF与第一条路 DA平行，则第三个拐角∠C的度数是( )
A. 95° B. 105° C. 115° D. 125°
6. 如图, ∠1+∠2=180°.
(1) 求证: EF∥AC;
(2) 若∠C=∠DEF, ∠ABC=70°, ∠DEF=∠FEB-10°, 求∠ACB的度数.
类型三 利用分类讨论思想计算角度
7.(2024青山)同一平面内∠A和∠B一组边互相平行， 另一组边互相垂直， 若 且m>n， 则m和n满足的数量关系为 .
期末专题 (2) 平行线的判定与性质
类型一 判定平行的条件
1.(2024杭州)如图,点E在BC的延长线上, 对于给出的四个条件: ①∠1=∠3; ②∠2+∠5=180°;③∠4=∠B; ④∠D+∠BCD=180°. 其中能判断AD∥BC的是( )
A. ①② B. ①④ C. ①③ D. ②④
2.(2024成都)如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DF的是( )
A. ∠1=∠2 B. ∠4+∠2=180° C. ∠2=∠3 D. ∠A=∠1
3. (2024西安) 下列图形中, 由∠1=∠2, 能得到AB∥CD的是( )
类型二 利用平行线的性质求角度
4.(2025武汉外校)如图是超市里购物车的侧面示意图，扶手AB与车底CD平行，∠2比∠3大10°，∠1是∠2的 倍，则∠2的度数是 .
5.(2024汉阳)中国是世界上最早记载潜望镜工作原理的国家.如图是潜望镜工作原理的示意图，两个平面镜AB，CD平行斜放在直角拐角处，一束平行于地平线的光线EM自外射向平面镜AB的点E处，经反射后垂直射向下方平面镜CD点F处，再与反射光线成直角的方向反射出去.即EM∥NF, ∠MEF=∠EFN=90°, 则∠EFC的大小为( )
A. 49.73° B. 45° C. 39.47° D. 40°28'12"
类型三 平行线的判定与性质综合应用
6. (2024江岸) 如图, 已知∠A=∠AGE, ∠D=∠DGC.
(1) 求证: AB∥CD;
(2) 若∠2+∠1=180°, 且∠BEC=2∠B+30°, 求∠C的度数.
期末专题(3) 实数
类型一 实数的概念
1. (1)25 的算术平方根是 ,平方根是 ;
(2)0的算术平方根是 ，平方根是 ；7的平方根是 ；
的算术平方根是 ，平方根是 .
2. 已知4a-11的平方根是±3, 2a+b+4的算术平方根是4, 则 的值为 .
3. -27的立方根是 ， 125的立方根是 ， 0的立方根是 .
4. 已知 则 的值为 .
5. (2025浙江) 若 则
6. (2025朝阳) 若 则
7. (2025苏州) 下列各数: , , 5.12, 0, π/2, - , 2.181181118--- (两个8之间1的个数逐次多1).其中是无理数的有 个.
类型二 实数的计算
8. 计算:
9.求下列各式中x的值.
10.
(1) 计算
(2) 已知实数x, y满足. 求 xy的平方根；
(3) 若实数x, y, z满足 则 的值是 .
期末专题 (4) 平面直角坐标系
类型一 点的坐标特征
1.(2024江岸)如图，小明用手盖住的点的坐标可能为 ( )
A. (3, 2) B. (-3, 2) C. (3, - 2) D. (-3, - 2)
2. (2024东湖高新)下列命题中：
①若 mn=0, 则点A (m, n) 在原点处; ②点 (2, - m ) 一定在第四象限;
③已知点A (m, - n), 点B (m, n), m, n均不为0, 则直线AB平行y轴;
④已知点A (n-1, 3), 点B (n+4, m), AB∥x轴, 则线段AB的长为5.是真命题的有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.在平面直角坐标系中，若有两点A (x ，y )，B (x ，y )，利用平移知识可得到线段AB中点的坐标为 请利用以上结论解决问题: 若点E(a, b), F(b, a-b), 线段EF的中点M恰好位于y轴上， 且到x轴的距离是3， 求点E的坐标.
类型二 坐标与面积
4. (1) 在平面直角坐标系中, A(-2, - 3), B (4, - 3), C (1, 2),则.
(2) 在平面直角坐标系中, A (m, -1), B (m+2, 3), C(m+6, 1), 则
5. (2024江岸) 在平面直角坐标系中, 已知点A (m-4, m+2), B(m-4, m), C(m, 0), D (2,0)， 已知三角形ABD的面积是三角形ABC面积的2倍， 则m的值为 ( )
A. -14 B. 2 C. - 14或2 D. 14或-2
6. (2025武汉外校)如图, 直线BC经过原点, 点A在x轴上, AD⊥BC于D, 若A(6, 0), B(m,3), C (n, - 5), 求AD·BC的值.
类型三 坐标与平移
7.(2024江岸)在平面直角坐标系中，点A(-2，3)向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度后对应点B，则点 B 的坐标是 ( )
A. (-5, 8) B. (1, - 2) C. (-5, - 2) D. (1, 8)
8. (2025安徽滁州) 如图, 在平面直角坐标系中, 点A (0,4), B (2, 0), 将线段AB平移至A'B'的位置，则a+b的值为 ( )
A. 10 B. 8
C. 6 D. 4
期末专题 (5) 解方程组
1.用适当的方法解下列方程组：
期末专题 (6) 解不等式 (组)
类型一 解不等式
1.解下列不等式.
(1) 3x-1≥2x+1; (2) 2(3x+2)-2x<0;
类型二 解不等式组
2.解不等式组 请按下列步骤完成解答.
(1) 解不等式①, 得 ;
(2) 解不等式②, 得 ;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集是 .
3.解下列不等式组.
期末专题 (7) 实际问题与方程组、不等式(组)
1.小颖和小星到文具店去购买A，B两种魔方，下面是小颖与小星的对话.
(1)求A，B两种魔方的单价；
(2)若购买A，B两种魔方共30件，其中B种魔方的数量不少于A种魔方的数量，且购买总费用不超过582元，有几种购买方案，并写出购买方案.
2.(2024江岸)某商场计划购进A，B两种商品进行销售，购进60件A商品和30件B商品用了1080元，购进50件A 商品和10件B 商品用了840元.
(1)求A，B两种商品每件的进价分别为多少元
(2)每件A商品售价20元，每件B商品售价10元， 现购进A，B两种商品共500件.
①若其中A商品的件数不低于 B商品件数的3倍，总利润不低于2200元， 问共有几种进货方案
②若商场打折促销，每件A商品优惠m元，每件B商品优惠n元，结果发现无论购进A商品多少件，商场总利润恒为1250元，直接写出m的值为 ， n的值为 .
3.(2024江夏、蔡甸、黄陂)某出租车公司为了支持发展新质生产力，推动产业转型升级，决定购买20台新能源小轿车，现有A，B两种不同品牌的新能源小轿车可选，经调查，购买4台A品牌小轿车比买3台B品牌小轿车多花16万元，买2台A 品牌小轿车比买3台B品牌小轿车少花4万元.
(1)问：A，B两种品牌的新能源小轿车每台各需多少万元
(2)该出租车公司经预算决定购买两种品牌的新能源小轿车，总资金不超过180万元.问最多购买A 品牌小轿车多少台
(3)在(2)的条件下， 已知A 品牌的小轿车每台每月运营收入达到3.6万元，B品牌的小轿车每台每月运营收益达到3万元，若公司要求这批新能源小轿车每月运营总收益不低于65万元，为了节约资金请你为公司设计一种最省钱的购车方案.
4.(2024硚口)某商店准备采购甲、乙两种玩具共360件， 已知购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，需要4600元.其中甲种玩具的售价为130 元/件，乙种玩具的售价为90 元/件.
(1)求甲、乙两种玩具每件的进价分别为多少元；
(2)若乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，请通过计算说明该商店有几种采购方案
(3)若甲种玩具每件售价降低4a(5期末专题 (8) 数据的收集、整理与描述
类型一 全面调查与抽样调查
1.(2024硚口)下列调查中，适合全面调查方式的是 ( )
A.检测东湖的水质情况 B.调查某批次的灯泡的使用寿命
C.了解长江中的鱼的种类 D.了解某班学生的视力情况
类型二 总体、个体、样本、样本容量及用样本估计总体
2.(2024泰州)根据“五项管理”和“双减”的政策要求，要充分保障学生的睡眠时间，我市某中学为了解本校1200名学生的睡眠情况，从中抽查了300名学生的睡眠时间进行统计，下面叙述正确的是 ( )
A.总体是该校1200名学生 B.个体是该校每名学生
C.样本是从中抽查的300名学生 D.样本容量是300
3.(2024江夏、蔡甸、黄陂)某初中学校共有学生650人，该校有关部门从全体学生中随机抽取50人，对其到学校方式进行调查，并将结果制成了如图所示的条形统计图.由此可以估计全校骑自行车到校的学生数有 人.
as步行 b：骑自行车
c：坐公交车 d：其他方式
类型三 统计图 (表)的综合应用
4.(2024东湖高新)某校组织七年级学生参加英语听写大赛，并随机抽取部分学生的成绩作为样本进行分析，绘制成如图不完整的统计图表.请根据所给信息，解答下列问题：
(1) 样本容量为 , b= , m= ;
(2)扇形统计图中D组所对应的圆心角的度数为 ；
(3)已知该年级有800名学生参加这次比赛，若成绩在80分以上(含80分)的为优，估计该年级成绩为优的有多少人
成绩x/分 频数
A 1
B b
C 12
D a
E 17
期末专题 (9) 新定义问题
1.(2024洪山)用现代高等代数的符号可以将方程组 的系数排成一个表 这种由数列排成的表叫做矩阵.矩阵表示x, y, z三元一次方程组, 若4x+y-z为定值，则t与m关系( )
A. m-2t=-1 B. m+2t=1
C. 2m-t=1 D. 2t+m=-1
2. (2024江夏、蔡甸、黄陂) 对于任意有理数a, b, c, d, 我们规定: 根据这一规定，若x，y同时满足 则的值是 .
3. (2024重庆) 已知在 和 前提下, 新定义一个新运算: a b= ax-by,下列说法: ①x=4, y=3; ②若m n=1, m 2n=-2, 则点P(-m, -n)在第三象限; ③若m≠n, 且(km) n=(km) m恒成立, 则 ④当|m-5|-|m+2|的值与m无关时, 则(m 2)·[(3m) (-8)]≥0成立; 其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. (2024汉阳)对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“共联”的，这个整数称为“联点”. 例如不等式x>1和不等式x<3是“共联”的，联点为2.
(1) 不等式x-1<2和x-2≥0是“共联”的, 联点为 ;
(2) 若2x-a<0和x>0是“共联”的, 则a的最大值为 ;
(3) 若不等式x+1>2b和x+2b≤3是“共联”的, 直接写出b的取值范围为 .
期末专题 (10) 热门考向
类型一 传统文化
1.(2024湖南郴州)《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期.如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间.已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为18cm；供水6小时，箭尺读数为42cm. 若开始记录时是上午8：00，则当箭尺读数为84cm时，时间是( )
A. 14: 00 B. 16: 00
C. 18: 00 D. 21: 00
2.(2024硚口)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各几何 ”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行.问人与车各多少 设有x人，y辆车，可列方程组为( )
3.(2024青山)我国古代数学名著《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房无人住.若设该店有x间客房，房客y人，则可列方程组为( )
4.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)； 马三匹、牛五头，共价三十八两. 问马、牛各价几何 ”设马每匹x两， 牛每头y两，根据题意可列方程组为 .
5.(2025成都)中国象棋文化历史久远.某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节，如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(-1，-2)，“马”位于点 (1，-2)，那么“兵”在同一平面直角坐标系下的坐标是( )
A. (-2, 3) B. (-2, 1) C. (-3, 1) D. (-3, 3)
类型二 跨学科综合
6.(2024江夏、蔡甸、黄陂)光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，如图1，当光线经过镜子反射时有∠1=∠2. 如图2, 一个平面镜斜着放在水平面上, 形成∠AOB形态, ∠AOB=42°, 在OB上有一点E，从点E射出一束光线 (入射光线)，经平面镜上点D 处反射光线DC刚好与OB平行, 则∠EDC的度数为 ( )
A. 94° B. 95° C. 96° D. 108°
7.(2024东湖高新)如图，长方形是由边长为1的小正方形组成的 的网格, 动点 P从 (0, 2)出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当点P第2024次碰到长方形的边时，点P的坐标为( )
A. (1, 3) B. (2, 0) C. (5, 3) D. (6, 2)
8.光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射.如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB=20°, ∠FED=45°, 则∠GFH的度数为 .
9.某校学生查看当地某天日出日落时间(北京时间)的手机截图.则这一天的白昼时长为
10.“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg.
(1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶.问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克
类型三 开放性问题
11.(2024硚口)写出一个小于3的正无理数 .
12. (2024北京昌平)写出一个比 大且比 小的整数 .
13.(2024青山)如图，直线AB，CD被直线AE 所截.请添加一个条件使直线 ，则该条件可以是 (用图中已标注的角或字母表示)
14. (2024汉阳) 写出方程 的一组整数解为 .
期末专题 (11) 几何综合
1. (2024江夏、蔡甸、黄陂) 已知, 直线 点E，F分别在直线AB，CD上，点H是直线AB与CD外一点, 连接HE, HF.
(1) 如图1, 若. 求 的度数；
(2)如图2, 的角平分线的反向延长线交 的角平分线于点N，猜想 与 的数量关系，并说明理由；
(3) 如图3, 若. , 点 P,H,Q在同一直线上,直接写出 的值(用含n的式子表示).
2. (2024武昌) 如图, AB∥CD, AD⊥BC于点 O.
(1) 如图1, 若∠DCO=50°, 则∠BAO= °;
(2)如图2, 点G在射线DC上, CP平分∠BCG, AH平分∠BAO, 直线AH, CP交于点P, 求∠HPC的度数;
(3)如图3，∠BOD的角平分线OE交直线AB于点E，点Q在射线OE上运动(点Q不与点O，E 重合),点F在直线 CD上, ∠QFD比∠BEO大20°,若∠BAO=30°,则∠EQF= .
期末专题 (12) 代几综合
1. (2024洪山) 在平面直角坐标系中, A(x, 0), B (0, y), 若x, y满足
(1) 写出点A, B的坐标;
(2) 过y轴上点C(0, 3)作直线l交直线AB于点 P, 若 求点 P的坐标；
(3) 过y轴上点C (0, 3) 作直线 点 P (m, n)为直线t上一动点, 已知点D (2, 0),若 求出 m的取值范围.
第十二章 数据的收集、 整理与描述
期末热点专题复习
期末专题 (1) 相交线、平行线中的角度问题
类型一 对顶角、邻补角
1. (2025哈尔滨) 下列各图中, ∠1 与∠2是对顶角的是( D )
2. (2024广东) 如图, 直线a, b相交, ∠1=40°, 则∠2-∠3等于 ( C )
A. 40° B. 80° C. 100° D. 120°
3. (2024江岸) 如图, 直线AB, CD相交于点O, EO⊥CD于点 O. 若∠BOD:∠BOC=2∶7, 则∠AOE 的度数为 130° .
类型二 利用平行线的判定与性质求角度
4.(2024硚口)光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，水面与杯底互相平行，∠1=45°, ∠2=120°, 则∠3+∠4= ( C )
A. 165° B. 155° C. 105° D. 90°
5.(2024青山)如图，一公路修到湖边时，需拐弯绕湖通过.第一个拐角∠A=90°，第二个拐角∠B=165°.如果道路CF与第一条路DA平行，则第三个拐角∠C的度数是( B )
A. 95° B. 105° C. 115° D. 125°
6. 如图, ∠1+∠2=180°.
(1) 求证: EF∥AC;
(2) 若∠C=∠DEF, ∠ABC=70°, ∠DEF=∠FEB-10°, 求∠ACB的度数.
(1) 证明: ∵∠1+∠2=180°, ∠DFE+∠2=180°, ∴∠DFE=∠1, ∴EF∥AC.
(2) 解: ∵EF∥AC, ∴∠ADE=∠DEF.
∵∠C=∠DEF, ∴∠ADE=∠ACB, ∴DE∥BC, ∴∠DEB+∠ABC=180°.
∵∠ABC=70°, ∴∠DEB=∠DEF+∠FEB=110°.
∵∠DEF=∠FEB-10°, ∴∠FEB=∠DEF+10°,
∴∠DEF+∠DEF+10°=110°, ∴∠DEF=50°=∠ACB.
类型三 利用分类讨论思想计算角度
7.(2024青山)同一平面内∠A和∠B一组边互相平行，另一组边互相垂直， 若 且m>n，则m和n满足的数量关系为
期末专题 (2) 平行线的判定与性质
类型一 判定平行的条件
1.(2024杭州)如图,点E在BC的延长线上, 对于给出的四个条件: ①∠1=∠3; ②∠2+∠5=180°;③∠4=∠B; ④∠D+∠BCD=180°. 其中能判断AD∥BC的是 ( B )
A. ①② B. ①④ C. ①③ D. ②④
2.(2024成都)如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DF的是( A )
A. ∠1=∠2 B. ∠4+∠2=180° C. ∠2=∠3 D. ∠A=∠1
3. (2024西安) 下列图形中, 由∠1=∠2, 能得到AB∥CD的是 ( D )
类型二 利用平行线的性质求角度
4.(2025武汉外校)如图是超市里购物车的侧面示意图，扶手AB与车底CD平行，∠2比∠3大10°，∠1是∠2的 倍, 则∠2的度数是 55° .
5.(2024汉阳)中国是世界上最早记载潜望镜工作原理的国家.如图是潜望镜工作原理的示意图，两个平面镜AB，CD平行斜放在直角拐角处，一束平行于地平线的光线EM自外射向平面镜AB的点E处，经反射后垂直射向下方平面镜CD点F处，再与反射光线成直角的方向反射出去.即EM∥NF, ∠MEF=∠EFN=90°, 则∠EFC的大小为( B )
A. 49.73° B. 45° C. 39.47° D. 40°28'12"
类型三 平行线的判定与性质综合应用
6. (2024江岸) 如图, 已知∠A=∠AGE, ∠D=∠DGC.
(1) 求证: AB∥CD;
(2) 若∠2+∠1=180°, 且∠BEC=2∠B+30°, 求∠C的度数.
(1) 证明: ∵∠A=∠AGE, ∠D=∠DGC.
又∵∠AGE=∠DGC, ∴∠A=∠D, ∴AB∥CD.
(2) 解: ∵∠1+∠2=180°, 又∵∠CGD+∠2=180°,
∴∠CGD=∠1, ∴CE∥FB, ∴∠C=∠BFD, ∠CEB+∠B=180°.
又∵∠BEC=2∠B+30°, ∴2∠B+30°+∠B=180°, ∴∠B=50°.
又∵AB∥CD, ∴∠B=∠BFD, ∴∠C=∠BFD=∠B=50°.
期末专题 (3) 实数
类型一 实数的概念
1. (1) 25的算术平方根是 5 , 平方根是 ±5 ;
(2)0的算术平方根是 0 ，平方根是 0 ；7的平方根是
的算术平方根是 2 ，平方根是 ±2 .
2. 已知4a-11的平方根是±3, 2a+b+4的算术平方根是4,则 的值为 3 .
3. - 27的立方根是 3 , 125的立方根是 5 , 0的立方根是 0 .
4. 已知 则 的值为 2或6或0 .
5. (2025浙江) 若 则
6. (2025朝阳) 若 则
7. (2025苏州)下列各数: , , 5.12, 0, π/ 2, - , 2.181181118---(两个8之间1的个数逐次多1).其中是无理数的有 4 个.
类型二 实数的计算
8. 计算:
解: 原式=-3; 解: 原式=-1; 解: 原式=1.4;
解: 原式=-2; 解：原式 解: 原式=0.
9. 求下列各式中x的值.
解: x=±3; 解: x=7或-3; 解: x=2; 解: x=-4.
10. 计算与求值：
(1) 计算
(2) 已知实数x, y满足. 求 xy的平方根；
(3) 若实数x, y, z满足 则 的值是 12 .
解: (1) 原式=6.
(2)依题意，得
期末专题 (4) 平面直角坐标系
类型一 点的坐标特征
1.(2024江岸)如图，小明用手盖住的点的坐标可能为( B )
A. (3, 2) B. (-3, 2) C. (3, - 2) D. (-3, - 2)
2. (2024东湖高新)下列命题中：
①若 mn=0, 则点A (m, n) 在原点处; ②点 (2, - m ) 一定在第四象限;
③已知点A (m, - n), 点B (m, n), m, n均不为0, 则直线AB平行y轴;
④已知点A (n-1, 3), 点B (n+4, m), AB∥x轴, 则线段AB的长为5.
是真命题的有 ( B )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.在平面直角坐标系中，若有两点A (x ，y )，B (x ，y )，利用平移知识可得到线段AB中点的坐标为 请利用以上结论解决问题: 若点E(a, b), F(b, a-b), 线段EF的中点M恰好位于y轴上， 且到x轴的距离是3，求点E的坐标.
解: ∵E (a, b), F (b, a-b), ∴线段 EF的中点M为
∵点M位于y轴上， 且到x轴的距离是3，
∴a=6, b=-6或a=-6, b=6, ∴点E 的坐标为 (6, - 6) 或 (-6, 6) .
类型二 坐标与面积
4. (1) 在平面直角坐标系中, A (-2, - 3), B (4, - 3), C (1, 2), 则
(2) 在平面直角坐标系中, A (m, -1), B (m+2, 3), C(m+6, 1), 则
5. (2024江岸) 在平面直角坐标系中, 已知点A (m-4, m+2), B(m-4, m), C(m, 0), D (2,0)， 已知三角形ABD的面积是三角形ABC面积的2倍， 则m的值为 ( D )
A. - 14 B. 2 C. - 14或2 D. 14或-2
6. (2025武汉外校)如图, 直线BC经过原点, 点A在x轴上,AD⊥BC于D, 若A(6,0),B(m,3), C (n, - 5), 求AD·BC的值.
解：
类型三 坐标与平移
7. (2024江岸)在平面直角坐标系中，点A (-2，3)向右平移3个单位长度， 向下平移5个单位长度后对应点B，则点 B的坐标是 ( B )
A. (-5, 8) B. (1, - 2) C. (-5, - 2) D. (1, 8)
8. (2025安徽滁州) 如图, 在平面直角坐标系中, 点A (0, 4), B (2, 0), 将线段AB平移至A'B'的位置,则a+b的值为 ( A )
A. 10 B. 8
C. 6 D. 4
期末专题 (5) 解方程组
1.用适当的方法解下列方程组：
解： 解：
解： 解：
解： 解：
解： 解：
解： 解：
期末专题 (6) 解不等式 (组)
类型一 解不等式
1.解下列不等式.
(1) 3x-1≥2x+1; (2) 2(3x+2)-2x<0;
解: x≥2; 解: x<-1; 解: x≥1;
解: x≤2; 解: x≤2; 解：
类型二 解不等式组
2.解不等式组 请按下列步骤完成解答.
(1) 解不等式①, 得 x≤1 ;
(2) 解不等式②, 得 x>-2 ;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4) 原不等式组的解集是 -23.解下列不等式组.
解: 1解: x>2; 解: x<-1; 解: - 2≤x<4.
期末专题 (7) 实际问题与方程组、不等式(组)
1.小颖和小星到文具店去购买A，B两种魔方，下面是小颖与小星的对话.
(1)求A，B两种魔方的单价；
(2)若购买A，B两种魔方共30件，其中B种魔方的数量不少于A种魔方的数量，且购买总费用不超过582元，有几种购买方案，并写出购买方案.
解： (1)设A， B两种魔方的单价分别为x元和y元，依题意，得 解得
答：A， B两种魔方的单价分别为 16元和22元.
(2)设购进x个A款魔方, 则购进 (30-x)个B款魔方,
根据题意得： 解得13≤x≤15.
∵x为正整数, ∴x=13, 14, 15, 有3种购买方案:
第一种: 购进13个A款魔方, 则购进30-13=17 (个) B款魔方,购买总费用13×16+17×22=582 (元);
第二种: 购进14个A款魔方, 则购进30-14=16 (个) B款魔方,购买总费用14×16+16×22=576 (元);
第三种: 购进15个A款魔方, 则购进30-15=15 (个) B款魔方,购买总费用 15×16+15×22=570 (元) .
2.(2024江岸)某商场计划购进A，B两种商品进行销售，购进60件A商品和30件B商品用了1080元，购进50件A商品和10件B商品用了840元.
(1)求A，B两种商品每件的进价分别为多少元
(2)每件A商品售价20元，每件B商品售价10元，现购进A，B两种商品共500件.
①若其中A商品的件数不低于B商品件数的3倍，总利润不低于2200元，问共有几种进货方案
②若商场打折促销，每件A商品优惠m元，每件B商品优惠n元，结果发现无论购进A商品多少件， 商场总利润恒为1250元，直接写出m的值为 1.5 ，n的值为 3.5 .
解： (1)设A商品的进价是x元/件， B商品的进价是y元/件，
根据题意得： 解得
答：A商品的进价是16元/件， B商品的进价是4 元/件.
(2) ①设购进a件 A 商品, 则购进 (500-a) 件B商品,
根据题意得： 解得: 375≤a≤400.
又∵a为正整数, 且400-375+1=26, ∴共有26种进货方案;
②∵总利润w=(20-m-16)a+(10-4-n)(500-a) =(n-m-2)a+3000-500n=1250 ,∵n-m-2=0, 3000-500n=1250, ∴m的值为 1.5, n的值为3.5.
3.(2024江夏、蔡甸、黄陂)某出租车公司为了支持发展新质生产力，推动产业转型升级，决定购买20台新能源小轿车，现有A，B两种不同品牌的新能源小轿车可选，经调查，购买4台A品牌小轿车比买3台B品牌小轿车多花16万元，买2台A 品牌小轿车比买3台B 品牌小轿车少花4万元.
(1)问：A，B两种品牌的新能源小轿车每台各需多少万元
(2)该出租车公司经预算决定购买两种品牌的新能源小轿车，总资金不超过180万元.问最多购买A品牌小轿车多少台
(3)在(2)的条件下， 已知A品牌的小轿车每台每月运营收入达到3.6万元，B品牌的小轿车每台每月运营收益达到3万元，若公司要求这批新能源小轿车每月运营总收益不低于65万元，为了节约资金请你为公司设计一种最省钱的购车方案.
解：(1)设A品牌的新能源小轿车每台需要a万元，B品牌的新能源小轿车每台需要b万元.
根据题意，得 解得
∴A品牌的新能源小轿车每台需要10万元，B品牌的新能源小轿车每台需要8万元.
(2)设购买A 品牌小轿车m台， 则购买B品牌小轿车 (20-m) 台，
根据题意, 得10m+8(20–m)≤180, 解得m≤10, ∴最多购买A品牌小轿车10台.
(3) 根据题意, 得3.6m+3(20-m)≥65, 解得
且m为整数, ∴m=9或10.
设总的购车费用为w万元, 则w=10m+8(20-m)=2m+160,
当 m=9时, w=178 (万元); 当m=10时, w=180 (万元) .
∵178<180, ∴当 m=9时, w的值最小, 20-9=11 (台),
∴购买A 品牌小轿车9台， B品牌小轿车11台最省钱.
4. (2024硚口)某商店准备采购甲、乙两种玩具共360件， 已知购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，需要4600元.其中甲种玩具的售价为130 元/件，乙种玩具的售价为90元/件.
(1)求甲、乙两种玩具每件的进价分别为多少元；
(2)若乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，请通过计算说明该商店有几种采购方案
(3)若甲种玩具每件售价降低4a(5解： (1)设甲种玩具的进价是x元/件， 乙种玩具的进价是y元/件，
根据题意得： 解得
答： 甲种玩具的进价是90 元/件， 乙种玩具的进价是70 元/件.
(2)设购进m件甲种玩具， 则购进 (360-m)件乙种玩具，
根据题意得： 解得76≤m≤80.
又∵m为正整数, ∴m可以为 76, 77, 78, 79, 80, ∴共有5种采购方案.
(3) ∵5∴甲种玩具降价后，每件甲种玩具的销售利润小于每件乙种玩具的销售利润，
∴当m=76时, 销售利润最大, ∴(130-90-4a)×76+(90-70)×(360-76)=7048, 解得a=5.5.
期末专题 (8) 数据的收集、整理与描述
类型一 全面调查与抽样调查
1.(2024硚口)下列调查中，适合全面调查方式的是( D )
A.检测东湖的水质情况 B.调查某批次的灯泡的使用寿命
C. 了解长江中的鱼的种类 D.了解某班学生的视力情况
类型二 总体、个体、样本、样本容量及用样本估计总体
2. (2024泰州)根据“五项管理”和“双减”的政策要求，要充分保障学生的睡眠时间，我市某中学为了解本校1200名学生的睡眠情况，从中抽查了300名学生的睡眠时间进行统计，下面叙述正确的是 ( D )
A.总体是该校1200名学生 B.个体是该校每名学生
C.样本是从中抽查的300名学生 D.样本容量是300
3.(2024江夏、蔡甸、黄陂)某初中学校共有学生650人，该校有关部门从全体学生中随机抽取50人，对其到学校方式进行调查，并将结果制成了如图所示的条形统计图.由此可以估计全校骑自行车到校的学生数有 234 人.
a： 步行 b：骑自行车
c：坐公交车 d：其他方式
类型三 统计图 (表)的综合应用
4.(2024东湖高新)某校组织七年级学生参加英语听写大赛，并随机抽取部分学生的成绩作为样本进行分析，绘制成如图不完整的统计图表.请根据所给信息，解答下列问题：
(1) 样本容量为 50 , b= 5 , m= 24 ;
(2)扇形统计图中D组所对应的圆心角的度数为 108° ；
(3)已知该年级有800名学生参加这次比赛，若成绩在80分以上(含80分)的为优，估计该年级成绩为优的有多少人
成绩x/分 频数
A 1
B b
C 12
D a
E 17
解: (2) D组人数=50-1-5-12-17=15 (人),
(人)， 答：估计该年级成绩合格的约有512人.
期末专题 (9) 新定义问题
1.(2024洪山)用现代高等代数的符号可以将方程组 的系数排成一个表 这种由数列排成的表叫做矩阵.矩阵表示x, y, z三元一次方程组, 若4x+y-z为定值，则t与m关系( D )
A. m-2t=-1 B. m+2t=1
C. 2m-t=1 D. 2t+m=-1
2. (2024江夏、 蔡甸、 黄陂) 对于任意有理数a, b, c, d, 我们规定: 根据这一规定，若x，y同时满足 则的值是 2 .
3.(2024重庆) 已知在 和 前提下, 新定义一个新运算: a b= ax-by,下列说法: ①x=4, y=3; ②若m n=1, m 2n=-2, 则点P (-m, -n) 在第三象限; ③若m≠n, 且(km) n=(km) m恒成立, 则 ④当|m-5|-|m+2|的值与m无关时, 则(m 2)·[(3m) (-8)]≥0成立; 其中正确的个数是 ( D )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. (2024汉阳)对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“共联”的，这个整数称为“联点”.例如不等式x>1和不等式x<3是“共联”的，联点为2.
(1) 不等式x-1<2和x-2≥0是“共联”的, 联点为 2 ;
(2) 若2x-a<0和x>0是“共联”的, 则a的最大值为 4 ;
(3)若不等式x+1>2b和x+2b≤3是“共联”的， 直接写出b的取值范围为
解: (3) 设联点为t, 则: t-1≤2b-1∴2b-12-2b, 2b-1<3-2b, ∴ 期末专题 (10) 热门考向
类型一 传统文化
1.(2024湖南郴州)《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期.如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间.已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为18cm；供水6小时，箭尺读数为42cm.若开始记录时是上午8：00，则当箭尺读数为84cm时，时间是( D )
A. 14: 00 B. 16: 00
C. 18: 00 D. 21: 00
2.(2024硚口)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步. 问人与车各几何 ”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行.问人与车各多少 设有x人，y辆车，可列方程组为 ( B )
3.(2024青山)我国古代数学名著《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房无人住.若设该店有x间客房，房客y人，则可列方程组为( B )
4.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何 ”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为
5.(2025成都)中国象棋文化历史久远.某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节，如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(-1，-2)，“马”位于点 (1，-2)，那么“兵”在同一平面直角坐标系下的坐标是( C )
A. (-2, 3) B. (-2, 1) C. (-3, 1) D. (-3, 3)
类型二 跨学科综合
6.(2024江夏、蔡甸、黄陂)光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，如图1，当光线经过镜子反射时有∠1=∠2. 如图2, 一个平面镜斜着放在水平面上, 形成∠AOB形态, ∠AOB=42°, 在OB上有一点E，从点E射出一束光线(入射光线)，经平面镜上点 D处反射光线DC刚好与OB平行, 则∠EDC的度数为( C )
A. 94° B. 95° C. 96° D. 108°
7. (2024东湖高新)如图，长方形是由边长为1的小正方形组成的3×6的网格，动点P从(0，2)出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当点P第2024次碰到长方形的边时，点 P 的坐标为 ( C )
A. (1, 3) B. (2, 0) C. (5, 3) D. (6, 2)
8.光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射.如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G 在射线EF上，已知∠HFB=20°, ∠FED=45°, 则∠GFH的度数为 25° .
9.某校学生查看当地某天日出日落时间(北京时间)的手机截图.则这一天的白昼时长为10小时22分 .
10.“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg.
(1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶. 问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克
解： (1)设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为 xmg， 一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 ymg，由题意得： 解得
答： 一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40mg， 一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22mg.
(2) 50000×40=2000000 (mg) =2kg.
答： 这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克.
类型三 开放性问题
11. (2024硚口) 写出一个小于3的正无理数 π/4 .
12. (2024北京昌平)写出一个比2 大且比 小的整数3或 4 .
13.(2024青山)如图，直线AB，CD被直线AE所截.请添加一个条件使直线AB∥CD，则该条件可以是∠1=∠2(答案不唯一)(用图中已标注的角或字母表示)
14. (2024汉阳) 写出方程 的一组整数解为
期末专题 (11) 几何综合
1. (2024江夏、蔡甸、黄陂) 已知, 直线AB∥CD, 点E, F分别在直线AB, CD上, 点H是直线AB与CD 外一点, 连接HE, HF.
(1) 如图1, 若 , 求∠BEH的度数;
(2)如图2，∠BEH的角平分线的反向延长线交 的角平分线于点N，猜想 与 的数量关系，并说明理由；
(3) 如图3, 若∠EHF=120°, ∠BEH=n∠PEH, ∠CFH=n∠HFQ, 点P, H, Q在同一直线上,直接写出∠Q-∠P的值 (用含n的式子表示).
解: (1)过点H作HG∥AB, ∵AB∥CD, ∴GH∥CD, ∴∠1+∠CFH=180°.
∵∠CFH=120°, ∴∠1=60°, ∵∠FHE=120°, ∴∠2=60°.
∵HG∥AB, ∴∠BEH=∠2=60°.
(2) 过点N作 NQ∥AB, 过点H作HP∥DC,
∵EM平分∠BEH, FN平分∠CFH, ∴设∠3=∠4=α, ∠6=∠7=β,
∵AB∥CD, ∴AB∥CD∥NQ∥PH,
∴∠5=∠3=α, ∠8=∠BEH=2a, ∠QNF=∠6=β,∠PHF=180°-∠CFH=180°-2β, ∴∠ENF=∠QNF-∠5=β-α,∠EHF=∠8+∠PHF=2α+180°-2β=180°-2(β-α),
∴∠EHF=180°-2∠ENF, 即
(3)过点P作PK∥AB, 过点H作HL∥AB, 过点Q作QR∥AB,
∵AB∥CD, ∴AB∥CD∥PK∥HL∥QR, ∵∠BEH=n∠PEH, ∠CFH=n∠HFQ,
设∠PEH=α, ∠HFQ=β, 则∠BEH=nα, ∠CFH=nβ,
∵PK∥QR, ∴∠KPQ=∠RQP, ∵AB∥PK, ∴∠BEP=∠KPE=(n-1)α,
∵QR∥CD, ∴∠CFQ=∠RQF=(n-1)β,
∵∠PQF=∠RQP+∠RQF, ∠EPQ=∠EPK+∠QPK,
∴∠PQF-∠EPQ=∠RQF-∠EPK=(n-1)(β-α).
∵AB∥HL∥CD, ∴∠EHL=∠BEH=nα, ∠LHF=∠HFD=180°-nβ.
∵∠EHF=∠EHL+∠LHF=120°, ∴∠BEH+∠HFD=120°, 即
即
2. (2024武昌) 如图, 于点O.
(1) 如图1, 若 则
(2)如图2, 点G在射线DC上, CP平分∠BCG, AH平分∠BAO, 直线AH, CP交于点P, 求 的度数；
(3)如图3，∠BOD的角平分线OE交直线AB于点E，点Q在射线OE上运动(点Q不与点O，E重合), 点F在直线CD上,∠QFD比 大20°,若 则
解: (1)过O作OE∥AB, ∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥OE, ∴∠OAB=∠AOE, ∠OCD=∠COE,
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=∠OAB+∠OCD.
∵AD⊥BC, ∴∠AOC=∠BOD=90°.
又∠DCO=50°, ∴∠OAB=40°.
(2)过O作OE∥AB, 过P作PF∥AB,
∵AB∥CD, ∴AB∥CD∥PF, ∴∠FPH=∠BAH, ∠PCG=∠CPF,
∴∠CPH=∠CPF-∠HPF=∠PCG-∠BAH,
由(1) 可知∠AOC=∠OAB+∠OCD, ∵∠GCB=180°-∠OCD, ∠AOC=90°,
∴∠GCB-∠OAB=90°, ∵CP平分∠BCG, AH平分∠BAO,
∴2∠PCG-2∠BAH=90°, 即∠PCG-∠BAH=45°, ∴∠CPH=45°.
(3)过点O作OP∥AB, ∵∠AOC=90°, ∠BAO=∠AOP=30°, ∴∠ABO=∠COP=60°.
∵OE 平分∠BOD, ∴∠BOE= ∠BOD=45°, ∴∠BEO=180°-∠EOP=180°-165°=15°.
又∠QFD 比∠BEO 大 20°, ∴∠QFD=35°.
作QM∥AB, ∵CD∥AB, ∴AB∥CD∥QM.
①当Q在线段OE 上, F在线段 CD上, 如图, ∠EQF=∠EQM+∠FQM=160°;
②当Q在线段OE上, F在线段CD延长线上, 如图, ∠EQF=∠BEO+∠QFD=50°;
③当Q在线段OE延长线上, F在线段CD上, 如图, ∠EQF=∠QFD-∠BEO=20°;
④当Q 在线段OE 延长线上, F在线段 CD延长线上, 如图, ∠EQF=∠FQM-∠EQM=130°.综上, ∠EQF 的度数为 160°或 50°或 20°或 130°.
期末专题 (12) 代几综合
1. (2024洪山) 在平面直角坐标系中, A(x, 0), B(0, y), 若x, y满足
(1) 写出点A, B的坐标;
(2) 过y轴上点C(0, 3) 作直线l交直线AB于点 P, 若 求点 P 的坐标；
(3)过y轴上点C(0,3)作直线t∥AB, 点P(m, n)为直线t上一动点, 已知点D(2, 0),若 求出 m的取值范围.
解: (1) A(-2, 0), B (0, 4).
(2) 过点 P作PE⊥y轴于点 E, ∵C(0, 3), B(0, 4), ∴BC=1.
如图, 当 P 在线段AB上时, 设OE=a, 则BE=4-a,
解得a=2, 即 OE=2, ∴P(-1, 2) .
同样方法, 当点P在AB的延长线上时, 可求得OE=6, ∴P(1, 6).综上所述, P(-1, 2)或 (1, 6).
(3)利用面积法可得n=2m+3.
①当 P (m, n) 在第一象限时, 解得m>0,
S三角形ACP =S三E角形AOP — S三角形AOC—S三角形CPO=m/ , S三角形ADP ≤S三角形ACP ,
不合题意，舍去；
②当 P (m, n) 在第二象限时, 解得
∵S三角形ADP = AD.|y,|=2n=4m+6, S三角形ACP =S三角形AOP - S三角形AOC-S三角形
S
③当 P (m, n) 在第三象限时, 解得
同理可得
∵S三角形ADP ≤S三角形ACP , 解得
综上， 或

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