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(共36张PPT)
第七课时
正比例与反比例
（北师大）六年级
下
01
学习目标
内容总览
02
知识梳理
03
典例
04
变式练习
核心素养目标
复习整理比和比例的有关知识，进一步理解比的意义和比例的意义，深化理解比与分数、除法的关系，能运用比和比例的知识解决一些简单的实际问题。
01
02
结合具体情境，进一步理解正比例、反比例的意义，在正比例、反比例的回顾与反思中，体会函数的思想。
03
能运用所学知识解决生活中的实际问题
知识梳理
比 比例
意义
基本 性质
考点一：比和比例的意义与性质
两个数相除又叫作两个数的比。
表示两个比相等的式子叫作比例。
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
前项 比号 后项 比值
6 : 4 = 1.5
6 : 4 = 3 : 2
外项 内项 内项 外项
各部分名称
知识梳理
考点二：比、分数与除法的关系
a∶b＝ ＝（ ）÷（ ）（b≠0）
a
b
名称 联 系 区 别
比 前项 比号 后项 比值
除法
分数
被除数
分子
除号
分数线
除数
分母
一种数
一种运算
一种关系
商
分数值
a
b
分数是一种数。除法是数与数之间的运算。比是一种关系。
知识梳理
考点三：求比值和化简比
（1）求比值：根据比值的意义，用前项除以后项，结果是一个数，可以是整数，小数或分数。
（2）化简比：根据比的基本性质，把比的前项和后项都乘以或除以相同的数（零除外），结果是一个比，它的前项和后项是互质数。（两个互质数都是正整数）
知识梳理
考点四：比例尺
1.比例尺的意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，
叫作这幅图的比例尺，
图上距离∶实际距离＝比例尺。
2.比例尺的分类：数值比例尺，如：1∶6000。
线段比例尺，如：
3.已知比例尺和实际距离，求图上距离的方法：
实际距离×比例尺＝图上距离；
已知比例尺和图上距离，求实际距离的方法：
图上距离÷比例尺＝实际距离。
知识梳理
考点五：正比例和反比例的区别与联系
相同点 不同点 特征 关系式
正比例
反比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种也随着变化。
一种量扩大（缩小），另一种量也随着扩大（缩小）
两种量的比值一定
一种量扩大（缩小），另一种量反而缩小（扩大）
两种量的积一定
＝k（一定）
×
＝k（一定）
知识梳理
判断正、反比例的方法
一找二看三判断：
找变量：分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量；
看定量：分析这两种量，看它们之间的关系是
商一定还是积一定；
判断：如果商一定，就是正比例；如果积一定，就是反比例；如果积和商都不是定量，就不成比例。
典例
1.举例说明什么是比，什么是比例，以及它们的应用。
比的概念：两个数相除又叫作两个数的比。
如：4÷5＝4∶5。
比的应用：应用比的概念可以求比值，用比的前项除以比的后项，所得到的结果就是比值，比值可以是分数、小数或整数。如：4∶5＝4÷5＝ （或0.8）。
比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
典例
1.举例说明什么是比，什么是比例，以及它们的应用。
比的基本性质的应用：应用比的基本性质可以化简比，把比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），使比的前项和后项只有公因数1。如：9∶12＝（9÷3）∶（12÷3）＝3∶4。
比例的概念：表示两个比相等的式子叫作比例。如：5∶7＝10∶14。
比例概念的应用：判断两个比能否组成比例。
如：因为1∶5＝0.2，2∶10＝0.2，
所以1∶5和2∶10能组成比例 1∶5＝2∶10。
典例
1.举例说明什么是比，什么是比例，以及它们的应用。
比例的基本性质：一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。如：比例3∶5＝6∶10中，3×10＝5×6。
比例的基本性质的应用：应用比例的基本性质可以判断两个比能否组成比例，还可以解比例。
如：x∶5 ＝ 3∶6
解： 6x＝3×5
x＝15÷6
x＝2.5
a:b＝ ＝（ ）÷（ ）（b≠0）
（ ）
（ ）
3:5＝ ＝（ ）÷（ ）
（ ）
（ ）
典例
2.填一填，并说一说比、分数、除法之间的联系。
3
3
5
5
a
a
b
b
典例
3.（1）说说图中的比例尺1∶6000表示什么意思。
（2）240m长的马路在图上应画多长？
图中的比例尺1∶6000表示图上1cm相当于实际的60m。
240m＝24000cm 24000÷6000＝4（cm）
答：240m长的马路在图上应画4cm。
典例
长：6000cm＝60m
宽：0.5×6000＝3000（cm） 3000cm＝30m
面积：60×30＝1800（m2）
答：它的实际占地面积是1800平方米。
（3）一个长方形住宅区在图上长1cm，
宽0.5cm，它的实际占地面积是多少平方米？
典例
4.举例说说生活中有哪些成正比例的量，有哪些成反比例的量。
长方形的面积一定，它的长与宽是成反比例的两个量；圆柱的体积一定，圆柱的底面积与高是成反比例的两个量；路程一定，速度与时间是成反比例的两个量
正方形的周长与边长是成正比例的两个量；
圆柱的底面积一定，圆柱的体积和高是成正比例的两个量；
速度一定，路程和时间是成正比例的两个量。
典例
时间/时 1 2 3 4 5 …
路程/千米 100 …
5.一辆汽车在高速路上行驶，速度保持在100千米/时，说一说汽车行驶的路程随时间变化的情况，并说说可以用哪些方式来表示这两个量之间的关系？
200
300
400
500
（1）可以列表
典例
（2）可以画图
时间/分
　路程/千米
0
2
4
3
5
1
100
500
200
400
300
尝试举出生活中或数学中一个量随另一个量变化的例子。
典例
（3）可以用式子表示。
如果用t表示汽车的行驶的时间，s表示汽车行驶的路程，那么：
（4）判断路程与时间是否成正比例，说说你是怎么想的。
s÷t=100
路程与时间成正比例。
因为路程随着时间的变化而变化，而且路程与时间的比值是一定的，都是100。
变式练习
1.填一填。
(1)两个正方形的边长比是1∶3，周长比是( )，面积比是( ) 。
(2)9元可以买2kg鸡蛋，总价与数量的比是( ) ，比值是( )。
(3)汽车3时行150 km，路程与时间的比是( )，比值是( )。
1∶3
1∶9
9∶2
4.5
150∶3
50
变式练习
2.化简。
30:120
1:
: 0.1
: 10
= 1∶4
= 4∶3
= 6∶1
= 1∶15
2.5:6
0.5:3.2
25 :
:
= 5∶12
= 5∶32
= 30∶1
= 1∶2
变式练习
3.
(1)量一量艺术小学平面图的长是______cm，宽是______cm，这所小学实际占地面积是__________m2。
(2)绕操场跑一圈大约是______m，花坛的占地面积是______m2。
(3)教学楼的占地面积是______m2，是学校占地面积的_____%。
14
5
28000
240
1256
4200
15
变式练习
4.解方程。
6：0.5=x：
2.8︰x=2︰2.5
解：2x=2.8×2.5
2x=7
x=
3.5
0.5x=4
x=8
解：4x=5
x=
1.25
=
2
3
解：0.5x=6×
2
3
变式练习
5.判断下面每题中的两个量是否成正比例或反比例。
（1）一捆100m长的电线，用去的长度与剩下的长度。
（2）三角形的面积一定，它的底和高。
（3）一个数与它的倒数。
答：不成比例。
答：成反比例。
答：成反比例。
变式练习
6.下面表格中的两个量是否成正比例或反比例？为什么？
每分滴数/滴 60 50 40 30 …
时间/分 20 24 30 40 …
每分滴数与所需时间成反比例。
60×20=1200，
50×24=1200；
40×30=1200，
30×40=1200；
（1）输液时，一小瓶葡萄糖液均匀滴落，每分滴数与所需
时间的关系如下。
变式练习
6.下面表格中的两个量是否成正比例或反比例？为什么？
(2)妙想的身高与体重的关系如下：
身高/厘米 100 110 120 130 …
体重/千克 17 20 25 31 …
妙想的身高与体重不成比例。
100×17=1700，
110×20=2200；
120÷25=4.8，
130÷31≈4.19。
变式练习
6.下面表格中的两个量是否成正比例或反比例？为什么？
(3)体积一定，圆柱体的底面积和高的关系如下。
底面积/ 平方分米 300 200 150 120 100 …
高/分米 2 3 4 5 6 …
体积一定，圆柱体的底面积和高成反比例。
300×2=600，
200×3=600，
150×4=600，
120×5=600，
变式练习
7.磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。
时间/分 0 1 2 3 4 5 6 …
路程/km 0 7 14 21 28 35 42 …
(1)图中的点A表示时间为1分时，磁悬浮列车驶过的路程为7 km。请你试着描出其他各点。
(2)连接各点，它们在一条直线上吗
(3)列车运行2.5分时，行驶的路程是多少
在
（3）解：设列车运行2.5分时，行驶的路程是x km.
x=17.5
答：行驶的路程是17.5km。
7
1
x
2.5
=
课堂总结
今天你有什么收获？
培优拓展
1.在比例尺是1:6000000的地图上，量得两地距离是5厘米，甲乙两车同时从两地相向而行，3小时后两车相遇。已知甲乙两车的速度比是2:3，求甲乙两车的速度各是多少千米？
两地实际距离：5×60＝300（千米）
速度和：300÷3＝100（千米）
甲车速度：100÷5×2＝40（千米/时）
乙车速度：100÷5×3＝60（千米/时）
检验：40：60=2：3 （40+60）×3=300（千米）
5厘米：300千米=5：30000000=1：6000000
答：甲车速度是40千米/时，乙车速度是60千米/时。
培优拓展
2.一块直角三角形钢板按1:200的比例尺画在图上,两条直角边的和是5.4cm,它们的长度比是 5:4。这块钢板的实际面积是多少平方米
5.4÷ =1080(cm)1080 cm= 10.8 m
1
200
5
5+4
10.8 × =6(m)
4
5+4
10.8 x =4.8(m)
6x4.8÷2=14.4(m )
答：这块钢板的实际面积是14.4 m 。
强化训练
1.下面每题中的两种量成什么比例关系？
（1）速度一定，路程和时间。
（2）总价一定，每件物品的价格和所买的数量。
（3）小朋友的年龄与身高。
（4）正方体每一个面的面积和正方体的表面积。
正比例
反比例
不成比例
正比例
强化训练
深色：淡色＝20：40＝1：2
深色：15÷3×1＝5（平方米）
2.一个房间的地面由两种颜色的地砖铺成。
（1）写出两种地砖铺地面积的比，
并化简。
（2）如果这个房间的面积是15平方米，两种地砖的铺地面积分别是多少平方米？
淡色： 15÷3×2＝10（平方米）
答:深色地砖的铺地面积是5平方米；浅色地砖的面积是10平方米。
强化训练
3.育才小学六年级同学从学校出发，乘车0.5时，来到离学校5km的科技馆，参观1时，出馆后休息0.5时，然后乘车0.5时返回学校。下面三幅图中，哪幅图描述了他们的这一活动行程呢？选一选。
√
强化训练
4.修一条公路，总长12千米，开工3天修了1.5千米。
照这样计算，修完这条路要多少天？
解：设修完这条公路要x天。
x＝24
答：修完这条路要24天。
3天
1.5千米
x天
12千米
工作效率一定，工作总量和时间成正比例
1.5
3
12
x
＝
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