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湖南省衡阳市衡东县第一中学2025年中考一模数学试题
1．（2025·衡东模拟）刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约42000000光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”.其中数字42000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
2．（2025·衡东模拟）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不是中心对称图形，是轴对称图形，此选项不符合题意；
B、图案是中心对称图形，不是轴对称图形，此选项不符合题意；
C、图案不是中心对称图形，是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、图案既是中心对称图形，也是轴对称图形，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.
3．（2025·衡东模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据单项式乘以多项式，就是用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，进行计算，即可判断A选项；根据完全平方公式的展开式的三项是：首平方，尾平方，积的2倍放中央，即可判断B选项；根据平方差公式的展开式的两项是完全相同的项的平方与互为相反数的项的平方的差，即可判断C选项；根据单项式除以单项式，就是把系数、与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式含有的字母则连同指数作为商的一个因式，据此可判断D选项.
4．（2025·衡东模拟）下面计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，该选项计算正确，符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，该选项计算错误，不符合题意；
C、和不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不符合题意；
D、，该选项计算错误，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的除法法则“”进行计算可判断A选项；二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断B、C选项；根据二次根式的性质“”可判断D选项.
5．（2025·衡东模拟）如图是物理学中经常使用的型磁铁示意图，其左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，只能看到一个竖着放置的长方形，且下面还有一部分长方形，
即的左视图是.
故答案为：B．
【分析】根据左视图是从左面看得到的图形并结合个选项可判断求解．
6．（2025·衡东模拟）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：
解不等式②得：，
∴此不等式组的解集为空集，
将不等式的解集表示在数轴上，如图所示，
故答案为：A．
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
7．（2025·衡东模拟）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（　　）
的解 的解
0 1 … 1 5 …
6 4 2 … 3 2 0 …
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：由表格知，与有一组公共解为，
∴ 二元一次方程组的解为，
故选：A．
【分析】根据二元一次方程组的解，即为两个方程的公共解，即可求得.
8．（2025·衡东模拟）为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（　　）
时间小时 7 8 9 10
人数 7 9 11 3
A．9，8 B．9，9 C．11，8 D．11，8.5
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：把这名学生的睡眠时间从低到高排列，处在第15名和第16名的睡眠时间都是8小时，
∴中位数为小时，
∵睡眠时间为9小时的人数最多，
∴众数为9小时，
故答案为：A．
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可．
9．（2025·衡东模拟）一幅三角板和如图所示放置．，点在边上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】先利用“二直线平行，同位角相等”可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而利用对顶角相等可得.
10．（2025·衡东模拟）如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（　　）
A．4 B． C．16 D．32
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，点O为位似中心，且，
∴，且相似比为，
∴与的周长比为：，
∵的周长为8，
∴的周长为16．
故答案为：C．
【分析】根据位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可．
11．（2025·衡东模拟）如图，AB为的直径，BC为的切线，弦AD∥OC，直线CD交的BA延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是的切线；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：连结．
为的直径，为的切线，
，
，
，．
又，
，
．
在和中，，
，
．
又点在上，
是的切线；故①正确，
，
，
，
垂直平分，
即，故②正确；
为的直径，为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，故④正确，
综上，正确的有4个.
故答案为：A．
【分析】由圆的切线垂直经过切点的半径得∠CBO=90°，由二直线平行，内错角相等（同位角相等）得∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，由等边对等角得∠DAO=∠ADO，由等量代换得∠COD=∠COB，从而由SAS判断出△COD≌△COB，由全等三角形的对应角相等得∠CDO=∠CBO=90°，从而根据“垂直半径外端点的直线是圆的切线”可判断①正确；由全等三角形的对应边相等得CD=CB，结合OB=OD，由“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”得点C、O都在线段BD的垂直平分线上，进而根据“两点确定一条直线”可得CO是BD的垂直平分线，据此可判断②正确；由同角的余角相等得∠EDA=∠ODB，结合等边对等角，由等量代换得到∠EDA=∠ABD，再结合公共角∠E，根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”得到△ADE∽△DBE，据此判断③正确；根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”得到△EOD∽△ECB，由相似三角形对应边成比例得到，据此判断④正确.
12．（2025·衡东模拟）如图，是抛物线的图象，根据图象信息分析下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①根据抛物线对称轴可得 ，，正确；
②当 ， ，根据二次函数开口向下和得， 和 ，所以，正确；
③二次函数与x轴有两个交点，故 ，正确；
④由题意得，当 和时，y的值相等，当， ，所以当， ，正确；
故答案为：D．
【分析】抛物线的对称轴直线公式可得，则b=-2a，据此可判断①；由抛物线的开口向下可得a＜0，由b=-2a可得b＞0，由抛物线与y轴的负半轴相交可得c＜0，进而根据有理数的乘法法则可判断②；由抛物线与x轴有两个不同的交点可得方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根的判别式即可判断③；根据抛物线的对称性，可得当x=0与x=2时，对应的函数值相等，由图象可得当x=0时，函数值y＜0，则当x=2时函数值y=4a+2b+c＜0，据此可判断④.
13．（2025·衡东模拟）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数”，列出关于字母x的不等式，解不等式即可．
14．（2025·衡东模拟）分解因式：　 　．
【答案】2（m＋n）（m－n）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
故答案为：2（m＋n）（m－n）．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
15．（2025·衡东模拟） 圆锥的母线长为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的底面圆半径长是　 　．
【答案】5
【知识点】关于圆锥的应用题
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r
∵圆锥的侧面展开图扇形的半径为12，圆心角为150°
即圆锥底面的周长为10π
∴10π=2πr
解得：r=5
故答案为：5
【分析】根据侧面展开图的圆心角与半径可求出弧长，即为圆锥底面的周长，即可求出答案。
16．（2025·衡东模拟）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，，以此类推，若，（为正整数），则n的值为．
【答案】4047
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由所给图形可知，
，，，，，为正整数），
所以，，，，．
因为，
所以，
，
，
解得或4047，
因为为正整数，
所以．
故答案为：4047．
【分析】观察各幅图中小平行四边形的个数就会得出第n幅图中小平行四边形的个数为：an=1+2+3+4+……+n=，则，据此可将题干已知方程左边拆分为，中间相抵消可得，从而将原方程变形为，求解并结合n为正整数即可得出答案.
17．（2025·衡东模拟）如图，是的直径，是的两条弦，且，则所对的圆周角的度数是　 　．
【答案】90°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴的度数为，
∵，
∴，
即：，
∴的度数为，
∴所对的圆周角的度数是；
故答案为：90°．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系及直径所对的弧是半圆得到的度数为，再根据等量加等量和相等可推出，得到的度数为，最后根据弧所对的圆周角度数等于弧的度数得一半即可得出结果．
18．（2025·衡东模拟）如图，菱形中，，对角线，E为上一点且，连接交于点F，过点F作于点G，则的长度为　 　．
【答案】4
【知识点】菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；正弦的概念；相似三角形的性质-对应边
19．（2025·衡东模拟）计算： ．
【答案】解：原式=1+ ﹣2× +4
=5
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
20．（2025·衡东模拟）如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是和的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若四边形的面积为2，求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵、分别是、的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵点是的中点，∴，，
同理得：，，
∵，
，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由根据平行四边形的性质，得到对角线，，再利用中点，证明，然后由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出结论；（2）先利用中点，可知，，
，，， 即可证明，则。
21．（2025·衡东模拟）2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓．引导学生爱该书．读好书，善读书，贵阳市某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查．将调查结果的数据分成A、B、C、D、E五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下．
等级 周平均读书时间t（单位：小时） 人数
A 4
B a
C 20
D 15
E 5
每个等级人数扇形统计图
（1）求统计图表中______，______．
（2）已知该校共有2800名学生，试估计该校每周读书时间至少3小时的人数为______．
（3）请写出一条你对读书的建议．
【答案】（1）6，40
（2）1120
（3）根据表格可建议：全校学生一周内平均读书时间．
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由等级D得到学生总数人，
∴，
，，
故答案为：6，40．
（2）人，
故该校2800名学生每周读书时间至少3小时的人数为1120人．
故答案为：1120．
【分析】本题考查扇形统计图，样本估计总体．
（1）l利用D等级除以所占的比例可求出学生总数，利用总人数可求出其它几组的人数可求出a，据此可求出C等级的占比为，再进行计算可求出m的值；
（2）先求出该校每周读书时间至少3小时的比例，再乘以2800，可求出对应的人数；
（3）根据表格可得：全校学生一周内平均读书时间．
（1）解：由等级D得到学生总数人，
∴，
，，
故答案为：6，40．
（2）人，
故该校2800名学生每周读书时间至少3小时的人数为1120人．
故答案为：1120．
（3）根据表格可建议：全校学生一周内平均读书时间．
22．（2025·衡东模拟）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，（在同一条直线上）．请解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：）．
【答案】（1）解：在中，，，
，
∴灯管支架底部距地面高度的长为．
（2）解：如图所示，延长交于点，
，，
∴，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
在中，，
，
∴灯管支架的长度约为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△DAE中，由∠AED的正切函数并结合特殊锐角三角函数值可求出AD的长；
（2）如图所示，延长FC交AB于点G，根据三角形的内角和定理得∠DGC=60°，由“有两个内角为60°的三角形是等边三角形”可得△DGC是等边三角形，根据等边三角形的三边相等得CD=DG，在Rt△AFG中，由∠F的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出AB的长，最后根据DC=DG=AG-AD即可求出答案.
（1）解：在中，，，
，
∴灯管支架底部距地面高度的长为．
（2）解：如图所示，延长交于点，
，，
∴，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
在中，，，
∴灯管支架的长度约为．
23．（2025·衡东模拟）随着人民生活水平的不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，奥林花园A区2008年底拥有家庭轿车144辆，2010年底家庭轿车的拥有量达到225辆．
（1）若该小区2008年底到2010年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2011年底家庭轿车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资25万元再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位6000元/个，露天车位2000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的3倍，但不超过室内车位的倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．
【答案】（1）解：设年平均增长率为x，
根据题意得：
解得∶，(不合题意，舍去)，
答：小区到2011年底家庭轿车将达到辆；
（2）设可建室内车位个，室外车位个，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵，为整数，
∴，，，；
∴该小区最多可建两种车位的方案有4种，分别是：
①建室内车位17个，室外车位74个，
②建室内车位18个，室外车位71个，
③建室内车位19个，室外车位68个，
④建室内车位20个，室外车位65个．
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】
（1）设年平均增长率为x，根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后由增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可求解；
（2）设可建室内车位个，室外车位个，则，根据相等关系"室内车位的费用+露天车位的费用=250000”可得关于a、b的方程，整理可将b用含a的代数式表示出来，代入不等式可得关于a的不等式组，根据不等式组的正整数解可求解．
（1）解：设年平均增长率为x，
根据题意得：
解得∶，(不合题意，舍去)，
答：小区到2011年底家庭轿车将达到辆；
（2）设可建室内车位个，室外车位个，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵，为整数，
∴，，，；
∴该小区最多可建两种车位的方案有4种，分别是：
①建室内车位17个，室外车位74个，
②建室内车位18个，室外车位71个，
③建室内车位19个，室外车位68个，
④建室内车位20个，室外车位65个．
24．（2025·衡东模拟）如图，在中，，的平分线交边于点．以上一点为圆心作，使经过点和点．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由．
（2）若，．
①求的半径；
②设与边的另一个交点为，求线段，与劣弧所围成的阴影部分的面积．（结果保留根号和）
【答案】解：（1）相切，理由如下：
如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
∵，
，
与相切；
（2）①在和中，
，，
，，
∵，
，
，
解得，即的半径是；
②在Rt△ACB中，∠B=30°，
∴∠BOD=60°，
∴S扇形ODE=，
∵∠B=30°，OD⊥BC，
∴OB=2OD，
∴AB=3OD，
∵AB=2AC=6，
∴，，
S△BOD=，
S阴影=S△BOD-S扇形ODE.
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，由等边对等角及角平分线的定义可推出∠ODA=∠CAD，根据内错角相等，两直线平行得OD∥AC，由二直线平行，同位角相等可证得OD⊥BC，根据切线的判定定理“垂直半径外端点的直线就是圆的切线”即可证明；
（2）①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r，AB=6，然后根据AB=OA+OB建立方程，从而求得半径r的值；
②根据S阴影=S△BOD-S扇形ODE求出即可.
25．（2025·衡东模拟）如图，在中，直径，弦，点在的延长线上，线段交于点，过点作分别交，于点，，连结．
（1）求证：．
（2）当为等腰三角形时，求的长．
（3）当当，求的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴
当为等腰三角形时，分三种情况：
①当时，
∴．
连接，则，根据等腰三角形三线合一得．
②当时，
∴．
∵，
∴，
∴．
③当时，
∴．
连接，∵，
∴由等腰三角形三线合一得，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上可得，当为等腰三角形时，长为6或4或．
（3）解：由（1）得，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
答：EG：FG的值为 .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据同弧所对的圆周角相等，得出，即可得证；
（2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据（1）的结论分别分析讨论即可求解；
（3）由（1）得．进而得出，是等腰直角三角形，根据，得出，，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可证，由相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等”得比例式求得EG的值，代入EG：FG计算即可求解．
（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵
∴
当为等腰三角形时，分三种情况：
①当时，
∴．
连接，则，根据等腰三角形三线合一得．
②当时，
∴．
∵，
∴，
∴．
③当时，
∴．
连接，∵，
∴由等腰三角形三线合一得，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上可得，当为等腰三角形时，长为6或4或．
（3）解：由（1）得．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
26．（2025·衡东模拟）已知，二次函数y＝﹣x2＋x＋2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）如图1，请判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，D为线段AB上一动点，作DP∥AC交抛物线于点P，过P作PE⊥x轴，垂足为E，交BC于点F，过F作FG⊥PE，交DP于G，连接CG，OG，求阴影部分面积S的最大值和D点坐标；
（3）如图3，将抛物线沿射线AC方向移动个单位得到新的抛物线y'＝ax2＋bx＋c（a≠0），是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C、B、M、N为顶点的四边形是以CB为边的矩形？若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）令，则，
，
令，则，
解得：，
，
，
在中，，
同理，，
又，
，
，
即为直角三角形；
（2）设直线为，
代入点，得，，
直线为，
同理，直线为，
轴，
轴，
设，
，
，
，轴，
轴，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
当最大时，取得最大值，
，
又，
当时，最大值为，最大值为3，
，
，
可设直线为，
代入点，得，
直线为：，
令，解得，
，
此时最大值为3；
（3）存在，点N的坐标为或.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形为矩形，
，
当抛物线沿射线方向平移个单位，可以分解为水平向右平移个单位，竖直向上平移3个单位，
，
平移后得抛物线为：，
对称轴为直线，
①当，为对角线，构成矩形时，如图1，
过作轴于点，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
由坐标与平移关系可得，
，
②当，为对角线，构成矩形时，如图2，
，
，
，
，
，
，
，
，
由坐标与平移关系可得，
，
综上所述，为或．
【分析】（1）根据培育与坐标轴交点的坐标特点，分别令抛物线解析式中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可分别求出C、A、B点坐标，继而求得OA、OB、OC长度，然后利用勾股定理分别算出AC2、BC2、AB2，再利用勾股定理逆定理，来判定三角形为直角三角形；
（2）先利用待定系数法求出直线AC、BC的解析式，根据“同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行”得PE∥y轴，GF∥x轴，根据点的坐标与图形性质用含m的式子表示出点P、F的坐标，根据两点间的距离公式表示出PF，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AOC∽△GFP，由相似三角形对应边成比例得出，由，由于OC长已知，所以当GF取最大值时，阴影部分面积最大，根据的取值范围，确定函数在顶点处取得最大值；
（3）根据△AOC三边关系，将斜向平移分解成两次平移，即水平移动和竖直移动，从而得到新抛物线解析式，由于BC为边，M在对称轴上，所以可以得到或者，根据分类，画出图形，利用直角，构造一线三等角相似，即可求得M点坐标．
1 / 1湖南省衡阳市衡东县第一中学2025年中考一模数学试题
1．（2025·衡东模拟）刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约42000000光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”.其中数字42000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·衡东模拟）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·衡东模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·衡东模拟）下面计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·衡东模拟）如图是物理学中经常使用的型磁铁示意图，其左视图是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·衡东模拟）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·衡东模拟）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（　　）
的解 的解
0 1 … 1 5 …
6 4 2 … 3 2 0 …
A． B． C． D．
8．（2025·衡东模拟）为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（　　）
时间小时 7 8 9 10
人数 7 9 11 3
A．9，8 B．9，9 C．11，8 D．11，8.5
9．（2025·衡东模拟）一幅三角板和如图所示放置．，点在边上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·衡东模拟）如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（　　）
A．4 B． C．16 D．32
11．（2025·衡东模拟）如图，AB为的直径，BC为的切线，弦AD∥OC，直线CD交的BA延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是的切线；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．（2025·衡东模拟）如图，是抛物线的图象，根据图象信息分析下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
13．（2025·衡东模拟）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　．
14．（2025·衡东模拟）分解因式：　 　．
15．（2025·衡东模拟） 圆锥的母线长为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的底面圆半径长是　 　．
16．（2025·衡东模拟）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，，以此类推，若，（为正整数），则n的值为．
17．（2025·衡东模拟）如图，是的直径，是的两条弦，且，则所对的圆周角的度数是　 　．
18．（2025·衡东模拟）如图，菱形中，，对角线，E为上一点且，连接交于点F，过点F作于点G，则的长度为　 　．
19．（2025·衡东模拟）计算： ．
20．（2025·衡东模拟）如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是和的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若四边形的面积为2，求的面积．
21．（2025·衡东模拟）2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓．引导学生爱该书．读好书，善读书，贵阳市某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查．将调查结果的数据分成A、B、C、D、E五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下．
等级 周平均读书时间t（单位：小时） 人数
A 4
B a
C 20
D 15
E 5
每个等级人数扇形统计图
（1）求统计图表中______，______．
（2）已知该校共有2800名学生，试估计该校每周读书时间至少3小时的人数为______．
（3）请写出一条你对读书的建议．
22．（2025·衡东模拟）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，（在同一条直线上）．请解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：）．
23．（2025·衡东模拟）随着人民生活水平的不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，奥林花园A区2008年底拥有家庭轿车144辆，2010年底家庭轿车的拥有量达到225辆．
（1）若该小区2008年底到2010年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2011年底家庭轿车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资25万元再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位6000元/个，露天车位2000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的3倍，但不超过室内车位的倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．
24．（2025·衡东模拟）如图，在中，，的平分线交边于点．以上一点为圆心作，使经过点和点．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由．
（2）若，．
①求的半径；
②设与边的另一个交点为，求线段，与劣弧所围成的阴影部分的面积．（结果保留根号和）
25．（2025·衡东模拟）如图，在中，直径，弦，点在的延长线上，线段交于点，过点作分别交，于点，，连结．
（1）求证：．
（2）当为等腰三角形时，求的长．
（3）当当，求的值．
26．（2025·衡东模拟）已知，二次函数y＝﹣x2＋x＋2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）如图1，请判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，D为线段AB上一动点，作DP∥AC交抛物线于点P，过P作PE⊥x轴，垂足为E，交BC于点F，过F作FG⊥PE，交DP于G，连接CG，OG，求阴影部分面积S的最大值和D点坐标；
（3）如图3，将抛物线沿射线AC方向移动个单位得到新的抛物线y'＝ax2＋bx＋c（a≠0），是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C、B、M、N为顶点的四边形是以CB为边的矩形？若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不是中心对称图形，是轴对称图形，此选项不符合题意；
B、图案是中心对称图形，不是轴对称图形，此选项不符合题意；
C、图案不是中心对称图形，是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、图案既是中心对称图形，也是轴对称图形，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.
3．【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据单项式乘以多项式，就是用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，进行计算，即可判断A选项；根据完全平方公式的展开式的三项是：首平方，尾平方，积的2倍放中央，即可判断B选项；根据平方差公式的展开式的两项是完全相同的项的平方与互为相反数的项的平方的差，即可判断C选项；根据单项式除以单项式，就是把系数、与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式含有的字母则连同指数作为商的一个因式，据此可判断D选项.
4．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，该选项计算正确，符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，该选项计算错误，不符合题意；
C、和不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不符合题意；
D、，该选项计算错误，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的除法法则“”进行计算可判断A选项；二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断B、C选项；根据二次根式的性质“”可判断D选项.
5．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，只能看到一个竖着放置的长方形，且下面还有一部分长方形，
即的左视图是.
故答案为：B．
【分析】根据左视图是从左面看得到的图形并结合个选项可判断求解．
6．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：
解不等式②得：，
∴此不等式组的解集为空集，
将不等式的解集表示在数轴上，如图所示，
故答案为：A．
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：由表格知，与有一组公共解为，
∴ 二元一次方程组的解为，
故选：A．
【分析】根据二元一次方程组的解，即为两个方程的公共解，即可求得.
8．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：把这名学生的睡眠时间从低到高排列，处在第15名和第16名的睡眠时间都是8小时，
∴中位数为小时，
∵睡眠时间为9小时的人数最多，
∴众数为9小时，
故答案为：A．
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可．
9．【答案】A
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】先利用“二直线平行，同位角相等”可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而利用对顶角相等可得.
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，点O为位似中心，且，
∴，且相似比为，
∴与的周长比为：，
∵的周长为8，
∴的周长为16．
故答案为：C．
【分析】根据位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可．
11．【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：连结．
为的直径，为的切线，
，
，
，．
又，
，
．
在和中，，
，
．
又点在上，
是的切线；故①正确，
，
，
，
垂直平分，
即，故②正确；
为的直径，为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，故④正确，
综上，正确的有4个.
故答案为：A．
【分析】由圆的切线垂直经过切点的半径得∠CBO=90°，由二直线平行，内错角相等（同位角相等）得∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，由等边对等角得∠DAO=∠ADO，由等量代换得∠COD=∠COB，从而由SAS判断出△COD≌△COB，由全等三角形的对应角相等得∠CDO=∠CBO=90°，从而根据“垂直半径外端点的直线是圆的切线”可判断①正确；由全等三角形的对应边相等得CD=CB，结合OB=OD，由“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”得点C、O都在线段BD的垂直平分线上，进而根据“两点确定一条直线”可得CO是BD的垂直平分线，据此可判断②正确；由同角的余角相等得∠EDA=∠ODB，结合等边对等角，由等量代换得到∠EDA=∠ABD，再结合公共角∠E，根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”得到△ADE∽△DBE，据此判断③正确；根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”得到△EOD∽△ECB，由相似三角形对应边成比例得到，据此判断④正确.
12．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①根据抛物线对称轴可得 ，，正确；
②当 ， ，根据二次函数开口向下和得， 和 ，所以，正确；
③二次函数与x轴有两个交点，故 ，正确；
④由题意得，当 和时，y的值相等，当， ，所以当， ，正确；
故答案为：D．
【分析】抛物线的对称轴直线公式可得，则b=-2a，据此可判断①；由抛物线的开口向下可得a＜0，由b=-2a可得b＞0，由抛物线与y轴的负半轴相交可得c＜0，进而根据有理数的乘法法则可判断②；由抛物线与x轴有两个不同的交点可得方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根的判别式即可判断③；根据抛物线的对称性，可得当x=0与x=2时，对应的函数值相等，由图象可得当x=0时，函数值y＜0，则当x=2时函数值y=4a+2b+c＜0，据此可判断④.
13．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数”，列出关于字母x的不等式，解不等式即可．
14．【答案】2（m＋n）（m－n）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
故答案为：2（m＋n）（m－n）．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
15．【答案】5
【知识点】关于圆锥的应用题
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r
∵圆锥的侧面展开图扇形的半径为12，圆心角为150°
即圆锥底面的周长为10π
∴10π=2πr
解得：r=5
故答案为：5
【分析】根据侧面展开图的圆心角与半径可求出弧长，即为圆锥底面的周长，即可求出答案。
16．【答案】4047
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由所给图形可知，
，，，，，为正整数），
所以，，，，．
因为，
所以，
，
，
解得或4047，
因为为正整数，
所以．
故答案为：4047．
【分析】观察各幅图中小平行四边形的个数就会得出第n幅图中小平行四边形的个数为：an=1+2+3+4+……+n=，则，据此可将题干已知方程左边拆分为，中间相抵消可得，从而将原方程变形为，求解并结合n为正整数即可得出答案.
17．【答案】90°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴的度数为，
∵，
∴，
即：，
∴的度数为，
∴所对的圆周角的度数是；
故答案为：90°．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系及直径所对的弧是半圆得到的度数为，再根据等量加等量和相等可推出，得到的度数为，最后根据弧所对的圆周角度数等于弧的度数得一半即可得出结果．
18．【答案】4
【知识点】菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；正弦的概念；相似三角形的性质-对应边
19．【答案】解：原式=1+ ﹣2× +4
=5
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
20．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵、分别是、的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵点是的中点，∴，，
同理得：，，
∵，
，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由根据平行四边形的性质，得到对角线，，再利用中点，证明，然后由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出结论；（2）先利用中点，可知，，
，，， 即可证明，则。
21．【答案】（1）6，40
（2）1120
（3）根据表格可建议：全校学生一周内平均读书时间．
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由等级D得到学生总数人，
∴，
，，
故答案为：6，40．
（2）人，
故该校2800名学生每周读书时间至少3小时的人数为1120人．
故答案为：1120．
【分析】本题考查扇形统计图，样本估计总体．
（1）l利用D等级除以所占的比例可求出学生总数，利用总人数可求出其它几组的人数可求出a，据此可求出C等级的占比为，再进行计算可求出m的值；
（2）先求出该校每周读书时间至少3小时的比例，再乘以2800，可求出对应的人数；
（3）根据表格可得：全校学生一周内平均读书时间．
（1）解：由等级D得到学生总数人，
∴，
，，
故答案为：6，40．
（2）人，
故该校2800名学生每周读书时间至少3小时的人数为1120人．
故答案为：1120．
（3）根据表格可建议：全校学生一周内平均读书时间．
22．【答案】（1）解：在中，，，
，
∴灯管支架底部距地面高度的长为．
（2）解：如图所示，延长交于点，
，，
∴，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
在中，，
，
∴灯管支架的长度约为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△DAE中，由∠AED的正切函数并结合特殊锐角三角函数值可求出AD的长；
（2）如图所示，延长FC交AB于点G，根据三角形的内角和定理得∠DGC=60°，由“有两个内角为60°的三角形是等边三角形”可得△DGC是等边三角形，根据等边三角形的三边相等得CD=DG，在Rt△AFG中，由∠F的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出AB的长，最后根据DC=DG=AG-AD即可求出答案.
（1）解：在中，，，
，
∴灯管支架底部距地面高度的长为．
（2）解：如图所示，延长交于点，
，，
∴，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
在中，，，
∴灯管支架的长度约为．
23．【答案】（1）解：设年平均增长率为x，
根据题意得：
解得∶，(不合题意，舍去)，
答：小区到2011年底家庭轿车将达到辆；
（2）设可建室内车位个，室外车位个，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵，为整数，
∴，，，；
∴该小区最多可建两种车位的方案有4种，分别是：
①建室内车位17个，室外车位74个，
②建室内车位18个，室外车位71个，
③建室内车位19个，室外车位68个，
④建室内车位20个，室外车位65个．
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】
（1）设年平均增长率为x，根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后由增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可求解；
（2）设可建室内车位个，室外车位个，则，根据相等关系"室内车位的费用+露天车位的费用=250000”可得关于a、b的方程，整理可将b用含a的代数式表示出来，代入不等式可得关于a的不等式组，根据不等式组的正整数解可求解．
（1）解：设年平均增长率为x，
根据题意得：
解得∶，(不合题意，舍去)，
答：小区到2011年底家庭轿车将达到辆；
（2）设可建室内车位个，室外车位个，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵，为整数，
∴，，，；
∴该小区最多可建两种车位的方案有4种，分别是：
①建室内车位17个，室外车位74个，
②建室内车位18个，室外车位71个，
③建室内车位19个，室外车位68个，
④建室内车位20个，室外车位65个．
24．【答案】解：（1）相切，理由如下：
如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
∵，
，
与相切；
（2）①在和中，
，，
，，
∵，
，
，
解得，即的半径是；
②在Rt△ACB中，∠B=30°，
∴∠BOD=60°，
∴S扇形ODE=，
∵∠B=30°，OD⊥BC，
∴OB=2OD，
∴AB=3OD，
∵AB=2AC=6，
∴，，
S△BOD=，
S阴影=S△BOD-S扇形ODE.
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，由等边对等角及角平分线的定义可推出∠ODA=∠CAD，根据内错角相等，两直线平行得OD∥AC，由二直线平行，同位角相等可证得OD⊥BC，根据切线的判定定理“垂直半径外端点的直线就是圆的切线”即可证明；
（2）①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r，AB=6，然后根据AB=OA+OB建立方程，从而求得半径r的值；
②根据S阴影=S△BOD-S扇形ODE求出即可.
25．【答案】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴
当为等腰三角形时，分三种情况：
①当时，
∴．
连接，则，根据等腰三角形三线合一得．
②当时，
∴．
∵，
∴，
∴．
③当时，
∴．
连接，∵，
∴由等腰三角形三线合一得，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上可得，当为等腰三角形时，长为6或4或．
（3）解：由（1）得，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
答：EG：FG的值为 .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据同弧所对的圆周角相等，得出，即可得证；
（2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据（1）的结论分别分析讨论即可求解；
（3）由（1）得．进而得出，是等腰直角三角形，根据，得出，，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可证，由相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等”得比例式求得EG的值，代入EG：FG计算即可求解．
（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵
∴
当为等腰三角形时，分三种情况：
①当时，
∴．
连接，则，根据等腰三角形三线合一得．
②当时，
∴．
∵，
∴，
∴．
③当时，
∴．
连接，∵，
∴由等腰三角形三线合一得，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上可得，当为等腰三角形时，长为6或4或．
（3）解：由（1）得．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
26．【答案】解：（1）令，则，
，
令，则，
解得：，
，
，
在中，，
同理，，
又，
，
，
即为直角三角形；
（2）设直线为，
代入点，得，，
直线为，
同理，直线为，
轴，
轴，
设，
，
，
，轴，
轴，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
当最大时，取得最大值，
，
又，
当时，最大值为，最大值为3，
，
，
可设直线为，
代入点，得，
直线为：，
令，解得，
，
此时最大值为3；
（3）存在，点N的坐标为或.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形为矩形，
，
当抛物线沿射线方向平移个单位，可以分解为水平向右平移个单位，竖直向上平移3个单位，
，
平移后得抛物线为：，
对称轴为直线，
①当，为对角线，构成矩形时，如图1，
过作轴于点，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
由坐标与平移关系可得，
，
②当，为对角线，构成矩形时，如图2，
，
，
，
，
，
，
，
，
由坐标与平移关系可得，
，
综上所述，为或．
【分析】（1）根据培育与坐标轴交点的坐标特点，分别令抛物线解析式中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可分别求出C、A、B点坐标，继而求得OA、OB、OC长度，然后利用勾股定理分别算出AC2、BC2、AB2，再利用勾股定理逆定理，来判定三角形为直角三角形；
（2）先利用待定系数法求出直线AC、BC的解析式，根据“同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行”得PE∥y轴，GF∥x轴，根据点的坐标与图形性质用含m的式子表示出点P、F的坐标，根据两点间的距离公式表示出PF，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AOC∽△GFP，由相似三角形对应边成比例得出，由，由于OC长已知，所以当GF取最大值时，阴影部分面积最大，根据的取值范围，确定函数在顶点处取得最大值；
（3）根据△AOC三边关系，将斜向平移分解成两次平移，即水平移动和竖直移动，从而得到新抛物线解析式，由于BC为边，M在对称轴上，所以可以得到或者，根据分类，画出图形，利用直角，构造一线三等角相似，即可求得M点坐标．
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