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2024-2025 学年广东省部分高中高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 = 2i(1 + i)(i 为虚数单位)，则复数 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3 82.在 2 的展开式中，含 项的系数为( )
A. 1512 B. 504 C. 504 D. 1512
3.“ > ”是“3 2 > 3 2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的 60％, 40％，甲、乙两台车
床的正品率分别为 95％, 96％.现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为( )
A. 0.955 B. 0.954 C. 0.94 D. 0.945
5.已知向量 , 满足| | = 2, cos , = 1，且| + 23
| = 4 3，则| | =( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
6.将函数 ( ) = sin 2 + π6 的图象向左平移 ( > 0)个单位长度后，得到函数 ( )的图象，若函数 ( )的
图象关于原点对称，则 的最小值为( )
A. 5π12 B.
π π π
12 C. 6 D. 3
7.已知函数 ( )及其导函数 ′( )的定义域均为 ，若 ( 1) = 2，且 ( ) + ′( ) > 0，则不等式(2 2
3 ) (2 2 3 ) < 2 的解集为( )
A. (0, 12 ) B. (
1
2 , 1)
C. ( ∞,0) ∪ ( 12 , + ∞) D. ( ∞, 1) ∪ (
1
2 , + ∞)
8.高三毕业来临之际，3 名教师，4 名女同学和 2 名男同学排成一排拍照，已知 3 名教师互不相邻，4 名女
同学相邻且不在最左边也不在最右边，2 名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右边，则不同的排法种数
共有( )
A. 1152 种 B. 384 种 C. 288 种 D. 144 种
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.从 1，2，3，4，5，6，7，8 中任取 1 个数．事件 ：取出的数是偶数；事件 ：取出的数是奇数；事件
：取出的数小于 7.则( )
A.事件 ， 是互斥事件 B.事件 ， 是对立事件
C. ( ∣ ) = 12 D. ( ) + ( ) < 1
10.在空间直角坐标系 中， (1,0,0), (2,1, 2), (1,2,3)，则( )
A. = 10
B. | | = 13
C. 2 13异面直线 与 所成角的余弦值为 13
D. 366点 到直线 的距离是 9
11.已知过点 (1,0)的直线 与动圆 : 2 + 2 2 = 0( < 0)相切，切点为 ，记点 的轨迹为曲线 ，则( )
A.曲线 经过原点 B.曲线 是轴对称图形
C. 1 3点 2 , 2 在曲线 上 D.曲线 在第二象限的点的纵坐标有最大值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知离散型随机变量 的分布列服从两点分布，且 ( = 0) + 4 ( = 1) = 3，则 ( = 0) = ．
13 π.在 中，若 = 6 , = 1, = 3，则 边上的高为
14.设数列 满足 1 = 2 = 1，且 +2 = +1 ∈ .用模取余运算： = 表示“整数 除以

整数 ，所得余数为整数 ”，如 1 4 = 1,2 4 = 2,4 4 = 0.设 = {23, 4 = 0,其中 ∈ ，
, 4 ≠ 0,
则 12 = ；数列 的前 项和为 ，则 18 =
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某同学会做老师给出的 10 道题中的 6 道．现从这 10 道题中随机选 4 道让该同学做，试求：选出的 4 题中
该同学会做的题目数的分布列．
16.(本小题 15 分)
记 为正项等比数列 的前 项和，已知 6 = 63, 5 + 4 = 8 2 + 1 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 = 2 ，求数列 的前 项和 ．
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17.(本小题 15 分)
如图，三棱锥 中，平面 ⊥平面 ， ⊥ ， 为 的中点， = = 2， = = 3．
(1)求证： ⊥ ;
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
2 2
在平面直角坐标系 中，椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)
3 1
的离心率为 2 ，点 (2,1)在椭圆 上，斜率为 2
的直线 与椭圆 相交于 , 两点(异于点 ).
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 的面积为 3，求直线 的方程；
(3)记直线 与 的斜率分别为 1, 2，直线 , 的斜率分别为 3, 4，证明： 1 2 = 3 4．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2ln + ( > 0)．
(1)当 = 4 时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)讨论 ( )的单调性；
(3)求证：1 + 1 12 + 3 + +
1
> ln( + 1) +

2( +1) ∈ ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.13
13. 3/12 2 3
14.16
；219
15.【详解】记该同学会做的题目数为 ，由题意， 的可能取值为 0,1,2,3,4，
4 1 3
( = 0) = C4 = 1 , ( = 1) = C6C4 = 4，
C410 210 C
4
10 35
2 2 3 1 4
( = 2) = C6C44 =
3
7 , ( = 3) =
C6C4
4 =
8
21 , ( = 4) =
C6
4 =
1
，
C10 C10 C10 14
所以该同学会做的题目数 的分布列为：

0 1 2 3 4
1 4 3 8 1
210 35 7 21 14
16.【详解】(1)设正项等比数列的公比为 ( > 0)，
因为 5 + 4 = 8 2 + 1 ，所以 2 + 1 3 = 8 32 + 1 ，所以 = 8, = 2．
6 6
又 6 =
1 1 1 1 2
1 = 1 2 = 63，
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解得 1 = 1．
所以 = 1 1 = 2 1．
(2)由题知 = 2 = 2 ，
所以 1 2 3 = 1 × 2 + 2 × 2 + 3 × 2 + + × 2 ，
2 = 1 × 22 + 2 × 23 + 3 × 24 + + × 2 +1，

两式相减得 = 2 + 22 + 23 + + 2 × 2 +1 =
2 1 2 +1
1 2 × 2 ．
所以 = ( 1)2 +1 + 2．
17.解：(1)取 中点 ，连接 ， ，则 / / ，而 ⊥ ，
故 ⊥ ．
因为 = ，
所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)因为平面 ⊥平面 ， ∩平面 = ， ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以 ⊥ ，故 ， ， 两两垂直，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， ( 1,0,0)， (1,0,0)， (0,0,2 2)， (0,1,0)， (1,2,0)，
= ( 1,1,0)， = (0,2,0)， = (1,0, 2 2)， = (1,2, 2 2).
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则 = 0
+ = 0

，即 ,
= 0 2 2 = 0
取 = 1，则 = (2 2, 2 2, 1)．
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 0 2 = 0则 ，即 ,
= 0 2 2 = 0
取 = 1，则 = (2 2, 0,1)，
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|cos < , > | = | | 9 3 17所以 | ， || | = 3× 17 = 17
即平面 与平面 夹角的余弦值为3 17．
17
18. 3 4 1【详解】(1)由题知 = 2 ,
2 = 2 + 2, 2 + 2 = 1，解得 = 2 2, = 2，
2 2
故椭圆 的方程为 8 + 2 = 1．
(2)设直线 的方程为 = 12 + ( ≠ 2)，点 , 的坐标分别为 1, 1 , 2, 2 ，
2 2+ = 1
联立方程 8 21 ，得
2 2 + 2 2 4 = 0，
= 2 +
由 = 4 2 4 2 2 4 = 16 4 2 > 0，得 2 < < 2，
由韦达定理，有 1 + 2 = 2 , 1 22 = 2 4，
2
所以| | = 1 + 12
2 5
1 + 2 4 1 2 = 4 4
2 4 2 2 4 = 5 4 2 ，
因原点 到直线 的距离为 = | | = 2| |5 ，
1+ 1
2
2
所以 1 1的面积为 | | = 5 4 22 2 ×
2| |
5 = | | 4
2，
由| | 4 2 = 3，解得 =± 1 或 =± 3，
1 1 1 1
故直线 的方程为 = 2 1 或 = 2 + 1 或 = 2 3或 = 2 + 3．
(3) = 1 1 2 1因为 = 1 2 1+ 2 +11 2 1 2 2 2 1 2 2 1+ 2 +4
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1
1
2 1
1
2 2 2 2 1 + 2 +1
=
2 2 4 4 +4
2 1 1 12 1 + 2 +4 1 2 2 + 2 1 + 2 +1=
2 2 4
2 1 ×2 +1 2 1 1 2
= 2 4
2 4 2 +2×2 +1
2 2 4 =
2 1
2 2 4 = 4，

1
2 1
1 2 2 1
1 2 2 2 1 + 2 +
1
4 1 2 3 4 = = =1 2 2 2 4 2 2 4
2 12 × 2 +
1
4 2
2 4
=
2 2 4
1 2 2 4
= 4 = 12 2 4 4，
所以 1 2 = 3 4．
19.【详解】(1)当 = 4 时， ( ) = 2ln + 4 , ′( ) = 2 1
4
2，
所以 (1) = 3, ′(1) = 3，
所以曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 3 = 3( 1)，即 3 + 6 = 0．
2
(2) ( ) = 2ln + ( > 0)
′( ) = 2 1 +2 ，则 2 = 2 ．
对于方程 2 + 2 = 0, = 4 4 ．
当 = 4 4 ≤ 0，即 ≥ 1 时， 2 + 2 ≤ 0, ′( ) ≤ 0，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减；
当 = 4 4 > 0，即 0 < < 1 时，方程 2 + 2 = 0 有两不等根，
1 = 1 + 1 , 2 = 1 1 ，且 1 > 2 > 0，
所以当 > 1或 0 < < 2时， ′( ) < 0；当 2 < < ′1时， ( ) > 0，
即函数 ( )在(0,1 1 ), (1 + 1 , + ∞)上单调递减，在(1 1 , 1 + 1 )上单调递增．
综上所述，当 ≥ 1 时，函数 ( )的单调递减区间为(0, + ∞)，无单调递增区间；
当 0 < < 1 时，函数 ( )的单调递增区间为(1 1 , 1 + 1 )，
单调递减区间为(0,1 1 )，(1 + 1 , + ∞)．
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(3) 1证明：由(2)知，当 = 1 时，函数 ( ) = 2ln + 在(0, + ∞)上单调递减，
又 (1) = 0，所以当 > 1 时， ( ) = 2ln + 1 < 0，
即当 > 1 时，2ln < 1 ．
∈ +1 > 1 2ln +1 < +1 = 1 + 1因为 ，所以 ，所以 +1 +1，
即 2ln( + 1) 2ln < 1 + 1 +1，
1
所以 2ln2 2ln1 < 1 + 2，
2ln3 2ln2 < 1 + 12 3，
2ln4 2ln3 < 1 + 13 4，
…
2ln( + 1) 2ln < 1 +
1
+1，
累加可得
2ln( + 1) 2ln1 < 1 + 12+
1
2 +
1
3 +
1
3+ +
1 1 1
+ + +1，
即 2ln( + 1) < 2 1 + 1 + 1 1 12 3+ + 1 +1 = 2 1 +
1
2 +
1 1
3 + + +1，
所以 1 + 12 +
1
3+ +
1
> ln( + 1) +

2( +1) ∈ ．
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