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2024-2025学年河南省郑州外国语学校高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2.平面向量与的夹角为，，，则 ( )
A. B. C. D.
3.在中，已知，，若该三角形有两个解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.用斜二测画法画出的一个水平放置的平面四边形的直观图面积为，则以该平面四边形为底面的一个高为的四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知不重合的直线、、和平面，下列命题中真命题是( )
A. 如果不平行于，则内的所有直线均与异面 B. 如果，，、是异面直线，那么与相交
C. 如果，，、共面，那么 D. 如果，那么平行于经过的任何平面
6.一个内径为，高为的圆柱形口杯中，盛有高度为的水，现将一个半径为的小钢球放入口杯中，则此时水面高度为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知正三角形的边长为，其中心为，以为圆心作半径为的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知球的表面积为，球面上有，，，四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.点为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是( )
A.
B. 直线必过边的中点
C.
D. 若，且，则
10.在中，内角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则一定是等腰三角形
C. 若，，，则有两解
D. 若，，则面积的最大值为
11.如图，棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形，内一个动点包括边界，且平面，则下列说法正确的有( )
A. 动点轨迹的长度为
B. 直线与不可能垂直
C. 当三棱锥的体积最小时，直线与所成角的余弦值为
D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若是关于的实系数方程的一个复数根，则 ．
13.在中，角的对边分别为，则 ．
14.如图，在棱长为的正四面体中，点满足，则四面体的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，
若复平面内表示复数的点位于第一象限，求的取值范围；
若，求的最小值．
16.本小题分
已知平面向量满足，，．
若，求实数的值；
若，求与夹角的余弦值．
17.本小题分
如图，在四边形中，对角线，交于点，，，，且，记，．
Ⅰ证明：
Ⅱ证明：
Ⅲ记，若，求的值．
18.本小题分
在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，二面角为直二面角．
求证：；
求四棱锥体积的最大值；
当四棱锥体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图，正四棱锥的底面是边长为的正方形，平面与底面平行且与四棱锥的四条侧棱不含端点分别交于点，，，，四棱台与四棱锥的棱长和相等“棱长和”指多面体的所有棱长之和．
若是棱的中点，求四棱台的体积；
求平面与平面的夹角的余弦值；
已知四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱长为，且侧棱与底面所在平面所成的角为，若平面任意上下平移时，总存在正数，，使得四棱柱与四棱台有相同的体积，也有相同的棱长和，求的取值范围．
参考答案
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15.【详解】对应的点为，
故且，故，
，，，
故，故，故，
，故当时，的最小值为．
16.解：由已知得，且，
所以，得；
由已知得，且，所以，
则，得，
，，，
则．
所以与夹角的余弦值为．
17.解：设，则．
由余弦定理得，
，
所以，所以．
Ⅱ在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得
由知，又，所以．
Ⅲ若，则，得，与已知矛盾．
若，则，
所以化为，即，
整理得，即，解得．
18.【详解】由题意知平面平面，
又平面平面平面，
所以平面，因为平面，
所以，又因为，，平面平面，
所以平面，因为平面，
所以
由题可知二面角为直二面角，
过点作于点，
则，
所以当取最大时最大，
由于，所以，，三点共圆，且是以为直径的圆，
故当落在圆心时，为直径时最大，
即，
故四棱锥体积的最大值为；
取中点为，连结，取中点为，连结，
四棱锥体积最大时，，
点是中点，所以，
又因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
因为点、分别是、的中点，
所以，则，
则，．
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，．
设是平面的一个法向量，
则，取，则，
所以是平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
19.【详解】由题意知平面，
所以四棱锥也是正四棱锥，
因为四棱台与四棱锥的棱长和相等，
所以，
即，故，
即四棱锥和正四棱锥的侧面都是正三角形，
连接，设点在底面上的射影为，则为的中点．
由已知得，，
所以是等腰直角三角形，所以上的高，
即四棱锥的高为，所以，
当是棱的中点时，，
所以四棱台的体积为．
设，的中点分别为，，连接，，，
因为，平面，平面，
所以平面，设平面与平面的交线为，
又平面，所以，
因为是等边三角形，所以，所以，同理可得，
所以平面与平面的夹角即或其补角，
由已知可得，，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
由题意知四棱柱的高为，体积为．
当平面任意上下平移时，设，，
则，四棱台的体积为，
所以
又四棱柱与四棱台的棱长和相等，所以，
所以，，
将其代入，得，
令，则，
当时，，当时，，
所以在处取得极大值，也是最大值，最大值为，
所以，则．
又，且总存在满足题中条件的和，
所以
故，解得，
又，所以的取值范围是．

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