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2024-2025学年吉林省松原市高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数，则( )
A. B. C. D.
2.某大学有个门，若从任意一个门进，从任意一个门出，共有不同的走法种数为( )
A. B. C. D.
3.已知函数的图象在点处的切线的方程为，且点在上，，则( )
A. B. C. D.
4.已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数的导函数为，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. 或 D.
7.已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下结论正确的是( )
A. 个人分别从个景点中选择一处游览，有种不同选法
B. 从名员工中选出经理、副经理各名，共有种不同的选法
C. 某学校需要从名男生和名女生中选取名志愿者，则志愿者中至少有名男生的不同选法有种
D. 用数字，，，这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有个
10.如图是导函数的图象，则下列说法正确的是( )
A. 函数在区间上单调递减
B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在处取得极小值
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 是函数的一个极大值点
B. 函数的对称中心为
C. 过点能作两条不同直线与相切
D. 函数有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机事件满足，，则 ．
13.的展开式中的系数为 ．
14.已知函数，若成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极值．
求函数的解析式及单调区间；
求函数在区间的最大值与最小值．
16.本小题分
现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
老师站在最中间，名女学生相邻；
名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
名女学生之间只有名男学生．
17.本小题分
设甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球每个球除颜色以外均相同．
从甲袋中取个球，求这个球中恰好有个红球的概率；
先从乙袋中取个球放入甲袋，再从甲袋中取个球，求从甲袋中取出的是个红球的概率．
18.本小题分
在的展开式中．
求二项式系数最大的项；
系数的绝对值最大的项是第几项？
求系数最大的项．
19.本小题分
已知函数
讨论的单调性；
若函数恰有两个极值点、．
求的取值范围；
证明：
参考答案
1.
2.
3.
4.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以，
由题意得，即，解得，
故解析式为，定义域为，
此时，令得或，
令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
显然为极小值点，故，
单调递增区间为，单调递减区间为；
由知，在上单调递增，在上单调递减，
表格如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
又，
故的最大值为，最小值为．

16.因老师站在最中间，名女生相邻，可先考虑从个男生中选人与女生在同侧有种，
这三个人与另外三个男生在老师两侧有种，女生与同侧的男生排序有种，
女生内部排序有种，另一边的三个男生排序有种，
由分步乘法计数原理，不同的排法有种；
先排老师和女生共有种站法，再排男生甲有种站法，最后排剩余的名男生有种站法，
所以共有种不同的站法；
先任选名男生站两名女生中间，有种站法，
再将这两名男生和两名女生进行捆绑与剩余的个人进行全排有种，
由分步乘法计数原理，共有种不同的站法．

17.依题意，从甲袋个球中取个球有种取法，
其中个球中恰好有个红球，
即恰好有个红球、个白球，有种取法，
所以个球中恰好有个红球的概率；
记为从乙袋中取出个红球、个白球，为从乙袋中取出个红球，
为从甲袋中取出个红球，
则，
，
所以．

18.解：二项式系数最大的项为中间项，
即第项， ；
的展开式的通项为
，，，
设第项系数的绝对值最大，显然，则
整理得，即
解得，而，则或，
所以系数的绝对值最大的项是第项和第项；
由知，展开式中的第项和第项系数的绝对值最大，而第项的系数为负，
第项的系数为正，所以系数最大的项为第项．

19.解：由题意知，
当时，，所以的增区间为，无减区间，
当时，令，解得，令，解得，
此时，函数的减区间为，增区间为，
综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间，
当时，函数的减区间为，增区间为；
由题意知，
所以，
因恰有两个极值点、，所以方程，即方程有两不等正根，
所以，解得，即的取值范围为；
由知，，
所以
，
所以，
令，其中，
所以，
因为函数 ，在上均为增函数，
则函数在上单调递增，
又，，
所以，使得，即，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又在上单调递增，则，
所以，所以，所以．

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