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2024-2025 学年辽宁省沈阳市五校协作体高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.角 的终边与 65°的终边关于 轴对称，则 =( )
A. ·180° 65°( ∈ ) B. ·360° 65°( ∈ )
C. ·180° + 115°( ∈ ) D. ·360° + 115°( ∈ )
2 12.伊丽莎白塔俗称“大本钟”，是英国伦敦的标志性建筑．该钟的时针长约为 2.8 ，则经过 7 h，时针的
针尖走过的路程约为( )
A. 0.4πm B. 0.6πm C. 0.8πm D. 0.9πm
sin(6π )cos(5π+ )cos π2+ 3.已知角 的终边经过点 ( 5, 2)，则 的值为( )
cos(3π )sin( π )sin 3π2 +
A. 2 55 B.
5
2 C.
2 5 5
5 D. 2
4 7 3 sin .已知 cos + sin = 4 ， ∈ 2 , 2 ，则1 tan 的值为( )
A. 9 9 9 940 B. 40 C. 20 D. 20
5.将函数 = sin 2 + 4 的图象向右平移 > 0 个单位，所得函数图象关于 轴对称，则 的最小值
为( )
A. 4 B.
3
4 C.

8 D.
3
8
6.已知函数 ( ) = cos 3sin ( > 0)的部分图象如图所示，则下列选项不．正．确．的是( )
A.函数 ( ) 7π的图象关于点 12 , 0 中心对称
B.函数 ( )的单调增区间为 π 2π π3 , π 6 ∈ Z
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C.函数 ( ) = ( )( > 0)在 0, π 7 13上有 2 个零点，则实数 的取值范围为 24 , 24
D.函数 ( ) 5π的图象可由 = 2sin 的图象向左平移 6个单位长度得到
7 3.在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，若 sin cos + sin cos = 2 ，且
> 0，则 sin +
sin 的取值范围是( )
A. (1, 3 ) B. ( 3 , 3 1 3 1 32 2 2 ) C. ( 2 , 2 ) D. 2 , 2
8 π π π 2π.已知函数 ( ) = 3cos + sin ( > 0)在 3 , 2 上单调递增，且当 ∈ 2 , 3 时， ( ) ≥ 0 恒成立，则
的取值范围为( )
A. (0,1] ∪ 7 1 7 10 1 102 , 4 B. 0, 3 ∪ 2 , 4 C. (0,1] ∪ 3 , 4 D. 0, 3 ∪ 3 , 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = cos , sin , = 1, 3 ，则( )
A.若 ⊥ ，则 = 6 + ∈
B.若 // ，则 = 3 + ∈
C. 2 若 + 取得最大值，则 = 3 + ∈
D.若 = 3 36，则 在 上的投影向量为 4 , 4
10.已知函数 ( ) = cos2 + sin , ≠ 0，则( )
A.函数 ( )的最小正周期为π
B.当 = 1 时，函数 ( )的值域为 2, 98
C.当 = 2 时，函数 ( )的单调递增区间为 2 π + π2 , 2 π +
7π
6 ( ∈ )
D.若 = 1，函数 ( )在区间 0, π ( ∈ )内恰有 2025 个零点，则 = 1350
11.三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于 1816 年首次发现，当 内一点 满足条件：∠ =
∠ = ∠ = 时，则称点 为 的布洛卡点，角 为布洛卡角.如图，在 中，角 ， ， 所对
的边分别为 ， ， ，记 的面积为 ，点 是 的布洛卡点，布洛卡角为 ，则( )
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A.当 = 时， 2 =
B. 5当 = 且 = 2 时，cos = 5
C.当 = 30°时， 2 + 2 + 2 = 4 3
D.当 = = 1， = 3时，tan = 35
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 0 < < π2 < < π, cos =
1
3 , sin( + ) =
7
9，则 sin = ．
13.在 3 3 3中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知cos = sin ， = 3，且 的面积为 2 ，则
+ = ．
14.已知向量 与 满足 = 2025，且对 ∈ R，满足| | ≥ | |，则| | + | |的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (1,2)， = ( 3, ).
(Ⅰ)若 // ，求| |的值；
(Ⅱ)若 ⊥ ( + 2 )，求实数 的值；
(Ⅲ)若 与 的夹角是钝角，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 3cos2 2sin cos 3．
(1)将 ( )化简成 ( ) = sin ( + ) + ( > 0)的形式；
(2)求函数 ( )的单调增区间；
(3) 3 若函数 ( ) = ( ) 在区间[ 4 , 4 ]上恰有一个零点，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
在 中，内角 , , 的对边分别是 , , ，记 的面积为 ，且 4 = 3 2 2 2 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 3， ， 分别为 的中线和角平分线．
( )若 3的面积为 2 ，求 的长；
( )求 长的最大值．
18.(本小题 17 分)
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已知 ( ) = 2sin sin + 3
1
2，
(1) ∈ 0, 若 4 ， ( ) =
1
3，求 cos2 的值；
(2)在 中， ( + ) = 1，求 sin + sin + sin 的最大值；
(3) 若关于 的不等式 2 + 6 + ( ) 3 ≤ 0 在 6 , 2 上恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题．
2
1 2 2 ( +
)2 = 2 + 2 · +
1.极化恒等式： = 1 4 + ，公式推导： 2} · = 4 [( +
)2
( )2 = 2 2 · +
( )2]；
2.平行四边形模式：如图，平行四边形 ， 1是对角线交点，则 = 2 24 ；
3.三角形模式：如图，在 中，设 为 的中点，则 = 2 2.推导过程：由 =
1 2 2 2
2 2 2
2 +
12
= 1 2 =
．
(1)如图，在边长为 2 的正方形 中，其对称中心 平分线段 ，且 = 2 ，点 为 的中点，求
的值；
(2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图(如图 1).某太极八
卦图的平面图如图 2 所示，其中正八边形的中心与圆心重合， 是正八边形的中心， 是圆 的一条直径，
且正八边形 内切圆的半径为 2 2 + 2， = = 4.若点 是正八边形 边上的一
点，求 的取值范围；
(3)已知 中， = 4, = 2，且| + 2 2 ∣ ∈ 的最小值为 2 3，若 为边 上任意一点，
求 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.13
13.3 3
14.2025 2
15.解：(1)因为 = (1,2)， = ( 3, )，且 // ，
所以 1 × 2 × 3 = 0，解得 = 6，
则 = ( 3)2 + ( 6)2 = 3 5．
(2)因为 + 2 = 5,2 + 2 ，且 ⊥ ( + 2 )，
所以 ·( + 2 ) = 1 × 5 + 2 × 2 + 2 = 0，
解得 = 14．
(3)因为 与 的夹角是钝角，
则 · < 0 且 与 不共线．
即 · = 1 × 3 + 2 × < 0，
由(1)可知 ≠ 6，
则 < 32且 ≠ 6．
3
故实数 的取值范围为( ∞, 6) ∪ ( 6, 2 )．
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16.解：
= 2( 3 12 cos 2 2 sin 2 ) = 2(
1
2 sin 2
3
2 cos 2 ) = 2sin (2

3 )；
(2) 3 由2 + 2 2 3 2 + 2 , ∈ 可得，
5 + 11 12 12 + , ∈ ，
5 11
所以函数 ( )的单调增区间为[ 12 + , 12 + ], ∈ ；
(3)令 ，
∈ [ 3 7 因为 4 , 4 ]，所以6 6．
函数 ( ) = ( ) [ , 3 在区间 4 4 ]上恰有一个零点，
可转化为函数 = ( ) = [ , 3 与 的图象在区间 4 4 ]上恰有一个公共点，
7
等价于函数 = 2sin 与 = 的图象在区间[ 6 , 6 ]上恰有一个公共点，
7
作出函数 = 2sin 在区间[ 6 , 6 ]上的图象如下图：
7
由图象可知，当 = 2 或 1 < 1 时，函数 = 2sin 与 = 的图象在区间[ 6 , 6 ]上恰有一个公共点，

即函数 ( ) = ( ) 在区间[ 4 ,
3
4 ]上恰有一个零点，
所以 的取值范围为： = 2 或 1 < 1．
17.解：(1)因为 4 = 3 2 2 2 ，
所以 2 sin = 2 3 cos ，
所以 tan = 3，
又因为 ∈ 0, π ，所以 = 2π3 ；
(2)( )由 = 12 sin∠ =
3
4 =
3
2 ，得 = 2，
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2π
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 23 +
2 + ，
所以 2 + 2 = 7，
因为 为 的中线，
所以 = 1 2 +
，
2 1
则 =
2 2 2
+ = 1 + + 2 = 14 4 4
2 + 2 = 54，
5
所以 = 2 ；
( ) 2π由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos 3 =
2 + 2 + = ( + )2 ，
所以 = ( + )2 9，
因为 为 的角平分线，所以∠ = ∠ = π3，
由 = 3 3 3 + ，得 4 = 4 + 4 ，
( + )2 9 9
所以 = + = + = ( + ) + ，
2 2
因为 2 = ( + )2 ≥ ( + )2 ( + )4 =
3( + )
4 ，
所以 + ≤ 2 3，当且仅当 = = 3时取等号，
9
因为函数 = , = 在(0, + ∞)上都是增函数，
所以函数 = 9 在(0, + ∞)上是增函数，
所以当 + = 2 3时， = ( + ) 9 9 3 + 取得最大值 2 3 2 3 = 2 ，
即 3长的最大值为 2 ．
18. 1 3【详解】(1)由题意得 ( ) = 2sin 2 sin + 2 cos
1
2 = 3sin cos cos
2 + 1 = 32 2 sin2
1 π 1
2 cos2 = sin 2 6 = 3，
π π π π
因为 ∈ 0, 4 ，所以 2 6 ∈ 6 , 3 ，
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2
sin 2 π = 1 cos 2 π = 1 1 = 2 2又因为 6 3，所以 6 3 3 ，
则 cos2 = cos 2 π π6 + 6 = cos 2
π π π π
6 cos 6 sin 2 6 sin 6
= 2 2 × 3 1 13 2 3 × 2 =
2 6 1
6 ；
(2)由 ( + ) = 1 得 ( + ) = (π ) = sin 2π 2 π6 = sin 2 +
π
6 = 1，
因为 2 + π6 ∈
π 13π π
6 , 6 ，所以 2 + 6 =
3π
2，即 =
2π
3 ，
则 sin + sin + sin = sin + sin π 2π3 + sin 3 = sin +
3
2 cos
1
2 sin +
3
2
= 3 cos + 1 3 π 32 2 sin + 2 = sin + 3 + 2 ，
因为 ∈ 0, π π π 2π3 ，所以 + 3 ∈ 3 , 3 ，即 sin +
π 3
3 ∈ 2 , 1 ,
即 sin + sin + sin ∈ 3, 1 + 32 ,
故 sin + sin + sin 3的最大值为 1 + 2 ；
(3) π由不等式 2 + 6 + ( ) 3 ≤ 0 变形得：
π π π π π π
sin 2 2 + 6 6 + sin 2 6 3 ≤ 0 sin 2 2 6 + 2 + sin 2 3 ≤ 0π π 2 π
6 π
cos 2 2 6 + sin 2 6 3 ≤ 0 1 2sin 2 6 + sin 2 6 3 ≤ 0
令 sin 2 π 2 26 = ，则不等式可化为： 2 + 2 ≤ 0 ≤ 2 + 2 ，
π π
因为 ∈ 6 , 2 ，所以 2
π ∈ π , 5π6 6 6 ，即 = sin 2
π
6 ∈
1
2 , 1 ，
2
则原不等式又化为： ≤ + 2 ，
2
而 + 2 = 2 +
1
≥ 4，当且仅当 = 1 时取等号，
所以要使得原不等式恒成立的 的取值范围是： ≤ 4．
19.解：(1) = 2 = 4, = 2, = 1，
由极化恒等式可得：
2
=
2
= 1 4 = 3；
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(2)如图，连接 ，
因为 = + ， = + = ，
所以 = + =
2

2
，
因为正八边形 内切圆的半径为 2 2 + 2， = 4，
所以 2 2 + 2 ≤ ≤ 16 + 8 2，
因为 = 4，所以 = 2，所以 8 + 8 2 ≤
2 2
≤ 12 + 8 2，
即 的取值范围是 8 + 8 2, 12 + 8 2 ；
(3)令 = + 2 2 = + 1 (其中 = 2 )，
则 , , 三点共线(如图)，
从而∣ + 2 2 ∣ ≥ 2 3的几何意义表示点 到直线 的距离为 2 3，
这说明 是等边三角形， 为边 上的高，故 = 2 3，
2
1取 的中点 ，则由向量极化恒等式可得 =
2
=
2
4 3 ≥
2 3 = 94，
其中 为点 到边 的距离，
9
即当点 在垂足 (非端点)处时， 达到最小值 4．
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