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2024-2025 学年辽宁省县域重点高中高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列角中，与 2050°终边相同的角是( )
A. 210° B. 110° C. 150° D. 210°
2. 为钝角是 为第二象限角的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知向量 ， 满足 = 2 2， , = 135°，则 在 上的投影的数量为( )
A. 4 B. 2 C. 1 D. 2
4.为得到函数 = tan(3 + 3)的图象，只需将函数 = tan3 的图象( )
A.向左平移 1 个单位 B.向左平移 3 个单位 C.向右平移 1 个单位 D.向右平移 3
个单位
5.已知 sin + 3cos = 1，cos 3sin = 2，则 sin( ) =( )
A. 2 B. 23 3 C.
5 D. 56 6
6.受鲁洛克斯三角形的启发，我们可以得到没有尖点的圆弧图形.如图，已知 的所有边长均为 ，把
的各边分别向两个方向延伸长度为 的一段，然后以三个顶点为圆心分别画圆弧，使得三个内角所对
的圆弧的半径均为 + ，内角的对顶角所对的圆弧的半径均为 ，由这样的六条圆弧组成圆弧六边形.已知
该圆弧六边形的面积为 13π 8 3，周长为 6π，则 =( )
A. 2 B. 5 C. 82 3 D. 3
7.已知向量 = 2sin , ， = sin + 2π 13 , 1 ，若存在实数 ，使得
= 2，则 的取值范围是( )
A. [ 1,0] B. [ 2, 1] C. [ 1,2] D. [ 2,0]
8.设 = sin3.1， = tan3， = π 3，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.对于平面向量 ， ，下列说法正确的是( )
A.若 ⊥ ，则 = 0
B.若 > 0，则 ， 的夹角为锐角
C.若 = 12 , sin ，
= 1,2 2cos ， ， 可能垂直
2
D.若 + = 2，则 =
10.已知 sin2 > 2tan ，则 可能是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
11.如图，在直角梯形 中， /\ !/ ， ⊥ ， = 2 = 2， = 3，动点 从顶点 出发，
以每秒 1 个单位的速度在梯形的边上沿着 → → → 的路线运动到点 处则停止，当运动时间为 秒时，
令 ( ) = ，则( )
A. ( )的定义域为[0,5] B. (1) = 2
C. ( )的最大值为 5 D. ( )有 5 个单调区间
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知角 的终边经过点( 1,2)，将角 的终边绕原点按逆时针方向旋转 45°得到角 的终边，则 tan 的值
为 ．
13.在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.若某种信号波
函数为 ( ) = sin3 + sin6 + sin8 ，则 ( )的最小正周期为 ．
14.在 中， = 3 2， = 6， , 分别为 的重心和外接圆圆心，则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 2cos ．
(1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出 ( )在 0,2π 上的图象；
π
0 3π2 2π2
2
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(2)若函数 = ( + ) π < < 0 为奇函数，求 的值及 = ( + )的对称轴方程．
16.(本小题 15 分)
设 > 0，已知向量 = (3, 1)， = ( , 1)，且 + ⊥ 3 ．
(1)求 的值；
(2)求 cos , ．
17.(本小题 15 分)
已知 sin sin ≠ 0，且 sin( ) = 2sin sin ，证明：
(1) 1 1tan tan = 2；
(2)cos( + ) = 2cos π4 + ．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = sin( + ) > 0, > 0,0 < < π π的部分图象如图所示， = 2．
(1)求 ( )的解析式；
(2) π π若关于 的方程 ( ) 2 + ( ) + 3 = 0 在 12 , 3 上有且仅有四个解，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
如图，我们把由平面内夹角成 60°的两条数轴 ， 构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设 1， 2分别为 ，
正方向上的单位向量，若向量 = 1 + 2，则把实数对[ , ]叫做向量 的“完美坐标”，记作 =
[ , ]．
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(1)若 1 = [3, 4]， 2 = [2,1]，求 1 2的“完美坐标”；
(2)已知 = 1, 1 ， = 2, 2 ，证明： =
1
1 2 + 1 2 + 2 1 2 + 2 1 ；
2
(3)若 = sin , 1 ， = cos , 1 ，设函数 ( ) = + 2 + ， ∈ 5，求不等式 ( ) ≥ 2的解集．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 13
13.2π
14.9
15.解：(1)列表如下：
π
π 3π 2π
0 2 2
2
2 0 0 2
再描点连线，得图象如下：
(2)因为 ( ) = 2cos ，所以 ( + ) = 2cos( + )，
令 ( ) = 2cos( + )，
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因为 ( )为奇函数，所以 (0) = 2cos = 0，
= π所以 2 + π， ∈ Z．
又因为 π < < 0，所以当 = 1 π时， = 2，
所以 ( ) = 2cos π2 = 2sin ，
π
所以 ( )的对称轴方程为 = 2 + π， ∈ Z，
即 = ( + )的对称轴方程为 = π2 + π， ∈ Z．
16.解：(1)由题得 + = (3 + , 0)， 3 = (3 3 , 4)
因为 + ⊥ 3 ，
所以 + · 3 = 0，
所以(3 + )(3 3 ) = 0，
解得 = 3 或 = 1，
又 > 0，所以 = 1．
(2)当 = 1 时， = (1,1)，
所以 = (3, 1) (1,1) = (2, 2)，
所以 = 22 + ( 2)2 = 2 2，
· = 2 × 3 + ( 2) × ( 1) = 8,，
又因为 = (3, 1)，所以 = 32 + ( 1)2 = 10，
·
所以 cos , = = 8 = 2 5．
2 2× 10 5
17.解：(1)因为 sin( ) = 2sin sin ，所以 sin cos cos sin = 2sin sin ，
两边同时除以 sin sin cos cos 1 1，得sin sin = 2，即tan tan = 2．
(2)因为 sin( ) = 2sin sin ，所以 sin( ) = cos( ) cos( + )，
所以 cos( + ) = cos( ) sin( )，
所以 cos( + ) = 2 2 22 cos( ) 2 sin( ) ，
所以 cos( + ) = 2cos π4 + ．
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18. π解：(1)解：由函数 ( )的图象，可得 = 2，且最小正周期 = 2 × 2 = π，
所以 = 2ππ = 2，所以 ( ) = 2sin(2 + )，
又由 (0) = 2sin = 3，且点 0, 3 在 ( )图象的上升部分，且 0 < < π，
π
所以 = 3，所以 ( ) = 2sin 2 +
π
3 ．
(2)解：在 ( ) 2 + ( ) + 3 = 0 中，令 = 2 + π3，且 = 2sin ，则
2 + + 3 = 0，
π π π
因为 ∈ 12 , 3 ，所以 ∈ 6 , π ，
当 ∈ π , π = 2sin ,6 时，满足方程组 2 的 值有且仅有四个， + + 3 = 0
且函数 = 2sin π π π在 6 , 2 上单调递增，在 2 , π 上单调递减，
令 ( ) = 2 + + 3，可得 ( )必有两个相异零点 1, 2，
= = = 2sin ∈ π由直线 1与 2和 ， 6 , π 的图象分别有两个交点，
作出直线 = 1与 =
π
2和 = 2sin , ∈ 6 , π 的图象，如图所示，
由图象可得 1 ∈ [1,2), 2 ∈ [1,2)，即 ( )在区间[1,2)上有两个相异零点，
Δ = 2 12 > 0
1 < 2 < 2 7则满足 ，解得解得 < < 2 3，
(1) = 4 + ≥ 0 2
(2) = 7 + 2 > 0
7所以 的取值范围是 2 , 2 3 ．
19.解：(1)由题得 1 = 3 1 4 2， 2 = 2 1 + 2
所以 1 2 = 2 1 = 2 1+ 2 3 1 4 2 = 1 + 5 2，
所以 1 2 = [ 1,5]，
→
即 1 2的“完美坐标”为[ 1,5]．
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(2)证明：由题知 1 2 = 1 2 cos60° =
1
2，
→ → → → → →
所以 = 1 1+ 1 2 2 1+ 2 2
= 1 2 1
2 + 1 2 1 2 + 2 1 1 2 +
2
1 2 2
1
= 1 2 + 1 2 + 2 1 2 + 2 1 ,
即 = 1 2 + 1 +
1
2 2 1 2 + 2 1 ．
(3)由(2)得 = sin cos + 1 + 12 sin + cos ．
因为 = sin , 1 ， = cos , 1
所以 = 1sin + 2， = 1cos + 2
所以 2 = sin + 2 = 1 + sin21 2 + sin ，
2 = 1cos + 2 2 = 1 + cos2 + cos ，
所以 ( ) = sin cos + 4 + 32 sin + cos ．
令 = sin + cos = 2sin + π4 ， ∈ 2, 2
则 sin cos = 1 22 1 ，
1 3 5
所以2
2 1 + 4 + 2 ≥ 2，
即 2 + 3 + 2 > 0，
解得 ≤ 2(舍去)或 ≥ 1，
π
所以 2sin + 4 ≥ 1，
π 2
即 sin + 4 ≥ 2 ，
所以 π4 + 2 π ≤ +
π 5π
4 ≤ 4 + 2 π， ∈
π
所以 2 + 2 π ≤ ≤ π + 2 π， ∈
( ) ≥ 5 π即不等式 2的解集为 2 + 2 π, π + 2 π ， ∈ ．
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