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2024-2025 学年福建省三明市五县联盟高二下学期期中质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是( )
A. 1
′ 1 ′ 1 ′ 2 ′
+1 = ( +1)2 B. ( ) = C. 3 = 3ln D. cos = 2 sin
2.2025 年春节期间，全国各大影院热映 3 部优秀的影片：《哪吒之魔童闹海》、《唐探 1900》、《封神 2》.
现有 4 名同学，每人选择这 3 部影片中的 1 部观看，每部电影都有人观看，恰有 2 名同学选择观看同一部
影片，共有( )种不同的选择方法．
A. 81 种 B. 64 种 C. 36 种 D. 24 种
3.从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，记事件 ：取到的 2 个数之和为偶数，事件 :取到的 2 个数均
为偶数，则 =( )
A. 1 1 1 15 B. 4 C. 3 D. 2
4. 4 2 4 + 1 3的展开式中含 3项的系数为( )
A. 240 B. 160 C. 60 D. 160
5 ln +1.函数 = 的单调增区间为( )
A. ( ∞,1) B. (0,1) C. (1, ) D. (1, + ∞)
6 4.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为5，连续射击 3 次，至少击中两次的概率为( )
A. 48125 B.
64 C. 112 124125 125 D. 125
7.如图，直线 和圆 ，当 从 0开始在平面上按逆时针方向绕点 匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过
的圆内阴影部分的面积 是时间 的函数，这个函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
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8.已知函数 ( )是定义在 R 上的函数，且满足 ′( ) + ( ) > 0，其中 ′( )为 ( )的导数，设 = (0)， =
3 ln3 ， = e (1)，则 、 、 的大小关系是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度 值时会造成一定
的误差，甲小组进行的实验数据的误差 和乙小组进行的实验数据的误差 均符合正态分布，其中
( )2
～ (0.3,0.0001)， ～ (0.28,0.0004) 1 ，已知正态分布密度函数 ( ) = 2 2 2 e ，记 和 所对应的正态
分布密度函数分别为 1( )， 2( )，则( )
A. 1(0.3) > 2(0.28)
B.乙小组的实验误差数据相对于甲小组更集中
C. ( < 0.28) + ( ≤ 0.32) = 1
D. ( < 0.31) > ( < 0.31)
10 1 1.随机事件 、 满足 ( ) = 2， ( ) = 3， ( ∣ ) =
1
2，下列说法正确的是( )
A. 1事件 与事件 相互独立 B. ( ) = 6
C. ( ) = 13 D. ( ) = ( )
11.已知函数 ( ) = 2e 2 + 存在两个极值点 1、 2 1 < 2 ，则下列选项正确的有( )
A. > e B. 1 + 2 < 2
C.若 2 = 3 1，则 =
2 3
ln3 D. 1 > 2e
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = ln ，若直线 在点(1,0)处与曲线 = ( )相切，则直线 的方程为 ．
13.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班
1 1 1
出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为2，3，6，而他自驾，坐公交
1 1 1
车，骑共享单车迟到的概率分别为4，2，2，结果这一天他迟到了，在此条件下，他骑共享单车去上班的概
率为 ．
14.将一个边长为 的正方形铁片的四角截去四个边长均为 的小正方形，做成一个无盖方盒，当 = 时，
方盒的容积 最大。
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知(2 1) 的展开式中，第 4 项与第 8 项的二项式系数相等．
(1)求含 2的项；
(2)若(2 1) = 2 0 + 1 + 2 + + ∈ ，求 1 + 2 + 3 + + 的值．
16.(本小题 15 分)
某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、
乙两名学生中间产生.该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从 6 个问题中随机抽取 3 个问题作
2
答，已知这 6 个问题中，学生甲能正确回答其中的 4 个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为3，
甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的．
(1)求乙恰好答对两个问题的概率；
(2)请问选择哪名同学去参赛更合理？请说明理由
17.(本小题 15 分)
已知函数 = 2 3 + 3 2 2 12
(1)当 = 0 时，求 ( )在[ 2,4]上的最值；
(2)讨论 ( )的单调性．
18.(本小题 17 分)
某公司邀请棋手与该公司研制的一款人形机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为 20，每局比赛，
棋手胜加 10 分；平局不得分；棋手负减 10 分.当棋手总分为 0 时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为 30
1 1 1
时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为4、4、2，且各局比赛
相互独立．
(1)求两局后比赛终止的概率；
(2)在 3 局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；
(3)在挑战过程中，棋手每胜 1 局，获奖 5 千元.记 ( ≥ 10)局后比赛终止且棋手获奖 1 万元的概率为 ( )，
求 ( )的最大值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + 2， ( ) = ln + ( + 1) ．
(1)当 = 1 时，求 ( )的单调区间；
(2)若 ( ) ≥ ( )，求 的取值范围；
(3)若 ( ) = ( )有两个实数解 1， 2，证明：ln 1 + ln 2 < 0．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1 = 0
13.29
14. 6
15.【详解】(1)解：由(2 1) 的展开式中，第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，
可得C3 = C7 ，所以 = 3 + 7 = 10，即(2 1) = (2 1)10，
其展开式的通项公式为 +1 = C (2 )10 10 ( 1) = C 10 ( 1) 210 10 , = 0,1, , 10，
令 = 8，可得 9 = C810 ( 1)8 22 2 = 180 2，所以含 2的项为 180 2．
(2)解：由(1)可得(2 1)10 = 0 + 1 + 2 102 + + 10 ，
令 = 1，可得 0 + 1 + 2 + … + 109 + 10 = (2 1) = 1，
再令 = 0，所以 0 = 1，
所以 1 + 2 + … + 9 + 10 = ( 0 + 1 + … + 9 + 10) 0 = 0，
所以 1 + 2 + … + 9 + 10 = 0．
16.【详解】(1)由题知，令“乙回答问题的正确个数”为 ，则 ～ 3, 23 ，
2 2 1
则乙恰好答对两个问题的概率为： = C23 3 × 3 =
4
9．
(2)令“甲回答问题的正确个数”为 ，“乙回答问题的正确个数”为 ，
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则 所有可能的取值为 1,2,3，
1 2 2 1 3 0
则 ( = 1) = C4C2 = 13 5； ( = 2) =
C4C2 = 33 5； ( = 3) =
C4C2 1
C C C3
= ．
6 6 6 5
所以 ( ) = 1 × 15+ 2 ×
3
5 + 3 ×
1
5 = 2．
2 2
由题意，随机变量 ～ 3, 3 ，所以 ( ) = 3 × 3 = 2．
又 ( ) = (1 2)2 × 1 + (2 2)2 × 3 + (3 2)2 × 1 25 5 5 = 5， ( ) = 3 ×
2 1 2
3 × 3 = 3．
所以 ( ) = ( )， ( ) < ( )，
可见，乙与甲的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，
所以选择投票给学生甲．
17.解：(1)因为 = 0 ，所以 = 2 3 6 2, ′ = 6 2 12 = 6 2 ．
当 ∈ ∞,0 ∪ 2, + ∞ 时， ′ > 0，当 ∈ 0,2 时， ′ < 0 ，
故 的单调递增区间为 ∞,0 和 2, + ∞ ，单调递减区间为 0,2 ．
因为 ( 2) = 40, (0) = 0, (2) = 8, (4) = 32 ，
所以 ( )在 [ 2,4]上的最大值为 32，最小值为 40．
(2)因为 = 2 3 + 3 2 2 12 ，
所以 ′ = 6 2 + 6 2 12 = 6 + 2
令 ′ = 0 ，得 = 或 = 2 ．
当 < 2 ，即 > 2时，由 ′ > 0 ，解得 < 或 > 2 ，由 ′ < 0，解得 < < 2 ．
当 = 2 ，即 = 2时， ′ ≥ 0恒成立．
当 > 2 ，即 < 2时，由 ′ > 0 ，解得 < 2 或 > ，由 ′ < 0，解得 2 < < ．
综上所述，当 > 2时， 的单调递增区间为 ∞, 和 2, + ∞ ，单调递减区间为 , 2 ；
当 = 2时， 的单调递增区间为 ∞, + ∞ ，无单调递减区问；
当 < 2时， 的单调递增区间为 ∞,2 和 , + ∞ ，单调递减区间为 2,
18.【详解】(1)设每局比赛甲胜为事件 ，每局比赛甲平为事件 ，每局比赛甲负为事件 ∈ ，
设“两局后比赛终止”为事件 ，
因为棋手与机器人比赛 2 局，所以棋手可能得 0 分或 30 分比赛终止．
( )当棋手得分为 0 分，则 2 局均负，即 1 2；
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( )当棋手得分为 30 分，则 2 局先平后胜，即 1 2.
因为 1 2、 1 2互斥，所以 ( ) = 1 2 + 1 2 = 1 2 + 1 2
2 2
= 1 2 +
1 1 5
1 2 = 2 + 4 = 16 .
5
所以两局后比赛终止的概率为16．
(2)设“3 局后比赛终止”为事件 ，“3 局后棋手挑战成功”为事件 ．
因为 ( ) = 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3
3 2 2
= 1 1 1 1 1 1 1 1 114 + 4 × 2 + 2 × 4 + 2 × 4 × 2 = 64，
3
( ) = + = 1 + 1 × 1
2 3
1 2 3 1 2 3 4 2 4 = 64 .
所以在 3 局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为
3
= ( ) = ( ) = 64 3 ( ) ( ) 11 = 11 .
64
3
所以在 3 局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为11．
(3)因为 局获奖励 1 万元，说明甲共胜 2 局．
( )当棋手第 局以 0 分比赛终止，说明前 1 局中有 3 负 2 胜，
且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有C5 1种，
( )当棋手第 局以 30 分比赛终止，说明前 1 局中有 1 负 1 胜，
且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有C2 1种，
则“ ( ≥ 10)局后比赛终止且棋手获得 1 万元奖励”的概率
1 4 1 4 1 2 5 ( ) = C5 1 2 4 + C
2 1 1 C 1+8C 1
1 2 4 = 22 1 ，( ≥ 10).
( +1) C
所以 =
2+8C5
( ) ．4C2 5 1+32C 1
C2 5 2 + 8C 4C 1 32C5 2 2 5 5 1 = C 4C 1 + 8 C 4C 1
= ( 1)(8 3 ) + ( 1)( 2)( 3)( 4)(20 3 )2 15
因为 ≥ 10，所以C2 + 8C5 4C2 32C5 1 1 < 0，
( +1)
所以 ( ) < 1，所以 ( )单调递减，
所以当 = 10 时， ( )取最大值为 (10) = 261217．
19.【详解】(1)(1)当 = 1 时， ( ) = ln + 2 ( > 0)，则 ′( ) = ln + 3
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′( ) = 0, = 1令 e3，
当 ∈ (0, 1 ′e3 )时， ( ) < 0, ( )
1
在(0, e3 )上单调递减，
当 ∈ ( 1e3 , + ∞)时，
′( ) > 0, ( ) 1在( e3 , + ∞)上单调递增，
( ) 1 1所以 单调减区间为(0, e3 )，单调增区间在为( e3 , + ∞)．
(2)由 ( ) ≥ ( )可知，e + 2 ≥ ln + ( + 1) ， ∈ (0, + ∞)，
e
即 ln + ( + 1) ≥ 0 在 ∈ (0, + ∞)上恒成立，

设 ( ) = e ln + ( + 1)，
′( ) = ( 1) e + 2 ，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0， ( )在(0,1)单调递减；
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )在(1, + ∞)单调递增，
所以 = 1 时， ( )取得最小值，最小值为 (1) = e ，
由题意知 ≥ 0，即 ≤ e，故 的取值范围为 ∞, e ；
(3)方程e + 2 = ln + ( + 1) 有两实数解 1， 2，
e
即 ln + ( + 1) = 0 有两实数解，不妨设 1 < 2，
由(2)知方程 ( ) = ( )要有两实数解，则 e < 0，即 > e，
同时 1 ∈ (0,1)
1
， 2 ∈ (1, + ∞)， ∈ (0,1)，2

( ) = e ln + ( + 1)，则 1 = 2 = 0， ( )在(0,1)单调递减，
欲证 ln 1 + ln 2 < 0
1
，即证 1 2 < 1， 1 < ，2
1 1
等价于 1 > ，即 2 > ，2 2
1
e 2
等价于 ln + > 2 2 2e 2 + ln +
1
2 ，
2 2
1 1
e 2 e 2
整理得 + ln > e 2 2 + ln e

2 2 ①，
2 2
12
令 ( ) = + ln e，①式为 > e 2 2 ，又 ( )在(0, + ∞)单调递增，2
e
1
2
故①式等价于 > 2e
12，即 2 2ln 2 > 0，2 2
2
令 ( ) = 2ln 1 ′ ( 1) ， ( ) = 2 ，
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当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )在(1, + ∞)单调递增，
又 2 > 1， 2 > (1) = 0
1
，即 2 2ln 2 > 0，2
所以 1 2 < 1，则 ln 1 + ln 2 < 0．
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