资源简介

2024-2025 学年福建省恒一教育集团联考高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算结果不．正．确．的是( )
′
A. (cos )′ = sin B. (ln )′ = 1 C. e
′ = e D. 1 = 1 2
2.2025 年 20 男足亚洲杯足球赛于 2 月份在深圳举行，东道主中国所在的 组共有四支球队，四支球队
之间进行单循环比赛，共进行的比赛的场数为( )．
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
3.函数 = 在 = 1 处的切线斜率为( )
A. 1 B. C. 2 D. 4
4.已知函数 ( )的导函数 ′( )的图象如图所示，则 ( )极小值点的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5 2.小王每次通过英语听力测试的概率是3，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试 3 次，那么其中
恰有 1 次通过的概率是( )
A. 2 B. 2 C. 3 49 27 9 D. 9
6.设袋中有 8 个红球，4 个白球，若从袋中任取 4 个球，则其中有且只有 3 个红球的概率为( )
4 1 3 2 2 3 1 4
A. 1 44 B.
8 4+ 8 4 8 4 8
4
C. 4 D. 1 4
12 12 12 12
7.若随机变量 (10,0.6)，则 (2 1) =( )
A. 3.8 B. 4.8 C. 8.6 D. 9.6
8.曲线 = ln(3 2)上的点到直线 3 + 7 = 0 的最短距离是( )
A. 5 B. 10 C. 3 5 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
第 1页，共 8页
9 2 1

.已知二项式 的展开式中各二项式系数和为 64，则下列说法正确的是( )
A.展开式共有 6 项 B.二项式系数最大的项是第 4 项
C.展开式的常数项为 120 D.展开式中各项的系数和为 1
10.某同学将收集到的六对数据制作成散点图如下，得到其经验回归方程为 1： = 0.68 + ，计算其相关
系数为 1，决定系数为 21.经过分析确定点 为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经
验回归方程为 2： = + 0.68，相关系数为 22，决定系数为 2.下列结论正确的是( )
A. 2 22 > 1 > 0 B. 1 > 2 C. 0 < < 0.68 D. > 0.68
11.甲箱中有 2 个白球和 3 个黑球，乙箱中有 3 个白球和 2 个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，
以 1， 2分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以 表示从乙箱中取出的是白
球，则下列结论正确的是( )
A. 1 =
3
5 B. ∣ 1 =
2 3 17
3 C. 2 = 10 D. ( ) = 30
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在某项测量中，测量结果 服从正态分布 1, 2 ( > 0)，若 在(0,2)内取值的概率为 0.8，则 在[0, + ∞)
内取值的概率为 ．
13 1 1 1.假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是2、6、3，而它们的良品率分别是 0.96、0.90、
0.93，则该部件的总体良品率是 ．
2
14.函数 ( ) = , > 02 若关于 的不等式 ( ) ≥ 0 的解集为[ 2, + ∞)，则实数 的取值 + ( 2) + 2 , 0,
范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 3 2 + 2．
(1)求 ( )单调区间；
第 2页，共 8页
(2)求 ( )在区间[ 1,3]上的最大值和最小值．
16.(本小题 15 分)
某人工智能公司从 2018 至 2024 年的利润情况如下表所示：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码 1 2 3 4 5 6 7
利润 (单位：亿元) 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)根据表中的数据，推断变量 与 之间是否线性相关．计算 与 之间的相关系数(精确到 0.01)，并推断它
们的相关程度；
(2)求出 关于 的经验回归方程，并预测该人工智能公司 2025 年的利润；
参考数据：7 =1 = 14,
7
=1
2 = 7.08, 7 =1
2 = 28, 28 × 7.08 ≈ 14.08

参考公式：对于一组数据 1, 1 , 2, 2 , , =
=1
，①相关系数为： ;
=1 2 =1 2

②经验回归直线 = + 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别 = =1 ， = =1 2
17.(本小题 15 分)
近年来，“家长辅导孩子作业”已成为家长朋友圈里的一个热门话题．某研究机构随机调查了该区有孩子
正在就读小学的 140 名家长，以研究辅导孩子作业与家长性别的关系，得到下面的数据表：
(1)请将下列列联表填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为是否辅导孩子作业与
家长性别有关
辅导 不辅导 合计
是否辅导家长性别
男 50
女 40
合计 70
(2)若从被调查的 50 名爸爸中任选 2 名爸爸，并用 表示事件“至少 1 名爸爸辅导”，用 表示事件“2 名
爸爸都辅导”，求 ( | )．
2 = ( )
2
参考公式： ( + )( + )( + )( + ) ,其中 = + + + ．
参考数据：
( ° ≥ ) 0.15 0.10 0.05 0.025
0 2.072 2.706 3.841 5.024
第 3页，共 8页
18.(本小题 17 分)

设随机变量 的概率分布列为 = = = 1,2,3,4
(1)确定常数 的值．
(2)写出 的分布列．
(3)计算 1 < < 4 ．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = (2 1)e ( 1)．
(1)当 = 0 时，求曲线 = ( )在 = 0 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积．
(2)若函数 = ( )有两个零点，求实数 的取值范围．
(3)若不等式 ( ) ≥ 0 恒成立，求实数 的取值范围．
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.9/ 910
13.0.94
214.[0, 4 ]
15.解：(1)函数 ( ) = 3 3 2 + 2 的定义域为 ，求导得 ′( ) = 3 2 6 = 3 ( 2)，
由 ′( ) > 0，得 < 0 或 > 2；由 ′( ) < 0，得 0 < < 2，
所以函数 ( )的单调递增区间为( ∞,0), (2, + ∞)，单调递减区间为(0,2)．
(2)由(1)知， ( )在[ 1,0), (2,3]上单调递增，在(0,2)上单调递减，
而 ( 1) = 2, (2) = 2， (0) = 2, (3) = 2，
则 ( )max = (0) = (3) = 2， ( )min = ( 1) = (2) = 2，
所以 ( )在区间[ 1,3]上的最大值和最小值分别为 2, 2．
16.解：(1)由题设，易知 与 线性相关，且 = 4, = 4.3，
7
= =1 = 14 = 14 ≈ 0.99，
7 =1 2
7 2 28×7.08 14.08
=1
由于 ≈ 0.99，可以推断变量 与 成正线性相关且相关程度很强；
第 5页，共 8页
7
(2) = =1 由题设， 7 =
14 = 0.5，
=1 2 28
= = 4.3 0.5 × 4 = 2.3，
所以 = 0.5 + 2.3，
因此 关于 的回归方程为 = 0.5 + 2.3，
当 = 8 时， = 0.5 × 8 + 2.3 = 6.3，即预测该人工智能公司 2025 的利润为 6.3 亿元．
17.解：(1)列联表填写如下图所示：
是
辅导 不辅导 合计
否辅导家长性别
男 30 20 50
女 40 50 90
合计 70 70 140
2 = 140×(30×50 20×40)
2
= 14070×70×90×50 45 ≈ 3.11 < 3.841，
所以不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为辅导孩子作业与家长性别有关；
(2)至少一名爸爸辅导的可能情况有( 2 250 20)种；
两名爸爸辅导的情况有 230种；
( ) 2
所以 ( | ) = ( ) =
30 = 292 2 69． 50 20
18.解：(1) ∵随机变量 的概率分布为 = = = 1,2,3,4 ．
∴ + + 2 3 +

4 = 1，
解得 = 1225．
(2) (1) ( = 1) = 12 ( = 2) = 1 × 12 = 6由 可得 25， 2 25 25，
( = 3) = 1 × 123 25 =
4
25， ( = 4) =
1 × 12 34 25 = 25，
∴ 的分布列为：
1 2 3 4
12 6 4 325 25 25 25
第 6页，共 8页
(3) (1 < < 4) = ( = 2) + ( = 3) = 6 4 225 + 25 = 5．
19.【详解】(1)当 = 0 时， ( ) = (2 1)e ，所以 (0) = 1．
又 ′( ) = (2 + 1)e ，所以 ′(0) = 1，则切线方程为 = 1．
令 = 0 得 = 1，令 = 0 得 = 1，
1
所以切线与坐标轴围成三角形的面积为 = 2 × 1 × 1 =
1
2．

(2)由 ( ) = 0 得 ( 1) = (2 1)e (2 1)e，显然 = 1 不是方程的解，所以 = 1 ．
( ) = (2 1)e

设函数 1 , ≠ 1，
′( ) = (2 +1)e
( 1) (2 1)e (2 3)e
则 ( 1)2 = ( 1)2 ，
令 ′( ) > 0 得 < 0 或 > 32；令
′( ) < 0 得 0 < < 1 或 1 < < 32．
所以 ( )在( ∞,0) 3 3上单调递增，在(0,1)和 1, 2 单调递减，在 2 , + ∞ 上单调递增．
又当 → ∞时， ( ) → 0, (0) = 1，当 → 1 时， ( ) → ∞，
3
当 → 1+时， ( ) →+∞, 3 22 = 4e ，当 →+∞时， ( ) →+∞．
所以 ( )的大致图象如图：
若函数 = ( )有两个零点，则直线 = 与函数 ( )的图象有两个交点，
3 3
由图象可知，0 < < 1 或 > 4e2，即 的取值范围为(0,1) ∪ 4e2, + ∞ ．
(3)由 ( ) ≥ 0 得 ( 1) ≤ (2 1)e ，
显然当 = 1 时， ∈ 不等式恒成立．
3
当 > 1 时，有 ≤ (2 1)e 1 恒成立，由(2)可得 ≤ 4e2；

当 < 1 时，有 ≥ (2 1)e 1 恒成立，由(2)可得 ≥ 1．
第 7页，共 8页
3 3
综上，1 ≤ ≤ 4e2，即 的取值范围为 1,4e2 ．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑