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北京市东城区2025届高三二模数学试题
2025.5
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知，则复数的实部为
（A） （B）
（C） （D）
（3）已知单位向量，的夹角为，若，则的取值范围为
（A） （B）
（C） （D）
（4）某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化.记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为
（A） （B）
（C） （D）
（5）若双曲线的离心率大于，则的取值范围为
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知，，则“”是“”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为，则的倾斜角的最大值为
（A） （B）
（C） （D）
（9）马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值. 在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：m/s）和燃料的质量（单位：kg）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为m/s，最大速度对应的马赫数分别为和13时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是
（A） （B）
（C） （D）
（10）设无穷数列满足，则
（A）存在，为等差数列 （B）存在，为等比数列
（C）存在，为递减数列 （D）存在，为递增数列
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）在中，，，，则 .
（12）已知,则实数_____ .
（13）已知直线与抛物线在第一象限交于点，过点作轴的垂线，
垂足为抛物线的焦点，则 ；若该抛物线的准线上的点到点与点的距
离之和的最小值为，则 .
（14）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中讨论了
“垣”“堑”等建筑的体积问题. 某工程要完成一个形
如直四棱柱 的“堑”型沟渠的土方
作业（如图），其中，与平面 所成的
角均为，，米，米，米， 则需要挖土 立方米.
（15）已知曲线C：. 给出下列四个结论：
① 曲线C为中心对称图形；
② 曲线C与直线有两个交点；
③ 曲线C恰好经过两个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
④ 曲线C上任意两点，，当时，.
其中正确结论的序号是 .
解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，，，点M在棱上，平面.
（Ⅰ）求证：M为的中点；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值.
（17）（本小题14分）
已知函数.
（Ⅰ）若的最小值为，求的值；
（Ⅱ）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一，求在区间上的取值范围．
条件①：的图象关于和对称；
条件②：在区间上单调，且的图象关于点对称；
条件③：的最小正周期，且．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题13分）
已知近10年北京市12月和1月历史气温分别如下图所示．
（Ⅰ）从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，求该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率；
（Ⅱ）将当年12月和次年1月作为当年的冬季周期，记当年12月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度），次年1月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度）.从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，求至少有2个冬季周期中的概率；
（Ⅲ）依据图2中信息，能否预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度？请说明理由.
（19）（本小题15分）
已知椭圆的一个顶点为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程及焦距；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于不同的两点，直线的斜率分别记为与，当时，求的面积．
（20）（本小题15分）
设函数，其中．
（Ⅰ）当时，求的零点；
（Ⅱ）当时，证明：
（i）为的极小值点；
（ii）对于任意，存在，使得曲线在点处的切线斜率与在点处的切线斜率互为相反数.
（21）（本小题15分）
已知有穷整数数列，满足．记集合为
．若数列，则称数列是的“恒元”．
（Ⅰ）已知数列，请写出中所有满足的数列；
（Ⅱ）当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”？若存在，
请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）A （2）A （3）B （4）C （5）D
（6）B （7）B （8）C （9）C （10）D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12） （13）；1
（14） （15）① ③
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）连接与交于点，连接.
因为平面，平面平面，
平面，
所以.
在中，为中点，所以为中点. ………………5分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则
，，，.
因此，,.
设平面的法向量，
则即
令，则，，于是.
设平面的法向量，
则即
令，则，，于是.
设平面与平面的夹角为，
所以.
所以平面与平面夹角的余弦值为. ………………13分
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）
.
当时，
即时，取得最小值.
由, 解得. ………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
由，
解得，所以. ………………8分
若选条件②：
因为在区间上单调，所以.
所以.
由已知得，即.
解得，即.
综上. 所以.
因为，所以.
所以在区间上的取值范围为. ………………14分
若选条件③：
因为的最小正周期，所以.
由，
解得或，
即或.
所以.
所以.
因为，所以.
所以在区间上的取值范围为. ………………14分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）2016年至2024年这9年中， 12月平均高温和平均低温都低于前一年的年份是2017年、2018年、2020年和2022年，所以从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，该年12月份平均高温和平均低温都低于前一年的概率为. ………4分
（Ⅱ）在2015年至2024年这10个冬季周期中，，（单位：摄氏度）的值见下表.
2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
a 8 10 10 9 9 9 11 10 9 10
b 8 9 9 10 10 9 9 11 9 10
其中满足的是2015，2020，2023和2024.
从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，共有种不同情
形.
若恰有2个冬季周期中，则有种不同情形；
若有3个冬季周期中，有种不同情形，
所以从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，至少有2个冬季周期中的概率为. ……………10分
（Ⅲ） 答案示例1：可以预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度.
理由如下：北京市近10年1月平均高温有9年低于4摄氏度，故可以预测北京
市2026年1月平均高温低于4摄氏度.
答案示例2：无法预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度.
理由如下：由于北京市1月平均高温受诸多因素影响，故仅依据图2中信息，无
法预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度. ……………13分
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）由题意得， 所以．
因为，所以.
所以椭圆的方程为,焦距为． ……………5分
（Ⅱ）由已知得，直线的斜率存在.设直线的方程为．
由 得．
由，得．
设，则，．
直线的斜率为，直线的斜率为．
由已知，即．
由，
解得．
所以直线的方程为,点到直线的距离为．
．
所以的面积. ………………15分
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）函数的定义域为.
因为，所以.
由，得，解得.
所以1为的零点. ………………3分
（Ⅱ）当时，.
所以.
（i）当时，，
从而，在区间上单调递增；
当时，，
从而，在区间上单调递减.
当变化时，与的变化情况如下表：
↘ 0 ↗
综上，为的极小值点． ………………7分
（ii）令．
所以．
因为均在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增．
又因为，
所以存在唯一，使得.
从而当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以存在最小值
因为，所以.
因为，，
所以当时，在点A处的切线斜率的取值范围为.
因为，所以在点B处的切线斜率的取值范围为.
因为，所以对于任意，均存在，使得
曲线在点处的切线斜率与在点处的切线
斜率互为相反数. ……………15分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）因为数列，所以中的数列满足，．
因为，所以中所有满足的数列有
；；；． ……………4分
（Ⅱ）假设存在满足条件的数列，
则满足，有．
所以与同为奇数或同为偶数．
所以是偶数．
所以是偶数．
又是奇数，矛盾．
所以假设不成立，不存在满足条件的数列. ……………9分
（Ⅲ）当数列是的“恒元”时，
因为数列中，是个连续正整数的一个排列，
所以当时，有，且至多一项为1．
不妨记，所以，且．
当时，.
当时，有.
此时，或．
又，所以，，或，．
①当时，有，或，所以，或者．
当时，有，，，，
所以，，.
因为，，所以．所以．
当时，有，，，，所以（舍）．
②当时，有，或，所以，或者．
当时，有，，，，
所以，，,
所以．
当时，有，，，，
所以．所以（舍）．
又由于数列和满足条件．
综上所述，． …………… 15分

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