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2024-2025 学年江苏省天一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题正确的是( )
A.如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内
B.若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C.过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行
D.如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行
2 .若复数 满足2+i = 3 4i ，则 =( )
A. 5 2 B. 5 5 C. 10 2 D. 25
3.如图， ′ ′ ′表示水平放置的 根据斜二测画法得到的直观图， ′ ′在 ′轴上， ′ ′与 ′
轴垂直，∠ ′ ′ ′ = 30°且 ′ ′ = 2，则 的面积为( )
A. 6 3 6 6 2 62 B. 2 C. 3 D. 3
4.已知△ 中，sin ∶ sin ∶ sin = ∶ ( + 1) ∶ 2 ，则 的取值范围是( )
A. (2, + ∞) B. ( ∞,0) C. ( 1 12 , 0) D. ( 2 , + ∞)
5 5 1.在 中， = ， 为 的中点， = 6 + 3 ，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 12 D.
1
3
6.如图，在长方体 1 1 1 1中， = 1 = 1, = 3， , , 分别为 , , 1 1的中点，点
在平面 内，若直线 1 //平面 ，则 1与满足题意的 构成的平面截长方体的截面面积为( )
A. 2 23 B.
6 5 7
2 C. 2 D. 2
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7.如图所示，在坡度一定的山坡 处测得山顶上一建筑物 的顶端 对于山坡的斜度为 15°，向山顶前进
100 到达 处，又测得 对于山坡的斜度为 45°，若 = 50 ，山坡对于地平面的坡度为 ，则 cos 等于( )

A. 3 22 B. 2 C. 3 1 D. 2 1
8.在 中， = ， + = 2 3 π，且3 ≤ ≤
2π
3，则
的取值范围是( )
A. [ 2,2] B. [ 6,2] C. 6, 23 D. 2,
2
3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = ( 2, 1)， = (cos , sin )，则下列命题正确的是( )
A.若 ⊥ ，则 tan = 2 B.若 + = ，则 ⊥
C. // tan = 2 D. 3 2π若 ，则 2 若 在 上的投影向量为 6 ，则向量 与
的夹角为 3
10.欧拉公式e i = cos + isin (其中 i 为虚数单位， ∈ R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数
函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依
据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A. eπi为纯虚数
i
B. e 2复数1+i的模长等于 2
C. cos π π 2π10 + isin 10 cos 10 + isin
2π 9π
10 cos 10 + isin
9π
10 = i
4π 2π
D. e 3 i + e 3 i + 1 = 0
11.如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中，点 ， 分别是 ， 的中点， 在棱 1上满足 =
1， ∈ [0,1]， 为线段 1上的一个动点，平面 //平面 ，则下列命题中正确的是( )
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A. 1当 = 2时， 1//平面
B. 3当4 < < 1 时，过点 ， ， 的平面截该正方体所得的截面为五边形
C. 1当 = 2时，平面
3
截该正方体所得截面面积的最大值为 2
D.当 = 1 8+3 62时， + 的最小值为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 的内角 , , 的对边分别为 ， ， ， = 60 ， = 4，若 有两解，则 的取值范围是 ．
13.矩形 中， = 3， = 4，现将 沿对角线 向上翻折，得到四面体 ，则该四面体
外接球的体积为 ．
14.在等边三角形 的三边上各取一点 ， ， ，满足 = 3， = 21，∠ = 90°，则三角形
的面积的最大值是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 1 = 1 + i, 2 = + i，，其中 , 为非零实数．
(1)若 1 2是实数，求 的值；
5
(2)若 = ，复数 = 12 1 +
2 2 + i 为纯虚数，求实数 的值．
2
16.(本小题 15 分)
已知向量 与 3 的夹角为 = 4，且| | = 3，
= 2 2．
(1)若 + 2 与 3 + 4 共线，求 ；
(2)求 ， + ；
(3)求 与 + 的夹角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = sin( + ) > 0, | | < π2 的部分图象如图所示．
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(1)求 ( )的解析式；
(2) 3将函数 = ( )的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2，得到函数 = ( )，再将 = ( )图象
π
向右平移6个单位长度，得到函数 = ( ) = ( )
π , 3π的图象，求函数 在 12 8 上的值域；
(3) π π若函数 = ( ) 在区间 6 , 4 上恰好有两个零点，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图所示正四棱锥 ， 为侧棱 上的点，且 = 3 ．
(1)记平面 ∩平面 = ，证明： // ；
(2)侧棱 上是否存在一点 ，使得 //平面 .若存在，求 的值；若不存在，试说明理由．
19.(本小题 17 分)
记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 2 2 = ．
(1)若 sin sin( ) = sin sin( )，求 ；
2
(2)若 为锐角三角形，求 + 2的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2 3, 4
13.1256 π
14.13 3
15.【详解】(1)解：由复数 1 = 1 + i, 2 = + i，可得 1 2 = 1 + i + i = + ( + )i，
因为 1 2是实数，可得 + = 0，即 = ，
∵ , 为非零实数.所以 = 1．
5
(2) 解：由 2 = 11，可得 = 1，所以
1
= 1，2 2
5
则 = 1 + 2 2 + i =
2 1 + i，
2
5 2
因为复数 = 1 +
2 2 + i 为纯虚数，可得 1 = 0 ,
2 ≠ 0
1+ 5 1 5
解得 = 2 或 = 2 ．
16.解：(1)若 + 2 与 3 + 4 共线，
则存在 ，使得 + 2 = (3 + 4 )，
即( 3 ) + (2 4 ) = 0，
又因为向量 与 不共线，
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1
3 = 0 =
所以 22 4 = 0，解得 3，所以 =
3
．
= 22
(2) = cos , = 3 × 2 2 × ( 22 ) = 6，
| + | = 2 + 2 + 2 = 9 12 + 8 = 5，
·( + )
(3)cos , + =
| | | + |
2
= +
= 9 6 = 5．
| | | + | 3 5 5
17. 2π 5π π π 2π 2π【详解】(1)由题设2 = 2 = 12 12 = 3，所以 = 3，则 = = 3，故 ( ) = sin(3 + )，
( π由 12 ) = sin(
π π π
4 + ) = 1，则4 + = 2 + 2 π, ∈ Z，即 =
π
4 + 2 π, ∈ Z，
又| | < π π π2，当 = 0 时，则 = 4，故 ( ) = sin(3 + 4 )；
(2) 3将函数 = ( )的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 ( ) = sin(2 +
π
4 )，再
将 = ( ) π图象向右平移6个单位长度，
所以 ( ) = sin 2 π + π6 4 = sin 2
π
12 ；
∈ π 3π π π 2π12 , 8 ，则 2 12 ∈ [ 4 , 3 ]，
sin 2 π所以 12 ∈
2
2 , 1
π
所以函数 = ( )在 12 ,
3π 2
8 上的值域： 2 , 1
(3) ∈ π6 ,
π π π
4 ，则 = 3 + 4 ∈ [ 4 , π]，
由 = sin 在 ∈ [ π , π4 2 )
2
上单调递增，对应值域为[ 2 , 1)；
在 ∈ ( π2 , π]上单调递减，对应值域为[0,1)；
函数 = ( ) π π在区间 6 , 4 上有且仅有两个零点，
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即 = ( )在 π π6 , 4 上只有两个解，有图可知 ∈ [0,1)．
18.【详解】(1)在正四棱锥 中， // ， 平面 ， 平面 ，
则 //平面 ，而 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ．
(2)在侧棱 上存在一点 ，使 //平面 ，满足 = 2．
理由如下：连接 交 于 ，连接 ，则 为 中点，
取 中点 ，又 = 3 ，则 = ，
过 作 的平行线交 于 ，连接 , ，在 中，有 // ，
由 平面 ， 平面 ，得 //平面 ，而 = 2，则 = = 2，
又 // ， 平面 ， 平面 ，则 //平面 ，
又 ∩ = ， , 平面 ，因此平面 //平面 ，
又 平面 ，得 //平面 ，所以存在，且 = 2．
2 2 2
19.【详解】(1)由 = + 2 cos
2
,
2 =
所以 + 2 = 2 + 2 2 cos , ∴ = 1 + 2cos ，
由 sin sin( ) = sin sin( )，
所以 sin sin cos cos sin = sin sin cos cos sin ，
即 sin sin cos + cos sin = 2sin cos sin ，
所以 sin sin( + ) = sin2 = 2sin cos sin ，、
由正弦定理得 2 = 2 cos ，由 2 2 = ，
所以 + 2 = 2 cos ，∴ + = 2 cos , ∴ = 2cos 1，
又 = 1 + 2cos ，所以 = 2cos + 1，
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所以 1 = 4cos2 1 cos =± 22 ，
因为 0 < < π π 3π，所以 = 4或 4 ，
3π 3π
当 = 4 时， = 1 + 2cos = 1 2 < 0，故 = 4 不符合题意；
π
所以 = 4
(2)由 2 2 = 得
sin2 sin2 = sin sin 1 cos2 1 cos2 2 2 = sin sin ，
即 cos2 + cos2 = 2sin sin 2sin( + )sin( ) = 2sin sin ，
所以 2sin sin( ) = 2sin sin ，
因为 为锐角三角形，所以 sin ≠ 0，所以 sin( ) = sin ，
又 2 2 = > 0，所以 < ，所以 0 < < π π2，0 < < 2，
所以 = = 2 ，
又 + + = π 2 + + = π = π 3 ，
因为 为锐角三角形，
0 < = 2 < π2
所以 0 < = π 3 < π2 , ∴
π π
6 < < 4 ,
0 < < π2
2 sin sin2 sin π 3 sin2
+ 2 = sin + = sin2 sin
+
sin2(2 )
sin3 sin 2 sin2 cos + cos2 sin 1 2
= sin + 2sin cos = sin + 2cos
= 2cos2 + cos2 + 1
2
2
2cos = 4cos +
1
4cos2 1，
π
令 4cos2 = ，因为6 < <
π
4，所以 4cos
2 = ∈ (2,3)，
又 = + 1 1 在(1, + ∞)单调递增，
3 < < 7 +
2 3 7
所以2 3，即 2的取值范围为 2 , 3 ．
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