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2025届辽宁省部分重点中学协作体高三高考模拟考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．使复数为纯虚数的最小自然数是（ ）
A． B． C． D．
3．第五批实施新高考的8个省份将于2025年迎来新高考，新高考模式下语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选科模式，若今年高一的甲、乙两名同学，在四选二科目中，恰有一科相同，则他们四选二科目的选科方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．96种
4．过原点且与曲线相切的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．已知向量，向量满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知双曲线C的离心率为，、为C的两个焦点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则（ ）
A． B． C．2 D．
7．如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
8．设函数与函数，当，曲线与交于一点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题（本大题共3小题）
9．若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．数据的标准差为3
C．数据的分位数为10
D．记，随机变量，，则
10．已知函数，则（ ）
A．有三个零点
B．，使得点为曲线的对称中心
C．既有极大值又有极小值
D．，，
11．如图，曲线是一条双纽线，曲线上的点满足：到点与的距离之积为，已知点是双纽线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．点在曲线上
B．双纽线的方程为
C．
D．点在椭圆上，若，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则 .
13．记为正项数列的前项和，，为等比数列，则 .
14．有一个密码锁，它的密码是由三个数字组成.只有当我们正确输入每个位置的数字时，这个密码锁才能够打开.现在我们并不知道密码是多少，当输入249时，提示1个数字正确，并且位置正确；当输入235时，提示1个数字正确，但位置错误；当输入962时，提示2个数字正确，但位置全错.则正确的密码为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，.
(1)求A；
(2)若，求的面积.
16．已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
17．如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点.现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点.
(1)求证：；
(2)若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正切值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.
18．某高中全体学生参加一次知识竞赛.竞赛共有5道单选题.每题四个选项中有且只有一个是正确的，每道题答对得2分，答错和不答都得0分，假设每个学生答对每道题的概率均为.
(1)学生甲在前3道题答对2道题的条件下，求他最终得6分的概率；
(2)现随机抽取10名学生，记第个人的得分为随机变量，得到的一组观测值如下：
学生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
得分 6 8 6 10 6 10 8 6 10 8
（i）从这10名学生中随机抽取4名学生，设抽到得10分的学生人数为，求的分布列和数学期望；
（ii）设随机变量取到观测值的概率为，即；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着的变化，用使得达到最大时的取值作为参数的一个估计值.求.
19．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆半长轴长与半短轴长的平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作椭圆的两条切线，两切线斜率之积为，求的轨迹方程；
(3)在数学中，可利用“循环构造法”求方程的正整数解.例如：求二元二次方程的正整数解，通过，先找到该方程的初始正整数解，记此解对应的点为，进一步可得点.设由“循环构造法”得到方程的正整数解对应的点列为：，其中，，记，试判断，是否为定值 若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
参考答案
1．【答案】A
【详解】 在阴影部分区域内任取一个元素，则或，故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确.
故选A.
2．【答案】C
【详解】因为，，
因此使得复数为纯虚数的最小自然数是.
故选C.
3．【答案】B
【详解】先确定相同的科目，有4种情况，
再从剩下的3个科目中，甲、乙各选一个不同的科目，有种情况，
则他们四选二科目的选科方式共有种.
故选B.
4．【答案】C
【详解】设切点，因为曲线，所以，
所以，所以，
所以或，
当时，所以，所以切线方程为，即；
当时，所以，所以切线方程为，即；
当时，所以，所以切线方程为，即；
所以切线有3条.
故选C.
5．【答案】A
【详解】由题意可得：，
因为，则，
当且仅当反向时，等号成立，
所以的最小值为1.
故选A.
6．【答案】D
【详解】根据题意，，则，，
可知渐近线方程为，即，且，
则，，，
可得，
在中，由余弦定理可得，
，
即，所以．
故选D.
7．【答案】C
【详解】如图，因为的最小正周期，所以，
又，，
所以折成直二面角时，因为轴，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以，解得（负值已舍去），
所以，又，
因为，所以或，
又因为函数在轴右侧附近单调递减，所以．
故选C.
8．【答案】D
【详解】由题意得，即，
所以，
所以，
令，则，
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以当时，，当时，，
当时，，所以，
所以，所以，
因为在上递增，所以，所以.
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】对于选项A：令，则，故A正确，
对于选项BC：因为的展开式的通项为，即，
可得，
数据为，
则平均数为，
方差为，
所以标准差为3，故B正确；
将数据按升序排列为，且，
故分位数为第3个数5，故C错误，
对于选项D：因为，
故，故D正确，
故选ABD.
10．【答案】BCD
【详解】对于B，对于A，令，解得或，
当时，函数只有2个零点，故A错误；
对于B，，
则
，
又，
要使点为曲线的对称中心，
则对，，
此时，
所以当时，点为曲线的对称中心，故B正确；
对于C，由，则，
由于，
则方程有两个不相等的实数根，设，
则或时，；时，，
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
则函数在取得极大值，在取得极小值，故C正确；
对于D，当时，，
此时，，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】AD
【详解】对于A选项，记点，则，，
所以，
所以点在曲线上，A对；
对于B选项，在双纽线上任取一点，由题意可得，
即，即，
即，即，
整理可得，B错；
对于C选项，由可得，
令，则，
所以关于在上有解，
设该方程在上的两根分别为、，
所以，解得，故，
当时，可得，即，解得，
即点在双纽线上，故的取值范围不是，C错；
对于D选项，椭圆的标准方程为，
所以，，则，所以椭圆的两个焦点恰好为、，
由椭圆的定义可得，
由可得，
因为，
解得，因此，，D对.
故选AD.
12．【答案】2
【详解】因为，
所以.
13．【答案】3
【详解】因为，则，可得，
可知等比数列的公比为2，
则，即，
所以.
14．【答案】659
【详解】题中给出三个信息：
①当输入249时，提示1个数字正确，并且位置正确；
②当输入235时，提示1个数字正确，但位置错误；
③当输入962时，提示2个数字正确，但位置全错，
由①②知，密码中不含数字2；
由③知，密码中含数字9和6，9不在百位，6不在十位；
由①知，密码中也不含数字4，且9在个位数，6在百位；
由②知，不可能有数字3，所以有数字5，且5在十位.
所以密码为659.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，则即为，
整理可得，
由余弦定理可得，
且，所以.
（2）由正弦定理可得，则，
可得，即，
由（1）可得，则，
即，可得，
所以的面积.
16．【答案】(1)答案见详解
(2)
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，
若，则，，
构建，则，
可知在定义域内单调递减，且，
当时，，即；当时，，即；
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）构建，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，即，
若恒成立，则在定义域内恒成立，
可得在定义域内恒成立，
构建，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，可得，
所以实数的取值范围为.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)存在，且三棱锥的体积为
【详解】（1）在图①中，由题意可知，四边形为正方形，且，
在②中，，，且，、平面，
所以平面，
因为，所以平面，因为平面，所以，
因为，为的中点，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）由（1）知，平面，
因为平面，所以平面平面，
因为、平面，所以，，
所以，二面角的平面角为，即，
因为，所以为等边三角形，所以，
取的中点，连接，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，且，
设为的中点，则可以以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
则，，，，
设，则，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，
记直线与平面所成角为，则，
由可得，
则，
即，，
因为，解得，故，
所以.
18．【答案】(1)
(2)（i）分布列见解析，数学期望为1.2；（ii）
【详解】（1）设“最终得6分”为事件，则.
（2）（i）的所有可能取值为0，1，2，3，
，，，
，所以的分布列为
0 1 2 3
的数学期望.
（ii）由题意，，
，，
因为取值相互独立，
所以
，
求使达到最大时的值，
令
，
，
令可得，
当时，，单调递增，单调递增；
当时，，单调递减，单调递减，
故时，最大，.
19．【答案】(1)
(2)（且）.
(3)是，且为定值
【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆的方程为.
（2）（i）当切线斜率不存在或为零时，不满足题意；
（ii）当切线斜率存在且不为零时，设点，
设过点的切线方程为，即，
联立得，
由，得，
可得出关于的二次方程①，
方程①有两个不等根，则，且，可得，
设过点的两条切线的斜率分别为、，可得，整理可得，
又因为且，以及，可得且，
即且，
所以，点的轨迹方程为（且）.
（3）因为，所以，
，
因为二项式与的展开式中不含的项相等，含的项互为相反数，
所以，
则，
所以，
直线的方程为，则即为点到直线的距离，
所以，
，
故为定值.

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