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北京市西城区2025届高三二模数学试题
本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，集合，那么
（A） （B）
（C） （D）
（2）设为虚数单位，则在复平面内，复数对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（3）设，，则
（A） （B）
（C） （D）
（4）若，则
（A） （B）
（C） （D）
（5）设圆的圆心为，直线与该圆相交于两点.
若，则实数
（A） （B） 或
（C） （D） 或
（6）设为双曲线的右焦点. 已知成等差数列，那么双曲线的离心率等于
（A） （B）
（C） （D）
（7）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小 ……”. 他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸 ……. 已知A4纸的宽为，那么A1纸的长和宽约为
（A）， （B），
（C）， （D），
（9）设正方体的棱长为，为正方体表面上一点，且点到直线的距离与它到平面的距离相等. 记动点的轨迹为曲线，则曲线的周长为
（A） （B）
（C） （D）
（10）已知函数 若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）函数的定义域为____.
（12）一个金属模具的形状、大小如右图所示，它是圆柱被挖去
一个倒立的圆锥剩余的部分. 那么该模具的体积为____.
（13）设函数，则使得函数
在区间上存在最大值的一个值为____.
（14）在数列中，，，且任意连续三项的和均为，则____；记数列的前项和为，则使得成立的最大整数____.
（15）数学中有许多形状优美、应用广泛的曲线. 双纽线就是其中之一（如图），其定义为：在平面内，到两个定点和的距离之积为常数的点的轨迹. 设为上一点，给出下列四个结论：
① ；
② ；
③ 若点在第一象限，则；
④ 的周长可以等于．
其中，所有正确结论的序号是 ____．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
已知中，.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）设为的中点，且，，求的面积．
（17）（本小题14分）
如图，在三棱锥中，平面平面，，分别为的中点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）设，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（18）（本小题13分）
网络搜索已成为人们获取信息或解决问题的重要手段. 为研究某传染性疾病的未来流行趋势，收集得到该疾病某月号至号的网络搜索量（单位：万次）如下：
时间 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 13号 14号 15号
搜索量 6.2 5.1 6.1 7.2 6.1 7.4 6.2 6.3 6.4 6.3 7.1 6.3 7.3 7.6 7.9
时间 16号 17号 18号 19号 20号 21号 22号 23号 24号 25号 26号 27号 28号 29号 30号
搜索量 8.5 11.2 10.3 9.1 9.6 10.1 10.6 10.9 8.8 10.4 8.2 11.5 12.1 12.8 13.6
用频率估计概率.
（Ⅰ）从号至号中任取天，求该天的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率；
（Ⅱ）假设该疾病每天的搜索量变化是相互独立的. 在未来的日子里任取3天，试估计这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率；
（Ⅲ）记表中天的搜索量的平均数为，去除搜索量中最大的个和最小的个后剩余个搜索量的平均数为, 试给出与的大小关系.（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）
已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和下顶点.
（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；
（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于两点，直线与直
线的交点分别为，线段的中点分别为. 若直线经过坐
标原点，求的取值范围．
（20）（本小题15分）
已知函数，其中.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线经过点，求的值；
（Ⅱ）证明：函数存在极小值；
（Ⅲ）记函数的最小值为，求的最大值.
（21）（本小题15分）
已知项数列，对于给定，定义变换：将数列中的项替换为，其余项均保持不变，记得到的新数列为. 其中，当时，
；当时，；当时，.
若将数列再进行上述变换，记得到的新数列为，…，重复
操作，得到数列，并称为第一次变换，为第二次变换，….
（Ⅰ）若数列，求数列和；
（Ⅱ）设为递增数列，对进行有限次变换后得到数列. 证明：为递增数列；
（Ⅲ）当第次变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令；否则. 对于给定的项数列，进行次变换，证明：.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（ 1 ）D （ 2 ）D （ 3 ）B （ 4 ）A （ 5 ）D
（ 6 ）B （ 7 ）C （ 8 ）A （ 9 ）D （10）B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）
（13）（答案不唯一） （14）
（15）①②③
注： （14）题第一空3分，第二空2分；（15）题全部选对得5分，有两个选对且无错选得3分，有一个选对且无错选得2分，其他得0分.
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）由，得. ……………… 3分
由，得，故，
所以. ……………… 5分
（Ⅱ）由正弦定理，得，即. …………… 8分
由余弦定理，得，
即，解得或（舍）.… 11分
所以，
故. ……………… 13分
（17）（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为，平面平面，平面平面，
所以平面． ……………… 3分
由分别为中点，得，
所以平面．
又因为平面，
所以平面平面． ……………… 6分
（Ⅱ）选择条件① ②：
因为，，，
所以，则.
所以．
由平面，得．
故两两垂直. ……………… 7分
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，．，． ……………… 8分
设平面的法向量为，
则 即
令，则．于是．……… 11分
易知平面的一个法向量.
设平面与平面夹角为，
则．
所以平面与平面夹角的余弦值为． ……………… 14分
选择条件① ③：
由平面，得．
因为，，，
所以平面．
所以．故两两垂直. ……………… 7分
如图建立空间直角坐标系，以下同选条件① ②，略．
选择条件② ③：
由平面，得．
因为，，，
所以平面．
所以．故两两垂直.
又因为，，
所以，． ……………… 7分
如图建立空间直角坐标系，以下同选条件① ②，略.
（18）（本小题13分）
解：（Ⅰ）记事件为“从号至号中任取天，且该天搜索量比其前后两日的搜索量都低”，
根据数据，知仅有号这天的搜索量比其前后两日的搜索量都低，
所以从号至号中任取天，该天搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率． ……………… 4分
（Ⅱ）记事件为“在未来的日子里任取3天，且这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万”，
根据数据，知在未来的日子里某天该疾病的搜索量高于10万的概率可估计为，低于8万的概率可估计为. ……………… 7分
则．
所以在未来的日子里任取3天，估计这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率为． ……………… 10分
（Ⅲ）. ……………… 13分
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为直线与坐标轴交点为和，
所以，. ……………… 2分
由，解得，
所以椭圆的方程为，离心率. ……………… 5分
（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，故设其方程为， ………… 6分
设点，
由 得，
所以，，.
所以点的横坐标，纵坐标. … 9分
结合直线过坐标原点，可得直线的方程为.
令，得点的坐标为.
当时，显然点不在轴上.
则直线，直线.
令，得点，.
由线段的中点为，得， ……………… 11分
整理，得，
即，
化简，得.
由，得. ……………… 13分
当时，由题意，点中有一个与点重合（不妨设点与点重合），
则为中点，且，
在中，，则直线的方程为，故.
由的中点为，得，即，故. …………… 14分
所以，当且仅当时等号成立.
综上，的取值范围为. ……………… 15分
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）求导，得， ……………… 2分
所以，，
故曲线在点处的切线方程为，
将点代入切线方程，得. ……………… 4分
（Ⅱ）函数的定义域为，.
设函数，则，
由，得，
所以函数在上单调递增， ……………… 6分
因为，，
所以存在唯一的，使得，即.
当变化时，与的变化情况如下：
↘ 极小值 ↗
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
故函数存在极小值. ……………… 9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函数有最小值.
由，得.
所以. ……………… 11分
设函数，则. ……………… 12分
令，得（舍）或.
当变化时，与的变化情况如下：
↗ 极大值 ↘
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，，即当时，.
结合，知当时，.
由函数的导数，知其在区间上单调递减，
故当且仅当时.
所以当时，取得最大值. ……………… 15分
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意，得数列，数列，
故数列. ……………… 3分
（Ⅱ）若对进行变换，即将替换为，其余项不变，
由，得，故仍为递增数列； ……………… 5分
若对进行变换，即将替换为，其余项不变，
由，得，故仍为递增数列； …… 7分
若对进行变换，即将替换为，其余项不变，
由，得，故仍为递增数列.
综上，对于任意，对进行变换后仍为递增数列.
以此类推，知对进行有限次变换后，所得的数列为递增数列. …… 9分
（Ⅲ）记数列中去除等于的项后得到的数列为（其余项相对位置不变，下同），中去除为的项后得到的数列为.
设中相邻两项乘积为负数的有对，中相邻两项乘积为负数的有对，则. ……………… 11分
如果对进行变换，即将替换为，
此时若与同号，则数列中相邻两项乘积为负数的仍有对，即；若与异号，则或；若与中有，则一定不与异号，故.
如果对进行变换，即将替换为，
此时若与同号，则；若与异号，有以下三种情况：
① 若与同号，显然也与异号，则；
② 若与异号，则；
③ 若与中有，易知只有一个，不妨设，则与异号，故，或，或.
若与同为，则；
若，，不妨设，则与同号，故；
若，，不妨设，则与异号，故或；
对进行变换与进行变换类似.
综上，对进行一次变换后，. ……………… 13分
以此类推，对进行2025次变换，每一次变换后所得数列中去除等于的项后相邻两项乘积为负数的对数比变换前的并不会增大，且.
在此之中，若某一次变换使得第一项的正负号发生改变，则该变换一定是变换，且变换之前数列的第一项与第二项异号，故变换之后所得数列中去除等于的项后相邻两项乘积为负数的对数比变换前减少1对.
所以对进行2025次变换时，其第一项的正负号最多发生次改变，即. ……………… 15分

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