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浙江省宁波市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·宁波期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
2．（2024八下·宁波期末）下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
3．（2024八下·宁波期末）若反比例函数的图象经过点，则图象必经过点(　　)
A． B． C． D．
4．（2024八下·宁波期末）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为(　　)
A． B．2 C．2或 D．4或
5．（2024八下·宁波期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是(　　)
A．若，则四边形是正方形
B．若，则四边形是平行四边形
C．若，则四边形是菱形
D．若，则四边形是矩形
6．（2024八下·宁波期末）一次数学测试，某学习小组6名学生的分数分别为118，102，111，105，107，117．这组数据的平均数和中位数分别是(　　)
A．110，109 B．110，108 C．109，109 D．110，110
7．（2024八下·宁波期末）金沙湖大剧院以形似水袖、飘飘而立，势如水形、绝美的颜值，成为金沙湖畔最具魅力的城市地标．如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为，宽为的金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周镶一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设纸边的宽为，则x满足的方程是(　　)
A． B．
C． D．
8．（2024八下·宁波期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若与的周长分别为12和42，则的长为(　　)
A．12 B．15 C．24 D．30
9．（2024八下·宁波期末）已知点 在反比例函数 的图象上，当 时，则下列判断正确的是 (　　)
A．若 ，则 B．若，则
C．若 ，则 D．若，则
10．（2024八下·宁波期末）如图，已知四边形是矩形，对角线，交于点O，延长至点E，使得，连接交于点F．当时，有以下两个结论∶①若，则．②若，则．则下列判断正确的是(　　)
A．①②均错误 B．①②均正确
C．①错误②正确 D．①正确②错误
11．（2024八下·宁波期末）已知一个 边形的内角和是 ，则 　 　.
12．（2024八下·宁波期末）已知：，则m的值为　 　．
13．（2024八下·宁波期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的数据信息．
选手 甲 乙 丙 丁
平均数(环) 9.6 9.8 9.8 9.7
方差(环2) 0.46 0.38 0.15 0.27
若要从上述四人中推荐一位选手参加比赛，则最合适的人选是　 　．
14．（2024八下·宁波期末）如图，在中，若、，，则　 　度．
15．（2024八下·宁波期末）在对物体做功一定的情况下，力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为时，此物体在力的方向上移动的距离是　 　m．
16．（2024八下·宁波期末）如图，已知菱形的面积为，点P，Q分别是在边，上(不与C点重合) ，且，连结，，则的最小值为　 　．
17．（2024八下·宁波期末）计算：
（1）
（2）
18．（2024八下·宁波期末）解下列方程：
（1）
（2）
19．（2024八下·宁波期末）某校甲、乙两班进行一分钟踢毽子比赛，两班各派出10名学生参赛，比赛成绩如下：甲班10名学生比赛成绩(单位∶ 个)∶ 10，11，12，18，19，19，25，26，29，31．乙班10名学生比赛成绩(单位∶ 个) ∶ 13，14，15，17，20，20，21，25，25，30．请根据以上信息，回答下列问题：
（1）请分别求出甲、乙两班比赛成绩的众数．
（2）有同学认为“若甲班再增加一名同学踢毽子，则甲班比赛成绩的中位数一定发生改变”，你认为这个说法正确吗？请说明理由．
（3）甲班共有学生35人，乙班共有学生40人，现全部参赛．按比赛规定，成绩不低于20个就可以获奖，请估计这两个班可以获奖的学生总人数．
20．（2024八下·宁波期末）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上．
（1）如图1，画一个以 为边的平行四边形．
（2）如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形．
（3）如图3，画一个以 为对角线，且面积为7的平行四边形．
21．（2024八下·宁波期末）已知关于x的一元二次方程
（1）若该方程有一个根是，求k的值．
（2）若该方程有两个实数根，求k的取值范围．
（3）若该方程的两个实数根满足 ，求k的值．
22．（2024八下·宁波期末）如图1，在中，对角线与相交于点O，，点E，F，G分别为，，的中点，连结，，，，交于点 M．
（1）求证：．
（2）求证：四边形为平行四边形．
（3）如图2，当为矩形时，若，求四边形的面积．
23．（2024八下·宁波期末）在平面直角坐标系中，设函数(是实数)．，已知函数与的图象都经过点和点B．
（1）求函数，的解析式与B点的坐标．
（2）当时，请直接写出自变量x的取值范围．
（3）已知点和点在函数的图象上，且，设，当时，求P的取值范围．
24．（2024八下·宁波期末）如图1，在正方形中，点P在上，连接，过点B作于点E，过点D作于点F．
（1）求证：．
（2）如图2，延长至点G，使，连结，．
①探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
②连结，若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
是中心对称图形，但不是轴对称图形，故B不符合题意；
既是轴对称图形也是中心对称图形，故C符合题意；
是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称和中心对称图形的定义，对四个图形逐一分析，再作出判断．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形能完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
2．【答案】D
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D 正确 ；
故答案为：D．
【分析】利用算术平方根的定义，分别求出每个式子的值，再判断．
3．【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解： 反比例函数的图象经过点，
，解得
反比例函数为，
满足，而，，都不满足，
图象必经过点．
故答案为：B．
【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k，求得反比例函数的解析式，再逐一验证坐标是否符合该解析式即可得解．
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
5．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、，不能判定四边形是正方形，原选项判断错误；
B、，不能判定四边形是平行四边形，原选项判断错误；
C、，则四边形是矩形，原选项判断错误；
D、，则四边形是矩形，原选项判断正确；
故选：D．
【分析】
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
6．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵ 该学习小组6名学生的分数分别为118，102，111，105，107，117 ，
∴这组数据的平均数为：，
将这组数据由小到大排列为：102，105，107，111，117，118，
中位数为：，
这组数据的平均数和中位数分别是110，109．
故答案为：A．
【分析】根据平均数和中位数的概念进行计算即可．
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设纸边的宽为，那么挂图的长和宽应该为和，
根据题意可得出方程为：，
故答案为：C．
【分析】设纸边的宽为，可以x分别表示出挂图的长和宽，根据总面积可列出方程．
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合，
∴，
∵四边形为平行四边形，
，
，，，
∵的周长为12，
，
又∵的周长为42，
，
，
解得：．
故答案为：B．
【分析】先根据翻折可得，再根据平行四边形的性质可得，然后利用的周长为的周长为42，可得，得到关于DF的方程求解．
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：在反比例函数中，，图象在第二四象限，
当时，
若，则且，或，故或，故A错误；
若，则或，故B错误；
若，则且，或，故，故C正确；
若，则，则，故D错误；
故答案为：C．
【分析】先根据可得反比例函数图象在第二四象限，根据选项逐一分析，再作出判断；
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：① 四边形是矩形，
，，，
，
为等腰直角三角形，，
，，根据等腰三角形三线合一，
，
若，设，则，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
解得，即，
故①正确；
若，则．设，
则，，
，，
在中，，
，
解得，
，
故②正确；
综上所述，结论①②正确；
故答案为：B．
【分析】①若，设，先用x分别表示出CD与BE，BC，再证明，然后根据全等三角形的性质得到，从而可得关于x的方程可求得，故结论①正确；②若，则．设，可用a分别表示出DE、DC、BE、BC，再在中，利用勾股定理得，得到关于a的方程求解，可得，故结论②正确；
11．【答案】7
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：这个多边形的边数是 ，
则： ，
解得 .
故答案为：7.
【分析】 直接根据多边形的内角和公式进行计算.
12．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
，
，
故答案为：．
【分析】先将进行配方，与进行对比即可求出m．
13．【答案】丙
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数都是9.8，最大且相等，而丙的方差最小，
∴丙的成绩最稳定，
∴综合平均数和方差两个方面说明丙成绩既高又稳定，
∴最合适的人选是丙．
故答案为：丙．
【分析】利用方差和平均数的意义求解，根据甲，乙，丙，丁四个人挑选平均数最大、方差最小为最合适的人选．平均数，是表示一组数据集中趋势的量数，可以用它来反映一组数据的一般情况和平均水平．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】先根据平行四边形的性质得出，再由，利用等边对等角得出，然后根据，即可解答．
15．【答案】15
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解： 力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，
∴设其函数关系式为，
又点在图象上，
，即，
力与此物体在力的方向上移动的距离函数关系式为
当力为时，即，
解得．
当力为时，此物体在力的方向上移动的距离是15．
故答案为：15．
【分析】结合图象给出的点的坐标，利用待定系数法求出F关于S的函数解析式，然后将f=40N代入所求的函数解析式算出对应的自变量s的值即可.
16．【答案】
【知识点】三角形三边关系；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，延长到点，使，连接，以点为原点，为x轴，垂直于方向为y轴，建立平面直角坐标系，
点和关于轴对称，
，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积为，边长为，
，解得，
∴，
，
，
，
，
，
，
，，三点共线时，取最小值，
的最小值
的最小值
.
故答案为：.
【分析】先根据菱形的性质和勾股定理可得，可得到各点坐标为，再证明．可得，由，然后可得，，三点共线时，取最小值，所以的最小值的最小值，最后利用两点间的距离公式求解．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算括号内的二次根式的减法，再合并同类二次根式后再计算平方；
（2）先利用二次根式的性质进行化简，再合并括号内的同类二次根式后再计算乘法.
18．【答案】（1）解：
方程左边分解因式，得，
所以x=0或x-2=0，
解得： ，．
（2）解：
两边同时加上5，得
即
，
解得： ，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
19．【答案】（1）解： 甲班10名学生比赛成绩中，出现次数最多的是19，出现2次，
甲班比赛成绩的众数是19，
乙班10名学生比赛成绩中，出现次数最多的是20，25，各出现2次，
乙班比赛成绩的众数是20，25．
（2）解：不正确，
甲班10名学生比赛成绩(单位∶ 个)∶ 10，11，12，18，19，19，25，26，29，31．
中位数为，
若甲班再增加一名同学踢毽子，则一共11个数据，假设该学生的成绩记作，则有11个学生，新的中位数是第6个成绩，
若，即10，11，12，18，，19，19，25，26，29，31．则第6个成绩是19，
若，即10，11，12，18，19，19，19，25，26，29，31．则第6个成绩是19，
若，即10，11，12，18，19，19，，25，26，29，31．则第6个成绩是19，
不管这位同学的成绩是多少，这组新数据的第6个数都是19，即新的中位数是19，故中位数不变．
（3）解：甲班10名学生中成绩不低于20个的有4位，乙班10名学生中成绩不低于20个的有6位，
估计这两个班可以获奖的学生总人数有：．
答：估计这两个班可以获奖的学生总人数有38（人） ．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据众数的概念进行求解；
（2）先根据中位数的概念，求出增加前后的中位数，再进行比较；
（3）先分别求出参加比赛的甲、乙班20名学生中可以获奖的比例，再分别乘以甲、乙班总人数，然后估计这两个班可以获奖的学生总人数.
20．【答案】（1）解：如图1所示，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴平行四边形即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图2所示，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴平行四边形即为所求（答案不唯一）；
（3）解：如图3所示，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形的面积，
∴菱形即为所求（答案不唯一）．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质直接作图；
（2）以为边，作底边为4的平行四边形；
（3）根据平行四边形的性质取格点M，N，连接作图．
21．【答案】（1）解：∵ 该方程有一个根是，
∴
解得：或；
（2）解：∵ 该方程有两个实数根，
∴，
解得：；
（3）解：∵ 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
∴，
∴
，
解得：或（不合题意，舍去）
∴．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）把代入方程求出的值即可；
（2）根据方程有两个实数根，得到，求解即可；
（3）根据根与系数的关系进行求解即可．
22．【答案】（1）解：，
，互相平分，
，
，
，
点为中点，
；
（2）解：，
，，
点，，分别为，，的中点，
，，，
，，
四边形是平行四边形；
（3）解：如图，过点作于点，
矩形，，
，
∴，
∴，是等边三角形，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
四边形的面积．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质先证明，再根据点为中点可得结论；
（2）先根据三角形中位线定理可得，，再结合平行四边形的性质，证明，，即可得出结论；
（3）先证明是等边三角形，求出，再利用勾股定理求出，得到的长，进而可计算四边形的面积．
23．【答案】（1）解： 函数与的图象都经过点，
，解得，
点，，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
，
，解得，或，
B点的坐标为．
（2）解：画出函数，的图象，如图所示，
直线与反比例函数交于A、B两点，，
，，
∴当函数的图象在函数的图象上时，所对应的自变量的取值范围为 或．
（3）解： 和点在函数的图象上，
，，
，，
，
∴，
当时，
，解得：，
∴，
，
，
P的取值范围是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；不等式的性质
【解析】【分析】（1）先根据两函数图象都过点A，得到关于m的方程求解，求出m的值，从而可得点A的坐标与直线的解析式，再根据点A在反比例函数的图象上，求出比例系数，从而可得反比例函数的解析式，再联立直线与反比例函数求出交点B的坐标；
（2）画出函数，的图象，根据两函数图象的交点坐标，根据图象得出当时，自变量x的取值范围；
（3）先根据点和点在函数的图象上，得到，，再利用，结合，求出，，利用不等式的性质即可求出P的取值范围．
24．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①，理由如下：
∵，
，
，
∵，
∴，
，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
，
；
②过点作交于，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质，并利用证明；
（2）①先证明和是等腰直角三角形，再线段的和求出CG与DG、BG的关系式，变形后可得；
②先利用SAS证明，再利用全等三角形的性质，结合，求出，然后利用勾股定理求出的长．
1 / 1浙江省宁波市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·宁波期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
是中心对称图形，但不是轴对称图形，故B不符合题意；
既是轴对称图形也是中心对称图形，故C符合题意；
是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称和中心对称图形的定义，对四个图形逐一分析，再作出判断．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形能完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
2．（2024八下·宁波期末）下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D 正确 ；
故答案为：D．
【分析】利用算术平方根的定义，分别求出每个式子的值，再判断．
3．（2024八下·宁波期末）若反比例函数的图象经过点，则图象必经过点(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解： 反比例函数的图象经过点，
，解得
反比例函数为，
满足，而，，都不满足，
图象必经过点．
故答案为：B．
【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k，求得反比例函数的解析式，再逐一验证坐标是否符合该解析式即可得解．
4．（2024八下·宁波期末）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为(　　)
A． B．2 C．2或 D．4或
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
5．（2024八下·宁波期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是(　　)
A．若，则四边形是正方形
B．若，则四边形是平行四边形
C．若，则四边形是菱形
D．若，则四边形是矩形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、，不能判定四边形是正方形，原选项判断错误；
B、，不能判定四边形是平行四边形，原选项判断错误；
C、，则四边形是矩形，原选项判断错误；
D、，则四边形是矩形，原选项判断正确；
故选：D．
【分析】
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
6．（2024八下·宁波期末）一次数学测试，某学习小组6名学生的分数分别为118，102，111，105，107，117．这组数据的平均数和中位数分别是(　　)
A．110，109 B．110，108 C．109，109 D．110，110
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵ 该学习小组6名学生的分数分别为118，102，111，105，107，117 ，
∴这组数据的平均数为：，
将这组数据由小到大排列为：102，105，107，111，117，118，
中位数为：，
这组数据的平均数和中位数分别是110，109．
故答案为：A．
【分析】根据平均数和中位数的概念进行计算即可．
7．（2024八下·宁波期末）金沙湖大剧院以形似水袖、飘飘而立，势如水形、绝美的颜值，成为金沙湖畔最具魅力的城市地标．如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为，宽为的金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周镶一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设纸边的宽为，则x满足的方程是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设纸边的宽为，那么挂图的长和宽应该为和，
根据题意可得出方程为：，
故答案为：C．
【分析】设纸边的宽为，可以x分别表示出挂图的长和宽，根据总面积可列出方程．
8．（2024八下·宁波期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若与的周长分别为12和42，则的长为(　　)
A．12 B．15 C．24 D．30
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合，
∴，
∵四边形为平行四边形，
，
，，，
∵的周长为12，
，
又∵的周长为42，
，
，
解得：．
故答案为：B．
【分析】先根据翻折可得，再根据平行四边形的性质可得，然后利用的周长为的周长为42，可得，得到关于DF的方程求解．
9．（2024八下·宁波期末）已知点 在反比例函数 的图象上，当 时，则下列判断正确的是 (　　)
A．若 ，则 B．若，则
C．若 ，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：在反比例函数中，，图象在第二四象限，
当时，
若，则且，或，故或，故A错误；
若，则或，故B错误；
若，则且，或，故，故C正确；
若，则，则，故D错误；
故答案为：C．
【分析】先根据可得反比例函数图象在第二四象限，根据选项逐一分析，再作出判断；
10．（2024八下·宁波期末）如图，已知四边形是矩形，对角线，交于点O，延长至点E，使得，连接交于点F．当时，有以下两个结论∶①若，则．②若，则．则下列判断正确的是(　　)
A．①②均错误 B．①②均正确
C．①错误②正确 D．①正确②错误
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：① 四边形是矩形，
，，，
，
为等腰直角三角形，，
，，根据等腰三角形三线合一，
，
若，设，则，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
解得，即，
故①正确；
若，则．设，
则，，
，，
在中，，
，
解得，
，
故②正确；
综上所述，结论①②正确；
故答案为：B．
【分析】①若，设，先用x分别表示出CD与BE，BC，再证明，然后根据全等三角形的性质得到，从而可得关于x的方程可求得，故结论①正确；②若，则．设，可用a分别表示出DE、DC、BE、BC，再在中，利用勾股定理得，得到关于a的方程求解，可得，故结论②正确；
11．（2024八下·宁波期末）已知一个 边形的内角和是 ，则 　 　.
【答案】7
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：这个多边形的边数是 ，
则： ，
解得 .
故答案为：7.
【分析】 直接根据多边形的内角和公式进行计算.
12．（2024八下·宁波期末）已知：，则m的值为　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
，
，
故答案为：．
【分析】先将进行配方，与进行对比即可求出m．
13．（2024八下·宁波期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的数据信息．
选手 甲 乙 丙 丁
平均数(环) 9.6 9.8 9.8 9.7
方差(环2) 0.46 0.38 0.15 0.27
若要从上述四人中推荐一位选手参加比赛，则最合适的人选是　 　．
【答案】丙
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数都是9.8，最大且相等，而丙的方差最小，
∴丙的成绩最稳定，
∴综合平均数和方差两个方面说明丙成绩既高又稳定，
∴最合适的人选是丙．
故答案为：丙．
【分析】利用方差和平均数的意义求解，根据甲，乙，丙，丁四个人挑选平均数最大、方差最小为最合适的人选．平均数，是表示一组数据集中趋势的量数，可以用它来反映一组数据的一般情况和平均水平．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．（2024八下·宁波期末）如图，在中，若、，，则　 　度．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】先根据平行四边形的性质得出，再由，利用等边对等角得出，然后根据，即可解答．
15．（2024八下·宁波期末）在对物体做功一定的情况下，力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为时，此物体在力的方向上移动的距离是　 　m．
【答案】15
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解： 力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，
∴设其函数关系式为，
又点在图象上，
，即，
力与此物体在力的方向上移动的距离函数关系式为
当力为时，即，
解得．
当力为时，此物体在力的方向上移动的距离是15．
故答案为：15．
【分析】结合图象给出的点的坐标，利用待定系数法求出F关于S的函数解析式，然后将f=40N代入所求的函数解析式算出对应的自变量s的值即可.
16．（2024八下·宁波期末）如图，已知菱形的面积为，点P，Q分别是在边，上(不与C点重合) ，且，连结，，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，延长到点，使，连接，以点为原点，为x轴，垂直于方向为y轴，建立平面直角坐标系，
点和关于轴对称，
，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积为，边长为，
，解得，
∴，
，
，
，
，
，
，
，，三点共线时，取最小值，
的最小值
的最小值
.
故答案为：.
【分析】先根据菱形的性质和勾股定理可得，可得到各点坐标为，再证明．可得，由，然后可得，，三点共线时，取最小值，所以的最小值的最小值，最后利用两点间的距离公式求解．
17．（2024八下·宁波期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算括号内的二次根式的减法，再合并同类二次根式后再计算平方；
（2）先利用二次根式的性质进行化简，再合并括号内的同类二次根式后再计算乘法.
18．（2024八下·宁波期末）解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
方程左边分解因式，得，
所以x=0或x-2=0，
解得： ，．
（2）解：
两边同时加上5，得
即
，
解得： ，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
19．（2024八下·宁波期末）某校甲、乙两班进行一分钟踢毽子比赛，两班各派出10名学生参赛，比赛成绩如下：甲班10名学生比赛成绩(单位∶ 个)∶ 10，11，12，18，19，19，25，26，29，31．乙班10名学生比赛成绩(单位∶ 个) ∶ 13，14，15，17，20，20，21，25，25，30．请根据以上信息，回答下列问题：
（1）请分别求出甲、乙两班比赛成绩的众数．
（2）有同学认为“若甲班再增加一名同学踢毽子，则甲班比赛成绩的中位数一定发生改变”，你认为这个说法正确吗？请说明理由．
（3）甲班共有学生35人，乙班共有学生40人，现全部参赛．按比赛规定，成绩不低于20个就可以获奖，请估计这两个班可以获奖的学生总人数．
【答案】（1）解： 甲班10名学生比赛成绩中，出现次数最多的是19，出现2次，
甲班比赛成绩的众数是19，
乙班10名学生比赛成绩中，出现次数最多的是20，25，各出现2次，
乙班比赛成绩的众数是20，25．
（2）解：不正确，
甲班10名学生比赛成绩(单位∶ 个)∶ 10，11，12，18，19，19，25，26，29，31．
中位数为，
若甲班再增加一名同学踢毽子，则一共11个数据，假设该学生的成绩记作，则有11个学生，新的中位数是第6个成绩，
若，即10，11，12，18，，19，19，25，26，29，31．则第6个成绩是19，
若，即10，11，12，18，19，19，19，25，26，29，31．则第6个成绩是19，
若，即10，11，12，18，19，19，，25，26，29，31．则第6个成绩是19，
不管这位同学的成绩是多少，这组新数据的第6个数都是19，即新的中位数是19，故中位数不变．
（3）解：甲班10名学生中成绩不低于20个的有4位，乙班10名学生中成绩不低于20个的有6位，
估计这两个班可以获奖的学生总人数有：．
答：估计这两个班可以获奖的学生总人数有38（人） ．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据众数的概念进行求解；
（2）先根据中位数的概念，求出增加前后的中位数，再进行比较；
（3）先分别求出参加比赛的甲、乙班20名学生中可以获奖的比例，再分别乘以甲、乙班总人数，然后估计这两个班可以获奖的学生总人数.
20．（2024八下·宁波期末）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上．
（1）如图1，画一个以 为边的平行四边形．
（2）如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形．
（3）如图3，画一个以 为对角线，且面积为7的平行四边形．
【答案】（1）解：如图1所示，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴平行四边形即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图2所示，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴平行四边形即为所求（答案不唯一）；
（3）解：如图3所示，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形的面积，
∴菱形即为所求（答案不唯一）．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质直接作图；
（2）以为边，作底边为4的平行四边形；
（3）根据平行四边形的性质取格点M，N，连接作图．
21．（2024八下·宁波期末）已知关于x的一元二次方程
（1）若该方程有一个根是，求k的值．
（2）若该方程有两个实数根，求k的取值范围．
（3）若该方程的两个实数根满足 ，求k的值．
【答案】（1）解：∵ 该方程有一个根是，
∴
解得：或；
（2）解：∵ 该方程有两个实数根，
∴，
解得：；
（3）解：∵ 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
∴，
∴
，
解得：或（不合题意，舍去）
∴．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）把代入方程求出的值即可；
（2）根据方程有两个实数根，得到，求解即可；
（3）根据根与系数的关系进行求解即可．
22．（2024八下·宁波期末）如图1，在中，对角线与相交于点O，，点E，F，G分别为，，的中点，连结，，，，交于点 M．
（1）求证：．
（2）求证：四边形为平行四边形．
（3）如图2，当为矩形时，若，求四边形的面积．
【答案】（1）解：，
，互相平分，
，
，
，
点为中点，
；
（2）解：，
，，
点，，分别为，，的中点，
，，，
，，
四边形是平行四边形；
（3）解：如图，过点作于点，
矩形，，
，
∴，
∴，是等边三角形，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
四边形的面积．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质先证明，再根据点为中点可得结论；
（2）先根据三角形中位线定理可得，，再结合平行四边形的性质，证明，，即可得出结论；
（3）先证明是等边三角形，求出，再利用勾股定理求出，得到的长，进而可计算四边形的面积．
23．（2024八下·宁波期末）在平面直角坐标系中，设函数(是实数)．，已知函数与的图象都经过点和点B．
（1）求函数，的解析式与B点的坐标．
（2）当时，请直接写出自变量x的取值范围．
（3）已知点和点在函数的图象上，且，设，当时，求P的取值范围．
【答案】（1）解： 函数与的图象都经过点，
，解得，
点，，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
，
，解得，或，
B点的坐标为．
（2）解：画出函数，的图象，如图所示，
直线与反比例函数交于A、B两点，，
，，
∴当函数的图象在函数的图象上时，所对应的自变量的取值范围为 或．
（3）解： 和点在函数的图象上，
，，
，，
，
∴，
当时，
，解得：，
∴，
，
，
P的取值范围是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；不等式的性质
【解析】【分析】（1）先根据两函数图象都过点A，得到关于m的方程求解，求出m的值，从而可得点A的坐标与直线的解析式，再根据点A在反比例函数的图象上，求出比例系数，从而可得反比例函数的解析式，再联立直线与反比例函数求出交点B的坐标；
（2）画出函数，的图象，根据两函数图象的交点坐标，根据图象得出当时，自变量x的取值范围；
（3）先根据点和点在函数的图象上，得到，，再利用，结合，求出，，利用不等式的性质即可求出P的取值范围．
24．（2024八下·宁波期末）如图1，在正方形中，点P在上，连接，过点B作于点E，过点D作于点F．
（1）求证：．
（2）如图2，延长至点G，使，连结，．
①探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
②连结，若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①，理由如下：
∵，
，
，
∵，
∴，
，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
，
；
②过点作交于，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质，并利用证明；
（2）①先证明和是等腰直角三角形，再线段的和求出CG与DG、BG的关系式，变形后可得；
②先利用SAS证明，再利用全等三角形的性质，结合，求出，然后利用勾股定理求出的长．
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