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2024-2025 学年广东省部分学校高二下学期 4 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某运动物体的位移 (单位：米)关于时间 (单位：秒)的函数关系式为 = 3 + ，则该物体在 = 1 秒时的
瞬时速度为( )
A. 4 米/秒 B. 3 米/秒 C. 2 米/秒 D. 1 米/秒
2.已知数列 1, 3,5, 7,9, ，则该数列的第 99 项为( )
A. 197 B. 197 C. 199 D. 199
3.下列求导正确的是( )
A. π2 ′ = 2π B. cos2 ′ = 2sin2
C. ln ′ = 1 D. 3
′ = 3 ln3
4 = 8, = 1+ .若数列 满足 1 +1 1 ，则 2026 =( )
A. 8 B. 1 C. 7 98 9 D. 7
5.已知函数 ( ) = ln2 2 ，则 ( )的单调递增区间为( )
1 1 1 1
A. (0, 1 1 1 12) B. ( ∞, 8) C. (0, 8) D. ( 22 2 2 2 , + ∞)
6.已知递增等比数列 3 的公比为 ，若 2 + 11 = 84， 4 9 = 243，则 =( )
A. 3 B. 3 C. 9 D. 3 3
7.若函数 ( ) = e 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是( )
A. 1, + ∞ B. e, + ∞ C. (0,1) D. 0, e
8.已知数列 满足 1 = 4，且 +1 = 2 3，则 211 =( )
A. 2210 3 B. 2211 1 C. 2210 + 3 D. 2211 + 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( )的导函数 ′( )的图象如图所示，则( )
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A. ( )在 2, 4 上单调递减 B. ( )在 5, + ∞ 上单调递增
C. ( )的一个极小值为 1 D. ( )在 1, 5 上的最大值为 3
10.已知等差数列 的前 项和为 ，且 2024 > 0, 2025 < 0，则( )
A. > 0 B. 1012 > 0
C.数列 中 1012最大 D.数列 中 1013 最小
11.过点(0,1)向曲线 = 3 3 2作切线，切线方程可能是( )
A. 4 15 + 15 = 0 B. 3 + 1 = 0
C. + 3 3 = 0 D. 15 4 + 4 = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 +2 .已知函数 ( )在 = 0处可导，若 lim 0 0 = 6，则 ′ = ． →0 0
13 .设等比数列 的前 项和为 ，若 6 = 3 ，则 9 2 = ．3 3
14.已知数列 满足 +2 = 2，且 1 = 1， 2 = 3，则 100 = ； 的前 100 项和为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 2 8 + 5 的图象在点(1, (1))处的切线方程为 7 + + = 0．
(1)求 ， ;
(2)求 ( )在[ 1,3]上的值域．
16.(本小题 15 分)
设等差数列 的公差为 ( > 0)，前 项和为 ，等比数列 的公比为 ，已知 1 = 1， 2 = 3， = + 1，
3 = 9．
(1)求 ， 的通项公式；
(2) = 记 ，求数列 的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 2 ln 1.
(1)若 = 1，求 ( )的极值；
(2)讨论 ( )的单调性；
(3)若 ( ) ≥ 0 恒成立，求实数 的取值集合．
18.(本小题 17 分)
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已知正项数列 的首项为 7，且 2 +1 3 2 +1 = + 3 ，数列 满足 1 = 4，3 1 + 3 2 + 3 3 + +
3 = 4 +1 4．
(1)求 和 的通项公式；
(2)求数列 + 的前 项和 ；
(3) 1 3设 2 = ( +1) ， 为数列 的前 项和，若对任意 ∈ ， ≥ 2 2 恒成立，求实数 的取值
范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( )的导函数为 ′( )，我们称函数 ′( )的导函数 ″( )为函数 ( )的二阶导函数，若一个连续函
数 ( )在区间 上的二阶导函数 ″( ) ≥ 0，则称 ( )为 上的凹函数，若二阶导函数 ″( ) ≤ 0，则称 ( )为
上的凸函数．
(1)证明：函数 ( ) = 13
3 + 1 22 + ln 是凸函数．

(2)已知函数 ( ) = e + sin ， ∈ 0, π ．
①若 ( )是 0, π 上的凹函数，求实数 的取值范围；
( ) π② 在 0, π 内有两个不同的零点 1， 2，证明：2 < 1 + 2 < π．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.74/1.75/1
3
4
14.101；5000
15.解：(1)因为 ( ) = 3 2 8 + 5，所以 ′( ) = 3 2 2 8，
则 ′(1) = 2 5 = 7， (1) = 2 = 7 ，
所以 = 1， = 4；
(2)由(1)知 ( ) = 3 2 8 + 5，
则 ′( ) = 3 2 2 8 = ( 2)(3 + 4)，
4
令 ′( ) = 0，得 = 3或 = 2，
则当 ∈ [ 1,2)时， ′( ) < 0，当 ∈ (2,3]，时， ′( ) > 0，
所以 ( )在[ 1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增，
因为 ( 1) = 11， (2) = 7， (3) = 1，
所以 ( )在[ 1,3]上的值域为[ 7,11]．
16.(1) 1( + 1) = 3 1 = 1 1 = 3由题意知 3 + 3 = 9，解得 = 2或 = 0 (舍去)，1
所以 = 1 + 2( 1) = 2 1，
则 1 = 1 = 1, = + 1 = 3，所以 = 1 × 3 1 = 3 1．
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2 1 1 1(2)由(1)知 = = 3 1 = (2 1) × 3 ．
0 1 2 1
因为 = 1 ×
1 1
3 + 3 × 3 + 5 ×
1
3 + + (2 1) ×
1
3 ，
1 1 2 3
所以3 = 1 ×
1
3 + 3 ×
1 1
3 + 5 × 3 + + (2 1) ×
1
3 ，
2 1 0 1 1 1 2 1 1 1
两式相减得3 = 3 + 2 3 + 3 + + 3 (2 1) × 3
1× 1 1
1
3 3 1
= 1 + 2 × 1 (2 1) ×1 33
= 1 + 1 1
1
3 (2 1) ×
1 1
3 = 2 (2 + 2) × 3 ，
+1故 = 3 3 1．
17.(1)因为 = 1，所以 ( ) = 2 2ln 1, > 0，
2 2( +1)( 1)
所以 ′( ) = 2 = ．
令 ′( ) > 0，得 > 1；令 ′( ) < 0，得 0 < < 1．
所以 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
所以 ( )的极小值为 (1) = 0，无极大值．
2
(2)因为 ( ) = 2 2 ln 1，所以 ′( ) = 2 2 =
2
．
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0, ( )在(0, + ∞)上单调递增．
当 > 0 时，令 ′( ) < 0，得 0 < < ，令 ′( ) > 0，得 > ．
故 ( )在 0, 上单调递减，在 , + ∞ 上单调递增．
(3)由(2)知，当 ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增．
因为 (1) = 0，所以当 ∈ (0,1)时， ( ) < 0，不满足题意．
当 > 0 时， ( )在 0, 上单调递减，在 , + ∞ 上单调递增，
所以 ( )min = = ln 1.若 ( ) ≥ 0，则 ( )min = ln 1 ≥ 0．
令 ( ) = ln 1，则 ′( ) = ln ，所以 ( )在(0,1)上单调递增，
在(1, + ∞)上单调递减，
所以 ( ) ≤ (1) = 0，所以 = 1，即实数 的取值集合为 1 ．
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18.(1)(1)因为 2 2 +1 3 +1 = + 3 ，所以 +1 + +1 3 = 0．
因为 > 0，所以 +1 3 = 0，即 +1 = 3．
又 1 = 7，所以 是首项为 7，公差为 3 的等差数列．
因为 3 +11 + 3 2 + 3 3 + + 3 = 4 4，①
所以当 ≥ 2 时，3 1 + 3 2 + 3 3 + + 3 1 = 4 4，②
① ②得 = 4 , 1 = 4 也满足 = 4 ．
故 的通项公式为 = 3 + 4, 的通项公式为 = 4 ．
(2)由(1)知 + = 3 + 4 + 4 ，
(7+3 +4) 2 +1
所以 = 2 +
4 1 4 = 3 +11 1 4 2 +
4 4
3
(3) 3 +4 1 1因为 = ( +1) = ( +1)×4 = ×4 1 ( +1)×4 ，
所以 = 1
1 1 1 1 1 1
2×4+ 2×4 3×42 + + ×4 1 ( +1)×4 = 1 ( +1)×4 ，
当 = 1 7时， 取得最小值8．
因为对任意 ∈ , ≥
1
2
2 3 7 12 恒成立，所以8 ≥ 2
2 32 ，
整理得 4 2 12 7 = (2 7)(2 + 1) ≤ 0 1 7，解得 ∈ 2 , 2 ．
19.(1)因为 ( ) = 1 3 + 1 23 2 + ln ，
2
所以 ′( ) = 2 + ln , ″( ) = 2 + 1 1 = 2 +1 < 0，
所以 ( )是(0, + ∞)上的凸函数．

(2) e①因为 ( ) = + sin , ∈ 0, π ，
e
所以 ′( ) = + cos ,
″( ) = e sin ．

因为 ( )是 0, π e 1 sin 上的凹函数，所以 sin ≥ 0 在 0, π 上恒成立，即 ≥ e ．
2sin +3π
令 ( ) = sin ，则 ′ cos sin 4e ( ) = e = e ．
当 ∈ 0, π 3π4 时， 4 < +
3π
4 < π，则
′( ) > 0, ( )单调递增；
当 ∈ π4 , π 时，π < +
3π 7π
4 < 4，则
′( ) < 0, ( )单调递减．
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π
( ) π 2 1 2max = 4 = π，所以 ≥ π，解得 0 < ≤ 2e4，2e4 2e4
π
所以实数 的取值范围是 0, 2e4 ．
②由①知，因为 ( )在 0, π 内有两个不同的零点 1, 2，
( ) = 1 0, π , = = 1所以方程 在 内有两个根 1 2，即 1 2 ．
( ) 0, π π π因为 在 4 上单调递增，在 4 , π 上单调递减，所以 0 < 1 < 4 < 2 < π．
欲证 1 + 2 < π，即证 2 < π 1
π2 > , π
因为 4π 且 ( )在 4 , π 上单调递减，π 1 > 4 ,
所以只需证明 2 > π 1 ，即证 1 > π 1 ．
> π sin 1 > sin π 1 1 1欲证 1 1 ，即证 e 1 eπ 1 ，即e 1 > e 1，
π
只需证eπ 1 > e 1，即证 1 < 2，而该式显然成立．
欲证 1 + 2 >
π π π
2，即证 2 > 2 1.因为2 1 ∈
π , π4 2 ，所以只需证 2 <
π
2 1 ，
sin π sin
π π
即证 = 1 < = 2
1
1 e 1 2 1 π ,即需证 tan 1 < e
2 1 2．
e2 1
1
tan π 2 2tan
令 ( ) = ， ∈ 0, ，则 ′( ) = cos 1 sin2 π π = π > 0，
e2 2 4 e2 2 e2 2cos2
π
所以 ( )在 0, 4 上单调递增，所以 ( ) <
π
4 = 1,则原不等式得证．
π
故2 < 1 + 2 < π．
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