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四川省成都市青白江区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·青白江期末）计算的结果等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】根据有理数的加法法则"①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得；③一个数同相加仍得这个数"计算即可求解．
2．（2024八下·青白江期末）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的剪纸图案是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、此选项中的剪纸图案是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、此选项中的剪纸图案是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、此选项中的剪纸图案不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此逐一判断得出答案.
3．（2024八下·青白江期末）在平面直角坐标系中，将点A（－2，3）向左平移3个单位长度后得到的点的坐标为（　　）
A．（－5，3） B．（1，3） C．（－2，0） D．（－2，6）
【答案】A
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：一个点向左平移之后的点的坐标，纵坐标不变，横坐标减3，即得到坐标(-5，3)，
故答案为：A.
【分析】坐标平移的规律是：右加左减，上加下减，依此解答，即可得出结果.
4．（2024八下·青白江期末）下列可以用完全平方公式因式分解的是（　　）
A．4a2﹣4a﹣1 B．4a2＋2a＋1 C．1﹣4a＋4a2 D．2a2＋4a＋1
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、4a2﹣4a﹣1不能用完全平方公式分解因式，此选项不符合题意；
B、4a2+2a+1不能用完全平方公式分解因式，此选项不符合题意；
C、1﹣4a+4a2＝(1﹣2a)2，能用完全平方公式分解因式，此选项符合题意；
D、2a2+4a+1不能用完全平方公式分解因式，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据完全平方公式“a2±2ab+b2=(a±b)2”并结合各选项即可判断求解．
5．（2024八下·青白江期末）约分的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】
故答案为：B．
【分析】利用分式的性质计算求解即可。
6．（2024八下·青白江期末）如图，等边的边长为6，于点D，则AD的长为（　　）
A．3 B．6 C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝BC＝3，
由勾股定理得：，
故答案为：D．
【分析】根据等边三角形的性质得BD=CD=BC求出CD的值，在Rt△ACD中，根据勾股定理可求解．
7．（2024八下·青白江期末）已知，下列四个不等式中不正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、2-a>2-b，故A错误；
B、两边同时乘以3，得3a<3b，故B正确；
C、两边同时乘以-3，得-3a>-3b，故C正确；
D、两边同时加3，得a+3故答案为：A
【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可求解。
8．（2024八下·青白江期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点，若∠EBC=50°，则∠D的度数为（　　）
A．50° B．100° C．130° D．150°
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A=∠EBC=50°，∠A+∠D=180°，
∴∠D=130°．
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质“平行四边形的对边分别平行”可得，AB∥CD，AD∥BC，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”即可求解．
9．（2024八下·青白江期末）“与的差大于”用不等式表示为　 　．
【答案】
【知识点】列不等式
【解析】【解答】由题意得x-y>4
答案：
【分析】直接由题意表示出不等式即可.
10．（2024八下·青白江期末）一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数是　 　.
【答案】十二
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得
解得：n=12.
故答案为：十二.
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式，由其内角和为1800°即可建立方程，求解即可.
11．（2024八下·青白江期末）分式有意义的条件是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】x-2≠0得x≠2
答案：
【分析】直接由分母不为零即可得x的范围.
12．（2024八下·青白江期末）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件　 　，使四边形是平行四边形．
【答案】OB=OD（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：添加条件：OB=OD，
证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：OB=OD（答案不唯一）.
【分析】平行四边形的判定方法：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④两组对边分别平行的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，据此结合已知添加即可.
13．（2024八下·青白江期末）如图所示，在中，，，，以A 为圆心，的长为半径作弧交于点 D，连接；再分别以点B 和点 D 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 P，射线交于点E，则的长是　 　．
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法得AE垂直平分BD，AB=AD=5
∴BD=2ED，AE⊥BC．
∴∠AEC=90°，
在中，
在中，
∴．
故答案为：6．
【分析】由作法得AE垂直平分BD，AB=AD=5，根据垂直平分线的定义得BD=2ED，∠AEC=90°，在Rt△AEC中，根据含30°角直角三角形的性质得出AE=4，进而根据勾股定理算出DE=3，最后再在Rt△ADE中利用那个勾股定理算出DE，从而即可得出BD的长.
14．（2024八下·青白江期末）因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
15．（2024八下·青白江期末）解不等式：．请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．
【答案】（1）
（2）
（3）解：根据（1）和（2）结果，作图如下，
（4）
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：；
（4）解：根据（3）中的图形，可知不等式组的解集为：，
故答案为：．
【分析】（1）根据去括号，移项，合并同类项即可求解；
（2）根据去分母，移项，合并同类项，系数化为1即可求解；
（3）根据（1）和（2）的计算结果并结合“＞”空心向右、“≤”实心向左作图即可；
（4）根据（3）中的图形，找到两个解集的公共部分，即可求解．
（1）
，
故答案为：；
（2）
，
故答案为：；
（3）根据（1）和（2）结果，作图如下，
（4）根据（3）中的图形，可知不等式组的解集为：，
故答案为：．
16．（2024八下·青白江期末）（1）解方程：
（2）先化简，后计算：，其中是满足条件的合适的非负整数．
【答案】解：（1）在方程两边乘以，得：
，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解；
（2）
，
∵且且，
即且且，
又∵是满足条件的合适的非负整数，
∴，
当时，原式
【知识点】解分式方程；分式的化简求值-择值代入
17．（2024八下·青白江期末）如图，在平面直角系中，已知的三个顶点坐标分别是A（ 3，4），B（ 4，2），C（ 2，3）．
（1）将向下平移5个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于y轴的对称的，并写出的坐标；
（3）求面积．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；；
（3）解：
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，分别将A、B、C向下平移5个单位长度得到A1、B1、C1，顺次连接A1、B1、C1，得到所求的△A1B1C1；
（2）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作A、B、C关于y轴的对称点A2、B2、C2，顺次连接A2、B2、C2，得到所求的△A2B2C2；
（3）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接正方形的面积减去△ABC周围三个直角三角形的面积即可.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：
18．（2024八下·青白江期末）如图，在中，，，AB＝8cm，动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为．
（1）当为何值时，是等边三角形？
（2）当为何值时，是直角三角形？
（3）过点作交于点，连接，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）解：由题意知：AP=2t，AF=8-t，
在中，，
∴，．
当AF=AP时，即时，是等边三角形，
∴当时，是等边三角形
（2）解：当时，，
∴，
∴，
解得，；
当时，，
∴，
∴，
解得，，
∴当或时，是直角三角形
（3）证明：，，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
【知识点】等边三角形的判定；平行四边形的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题
19．（2024八下·青白江期末）若，且m﹣n＝﹣3，则m+n＝　 　．
【答案】2
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，m﹣n＝﹣3，
∴﹣3（m+n）＝﹣6，
∴m+n＝2，
故答案为：2.
【分析】首先将题干给出的第一个方程左边利用平方差公式分解因式，然后将第二个方程整体代入，再根据等式性质，在等式两边同时除以-3，即可求出m+n的值.
20．（2024八下·青白江期末）若分式的值为，实数、应满足的条件是　 　．
【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意知a-b=0且a-2≠0得
故答案为：
【分析】直接由分式的值为零的条件即可得a、b满足的条件.
21．（2024八下·青白江期末）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，
∴A'B'=AB=4，∠ACA'=90°，AC=A'C
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由旋转的性质可得A'B'=AB=4，∠ACA'=90°，AC=A'C，由等腰直角三角形的性质及角的和差得∠CA'B'=30°，根据含30°角直角三角形的性质得出B'C=2，在Rt△A'B'C中，利用勾股定理求得，最后利用AB'=AC-B'C解答即可．
22．（2024八下·青白江期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点A在直线上，点B的坐标是，，，，将先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，此时点B恰好落在直线上，则的值是　 　．
【答案】6
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意知，，即，
将代入得，，
解得，，
∴，
点平移后的点坐标为，即，
将代入得，，
解得，，
故答案为：6．
【分析】根据点的坐标与图形的性质可得，将代入，求出k的值，从而得到一次函数的解析式；根据点的坐标平移规律“横坐标左移加右移加，纵坐标上移加下移减”得点平移后的点坐标为，将代代入直线l的解析式即可求出m的值.
23．（2024八下·青白江期末）如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵垂线段最短，
∴当点E与点H重合时，最小，此时，
∴最小值为，
故答案为： ．
【分析】延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，在Rt△BCM中，用勾股定理求出CM的值，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形CMGH是平行四边形，由平行四边形的性质可得GH=CM，结合等边三角形的性质，用边角边可证△CBF≌△GBE，根据全等三角形的对应边相等可得CF=GE，由垂线段最短可得，当点E与点H重合时，最小．
24．（2024八下·青白江期末）【阅读理解】
以上分解因式的方法称为分组分解法，分组的方式可以任意两项组合成一组，也可以是其中若干项分成一组．
【问题解决】
（1）分解因式：；
（2）的三边，，满足，判断的形状．
【答案】（1）解：
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，是的三边，
∴，
∴，即，
∴是等腰三角形
【知识点】因式分解的应用；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）根据材料中的分组分解法并结合完全平方公式和平方差公式即可将原式进行因式分解；
（2）先将已知的等式分解因式得：，根据三角形三边为正数可得，，即可判断求解．
（1）解：
；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，是的三边，
∴，
∴，即，
∴是等腰三角形．
25．（2024八下·青白江期末）“龙年到，行大运”，新学期伊始，某班级欲购买一些龙年元素的贴纸装饰教室，经过挑选，选定了“龙行大吉”和“龙腾虎跃”两款贴纸．经过了解，“龙腾虎跃”贴纸比“龙行大吉”贴纸单价贵元，花费元购买的“龙腾虎跃”贴纸与花费元购买的“龙行大吉”贴纸数量相同．
（1）“龙腾虎跃”与“龙行大吉”两种贴纸的单价分别为多少元？
（2）该班级计划花费不超过元，购买两种贴纸共张，且“龙行大吉”贴纸数量不超过“龙腾虎跃”贴纸数量的倍，问该班级有哪几种购买方案？请将购买方案列举出来．
【答案】（1）解：设“龙行大吉”贴纸的单价为元，则“龙腾虎跃”贴纸的单价元，
由题意可得，，
解得，，
经检验，是原方程的解，符合题意，
∴，
答：“龙行大吉”贴纸的单价为元，“龙腾虎跃”贴纸的单价元
（2）解：设购买了张“龙腾虎跃”贴纸，则购买了张“龙行大吉”贴纸，
由题意可得，，
解得，，
∵为整数，
∴或，
∴有两种购买方案：
方案一：购买张“龙腾虎跃”贴纸，张“龙行大吉”贴纸；
方案一：购买张“龙腾虎跃”贴纸，张“龙行大吉”贴纸
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（）设“龙行大吉”贴纸的单价为元，则“龙腾虎跃”贴纸的单价元，根据题中的相等关系“用元购买的“龙腾虎跃”贴纸数量=用元购买的“龙行大吉”贴纸数量”列关于x的分式方程，解分式方程并检验即可求解；
（）设购买了张“龙腾虎跃”贴纸，则购买了张“龙行大吉”贴纸，根据题中的两个不等关系“(10-a)张“龙行大吉”贴纸的费用+a张“龙腾虎跃”贴纸的费用≤40，“龙行大吉”贴纸数量≤“龙腾虎跃”贴纸数量×2”列出关于a的不等式组，解不等式组求出的取值范围，由是整数得的值即可求解.
（1）解：设“龙行大吉”贴纸的单价为元，则“龙腾虎跃”贴纸的单价元，
由题意可得，，
解得，
经检验，是原方程的解，符合题意，
∴，
答：“龙行大吉”贴纸的单价为元，“龙腾虎跃”贴纸的单价元；
（2）解：设购买了张“龙腾虎跃”贴纸，则购买了张“龙行大吉”贴纸，
由题意可得，，
解得，
∵为整数，
∴或，
∴有两种购买方案：
方案一：购买张“龙腾虎跃”贴纸，张“龙行大吉”贴纸；
方案一：购买张“龙腾虎跃”贴纸，张“龙行大吉”贴纸．
26．（2024八下·青白江期末）如图，在中，，点P是所在平面内的一点，过点P作交AB于点E，交BC于点D，交AC于点F．
（1）当点P在BC边上时，如图①所示，此时点P与点D重合，则线段AB与线段PE、PF有何关系，说明理由．
（2）当点P在内部时，如图②所示，作交AB于G，求证：
①四边形AEPF、四边形PDGE都是平行四边形；
②．
（3）当点P在外部时，如图③所示，AB、PE、PF、PD这四条线段之间又有着怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
【答案】（1）解：结论：，理由如下：
证明：，
，
，
，
，
，
交AB于点E，交BC于点D，
四边形是平行四边形，
，
（2）①证明：交AB于点E，交BC于点D，
四边形是平行四边形，
，交BC于点D，
四边形PDGE是平行四边形；
②四边形AEPF、四边形PDGE都是平行四边形，
∴PF＝AE，PE＝DG，PD＝GE，
与（1）同理可得GD＝GB，
∴PE＝BG，
∴PE＋PF＋PD＝BG＋AE＋GE＝AB
（3）解：结论：PE＋PF PD＝AB．理由：
作PGBC交AB的延长线于G点，如图，
∵PEAC，PFAB，
∴四边形AEPF、PDBG都为平行四边形，
∴PF＝AE，PD＝BG，
同理可得PE＝GE，
∴PE＋PF＋PD＝GE＋AE＋BG＝AB＋2BG＝AB＋2PD，
即PE＋PF PD＝AB
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）结论：，理由如下：由等边对等角可得，根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，结合已知可得，由等角对等边可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得，再根据线段的和差即可求解；
（2）①根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求证；
②根据（1）的方法可得，再根据线段的和差可求解；
（3）结论：PE＋PF PD＝AB．理由：作PGBC交AB的延长线于G点，同理可得PE＝GE，再根据线段的和差可求解.
（1）证明：，
，
，
，
，
，
交AB于点E，交BC于点D，
四边形是平行四边形，
，
（2）①证明：交AB于点E，交BC于点D，
四边形是平行四边形，
，交BC于点D，
四边形PDGE是平行四边形；
②四边形AEPF、四边形PDGE都是平行四边形，
∴PF＝AE，PE＝DG，PD＝GE，
与（1）同理可得GD＝GB，
∴PE＝BG，
∴PE＋PF＋PD＝BG＋AE＋GE＝AB；
（3）解：结论：PE＋PF PD＝AB．
理由：作PGBC交AB的延长线于G点，如图，
∵PEAC，PFAB，
∴四边形AEPF、PDBG都为平行四边形，
∴PF＝AE，PD＝BG，
同理可得PE＝GE，
∴PE＋PF＋PD＝GE＋AE＋BG＝AB＋2BG＝AB＋2PD，
即PE＋PF PD＝AB．
1 / 1四川省成都市青白江区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·青白江期末）计算的结果等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·青白江期末）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·青白江期末）在平面直角坐标系中，将点A（－2，3）向左平移3个单位长度后得到的点的坐标为（　　）
A．（－5，3） B．（1，3） C．（－2，0） D．（－2，6）
4．（2024八下·青白江期末）下列可以用完全平方公式因式分解的是（　　）
A．4a2﹣4a﹣1 B．4a2＋2a＋1 C．1﹣4a＋4a2 D．2a2＋4a＋1
5．（2024八下·青白江期末）约分的结果是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·青白江期末）如图，等边的边长为6，于点D，则AD的长为（　　）
A．3 B．6 C． D．
7．（2024八下·青白江期末）已知，下列四个不等式中不正确的是(　　)
A． B． C． D．
8．（2024八下·青白江期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点，若∠EBC=50°，则∠D的度数为（　　）
A．50° B．100° C．130° D．150°
9．（2024八下·青白江期末）“与的差大于”用不等式表示为　 　．
10．（2024八下·青白江期末）一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数是　 　.
11．（2024八下·青白江期末）分式有意义的条件是　 　．
12．（2024八下·青白江期末）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件　 　，使四边形是平行四边形．
13．（2024八下·青白江期末）如图所示，在中，，，，以A 为圆心，的长为半径作弧交于点 D，连接；再分别以点B 和点 D 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 P，射线交于点E，则的长是　 　．
14．（2024八下·青白江期末）因式分解：
（1）；
（2）．
15．（2024八下·青白江期末）解不等式：．请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．
16．（2024八下·青白江期末）（1）解方程：
（2）先化简，后计算：，其中是满足条件的合适的非负整数．
17．（2024八下·青白江期末）如图，在平面直角系中，已知的三个顶点坐标分别是A（ 3，4），B（ 4，2），C（ 2，3）．
（1）将向下平移5个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于y轴的对称的，并写出的坐标；
（3）求面积．
18．（2024八下·青白江期末）如图，在中，，，AB＝8cm，动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为．
（1）当为何值时，是等边三角形？
（2）当为何值时，是直角三角形？
（3）过点作交于点，连接，求证：四边形是平行四边形．
19．（2024八下·青白江期末）若，且m﹣n＝﹣3，则m+n＝　 　．
20．（2024八下·青白江期末）若分式的值为，实数、应满足的条件是　 　．
21．（2024八下·青白江期末）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为　 　．
22．（2024八下·青白江期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点A在直线上，点B的坐标是，，，，将先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，此时点B恰好落在直线上，则的值是　 　．
23．（2024八下·青白江期末）如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 　 　．
24．（2024八下·青白江期末）【阅读理解】
以上分解因式的方法称为分组分解法，分组的方式可以任意两项组合成一组，也可以是其中若干项分成一组．
【问题解决】
（1）分解因式：；
（2）的三边，，满足，判断的形状．
25．（2024八下·青白江期末）“龙年到，行大运”，新学期伊始，某班级欲购买一些龙年元素的贴纸装饰教室，经过挑选，选定了“龙行大吉”和“龙腾虎跃”两款贴纸．经过了解，“龙腾虎跃”贴纸比“龙行大吉”贴纸单价贵元，花费元购买的“龙腾虎跃”贴纸与花费元购买的“龙行大吉”贴纸数量相同．
（1）“龙腾虎跃”与“龙行大吉”两种贴纸的单价分别为多少元？
（2）该班级计划花费不超过元，购买两种贴纸共张，且“龙行大吉”贴纸数量不超过“龙腾虎跃”贴纸数量的倍，问该班级有哪几种购买方案？请将购买方案列举出来．
26．（2024八下·青白江期末）如图，在中，，点P是所在平面内的一点，过点P作交AB于点E，交BC于点D，交AC于点F．
（1）当点P在BC边上时，如图①所示，此时点P与点D重合，则线段AB与线段PE、PF有何关系，说明理由．
（2）当点P在内部时，如图②所示，作交AB于G，求证：
①四边形AEPF、四边形PDGE都是平行四边形；
②．
（3）当点P在外部时，如图③所示，AB、PE、PF、PD这四条线段之间又有着怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】根据有理数的加法法则"①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得；③一个数同相加仍得这个数"计算即可求解．
2．【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的剪纸图案是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、此选项中的剪纸图案是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、此选项中的剪纸图案是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、此选项中的剪纸图案不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：一个点向左平移之后的点的坐标，纵坐标不变，横坐标减3，即得到坐标(-5，3)，
故答案为：A.
【分析】坐标平移的规律是：右加左减，上加下减，依此解答，即可得出结果.
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、4a2﹣4a﹣1不能用完全平方公式分解因式，此选项不符合题意；
B、4a2+2a+1不能用完全平方公式分解因式，此选项不符合题意；
C、1﹣4a+4a2＝(1﹣2a)2，能用完全平方公式分解因式，此选项符合题意；
D、2a2+4a+1不能用完全平方公式分解因式，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据完全平方公式“a2±2ab+b2=(a±b)2”并结合各选项即可判断求解．
5．【答案】B
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】
故答案为：B．
【分析】利用分式的性质计算求解即可。
6．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝BC＝3，
由勾股定理得：，
故答案为：D．
【分析】根据等边三角形的性质得BD=CD=BC求出CD的值，在Rt△ACD中，根据勾股定理可求解．
7．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、2-a>2-b，故A错误；
B、两边同时乘以3，得3a<3b，故B正确；
C、两边同时乘以-3，得-3a>-3b，故C正确；
D、两边同时加3，得a+3故答案为：A
【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可求解。
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A=∠EBC=50°，∠A+∠D=180°，
∴∠D=130°．
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质“平行四边形的对边分别平行”可得，AB∥CD，AD∥BC，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”即可求解．
9．【答案】
【知识点】列不等式
【解析】【解答】由题意得x-y>4
答案：
【分析】直接由题意表示出不等式即可.
10．【答案】十二
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得
解得：n=12.
故答案为：十二.
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式，由其内角和为1800°即可建立方程，求解即可.
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】x-2≠0得x≠2
答案：
【分析】直接由分母不为零即可得x的范围.
12．【答案】OB=OD（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：添加条件：OB=OD，
证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：OB=OD（答案不唯一）.
【分析】平行四边形的判定方法：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④两组对边分别平行的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，据此结合已知添加即可.
13．【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法得AE垂直平分BD，AB=AD=5
∴BD=2ED，AE⊥BC．
∴∠AEC=90°，
在中，
在中，
∴．
故答案为：6．
【分析】由作法得AE垂直平分BD，AB=AD=5，根据垂直平分线的定义得BD=2ED，∠AEC=90°，在Rt△AEC中，根据含30°角直角三角形的性质得出AE=4，进而根据勾股定理算出DE=3，最后再在Rt△ADE中利用那个勾股定理算出DE，从而即可得出BD的长.
14．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
15．【答案】（1）
（2）
（3）解：根据（1）和（2）结果，作图如下，
（4）
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：；
（4）解：根据（3）中的图形，可知不等式组的解集为：，
故答案为：．
【分析】（1）根据去括号，移项，合并同类项即可求解；
（2）根据去分母，移项，合并同类项，系数化为1即可求解；
（3）根据（1）和（2）的计算结果并结合“＞”空心向右、“≤”实心向左作图即可；
（4）根据（3）中的图形，找到两个解集的公共部分，即可求解．
（1）
，
故答案为：；
（2）
，
故答案为：；
（3）根据（1）和（2）结果，作图如下，
（4）根据（3）中的图形，可知不等式组的解集为：，
故答案为：．
16．【答案】解：（1）在方程两边乘以，得：
，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解；
（2）
，
∵且且，
即且且，
又∵是满足条件的合适的非负整数，
∴，
当时，原式
【知识点】解分式方程；分式的化简求值-择值代入
17．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；；
（3）解：
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，分别将A、B、C向下平移5个单位长度得到A1、B1、C1，顺次连接A1、B1、C1，得到所求的△A1B1C1；
（2）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作A、B、C关于y轴的对称点A2、B2、C2，顺次连接A2、B2、C2，得到所求的△A2B2C2；
（3）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接正方形的面积减去△ABC周围三个直角三角形的面积即可.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：
18．【答案】（1）解：由题意知：AP=2t，AF=8-t，
在中，，
∴，．
当AF=AP时，即时，是等边三角形，
∴当时，是等边三角形
（2）解：当时，，
∴，
∴，
解得，；
当时，，
∴，
∴，
解得，，
∴当或时，是直角三角形
（3）证明：，，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
【知识点】等边三角形的判定；平行四边形的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题
19．【答案】2
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，m﹣n＝﹣3，
∴﹣3（m+n）＝﹣6，
∴m+n＝2，
故答案为：2.
【分析】首先将题干给出的第一个方程左边利用平方差公式分解因式，然后将第二个方程整体代入，再根据等式性质，在等式两边同时除以-3，即可求出m+n的值.
20．【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意知a-b=0且a-2≠0得
故答案为：
【分析】直接由分式的值为零的条件即可得a、b满足的条件.
21．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，
∴A'B'=AB=4，∠ACA'=90°，AC=A'C
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由旋转的性质可得A'B'=AB=4，∠ACA'=90°，AC=A'C，由等腰直角三角形的性质及角的和差得∠CA'B'=30°，根据含30°角直角三角形的性质得出B'C=2，在Rt△A'B'C中，利用勾股定理求得，最后利用AB'=AC-B'C解答即可．
22．【答案】6
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意知，，即，
将代入得，，
解得，，
∴，
点平移后的点坐标为，即，
将代入得，，
解得，，
故答案为：6．
【分析】根据点的坐标与图形的性质可得，将代入，求出k的值，从而得到一次函数的解析式；根据点的坐标平移规律“横坐标左移加右移加，纵坐标上移加下移减”得点平移后的点坐标为，将代代入直线l的解析式即可求出m的值.
23．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵垂线段最短，
∴当点E与点H重合时，最小，此时，
∴最小值为，
故答案为： ．
【分析】延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，在Rt△BCM中，用勾股定理求出CM的值，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形CMGH是平行四边形，由平行四边形的性质可得GH=CM，结合等边三角形的性质，用边角边可证△CBF≌△GBE，根据全等三角形的对应边相等可得CF=GE，由垂线段最短可得，当点E与点H重合时，最小．
24．【答案】（1）解：
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，是的三边，
∴，
∴，即，
∴是等腰三角形
【知识点】因式分解的应用；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）根据材料中的分组分解法并结合完全平方公式和平方差公式即可将原式进行因式分解；
（2）先将已知的等式分解因式得：，根据三角形三边为正数可得，，即可判断求解．
（1）解：
；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，是的三边，
∴，
∴，即，
∴是等腰三角形．
25．【答案】（1）解：设“龙行大吉”贴纸的单价为元，则“龙腾虎跃”贴纸的单价元，
由题意可得，，
解得，，
经检验，是原方程的解，符合题意，
∴，
答：“龙行大吉”贴纸的单价为元，“龙腾虎跃”贴纸的单价元
（2）解：设购买了张“龙腾虎跃”贴纸，则购买了张“龙行大吉”贴纸，
由题意可得，，
解得，，
∵为整数，
∴或，
∴有两种购买方案：
方案一：购买张“龙腾虎跃”贴纸，张“龙行大吉”贴纸；
方案一：购买张“龙腾虎跃”贴纸，张“龙行大吉”贴纸
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（）设“龙行大吉”贴纸的单价为元，则“龙腾虎跃”贴纸的单价元，根据题中的相等关系“用元购买的“龙腾虎跃”贴纸数量=用元购买的“龙行大吉”贴纸数量”列关于x的分式方程，解分式方程并检验即可求解；
（）设购买了张“龙腾虎跃”贴纸，则购买了张“龙行大吉”贴纸，根据题中的两个不等关系“(10-a)张“龙行大吉”贴纸的费用+a张“龙腾虎跃”贴纸的费用≤40，“龙行大吉”贴纸数量≤“龙腾虎跃”贴纸数量×2”列出关于a的不等式组，解不等式组求出的取值范围，由是整数得的值即可求解.
（1）解：设“龙行大吉”贴纸的单价为元，则“龙腾虎跃”贴纸的单价元，
由题意可得，，
解得，
经检验，是原方程的解，符合题意，
∴，
答：“龙行大吉”贴纸的单价为元，“龙腾虎跃”贴纸的单价元；
（2）解：设购买了张“龙腾虎跃”贴纸，则购买了张“龙行大吉”贴纸，
由题意可得，，
解得，
∵为整数，
∴或，
∴有两种购买方案：
方案一：购买张“龙腾虎跃”贴纸，张“龙行大吉”贴纸；
方案一：购买张“龙腾虎跃”贴纸，张“龙行大吉”贴纸．
26．【答案】（1）解：结论：，理由如下：
证明：，
，
，
，
，
，
交AB于点E，交BC于点D，
四边形是平行四边形，
，
（2）①证明：交AB于点E，交BC于点D，
四边形是平行四边形，
，交BC于点D，
四边形PDGE是平行四边形；
②四边形AEPF、四边形PDGE都是平行四边形，
∴PF＝AE，PE＝DG，PD＝GE，
与（1）同理可得GD＝GB，
∴PE＝BG，
∴PE＋PF＋PD＝BG＋AE＋GE＝AB
（3）解：结论：PE＋PF PD＝AB．理由：
作PGBC交AB的延长线于G点，如图，
∵PEAC，PFAB，
∴四边形AEPF、PDBG都为平行四边形，
∴PF＝AE，PD＝BG，
同理可得PE＝GE，
∴PE＋PF＋PD＝GE＋AE＋BG＝AB＋2BG＝AB＋2PD，
即PE＋PF PD＝AB
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）结论：，理由如下：由等边对等角可得，根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，结合已知可得，由等角对等边可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得，再根据线段的和差即可求解；
（2）①根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求证；
②根据（1）的方法可得，再根据线段的和差可求解；
（3）结论：PE＋PF PD＝AB．理由：作PGBC交AB的延长线于G点，同理可得PE＝GE，再根据线段的和差可求解.
（1）证明：，
，
，
，
，
，
交AB于点E，交BC于点D，
四边形是平行四边形，
，
（2）①证明：交AB于点E，交BC于点D，
四边形是平行四边形，
，交BC于点D，
四边形PDGE是平行四边形；
②四边形AEPF、四边形PDGE都是平行四边形，
∴PF＝AE，PE＝DG，PD＝GE，
与（1）同理可得GD＝GB，
∴PE＝BG，
∴PE＋PF＋PD＝BG＋AE＋GE＝AB；
（3）解：结论：PE＋PF PD＝AB．
理由：作PGBC交AB的延长线于G点，如图，
∵PEAC，PFAB，
∴四边形AEPF、PDBG都为平行四边形，
∴PF＝AE，PD＝BG，
同理可得PE＝GE，
∴PE＋PF＋PD＝GE＋AE＋BG＝AB＋2BG＝AB＋2PD，
即PE＋PF PD＝AB．
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